5. Le tecniche di analisi multidimensionale e la segmentazione del mercato

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "5. Le tecniche di analisi multidimensionale e la segmentazione del mercato"

Transcript

1 5. Le tecniche di analisi multidimensionale e la segmentazione del mercato In questo capitolo Per definire gli obiettivi aziendali e approntare le relative strategie, ogni azienda deve poter conoscere le caratteristiche, i bisogni e i probabili comportamenti della clientela potenziale. Poiché caratteristiche e comportamenti risulteranno generalmente contraddistinti da un più o meno elevato grado di eterogeneità, saranno necessarie strategie diverse, specificamente indirizzate alle diverse tipologie di clientela potenziale. Con il termine segmentazione di mercato si intende il processo attraverso il quale le imprese suddividono la domanda in insiemi di clienti potenziali caratterizzati da elevata omogeneità all interno dei vari segmenti e sufficienti elementi di differenziazione tra i diversi segmenti. Il suo obiettivo è dunque quello di raggruppare insieme individui caratterizzati da funzioni di domanda il più possibile simili, in corrispondenza dei quali l azienda dovrà poi personalizzare l offerta di prodotti o servizi, differenziando e specializzando le strategie di marketing. Già negli studi di Chamberlin (933) si teorizza che, in un mercato caratterizzato dalla presenza di sub mercati che presentano differenti livelli di elasticità al prezzo, la massimizzazione del profitto può essere raggiunta definendo diverse politiche di fissazione del prezzo, stabilendo cioè prezzi più elevati nei segmenti meno elastici. Se si estende questo principio di adeguamento alle specifiche caratteristiche dei sub mercati anche alla definizione del prodotto, al packaging e confezionamento, alla comunicazione e distribuzione, risulta evidente come la segmentazione possa determinare effetti positivi sul risultato economico dell azienda. Questa teoria presuppone l assenza di informazione tra i diversi segmenti del mercato e l impossibilità per operatori terzi di acquistare il prodotto nei sub mercati dove il prezzo è minore e rivenderlo nei sub mercati più profittevoli. Poiché questo non si verifica nella maggior parte dei mercati moderni, è proprio l utilizzo congiunto della leva prezzo con le altre leve del marketing (prodotto, confezionamento, comunicazione e distribuzione) che consente di effettuare una differenziazione tale da giustificare differenze di prezzo. Spingendo al limite questa impostazione, ogni potenziale consumatore dovrebbe essere studiato come un segmento a se stante, in quanto portatore di specifici bisogni ed esigenze, ed essere fatto oggetto di una specifica strategia di marketing. Questo, però, è in pratica impossibile da attuare nella maggior parte delle situazioni, in quanto i costi di tale operazione supererebbero di gran lunga i benefici per l azienda. Si mettono allora insieme, in un segmento di domanda, potenziali consumatori con caratteristiche simili in modo da realizzare strategie di marketing rivolte a target di potenziali consumatori sufficientemente numerosi da assicurare una adeguata redditività. Alla domanda quanto simili devono essere i potenziali consumatori all interno di un segmento non è facile rispondere. Come si intuisce facilmente, e come si vedrà meglio nel Paragrafo 5.2, più elevata è l omogeneità interna richiesta ai vari segmenti, maggiore sarà il loro numero. Ed è altrettanto intuitivo che più i segmenti sono simili più elevata è la probabilità che una volta fatti oggetto di una medesima strategia di marketing le diverse unità che li compongono rispondano allo stesso modo. D altro canto, la richiesta che possiamo attenderci da parte di chi dovrà mettere a punto le differenti strategie è, invece, quella di contenere il numero di segmenti, in modo da limitare di conseguenza le alternative strategiche e quindi il costo. Dal punto di vista applicativo possiamo individuare due modalità di segmentazione: la segmentazione per omogeneità e la segmentazione per obiettivi. Segmentazione per omogeneità La segmentazione per omogeneità consiste nella individuazione dei diversi segmenti di domanda sulla base di un insieme di variabili osservate, senza presupporre l esistenza di un modello che studi

