Elementi di Calcolo delle probabilità

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1 Elementi di Calcolo delle probabilità Docente: Francesca Benanti 13 Dicembre Definizioni di Probabilità La teoria della probabilità è quella parte della matematica che, sulla base delle informazioni a disposizione, sviluppa metodi e calcoli per esprimere quantitativamente il nostro grado di fiducia sul fatto che certi eventi si verificheranno o assumeranno una particolare configurazione. Il calcolo della probabilità è, pertanto, lo strumento che fa sì che l uomo assuma un comportamento razionale di fronte all incertezza. L esperienza quotidiana mostra che i fatti osservabili non sono generalmente prevedibili, eppure si presenta spesso la necessità di prendere decisioni che riguardano il futuro. Il calcolo della probabilità permette di assumere atteggiamenti coerenti e giustificabili nel caso di eventi futuri non ripetibili e di effettuare previsioni quantitative attendibili nel caso di eventi ripetibili uniformemente e per i quali è quindi possibile effettuare una serie sufficientemente larga di osservazioni. Il calcolo delle probabilità nasce dagli studi dei matematici sui giochi d azzardo. Da questi studi, nei primi dell 800, ha origine la prima definizione di probabilità, detta classica. Successivamente si ebbero le definizioni frequentista e soggettiva e, per ultima, la definizione assiomatica dovuta principalmente a Kolmogorov. La molteplicità delle definzioni trae origine dal fatto che, nei diversi periodi storici, la definizione di probabilità è stata considerata come l espediente necessario per risolvere problemi tipici di ciascun periodo. Tutte le definizioni necessitano, però, di un concetto basilare su cui si fondano: il concetto di evento. 1

2 2 Eventi Nella presentazione delle nozioni di logica è stato introdotto il concetto di proposizione come enunciato per il quale è possibile esprimere immediatamente una valutazione sulla sua verità o falsità. Esistono enunciati per i quali è impossibile una immediata valutazione dei valori di verità e per i quali è solo possibile esprimere una valutazione sulla maggiore o minore possibilità che uno di due valori si realizzi. Ciò è dovuto al fatto che, per tali enunciati, il valore di verità dipende dal caso. Questi enunciati sono detti eventi. Esempi: A Uscita di testa nel lancio di una moneta; B Uscita del 3 nel lancio del dado; C Uscita di un numero pari nel lancio di un dado. Per gli eventi vale quanto detto per le proposizioni. Dati due eventi semplici A e B si può ottenere un evento composto mediante i connettivi logici ed, oppure dato un evento C, è possibile considerare la sua negazione utilizzando il connettivo logico. Esempi: B C Uscita del 3 o di un numero pari nel lancio di un dado; A Uscita di croce nel lancio di una moneta. Definizione: Due eventi, A e B, si dicono incompatibili, se il verificarsi dell uno esclude il verificarsi dell altro. In caso contrario, i due eventi sono detti compatibili. Esempi: A Uscita di testa nel lancio di una moneta; B Uscita di croce nel lancio di una moneta. INCOMPATIBILI A Estrazione di una carta rossa da un mazzo di carte; B Estrazione di una figura da un mazzo di carte. COMPATIBILI

3 Definizione: Due eventi, A e B, si dicono indipendenti, se il verificarsi dell uno non influenza il verificarsi dell altro. In caso contrario, i due eventi sono detti dipendenti. Esempi: A Uscita di un numero rosso nel gioco della roulette; B Uscita di un numero pari nel gioco della roulette. INDIPENDENTI 3 Definizione Classica Definizione (Laplace): Quando è possibile conoscere a priori il numero dei casi possibili e quello dei casi favorevoli, si definisce misura della probabilità dell evento considerato il rapporto tra il numero dei casi favorevoli e quello dei casi possibili, a condizione che tutti i casi abbiano la stessa possibilità di realizzarsi. p = m n m = numero dei casi favorevoli; n = numero dei casi possibili. p può assumere valori compresi tra 0 e 1. Osservazione: Se m = n allora p = 1 e l evento è detto certo. Se m = 0 allora p = 0 e l evento è detto impossibile.

