A.A CORSO DI ALGEBRA 1. PROFF. P. PIAZZA, E. SPINELLI. SOLUZIONE ESERCIZI FOGLIO 8.

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1 A.A CORSO DI ALGEBRA 1. PROFF. P. PIAZZA, E. SPINELLI. SOLUZIONE ESERCIZI FOGLIO 8. Esercizio 8.1. Siao, m N due umeri aturali tali che MCD(, m) = 1; dimostrare che il gruppo Z Z m è u gruppo ciclico. Soluzioe. Per l esercizio è sufficiete ragioare come el caso dell esercizio 3.6. Siao m, N. Sia G u gruppo e siao g, h G, g h = 1 G due elemeti tali che o(g) =, o(h) = m e g h = h g. Mostriamo che o(g h) = mcm(m, ). Da u lato è chiaro che o(g h) mcm(m, ) ifatti (g h) mcm(m,) = g mcm(m,) h mcm(m,) = 1 G Facciamo ora vedere che mcm(m, ) o(g h). Osserviamo che 1 G = (g h) o(g h) = g o(g h) h o(g h), i particolare deve risultare g o(g h) = 1 G e h o(g h) = 1 G che o(g h) e m o(g h); ma allora mcm(, m) o(g h). A questo puto risolvere l esercizio è molto semplice. Abbiamo u gruppo Z Z m abeliao. Prediamo (1, 0) e (0, 1). Il primo elemeto è u geeratore di Z ed ha ordie, metre il secodo è u geeratore di Z m ed ha ordie m. Osserviamo ioltre che (1, 0) (0, 1) = (0, 0) e duque e deduciamo che o((1, 1)) = mcm(m, ); ma stiamo suppoedo MCD(m, ) = 1 e pertato mcm(m, ) = m. D altra parte il gruppo Z Z m ha cardialità m e poiché (1, 1) < Z m è u sottogruppo della stessa cardialità del gruppo esso deve coicidere co il gruppo stesso, che pertato è ciclico geerato da (1, 1). Esercizio 8.2. Determiare le possibili strutture cicliche ed i possibili ordii degli elemeti di S 7. Soluzioe. Ricordiamo la defiizioe di struttura ciclica. Sia γ S 7. Sappiamo che γ può essere scritta come prodotto di cicli disgiuti. La struttura ciclica di γ è semplicemete u vettore co le lughezze i ordie crescete delle lughezze della sua scomposizioe i cicli disgiuti (cotate co le molteplicità i.e. (1 2)(3 4) ha struttura ciclica (2, 2)). Si osservi che se (k 1,.., k m ) è la struttura ciclica di u elemeto di S allora ecessariamete k k m. Teedo a mete queste cose ecco le possibili strutture cicliche di S 7 : Idetità. (1) Strutture cicliche coteeti almeo ua trasposizioe. (2) ; (2, 2) ; (2, 2, 2) ; (2, 3) ; (2, 2, 3) ; (2, 4) ; (2, 5) ; Strutture cicliche seza trasposizioi ma coteeti almeo u 3-ciclo. (3) ; (3, 3) ; (3, 4) ; Strutture cicliche coteeti solo k-cicli co k 4. (4) ; (5) ; (6) ; (7). Calcoliamo gli ordii degli elemeti corrispodeti ad ua data struttura ciclica; impropriamete scriverò o((k 1,.., k m )) per idicare l ordie di u geerico elemeto γ S 7 che ha (k 1,.., k m ) come struttura ciclica: o((k)) = k, o((2, 2)) = 2, o((2, 2, 2)) = 2, o((2, 3)) = 6, o((2, 2, 3)) = 6, o((2, 4)) = 4, o((2, 5)) = 10, o((3, 3)) = 3, o((3, 4)) = 12. Notare che per calcolare gli ordii degli elemeti abbiamo usato il fatto che cicli disgiuti commutao ed il fatto prelimiare dimostrato ell esercizio 8.1. Esercizio 8.3. Cosideriamo il gruppo diedrale D. Numeriamo da 1 ad i vertici (che chiameremo duque v 1,...,v ) dell -goo regolare, P, procededo i seso atiorario e deotiamo co l i il lato dell -goo regolare compreso tra v i e v i+1 per i = 1,.., 1 ed l il lato compreso tra v e v 1. Deotiamo co ρ 2π la rotazioe di 2π itoro all origie e deotiamo co σ l, i e σ v, i rispettivamete le 1

