Prestazioni di rendita vitalizia

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1 Prestazioni di rendita vitalizia Giovanni Zambruno e Asmerilda Hitaj Bicocca, 2014

2 Outline 1 Rendita vitalizia in generale

3 Rendita vitalizia Una rendita vitalizia è una prestazione che prevede il pagamento periodico di un importo monetario a patto che l assicurato sia in vita. Non è prevista nessuna prestazione in caso di decesso dell assicurato.

4 Classificazione delle rendite Relativamente all assicurato Rispetto alla durata Rispetto all inizio del pagamento o riscossione Rispetto all entità della rata Rend. temporanee Rend. illimitate Rend. immediate Rend. differite Rata costante Rata variabile Relativamente all assicuratore Rendita anticipata: Versamento rate all inizio del periodo Rendita posticipata: Versamento rate alla fine del periodo

5 Rendita vitalizia perpetua, immediata posticipata Annualità vitalizia immediata, unitaria, posticipata, su una testa di età x: è l impegno di corrispondere una rendita immediata, unitaria, annua, posticipata (quindi con prima rata all età x + 1), tale che ogni pagamento avvenga solo se la testa sopravvive all epoca del pagamento stesso * 1 1* 2 1* 3 Età x x+1 x+2 x * w 1 x 1* w x w 1 w 0.6

6 Rendita vitalizia perpetua, immediata posticipata cont... Il valore della prestazione è. V(0, Y) = (1 )v + (1 2 )v (1 w )v w x = 1 E x + 2 E x w x E x = k=1 v k k = w x k=1 v k k = a x Principio di composizione dei contratti: portafoglio di contratti elementari caso vita ( capitale differito ). Nel caso le rate sono diverse (R k ) in ogni anno si ha: w x a x = R k v k k. k=1

7 Rendita vitalizia perpetua, immediata posticipata cont... Il valore della prestazione è. V(0, Y) = (1 )v + (1 2 )v (1 w )v w x = 1 E x + 2 E x w x E x = k=1 v k k = w x k=1 v k k = a x Principio di composizione dei contratti: portafoglio di contratti elementari caso vita ( capitale differito ). Nel caso le rate sono diverse (R k ) in ogni anno si ha: w x a x = R k v k k. k=1

8 Rendita vitalizia temporanea, immediata posticipata A differenza della rendita perpetua, in questo caso la durata della rendita è fissata pari ad n * 1 1* 2 1* 3 1* n Età x x+1 x+2 x+3... x+n w Il valore della prestazione é: n na x = v k k. k=1 Il valore della prestazione, nel caso le rate (R k ) sono diverse per ogni anno, è: n na x = R k v k k. k=1

9 Rendita vitalizia temporanea, immediata posticipata A differenza della rendita perpetua, in questo caso la durata della rendita è fissata pari ad n * 1 1* 2 1* 3 1* n Età x x+1 x+2 x+3... x+n w Il valore della prestazione é: n na x = v k k. k=1 Il valore della prestazione, nel caso le rate (R k ) sono diverse per ogni anno, è: n na x = R k v k k. k=1

10 Rendita vitalizia perpetua, immediata anticipata Annualità vitalizia immediata, unitaria, anticipata, su una testa di età x: è l impegno di corrispondere una rendita immediata, unitaria, annua, anticipata (quindi con prima rata all età x), tale che ogni pagamento avvenga solo se la testa sopravvive all epoca del pagamento stesso * 1 1* 2 1* 3 1* w x Età x x+1 x+2 x+3... w 1 w Il attuale attuariale è: V(0, Y) = 1 v 0 +(1 )v + (1 2 )v 2 = E x + 2 E x w 1 x E x = k=0 v k k = ä x = w x k=0 v k k = ä x (1 w )v w 1 x

11 Rendita vitalizia perpetua, immediata anticipata Annualità vitalizia immediata, unitaria, anticipata, su una testa di età x: è l impegno di corrispondere una rendita immediata, unitaria, annua, anticipata (quindi con prima rata all età x), tale che ogni pagamento avvenga solo se la testa sopravvive all epoca del pagamento stesso * 1 1* 2 1* 3 1* w x Età x x+1 x+2 x+3... w 1 w Il attuale attuariale è: V(0, Y) = 1 v 0 +(1 )v + (1 2 )v 2 = E x + 2 E x w 1 x E x = k=0 v k k = ä x = w x k=0 v k k = ä x (1 w )v w 1 x