4 Esempio: Calcolare la probabilità che nel lancio di una moneta esca la faccia testa. Casi possibili: n = 2 (T,C) Casi favorevoli: m = 1 (T) Allora si ha p = m n = 1 2 Con gli insiemi p = E U = 1 2

5 Esempio: Calcolare la probabilità che nel lancio di un dado esca la faccia 3. Casi possibili: n = 6 (1,2,3,4,5,6) Casi favorevoli: m = 1 (3) Allora si ha p = m n = 1 6 Con gli insiemi p = E U = Probabilità di Eventi Composti Probabilità della negazione: p( A) Sia A un evento, con probabilità p(a). La probabilità dell evento contrario, p( A), è data dalla seguente relazione

6 p( A) = 1 p(a) p( A) = none U = U E U = 1 E U = 1 p(a) Esempio: Calcolare la probabilità che nel lancio di un dado esca un numero maggiore di 4 (evento A); non esca un numero maggiore di 4 (evento A); p(a) = m n = 2 6 = 1 3 p( A) = 1 p(a) = = 2 3 Probabilità della congiunzione: p(a B) Siano A e B due eventi con probabilità p(a) e p(b). La probabilità dell evento A B, p(a B), è data dalla seguente relazione p(a B) = A B U

7 Esempio: Calcolare la probabilità che nel lancio di un dado esca un numero maggiore di 4 (evento A); esca un numero pari (evento B); esca un numero maggiore di 4 e pari (evento A B) p(a) = m n = 2 6 = 1 3 p(b) = 3 6 = 1 2 p(a B) = 1 6 Osservazione: Due eventi A e B sono incompatibili se e soltanto se p(a B) = 0. Probabilità della disgiunzione: p(a B) Siano A e B due eventi con probabilità p(a) e p(b). La probabilità dell evento A B, p(a B), è data dalla seguente relazione p(a B) = p(a)+p(b) p(a B)

8 Esempio: Calcolare la probabilità che nel lancio di un dado esca un numero maggiore di 4 (evento A); esca un numero pari (evento B); esca un numero maggiore di 4 o pari (evento A B) p(a) = m n = 2 6 = 1 3 p(b) = 3 6 = 1 2 p(a B) = p(a) + p(b) p(a B) = = 2 3 Osservazione: p(a B) = p(a) + p(b) A e B sono incompatibili. 5 Probabilità totale Teorema della Probabilità Totale: Dati due o più eventi incompatibili A 1, A 2,..., A n, la probabilità che accada uno di tali eventi, ossia la probablità della loro disgiunzione, è data dalla somma delle probabilità dei singoli eventi, cioè p(a 1 A 2 A n ) = p(a 1 ) + p(a 2 ) + + p(a n ) Esempio: Calcolare la probabilità che nel lancio di un dado esca il numero 4 (evento A); esca il numero 1 (evento B); esca il numero 4 o il numero 1 (evento A B)

9 A e B sono eventi incompatibili, allora per il teorema di probabilità totale si ha p(a) = 1 6 p(b) = 1 6 p(a B) = p(a) + p(b) = = 2 6 Con gli insiemi 6 Probabilità Composta Teorema della Probabilità Composta: Dati due eventi indipendenti A e B, la probabilità che accadano entrambi gli eventi, ossia la probablità della loro congiunzione, è data dal prodotto delle probabilità dei singoli eventi, cioè p(a B) = p(a) p(b)

10 Esempio: Calcolare la probabilità che lanciando due volte una moneta esca testa al primo lancio (evento A) e esca croce al secondo lancio (evento B); Gli eventi sono indipendenti, allora per il teorema di probabilità composta, si ha p(a) = 1 2 p(b) = 1 2 p(a B) = p(a) p(b) = = 1 4 Con tabelle (T,T) (C,T) (T,C) (C,C) Esercizi 1 Determinare la probabilità che lanciando due volte un dado esca un 5 e un 2. 2 Determinare la probabilità che lanciando un dado esca un numero maggiore di 4 e un numero pari. 3 Andrea e Tiziana giocano con una moneta e un dado non truccati. Andrea deve lanciare due volte la moneta, mentre Tiziana deve lanciare una sola volta il dado. Andrea scommette che farà due volte testa mentre Tiziana scommette che a lei uscirà 5. Su chi scommetteresti?

11 4 Andrea e Tiziana giocano con una moneta e un dado non truccati. Andrea deve lanciare due volte il dado, mentre Tiziana deve lanciare una sola volta la moneta. Andrea scommette che uscirà un 3 e un 4 mentre Tiziana scommette che a lei uscirà croce. Su chi scommetteresti? ESERCIZI 7 Dipendenza e Indipendenza Stocastica Due eventi sono (stocasticamente) indipendenti se il verificarsi dell uno non modifica la probabilità del verificarsi dell altro. Due eventi sono (stocasticamente) dipendenti se il verificarsi dell uno modifica la probabilità del verificarsi dell altro. Le due situazioni di indipendenza e dipendenza si analizzano bene considerando due diverse modalità di successive estrazioni di una pallina da un urna contenente palline diversamente colorate. Estrazione con reimmissione: ogni volta che si estrae una pallina, dopo che se ne è registrato il colore essa viene rimessa nell urna. Estrazione senza reimmissione: ogni volta che si estrae una pallina, se ne registra il colore e la si lascia fuori. L estrazione con reimmissione costituisce il modello per lo studio di eventi tra loro stocasticamente indipendenti. L estrazione senza reimmissione costituisce il modello per lo studio di eventi tra loro stocasticamente dipendenti.