2 2 A.A ALGEBRA 1. FOGLIO 8 riflessioi rispetto agli assi dei lati l i e rispetto alle rette coteeti ov i (o è l origie del piao euclideo). (A) Dimostrare che se è dispari allora per j(i, ) uguale ad u rappresetate compreso tra 1 ed della classe resto modulo di i si ha: σ v, i = σ l, j(i,). (B) Dimostrare che se è dispari allora σ v, j(i,) σ v, i = ρ 2π metre σ v, i+1 σ v, i = ρ 4π. (C) Dimostrare che se è pari ogi {σ v, i, σ l,j } 2 i,j=1 costituisce u isieme di isometrie di P a due a due distite. Dimostrare che σ l, i σ v, i = ρ 2π. Soluzioe. Comiciamo co il puto (A). Si osservi che per dispari dato l -goo regolare, P, la bisettrice dell agolo relativo ad u vertice v coicide co la mediaa del lato opposto. L uica cosa da verificare duque è che, umerati vertici e lati di P come specificato el testo dell esercizio, si ha l j(i,) è effettivamete il lato opposto al vertice v i. Notiamo quidi che dato il vertice v i il lato opposto è l ( )-simo lato dopo v i (percorredo il poligoo i seso atiorario). Poiché la umerazioe dei lati va da 1 ad risulta che l idice da assegare al lato è u rappresetate compreso tra 1 ed del umero i+ 1 2, ovvero l idice j(i, ). Dato che l asse del segmeto l j(i,) coicide co la bisettrice di P el vertice v i e ricaviamo che σ l, j(i,) = σ vi. Per quato riguarda (B) otiamo che σ v,j(i,) è la riflessioe rispetto al vertice iiziale del lato l j(i,) ; d altra parte abbiamo dimostrato el puto (A) che σ l,j(i,) = σ v,i, pertato la composizioe σ v,j(i,) σ v,i può ache essere scritta come la composizioe σ v,j(i,) σ l,j(i,). Per dimostrare che quest ultima è uguale a ρ 2π ci è sufficiete provare che la coppia di vertici (v j(i,), v j(i,)+1 ) viee iviata dalla ostra trasformazioe i (v j(i,) 1, v j(i,) ), ifatti trattadosi di isometrie che fissao l origie è sufficiete sapere dove viee iviata ua coppia di vertici. Ora σ l,j(i,) (v j(i,) ) = v j(i,)+1 e σ l,j(i,) (v j(i,)+1 ) = v j(i,), compoedo quidi co σ v,j(i,) abbiamo che: (σ v,j(i,) σ l,j(i,) )(v j(i,) ) = σ v,j(i,) (v j(i,)+1 ) = v j(i,) 1 metre (σ v,j(i,) σ l,j(i,) )(v j(i,)+1 ) = σ v,j(i,) (v j(i,) ) = v j(i,). Duque l azioe di tale elemeto sulla coppia coicide co quella della trasformazioe ρ 2π i particolare le due trasformazioi coicidoo sulla tera di puti o allieati (o, v j(i,), v j(i,)+1 ); due isometrie del piao che coicidoo su tre puti o allieati soo la stessa isometria. Aalogamete si osserva che la trasformazioe σ v,i+1 σ v,i ivia la coppia (v i, v i+1 ) ella coppia (v i+2, v i+3 ) (verificate) e duque tale trasformazioe deve coicidere co la rotazioe di agolo 4π. Per quato riguarda (C) si osservi prelimiarmete che simmetrie relative a rette distite soo distite. Siccome per pari gli assi dei lati e le diagoali dei vertici soo distite si ha la prima affermazioe. Per quato riguarda la secoda basta osservare che la coppia di puti (v i, v i+1 ) viee iviata ella coppia (v i+1, v i+2 ) (verificate). Esercizio Cosideriamo l isieme F(R, R) l isieme delle fuzioi da R i R. Sia C 0 (R, R) il sottoisieme delle fuzioi cotiue da R i R. Deotiamo co + e le segueti operazioi: (f + g)(x) = f(x) + g(x), f, g F(R, R) (f g)(x) = f(g(x)), f, g F(R, R) (A) Dimostrare che su F(R, R) l operazioe o è distributiva rispetto alla somma. Verificare che esiste u uità i F(R, R) rispetto a tale prodotto. (B) Determiare l isieme degli ivertibili di F(R, R). (C) Verificare che C 0 (R, R) è u sottogruppo additivo chiuso rispetto al prodotto. (D) Verificare che l isieme F + delle fuzioi di F(R, R) a valori i R + è tale che F + F(R, R) F + ma che o è u sottogruppo rispetto alla somma. (E) Verificare che C R, l isieme delle fuzioi costati è u sottogruppo rispetto alla somma tale che C F(R, R) = F(R, R) C = C. Soluzioe. Nel puto (A) si chiede di verificare che l operazioe o è distributiva rispetto alla somma i F(R, R) ma che tale operazioe ammette u uità. Comiciamo dalla prima affermazioe: [f (g + h)](x) = f(g(x) + h(x)) f(g(x)) + f(h(x))