12 Rendita vitalizia perpetua, immediata anticipata cont... Se le rate (R k )sono diverse per ogni anno, si ha: ä x = R k v k k k=0

13 Rendita vitalizia temporanea, immediata anticipata In questo caso la durata della rendita è fissata pari ad n * 1 1* 2 1* 3 1* n Età x x+1 x+2 x+3... x+n 1 x+n Il valore della prestazione è: n 1 nä x = v k k k=0 Nel caso le rate (R k )sono diverse per ogni anno, il valore della prestazione è: n 1 nä x = R k v k k k=0

14 Relazione fra rendite anticipate e posticipate: ä x = 1+a x nä x = 1+ n a x v n n

15 Relazione fra rendite anticipate e posticipate: ä x = 1+a x nä x = 1+ n a x v n n

16 Il contratto prevede che la rendita vitalizia sia erogata dopo un certo differimento m. La rendita differita può essere: 1 temporanea o meno, 2 anticipata o posticipata. In una rendita differita sono previste due fasi contrattuali: 1 il periodo di differimento, durante il quale non vengono erogate prestazioni, 2 e il periodo di pagamento della rendita.

17 Rendita vitalizia posticipata perpetua, differita di m anni Età x Differimento 1* m+1 x+m x+m+1 1* p 1* m+n x w 1 x... x+m+n... w 1 w Il valore attuale attuariale è: m a x = k=m+1 v k k = w x k=m+1 v k k Se le rate (R k ) sono diverse per ogni anno, il valore diventa: m a x = w x k=m+1 R k v k k

18 Rendita vitalizia posticipata perpetua, differita di m anni Età x Differimento 1* m+1 x+m x+m+1 1* p 1* m+n x w 1 x... x+m+n... w 1 w Il valore attuale attuariale è: m a x = k=m+1 v k k = w x k=m+1 v k k Se le rate (R k ) sono diverse per ogni anno, il valore diventa: m a x = w x k=m+1 R k v k k

19 Rendita vitalizia posticipata temporanea di n anni, differita di m anni Differimento 1* m+1 p 1* m+n x Età x x+m x+m+1... x+m+n... w Il valore attuale attuariale è: m na x = m+n k=m+1 v k k Se le rate (R k ) sono diverse per ogni anno, il valore attuale attuariale è: m na x = m+n k=m+1 R k v k k

20 Rendita vitalizia posticipata temporanea di n anni, differita di m anni Differimento 1* m+1 p 1* m+n x Età x x+m x+m+1... x+m+n... w Il valore attuale attuariale è: m na x = m+n k=m+1 v k k Se le rate (R k ) sono diverse per ogni anno, il valore attuale attuariale è: m na x = m+n k=m+1 R k v k k

21 Rendita vitalizia anticipata perpetua, differita di m anni Differimento 1* m 1* m+n 1 1* w x Età x x+m x+m+1... x+m+n... w 1 w Il valore attuale attuariale è: m ä x = w x v k k = v m m + m a x = v k k = v m m + m a x k=m k=m Se le rate (R k ) sono diverse per ogni anno si ha: w x m ä x = k=m R k v k k

22 Rendita vitalizia anticipata di n anni, differita di m anni Differimento 1* m 1* m+n Età x x+m x+m+1... x+m+n 1 x+m+n Il valore attuale attuariale quando la rata è unitaria è: m nä x = m+n 1 k=m v k k = v m m + m n a x v m+n m+n Se le rate (R k )sono diverse per ogni anno si ha: m nä x = m+n 1 k=m R k v k k

23 Rendita vitalizia anticipata di n anni, differita di m anni Differimento 1* m 1* m+n Età x x+m x+m+1... x+m+n 1 x+m+n Il valore attuale attuariale quando la rata è unitaria è: m nä x = m+n 1 k=m v k k = v m m + m n a x v m+n m+n Se le rate (R k )sono diverse per ogni anno si ha: m nä x = m+n 1 k=m R k v k k

24 Relazioni fra rendite m a x = m E x a x+m m na x = m E x n a x+m m äx = m E x ä x+m m näx = m E x n a x+m m äx = m E x + m a x m näx = m E x + m n a x m+n E x

25 Relazioni fra rendite m a x = m E x a x+m m na x = m E x n a x+m m äx = m E x ä x+m m näx = m E x n a x+m m äx = m E x + m a x m näx = m E x + m n a x m+n E x