12 Problema: Data un urna composta da 5 palline di cui 2 bianche e 3 rosse, calcolare, nelle due diverse modalità, la probabilità dei seguenti eventi con due successive estrazioni: 1. entrambe le palline estratte sono bianche; 2. entrambe le palline estratte sono rosse; 3. le palline estratte sono di colore diverso. Soluzione: Estrazione con reimmissione: In questo caso, ad ogni estrazione, la composizione dell urna rimane la stessa (perchè le palline una volta estratte vengono reimmesse) e quindi ad ogni estrazione le probabilità non si modificano: i successivi eventi sono tra loro indipendenti. È possibile applicare il teorema delle probabilità composte. 1. Dobbiamo calcolare la probabilità che estraendo una pallina due volte da un urna esca la prima volta una pallina bianca (evento A) e, dopo aver reimmeso la pallina estratta, esca nuovamente una pallina bianca (evento B); Gli eventi sono indipendenti, allora per il teorema di probabilità composta, si ha p(a) = 2 5 p(b) = 2 5 p(a B) = p(a) p(b) = = 4 25

13 2. Dobbiamo calcolare la probabilità che estraendo una pallina due volte da un urna esca la prima volta una pallina rossa (evento A) e, dopo aver reimmeso la pallina estratta, esca nuovamente una pallina rossa (evento B); Gli eventi sono indipendenti, allora per il teorema di probabilità composta, si ha p(a) = 3 5 p(b) = 3 5 p(a B) = p(a) p(b) = = 9 25

14 3. Dobbiamo calcolare la probabilità che estraendo una pallina due volte da un urna esca la prima volta una pallina bianca (evento A) e, dopo aver reimmeso la pallina estratta, esca una pallina rossa (evento B) o vicerversa; Gli eventi A e B sono indipendenti, allora per il teorema di probabilità composta, si ha p(a) = 2 5, p(b) = 3 5 p(a B) = p(b A) = p(a) p(b) = = 6 25 Gli eventi A B e B A sono tra di loro incompatibili, allora per il teorema della probabilità totale, si ha p((a B) (B A)) = p(a B) + p(b A) = = 2 p(a B) = = 12 25

15 Estrazione senza reimmissione: Se una pallina, dopo essere stata estratta, non viene rimessa nell urna, la composzione dell urna si modifica e perciò, nella successiva estrazione, cambia l universo dei casi possibili; vanno allora ricalcolate le probabilità che esca l una o l altra delle palline. Il verificarsi di un evento modifica quindi la probabilità del successivo: i successivi eventi sono tra loro dipendenti. 1. Dobbiamo calcolare la probabilità che estraendo una pallina due volte da un urna esca la prima volta una pallina bianca (evento A) e, senza reinserire la pallina estratta, esca nuovamente una pallina bianca (evento B); p(a) = 2 5 p(b) = 1 4 p(a B) = p(a) p(b) = = 1 10

16 2. Dobbiamo calcolare la probabilità che estraendo una pallina due volte da un urna esca la prima volta una pallina rossa (evento A) e, senza reinserire la pallina estratta, esca nuovamente una pallina rossa (evento B); p(a) = 3 5 p(b) = 2 4 p(a B) = p(a) p(b) = = Dobbiamo calcolare la probabilità che estraendo una pallina due volte da un urna esca la prima volta una pallina bianca (evento A) e, senza reinserire la pallina estratta, esca una pallina rossa (evento B) o vicerversa; p(a B) = p(a) p(b) = = 3 10 p(b A) = p(b) p(a) = = 3 10 p((a B) (B A)) = p(a B) + p(b A) = = 6 10 = 3 5

17 8 Esercizi 1 (Probabilità totale - Eventi incompatibili) Calcolare la probabilità che, lanciando un dado, si presenti il numero 1 o un numero maggiore di 4. Costruire il modello insiemistico del problema. Rappresentare mediante grafi e diagrammi il problema. 2 (Probabilità totale - Eventi compatibili) Calcolare la probabilità che, estraendo una carta da un mazzo da 40, si presenti una figura o una carta con un numero dispari. Costruire il modello insiemistico del problema. Rappresentare mediante grafi e diagrammi il problema. 3 (Probabilità composta - Eventi indipendenti) Lanciando per due volte un dado, calcolare la probabilità di avere: due volte il 6; il 3 e il 5 nell ordine; due numeri pari e di somma maggiore di 4. 4 (Probabilità composta - Eventi dipendenti) Si consideri un urna composta da 30 palline di cui 8 verdi, 12 rosse e 10 bianche. Calcolare la probabilità che, estraendo successivamente 2 palline senza rimettere nell urna la pallina precedentemente estratta, almeno una sia verde. ESERCIZI