3 A.A ALGEBRA 1. FOGLIO 8 3 a meo che la fuzioe f o sia lieare. Si osservi che la composizioe ivece è distributiva a destra: [(f + g) h](x) = f(h(x)) + g(h(x)) L operazioe è chiaramete associativa su F(R, R) (verficate). Osserviamo ifie che la fuzioe 1 F : R R, 1 F (x) = x è l idetità di F(R, R) rispetto alla composizioe: (f 1 F )(x) = f(1 F (x)) = f(x) = 1 F (f(x)) = (1 F f)(x) Nel puto (B) si chiede di determiare l isieme degli ivertibili i F(R, R) rispetto all operazioe. Ua fuzioe f F(R, R) è ivertibile rispetto a se esiste ua fuzioe g F(R, R) tale che (f g) = (g f) = 1 F ovvero tale che f(g(x)) = g(f(x)) = x. Ua tale fuzioe esiste se e soltato se f è biettiva ed è precisamete l iversa f 1. Duque l isieme degli ivertibili di F(R, R) rispetto a è esattamete l isieme delle fuzioi biettive i F(R, R). Nel puto (C) viee chiesto di mostrare che C 0 (R, R) è u sottogruppo additivo chiuso rispetto alla composizioe. Ci vegoo i aiuto le ostre coosceze di calcolo. Sappiamo ifatti che se f, g C 0 (R, R) soo fuzioi cotiue allora f + g è ua fuzioe cotiua così come f; i particolare c 0 : R R, c 0 (x) 0, ovvero l elemeto eutro di (F(R, R), +) è i C 0 (R, R). Ne cocludiamo che C 0 (R, R) è u sottogruppo additivo di (F(R, R), +). Osserviamo che ache 1 F è i C 0 (R, R) ed ioltre f, g C 0 (R, R) implica che (f g) C 0 (R, R) (ci viee qui i soccorso qualche ozioe elemetare di Calcolo 1). Ne segue che l isieme C 0 (R, R) è chiuso rispetto alla composizioe. Ioltre per quato detto fio ad ora risulta chiaro che gli elemeti ivertibili di F(R, R) i C 0 (R, R) formao u sottogruppo moltiplicativo del gruppo degli ivertibili di F(R, R). Nel puto (D) si chiede di verificare che vale la seguete iclusioe F + F(R, R) F(R, R) ma che F + o è u sottogruppo rispetto alla somma. Questa secoda affermazioe è baalmete verificata: sia ifatti f F + ua fuzioe a valori positivi, allora f è ua fuzioe a valori egativi o ulli e pertato o è i F +. Osserviamo ivece che vale l iclusioe precedetemete citata: sia f F + e g F(R, R), allora (f g)(x) = f(g(x)) > 0 perché f(x) > 0 per ogi x R. I realtà vale proprio l uguagliaza come si può vedere compoedo co l elemeto 1 F. Puto (E). Si deota co C l isieme delle fuzioi costati: C = {c α c α (x) α, α R} Osserviamo che (c α +c β )(x) = c α (x)+c β (x) α+β = c α+β (x) e duque C è chiuso rispetto alla somma. Ioltre cotiee l elemeto eutro ovvero c 0 (x) 0 e duque è u sottogruppo di (F(R, R), +). Ifie si osservi che per ogi f F(R, R) si ha: f c α = c f(α), c α f = c α. Questo coclude l esercizio. Esercizio Sia A u aello (uitario). Siao I, J A due ideali e K 1, K 2 A due sottoaelli (ma o ideali). (A) Verificare che (I + K 1 ) è u sottoaello; (B) Dimostrare che K 1 + K 2 è u sottoaello se e soltato se (K 1 K 2 + K 2 K 1 ) K 1 + K 2 ; (C) Sia ora J K 1 e suppoiamo che (I + K 1 )/J = (I + J)/J. Dimostrare che allora K 1 /J è u sottoaello di I/J. Soluzioe. Comiciamo dal puto (A). Proviamo che I +K è u sottoaello; dalla teoria sappiamo che è u sottogruppo i quato somma di sottogruppi. Ioltre, I +K è chiuso rispetto alla moltiplicazioe: ifatti, sia a (I + K), duque a = i + k per opportui i I e k K, e sia i + k I + K u geerico elemeto, dove i I e k K. Se i I, allora i (i + k) = i i + ik I perché I è ideale, duque i particolare i (i + k) = i i + ik I I + K è u elemeto i I + K. Suppoiamo ivece che k K; allora k (i+k) = k i+k k I +K, perché k i I essedo I u ideale, metre k k K perché K è u sottoaello. La proprietà distributiva della somma rispetto alla moltiplicazioe permette di cocludere che a (i + k) = (i + k ) (i + k) = i (i + k) + k (i + k) I + K, da cui segue la tesi.

