(1) Determinare l integrale generale dell equazione

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1 FONDAMENTI DI ANALISI MATEMATICA (9 cfu Commissione F. Albertini, V. Casarino, M. Motta Ingegneria Gestionale, Meccanica e Meccatronica, Vicenza Vicenza, 3 settembre 8 Quarto appello Avvertenza: Nella prima pagina del foglio di bella, sotto lo spazio riservato alla Commissione, ogni studente deve riassumere i risultati ottenuti. Lo svolgimento degli esercizi deve iniziare dalla pagina successiva. La brutta copia non deve essere consegnata. È vietato avere con sé telefoni o calcolatrici. TEMA Esercizio. con ( Determinare l integrale generale dell equazione x y + y. ( Risolvere, se possibile, il relativo problema di Cauchy associato alla condizione y(3. (3 Determinare almeno una soluzione dell equazione assegnata che soddisfi il dato iniziale y(3, precisando se sia possibile applicare in questo caso il Teorema di esistenza e unicità di Cauchy in forma locale o globale. Esercizio. Data l equazione 3 3( y cos x x [ ( y /3], ( dimostrare che in un intorno del punto (, 3 essa individua implicitamente una funzione y f(x oppure x g(y. ( Determinare poi lo sviluppo di Taylor del secondo ordine della funzione definita implicitamente (con punto iniziale o 3. Esercizio 3. Si consideri la superficie : D R R 3 definita da (u, v (u, v, uv, D (u, v R : u + v, u, v }. ( Dimostrare che essa è regolare e calcolare il vettore normale a. ( Scrivere l equazione del piano tangente a in P (,,. 4 (3 Calcolare l integrale superficiale (xy.

2 Svolgimento del Tema Esercizio. ( Determinare l integrale generale dell equazione x y + y. ( Risolvere, se possibile, il relativo problema di Cauchy associato alla condizione y(3. (3 Determinare almeno una soluzione dell equazione assegnata che soddisfi il dato iniziale y(3, precisando se si sta applicando o meno il Teorema di esistenza e unicità di Cauchy in forma locale. Svolgimento: ( Se x, possiamo scrivere + y y. x L equazione è a variabili separabili, con soluzione costante Se y, possiamo scrivere y(x. dy + y dx x, dy + y log x + C. Non è restrittivo supporre x >. Poniamo poi + y t, da cui + y t e dy tdt. L equazione si riscrive allora come dt log x + C, t log x + C, e anche + y log x + C. Ciò conduce a 3 log 3 + C, C 3 log 3 e + y log x + 3 log 3. Se il secondo membro è positivo, se log x log x > 3 + log 3, allora l integrale generale è dato da definita su tutto R, e da y(x, y(x 4( log x + 3 log 3, definita per x tale che. log x > 3 + log 3,

3 ( In un opportuno intorno di x 3 l equazione si può scrivere come + y y. x Applicando il Teorema di esistenza e unicità di Cauchy in forma locale possiamo dire che per ogni x e y > passa una e una sola soluzione dell equazione. In particolare, ciò vale per (x, y (3,. In questo caso, da otteniamo y(x 4( log x + C, 4( log 3 + C, C log 3. La soluzione del problema di Cauchy è quindi y(x 4 log x + 3 log 3. 4 (3 In questo caso non si può applicare il Teorema di esistenza e unicità di Cauchy in forma locale, perché la funzione + y x non è derivabile in y (non è nemmeno Lipschitziana. Una soluzione è comunque data da y(x, come visto prima. Esercizio. Data l equazione 3 3( y cos x x [ ( y /3], ( dimostrare che in un intorno del punto (, 3 essa individua implicitamente una funzione y f(x oppure x g(y. ( Determinare poi lo sviluppo di Taylor del secondo ordine della funzione definita implicitamente (con punto iniziale o 3. Svolgimento: ( Poniamo F (x, y 3 3( y cos x x [ ( y /3]. Osserviamo che F è di classe C in un intorno di (, 3 e soddisfa F (, 3. Vale inoltre F ( x (, 3 3( y sin x x( ( y /3 (, 3, mentre F ( y (, 3 6( y cos x 3 x ( y (, / Per il Teorema di Dini, esistono un intorno U di x, un intorno V di y 3 ed esiste una e una sola funzione y f(x, f : U V, tale che per ogni x U. F (x, f(x

4 ( Derivando F (x, f(x, x U, rispetto a x, otteniamo x F (x, f(x x 3 3( f(x cos x x [ ( f(x /3]} 3 x ( f(x cos x x x [ ( f(x /3]} 6 f (x ( f(x cos x+3( f(x sin x x [ ( f(x /3] 3 x f (x [ ( f(x /3] Calcolando il secondo membro in (, 3, si ricava subito f (. Derivando F (x, f(x, x U, una seconda volta rispetto a x, otteniamo x 6 f (x ( f(x cos x+3( f(x sin x x [ ( f(x /3] 3 x f (x [ ( f(x /3]} con ] [ ] x [6 f (x ( f(x cos x + x 3( f(x sin x + + x x [ ( f(x /3] 3 x f (x [ ( f(x /3]} 6 f (x ( f(x cos x 6 f (x cos x 6 f (x ( f(x sin x +6( f(xf (x sin x + 3( f(x cos x [ ( f(x /3] xf (x( f(x /3 3 xf (x [ ( f(x /3] 3 x f (x [ ( f(x /3] + 9 x (f (x x [ ( f(x 5/3 ]. Calcolando il secondo membro in (, 3 e ricordando che f ( si ottiene da cui Esercizio 3. Lo sviluppo richiesto è quindi 6 f (, f ( 6. f(x 3 x + o(x. Si consideri la superficie : D R R 3 definita da (u, v (u, v, uv, D (u, v R : u + v, u, v }. ( Dimostrare che essa è regolare e calcolare il vettore normale a. ( Scrivere l equazione del piano tangente a in P (,,. 4 (3 Calcolare l integrale superficiale (xy. Svolgimento:

5 ( La superficie è cartesiana, quindi regolare. Essa è del tipo (u, v : u v ( f(u, v ove f(u, v uv. Il vettore normale a è dato da N(u, v ( f u (u, v, f v (u, v,, N(u, v ( v, u, e N + fu + fv + u + v. ( L equazione del piano tangente a in P (,, è 4 da cui infine ((x, y, z (,, 4 N((,, (x, y, z 4 (,,, (x + (y (z 4, x + y z. (3 Calcoliamo l integrale superficiale I (xy. Si ha (xy D (uv + u + v dudv. Introduciamo le coordinate polari su D, u ρ cos θ, v ρ sin θ, con ρ [, ] e θ [, π/]. Si ha allora (xy (uv + u + v dudv D π/ π/ π/ (ρ sin θ cos θ + ρ ρdρdθ (ρ sin θ cos θ dθ sin θ cos θ dθ 4 cos(θ π/ ρ 3 + ρ dρ π + ρ ρ dρ ρ + ρ ρ dρ π + ρ ρ dρ ρ 3 + ρ dρ π + ρ ρ dρ + ρ ρ dρ. Poniamo ora ρ t, da cui ρdρ dt. Si ha quindi (xy t + t dt π + t dt I π 4 I.

6 Sia ora + t u. Si ha I + t dt Vale inoltre I t + t dt (u udu udu 3 (3/. ( 7 u7/ + 3 u3/ 5 u5/ ( 7 7/ + 3 3/ 4 5 5/ ( In conclusione si ha I [ ( 4 7 7/ + 3 3/ 4 5 5/ ( [ ( ( (u 5/ + u / u 3/ du. ] π 6 (3/ ] π 6 (3/.