26 Relazioni fra rendite m a x = m E x a x+m m na x = m E x n a x+m m äx = m E x ä x+m m näx = m E x n a x+m m äx = m E x + m a x m näx = m E x + m n a x m+n E x

27 Relazioni fra rendite m a x = m E x a x+m m na x = m E x n a x+m m äx = m E x ä x+m m näx = m E x n a x+m m äx = m E x + m a x m näx = m E x + m n a x m+n E x

28 Relazioni fra rendite m a x = m E x a x+m m na x = m E x n a x+m m äx = m E x ä x+m m näx = m E x n a x+m m äx = m E x + m a x m näx = m E x + m n a x m+n E x

29 Relazioni fra rendite m a x = m E x a x+m m na x = m E x n a x+m m äx = m E x ä x+m m näx = m E x n a x+m m äx = m E x + m a x m näx = m E x + m n a x m+n E x

30 Polizze a premio unico Premio unico In una polizza a premio unico l assicurato corrisponde all assicuratore all atto della stipula un premio in cambio delle prestazioni che percepirà nei tempi e nei modi previsti dalla tipologia contrattuale. Il premio unico praticato dall assicuratore, detto premio di tariffa, non può essere inferiore al premio unico puro, che già comprende il caricamento di sicurezza (caricamento implicito). Normalmente è strettamente maggiore e la maggiorazione rispetto al premio puro è il caricamento esplicito. T U = V(0, Y) Il caricamento esplicito è H = T U 0. Il tasso di caricamento è dato da: 0 h = H T < 1. Il premio unico di tariffa è: T = U + ht = U 1 h.

31 Polizze a premio unico Premio unico In una polizza a premio unico l assicurato corrisponde all assicuratore all atto della stipula un premio in cambio delle prestazioni che percepirà nei tempi e nei modi previsti dalla tipologia contrattuale. Il premio unico praticato dall assicuratore, detto premio di tariffa, non può essere inferiore al premio unico puro, che già comprende il caricamento di sicurezza (caricamento implicito). Normalmente è strettamente maggiore e la maggiorazione rispetto al premio puro è il caricamento esplicito. T U = V(0, Y) Il caricamento esplicito è H = T U 0. Il tasso di caricamento è dato da: 0 h = H T < 1. Il premio unico di tariffa è: T = U + ht = U 1 h.

32 H è chiamato caricamento per spese. Il caricamento per spese viene scomposto in tre componenti: 1 Le spese di gestione della polizza G. 2 Le spese di acquisizione del contratto A. 3 Le spese di incasso del premio I. H = G+A+I.

33 Polizze a premio annuo Il contratto può prevedere che il premio, anziché essere versato in unica soluzione alla stipula del contratto, possa essere rateizzato in rate annuali anticipate, il cui pagamento è subordinato all essere in vita dell assicurato. In una polizza a premio annuo l assicurato scambia una rendita vitalizia anticipata con le prestazioni previste dalla forma contrattuale e che sono a carico dell assicuratore. Normalmente il premio annuo è costante. La rendita vitalizia dei premi può essere temporanea, con durata coincidente con la durata del contratto; oppure con durata pagamento premi minore della durata contrattuale. Assumendo fissa la base tecnica del I ordine (i, S) Sia Y il flusso delle prestazioni e l età x dell assicurato al tempo di stipula (t = 0). L importo X k che l assicurato deve corrispondere all assicuratore al tempo k 0 è:

34 X k = Dove P il premio annuo costante. { P1Tx>k se k < n 0 se k n. Lo scambio del flusso X = X 0, X 1,..., X n 1 dei premi con il flusso Y delle prestazioni è in equilibrio attuariale se e solo se: V(0, X) = V(0, Y) Dato che V(0, Y) = U e V(0, X) = P nä x la condizione di equilibrio diventa: P = U nä x il premio annuo puro Il premio annuo di tariffa Π si ottiene aggiungendo al premio annuo puro il caricamento per spese. risulta: Π = P 1 h