4 4 A.A ALGEBRA 1. FOGLIO 8 Passiamo alla dimostrazioe del puto (B). Suppoiamo che K 1 +K 2 sia u sottoaello; allora è chiuso per prodotto, duque per ogi k 1, k 1 K 1, k 2, k 2 K 2 si ha (k 1 + k 2) (k 1 + k 2 ) = k 1k 1 + k 1k 2 + k 2k 1 + k 2k 2 K 1 + K 2, da cui segue che k 1 k 2 +k 2 k 1 K 1 +K 2. Dall arbitrarietà della scelta di k 1, k 1, k 2, k 2 segue che K 1K 2 + K 2 K 1 K 1 + K 2. Dimostriamo il viceversa per assurdo, ovvero suppoiamo che K 1 K 2 + K 2 K 1 K 1 + K 2 e dimostriamo che i tal caso K 1 + K 2 o è u sottoaello. Se K 1 K 2 + K 2 K 1 K 1 + K 2, allora esistoo elemeti k 1, k 1 K 1 e k 2, k 2 K 2 tali che k 1 k 2 + k 2k 1 / K 1 + K 2. I tal caso, u calcolo aalogo a quello svolto el puto (A) mostra che gli elemeti k 1 + k 2 e k 1 + k 2 K 1 + K 2 soo tali che il loro prodotto o appartiee a K 1 + K 2, che duque o essedo chiuso rispetto a tale operazioe o è u sottoaello. Per quato riguarda il puto (C) osserviamo prelimiarmete che, per come soo defiite le operazioi el quoziete A/J, l isieme K 1 /J è u sottoaello di A/J. Duque l uica cosa da verificare è che K 1 /J I/J. Dalla relazioe (I + K 1 )/J = (I + J)/J segue che per ogi k 1 K 1, i I esistoo i I e j, j J tali che i + k 1 = i + j + j. Da questa relazioe segue che k 1 = i i + j + j, duque k i i mod (J), da cui per l arbitrarietà di k 1 K 1 si ha K 1 /J I/J. Esercizio Sia A u aello (uitario). Sia K A u sottoaello e siao I, J A due ideali. Suppoiamo che: (1) J K ; (2) (I + K)/I = (I + J)/I ; (3) I K = I J ; Dimostrare che allora K = J. Soluzioe. Poiché per il puto (1) si ha J K, per avere la tesi è sufficiete dimostrare l iclusioe K J. Sia duque k K; dalla codizioe (2) segue che per ogi i 1 I esistoo j J e i 2 I tali che k + i 1 j + i 2 mod I, ovvero esiste i I tale che k + i 1 = j + i 2 + i. Equivaletemete, k j = i 2 i 1 + i, duque k j I. D altra parte, k K e j J K, quidi k j K. Si deduce pertato che k j K I = I J J, i virtù dell ipotesi (3). Duque esiste j J tale che k j = j, da cui k = j j J. Dall arbitrarietà di k K si coclude che K J. Esercizio 8.7. Cosideriamo S 6. Defiiamo il seguete sottoisieme di S 6 : T 3 = {γ S 6 γ = (i 1 j 1 ) (i 2 j 2 ) (i 3 j 3 ) co {(i k j k )} 3 k=1 2-cicli disgiuti} (A) Mostrare che ogi trasposizioe di S 6 può essere scritta come prodotto di 3 elemeti di T 3 ; [Suggerimeto. Sfruttare u ragioameto aalogo a quello dell esercizio 7.4. (B)] (B) Utilizzare il puto (A) per dedurre che T 3 = S 6. Soluzioe. Il suggerimeto era quello di sfruttare l esercizio 7.4. (B). I quell esercizio veiva chiesto di dimostrare che vi era u sottogruppo ormale di S 4 isomorfo al gruppo di Klei; esso era idividuato dai prodotti di trasposizioi disgiute: (1 2) (3 4), (1 3) (2 4), (1 4) (2 3). Per quato riguarda il puto (A) possiamo osservare la cosa seguete: siao a, b, c, d, e, f umeri distiti compresi tra 1 e 6 allora vale la seguete: (a d) (b c) (e f) (a b) (c d) (e f) (a c) (b d) (e f) = (e f) I particolare è possibile otteere ogi trasposizioe come prodotto di tre elemeti ciascuo prodotto di tre trasposizioi disgiute, che era ciò che ci veiva chiesto di dimostrare el puto (A). Il puto (B) a questo puto è di facile soluzioe. Sappiamo ifatti dalla teoria che S è geerato dai suoi 2-cicli (le trasposizioi). Poiché ogi trasposizioe può essere scritta come prodotto di elemeti di T 3 e deduciamo che l isieme T 3 geera S 6.

