σ int =. σ est = Invece, se il guscio è collegato a massa, la superficie esterna si scarica e la densità di carica σ est è nulla. E =.

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1 Esercizio 1 a) Poiché la carica è interamente contenuta all interno di una cavità circondata da materiale conduttore, si ha il fenomeno dell induzione totale. Quindi sulla superficie interna della sfera viene indotta la carica Q. La densità di carica σ int è: Q σ int =. 4π Se il guscio di carica è isolato, per la conservazione della carica elettrica si ha che sulla superficie esterna del conduttore la carica è pari a +Q. In questo caso la densità di carica σ est è pari a: σ est = Q ( + ) 4π A. Invece, se il guscio è collegato a massa, la superficie esterna si scarica e la densità di carica σ est è nulla. b) Si applichi il teorema di Gauss ad una superficie sferica con raggio r < concentrica con il guscio sferico. Questa superficie contiene una carica totale q pari a: 3 r q = Q, 3 quindi il modulo E del campo elettrico all interno della cavità è pari a: Q r E =. 3 4πε 0 Il campo ha direzione radiale ed è diretto verso l esterno se Q è positiva, verso il centro della cavità se è negativa. Il campo elettrico all interno del guscio conduttore è nullo, poiché si sta trattando il caso stazionario. Per calcolare il campo all esterno del guscio, si applichi il teorema di Gauss ad una superficie sferica di raggio r > ( + A), concentrica con il guscio.

2 Tale superficie racchiude una carica pari a 0 se il guscio è collegato a terra, oppure pari a +Q se il guscio è isolato. Ne consegue che il modulo E del campo elettrico è nullo se il guscio è collegato a terra, mentre vale 1 Q E = 4πε r 0, se il guscio è isolato. In questo caso la direzione del campo è radiale; E è diretto verso l esterno se Q è positiva.

3 Esercizio a) La forza che agisce su una particella carica in un campo magnetico è data dalla legge di Lorentz: F = q v B. i. Sia v il modulo della proiezione della velocità sul piano ortogonale all asse del solenoide. La forza di Lorentz è sempre perpendicolare a tale asse ed ha modulo F pari a F = q v B. La proiezione del moto della particella su questo piano è una circonferenza percorsa con velocità angolare ω = v /r = costante. Dalle leggi del moto circolare uniforme si ricava (detta a cp l accelerazione centripeta della particella): ω r = ω v = a cp = qv B. m Da quest espressione si ottengono la velocità v e il periodo T relativo alla proiezione del moto nel piano ortogonale all'asse del solenoide: π qb πm ω = = T = ; T m qb v = qb r. m ii. La componente della forza di Lorentz lungo la direzione parallela all asse del solenoide è nulla. Ne consegue che la componente v della velocità della particella parallela all asse è costante. In un periodo T la particella si sposta lungo l asse del solenoide di una distanza p. Ne consegue che v è pari a: v = T p = pqb. πm Dalle equazioni ottenute qui sopra si ricavano i valori del modulo v della velocità e dell angolo α:

4 v = = r v + v qb m p + ; 4π α = arctang v v πr = arctang. p b) Si applichi la legge di Ampère: B dl = µ 0 I alla linea chiusa indicata qui sotto, dove è rappresentato (in sezione) il filo che costituisce l avvolgimento del solenoide. d b B a c Si noti che all esterno del solenoide non esiste campo magnetico, quindi il tratto b del la linea non dà contributo alla circuitazione di B. Parimenti, i tratti c e d della linea non danno contributo, essendo perpendicolari al campo all interno del solenoide, a sua volta parallelo all asse del solenoide (per simmetria). Quindi, detta L la lunghezza del tratto a e n il numero di spire per unità di lunghezza, si ottiene che la circuitazione di B è pari a: B dl = B L = µ 0 n L i B = µ 0 n i. Da questa espressione si ricava il valore dell intensità di corrente i necessaria per produrre il campo magnetico B: i = B µ 0 n.

5 Esercizio 3 a) Si veda nel grafico qui a fianco il diagramma vettoriale dell orientamento della forza che agisce su un singolo tratto orizzontale della bobina. Nella geometria riprodotta nel diagramma la forza esercitata sul filo è rivolta verso l alto se la corrente, misurata nel verso indicato dalla freccia, è positiva. Per il terzo principio della dinamica (legge di azione e reazione), al I F B N θ S magnete è applicata una forza di direzione opposta rispetto a quella esercitata sulla spira. Nel caso rappresentato in figura la bilancia leggerebbe un incremento della forza che agisce sul piatto su cui è posto il magnete. L espressione del modulo F della forza è F = N I L B sen(θ ). b) Il modulo della forza, a parità di corrente elettrica, è proporzionale a sen(θ ). Si converta la forza misurata dalla bilancia da grammi-peso in Newton e si sottragga il peso del magnete (che altro non è che il valore della forza, espressa in grammi-peso, ottenuta per θ = 0), come riportato nella tabella qui sopra. In tabella è pure riportato il valore del rapporto F/sen(θ ), che, entro una banda di incertezza pari a circa ± 3% è costante ed ha un valore medio pari a Si noti che F è negativa, quindi fra bobina e magnete agisce una forza attrattiva. Il grafico più adatto per mostrare che la relazione di cui al punto a) è valida è il seguente, in cui F è riportato in funzione di sen(θ ): θ ( ) m (g) F (N) F / sen(θ ) (N)

6 F (N) sen(θ ) La retta mostrata in figura è quella che interpola i dati minimizzando l errore quadratico medio c) Dall espressione riportata al punto a), ed utilizzando il valore medio di F/sen(θ ) ottenuto dai dati in tabella, si ricava il valore B del modulo del campo magnetico: B = F 1 sen( θ ) NIL = 11.5 mt.

7 Esercizio 4 a) La potenza W dissipata da una resistenza, sottoposta ad una differenza di potenziale elettrico V ed attraversata da una corrente di intensità I vale: W = V I = I = V. Per dissipare una potenza di 00 W con un alimentazione di 0 V la lampadina deve quindi possedere una resistenza elettrica pari a: = W V = 4 Ω. b) Come si vede dalla prima equazione, dimezzando la differenza di potenziale ai capi della lampadina la potenza si riduce di un fattore pari a 4: W = V = 50 W. c) La seconda legge di Ohm descrive la dipendenza della resistenza di un cilindro conduttore in funzione della resistività ρ del materiale e delle sue caratteristiche geometriche: = l ρ l = π ( d / ) πd 4ρ = 3.8 cm.