35 Il premio annuo di tariffa si può scrivere come rateizzazione del premio unico di tariffa: Π = T nä x

36 Polizze a premio unico ricorrente In una polizza a premio unico ricorrente, il capitale assicurato si costituisce progressivamente con il versamento dei premi. Lo schema contrattuale prevede il versamento di una successione di un certo numero di premi anticipati, ciascuno dei quali attiva una linea di assicurazione con un suo capitale assicurato. Una polizza a premio unico ricorrente si può vedere come un portafoglio di polizze a premio unico della stessa tipologia. SianoΠ 0, Π 1,..., Π n 1 gli n premi unici ricorrenti di tariffa previsti dal contratto, pagabili rispettivamente ai tempi 0, 1,..., n 1. Sia h l il tasso di caricamento totale del premio Π l. Se Y l è il vettore di prestazioni della l-esima linea, attivato con il versamento del premio l-esimo, allora per ogni l il premio unico ricorrente puro è: Π l (1 h l ) = P l = V(l, Y l ) Nella pratica assicurativa il premio unico ricorrente di tariffa è normalmente costante.

37 Esercizi Esercizio 1 Contratto di capitalizzazione a premio unico ricorrente Π costante, tasso di caricamento h costante e durata n anni, prevede il versamento di n premi ai tempi 0, 1,..., n 1. Alla stipula si ha il versamento del primo premio puro: P = Π(1 h) Il capitale a scadenza di questa linea è C 0,n = P(1+i) n = Π(1 h)(1+i) n. Con il versamento del secondo premio al tempo 1 si attiva la seconda linea, che ha lo stesso premio puro e capitale a scadenza: C 1,n = P(1+i) n 1 = Π(1 h)(1+i) n 1 Continuando, per ogni l < n si attiva una linea con capitale a scadenza:c l,n = P(1+i) n l = Π(1 h)(1+i) n l. Alla scadenza contrattuale la prestazione complessiva è la somma delle prestazioni attivate con ciascuna linea: n 1 n 1 C l,n = Π(1 h) (1+i) n l l=0 l=0

38 Esercizi Esercizio 1 Contratto di capitalizzazione a premio unico ricorrente Π costante, tasso di caricamento h costante e durata n anni, prevede il versamento di n premi ai tempi 0, 1,..., n 1. Alla stipula si ha il versamento del primo premio puro: P = Π(1 h) Il capitale a scadenza di questa linea è C 0,n = P(1+i) n = Π(1 h)(1+i) n. Con il versamento del secondo premio al tempo 1 si attiva la seconda linea, che ha lo stesso premio puro e capitale a scadenza: C 1,n = P(1+i) n 1 = Π(1 h)(1+i) n 1 Continuando, per ogni l < n si attiva una linea con capitale a scadenza:c l,n = P(1+i) n l = Π(1 h)(1+i) n l. Alla scadenza contrattuale la prestazione complessiva è la somma delle prestazioni attivate con ciascuna linea: n 1 n 1 C l,n = Π(1 h) (1+i) n l l=0 l=0

39 Esercizi Esercizio 1 Contratto di capitalizzazione a premio unico ricorrente Π costante, tasso di caricamento h costante e durata n anni, prevede il versamento di n premi ai tempi 0, 1,..., n 1. Alla stipula si ha il versamento del primo premio puro: P = Π(1 h) Il capitale a scadenza di questa linea è C 0,n = P(1+i) n = Π(1 h)(1+i) n. Con il versamento del secondo premio al tempo 1 si attiva la seconda linea, che ha lo stesso premio puro e capitale a scadenza: C 1,n = P(1+i) n 1 = Π(1 h)(1+i) n 1 Continuando, per ogni l < n si attiva una linea con capitale a scadenza:c l,n = P(1+i) n l = Π(1 h)(1+i) n l. Alla scadenza contrattuale la prestazione complessiva è la somma delle prestazioni attivate con ciascuna linea: n 1 n 1 C l,n = Π(1 h) (1+i) n l l=0 l=0

40 Esercizi Esercizio 1 Contratto di capitalizzazione a premio unico ricorrente Π costante, tasso di caricamento h costante e durata n anni, prevede il versamento di n premi ai tempi 0, 1,..., n 1. Alla stipula si ha il versamento del primo premio puro: P = Π(1 h) Il capitale a scadenza di questa linea è C 0,n = P(1+i) n = Π(1 h)(1+i) n. Con il versamento del secondo premio al tempo 1 si attiva la seconda linea, che ha lo stesso premio puro e capitale a scadenza: C 1,n = P(1+i) n 1 = Π(1 h)(1+i) n 1 Continuando, per ogni l < n si attiva una linea con capitale a scadenza:c l,n = P(1+i) n l = Π(1 h)(1+i) n l. Alla scadenza contrattuale la prestazione complessiva è la somma delle prestazioni attivate con ciascuna linea: n 1 n 1 C l,n = Π(1 h) (1+i) n l l=0 l=0