5 A.A ALGEBRA 1. FOGLIO 8 5 N.B. Si osservi che tale argometo fuzioa per S i geerale: è ifatti acora possibile defiire T 3 ed aalogamete a quato fatto ell esercizio si può dimostrare che ogi trasposizioe di S può essere otteuta come prodotto di 3 elemeti i T 3. Esercizio Sia A u aello (uitario). Ricordiamo che a A è detto ilpotete se esiste N tale che a = 0 A. Dimostrare che se a A è ilpotete allora (1 A + a) A è ivertibile. [Suggerimeto. Come può essere espressa la somma di due poteze -sime?] Soluzioe. Suppoiamo che a A sia ilpotete; allora esiste N tale che a = 0 A. Ricordado la formula del biomio di Newto, possiamo scrivere: ( 1 ) 1 A = 1 A + 0 A = 1 A + a = (1 A + a) ( 1) i a i Ciò prova che l elemeto 1 i=0 ( 1)i a i è l iverso di (1 A + a). i=0 Defiizioe. Sia A u aello e sia K A u sottoaello di A. Il radicale di K i A, come l isieme degli elemeti a A per cui esiste m N tale che a m K. A K, è defiito Esercizio 8.9. Siao A, B due aelli e sia ϕ : A B u omomorfismo di aelli. Sia K u sottoaello di B. Mostrare che A ( ) ϕ 1 (K) = ϕ B 1 K. Soluzioe. Sia a A ϕ 1 (J); dalla defiizioe di radicale segue che esiste m N tale che: a m ϕ 1 (J) ϕ(a m ) J (ϕ(a)) m J ϕ(a) B J. Esercizio Sia A u aello (uitario) commutativo. Sia J u ideale di A. Dimostrare che A J è acora u ideale. Dimostrare che A A J = A J. Soluzioe. Comiciamo dimostrado che A J è u ideale di A. Cosideriamo quidi u elemeto a A ed u elemeto a A J tale che (a ) m = j J: (a a ) m = a m (a ) m = a m j J, pertato a a A J; per arbitrarietà dell elemeto a A ed a A J e segue che (A A J) A J. Essedo l aello A commutativo vale ache ( A J A) A J. Rimae solo da verificare che A J è u sottogruppo additivo di A. Osserviamo che 0 A J A J. Ora siao a 1, a 2 A J, e siao m 1, m 2 N tali che (a 1 )m 1 A J, (a 2 )m 2 A J. Sia M = max{m 1, m 2 } allora 2M ( ) 2M (a 1 + a 2) 2M = (a j 1) j (a 2) 2M j j=0 Per defiizioe di M risulta che, qualsiasi sia j risulta max{j ; 2M j} max{m 1, m 2 } e duque per ogi addedo della sommatoria si ha che uo tra (a 1 )j e (a 2 )2M j è i J. Essedo J u ideale e deduciamo che (a 1 )j (a 2 )2M j J e duque 2M ( 2M ) j=0 j (a 1 ) j (a 2 )2M j J, ovvero (a 1 + a 2 )2M J e quidi (a 1 + a 2 ) A J. Ifie se a A J si osservi che a A J. Ifatti se (a ) m J allora ( a ) m = ±(a ) m J. Questo coclude la dimostrazioe del fatto che A J è u ideale. Per quato riguarda l idetità A A J = A J abbiamo ivece: a A A J se e soltato se esiste m N tale che a m A J se e soltato se esiste N tale che (a m ) J se e soltato se a m J se e soltato se a A J.