41 Esercizi Esercizio 1 Contratto di capitalizzazione a premio unico ricorrente Π costante, tasso di caricamento h costante e durata n anni, prevede il versamento di n premi ai tempi 0, 1,..., n 1. Alla stipula si ha il versamento del primo premio puro: P = Π(1 h) Il capitale a scadenza di questa linea è C 0,n = P(1+i) n = Π(1 h)(1+i) n. Con il versamento del secondo premio al tempo 1 si attiva la seconda linea, che ha lo stesso premio puro e capitale a scadenza: C 1,n = P(1+i) n 1 = Π(1 h)(1+i) n 1 Continuando, per ogni l < n si attiva una linea con capitale a scadenza:c l,n = P(1+i) n l = Π(1 h)(1+i) n l. Alla scadenza contrattuale la prestazione complessiva è la somma delle prestazioni attivate con ciascuna linea: n 1 n 1 C l,n = Π(1 h) (1+i) n l l=0 l=0

42 La controassicurazione è una tipologia di prestazione caso morte che è collegata ai premi che l assicurato versa. E abbinata tipicamente a polizze di capitale differito o di rendita differita e prevede che, in caso di decesso dell assicurato durante il periodo di differimento, l assicuratore restituisca i premi (compreso il caricamento) versatigli fino a quella data.

43 Polizze a premio unico con controassicurazione In una polizza a premio unico la controassicurazione coincide con la prestazione temporanea caso morte, con capitale assicurato il premio unico di tariffa T. Se Y v è il flusso delle prestazioni previste per il caso vita, n è la durata della copertura caso morte e h il tasso di caricamento totale, il premio unico puro U e il premio unico di tariffa T soddisfano il sistema: { U = V(0, Y v )+T na x Ha come soluzione { T = U 1 h. U = V(0,Y v )(1 h) 1 h na x T = V(0,Y v ) 1 h na x.

44 Esercizio libro Una polizza di capitale differito con controassicurazione a premio unico, con capitale assicurato C e differimento n,coincide con una polizza mista di durata n anni, con capitale assicurato caso vita C v = C e caso morte C m = T. Si ha: { C nex (1 h) 1 h na x 1 h na x. U = T = C nex Esercizio libro Una polizza di rendita differita posticipata con controassicurazione a premio unico, rata della rendita R e differimento n è un portafoglio composto da una rendita differita e da una polizza temporanea caso morte con capitale assicurato C m = T. La copertura caso morte è tipicamente contrattualmente prevista per il solo periodo di differimento. Si ha: { U = R n ax (1 h) 1 h na x T = R n ax 1 h na x.

45 Polizze a premio annuo con controassicurazione. Nelle polizze a premio annuo con controassicurazione la logica per trovare il premio annuo puro e di tariffa è la stessa delle polizze a premio annuo. Prima si trova il premio unico puro U e il premio unico di tariffa T U e T si rateizzano trovando cosi il premio annuo puro P e il premio annuo di tariffa Π come; P = U nä x Π = T nä x

46 Esempio Si consideri un contratto caso vita differita di n anni, con prestazioni Y v che prevede premi annui costanti di durata n con controassicurazione una polizza temporanea caso morte, di durata n, con capitale assicurato in progressione aritmetica C m 1 = Π, C m 2 = 2Π,,C m k = kπ e cosi via. Sia h il tasso di caricamento totale, si trovi il premio annuo puro e il premio annuo di tariffa.

47 Esercizi 5 Considerando la tavola di sopravvivenza fornita. Si consideri una polizza capitale differita di 5 anni, con capitale assicurato pari a C v = 1000, stipulata all età di 30 e la sua contro assicurazione, con capitale assicurato pari a C m = 900. Sapendo che h = 0.9% e i = 2%calcolare: 1 Il premio Unico puro e il premio unico di tariffa. 2 il premio annuo puro e il premio annuo di tariffa, sapendo che l assicurato paga tre premi annui immediati di uguale importo. 3 considerando la polizza a premio unico ricorrente calcolare il valore della prestazione di ogni singola linea.

48 For Further Reading I C.PACATI, Appunti IMAAV (disponibile in.pdf sul sito web dell insegnamento)

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