2 la loro dipendenza. Possiamo distinguere, in questo primo ambito, un approccio classico che prevede il ricorso alle tecniche di analisi dei gruppi, eventualmente precedute dall analisi fattoriale al fine di sintetizzare in macro elementi di scelta le variabili osservate, da un approccio flessibile che, attraverso l analisi congiunta, consente anche di valutare il livello di gradimento di profili di offerta innovativi, o comunque non presenti sul mercato. Segmentazione per obiettivi Nella segmentazione per obiettivi si suddivide la popolazione in sottopopolazioni utilizzando una determinata variabile (per esempio, la redditività della clientela o la sensibilità a campagne pubblicitarie) e si individua una serie di altre variabili (per esempio, le caratteristiche sociodemografiche o psicoattitudinali, i benefici attesi) che possono influire in maniera rilevante sulla variabile considerata. Si presuppone dunque l esistenza di un legame di dipendenza che lega una variabile (dipendente) a una serie di altre variabili (esplicative). Le tecniche utilizzate in questo caso sono la stima di un modello di regressione lineare multipla o di un modello logistico, la cui trattazione è stata oggetto del Capitolo 4. In questo capitolo vengono presentate alcune tra le tecniche di analisi statistica multivariata più utilizzate nelle analisi di segmentazione per omogeneità. Nel Paragrafo 5.2 vengono presentate le tecniche di raggruppamento delle unità statistiche che vanno sotto il nome di analisi dei gruppi. Si tratta di tecniche che consentono, come si desume dalla loro stessa denominazione, di raggruppare gli individui tra loro più simili in relazione a determinate caratteristiche, in modo da formare gruppi o segmenti caratterizzati da elevata omogeneità interna. Se si pensa a una matrice di dati del tipo di quelle descritte nel Capitolo 3, costituite da tante righe quanti sono gli individui analizzati e da tante colonne quante sono le variabili scelte per definire il profilo degli individui, l obiettivo delle tecniche di analisi dei gruppi è quello di ridurre la dimensionalità della matrice nel senso delle righe, attraverso l individuazione di gruppi di righe (individui) omogenee. Nei Paragrafi 5.3. e 5.4 vengono invece presentate le tecniche di analisi fattoriale e scaling multidimensionale che, invece, si propongono di ridurre la dimensionalità delle informazioni dal lato delle variabili, cioè delle colonne della matrice dei dati. La riduzione del numero delle variabili, preservando però la maggior parte del contenuto informativo della matrice di partenza, è questione altrettanto importante nelle analisi di segmentazione. Si pensi, per esempio, alla possibilità di rappresentare graficamente in un piano (su due dimensioni) e quindi con la possibilità di individuare visivamente le similarità tra le unità di un collettivo, mantenendo gran parte del contenuto informativo di, poniamo, 0 variabili osservate, alcune delle quali magari di tipo qualitativo. Nel Paragrafo 5.5 viene infine presentata l analisi congiunta, una tecnica che si applica sulle informazioni provenienti dal singolo individuo che ha l obiettivo di separare il contributo dei diversi attributi di un prodotto o servizio nel processo di scelta del consumatore. Nella trattazione delle varie tecniche, una specifica attenzione è rivolta alla possibilità di utilizzare anche variabili non quantitative, frequentemente chiamate in causa nelle applicazioni di analisi di mercato.

3 5. Analisi dei gruppi L analisi dei gruppi è l insieme delle tecniche statistiche che hanno come obiettivo quello di raggruppare un insieme di unità appartenenti a un collettivo in un certo numero di gruppi, sulla base della loro similarità in relazione a un insieme di variabili. I gruppi ottenuti devono cioè essere caratterizzati da un elevato grado di omogeneità interna delle unità statistiche a essi appartenenti e da una conseguente elevata disomogeneità tra i gruppi stessi. Le ragioni per cui tali tecniche statistiche vengono impiegate nelle analisi empiriche sono molteplici, dalla classificazione all analisi esplorativa dei dati. Come già accennato, nelle analisi di mercato tali tecniche trovano largo impiego nella segmentazione a posteriori del mercato. I dati di partenza ai quali applicare tali tecniche possono essere sia la matrice dei dati X np, sia la matrice delle distanze D nn, già presentate nel Capitolo 3. In entrambi i casi è di fondamentale importanza la scelta delle p variabili della matrice dei dati di base, dato che il raggruppamento delle n unità viene effettuato sulla base della loro omogeneità, misurata proprio sulle p variabili presenti nella matrice X o utilizzate per calcolare la matrice D. Sui criteri di scelta delle p variabili si rimanda ai prossimi paragrafi. Va tuttavia subito sottolineato che caratteristica comune di gran parte di queste tecniche statistiche è quella di consentire il raggruppamento delle unità omogenee in base a variabili di qualsiasi natura. Nella matrice dei dati possono cioè essere presenti variabili sia quantitative sia qualitative e, tra queste ultime, sia ordinali sia sconnesse. La presenza congiunta di variabili appartenenti alle diverse tipologie appena ricordate, è in effetti il caso più frequente che si riscontra nelle analisi di mercato. Nell ambito delle tecniche statistiche che costituiscono l analisi dei gruppi, una prima distinzione va fatta tra metodi gerarchici e metodi non gerarchici. I primi sono caratterizzati da una gerarchia di raggruppamento, nel senso che il raggruppamento finale viene ottenuto per passaggi successivi; si dividono in agglomerativi e divisivi. I metodi non gerarchici, al contrario, effettuano direttamente, attraverso l uso di procedure iterative, il raggruppamento delle unità nel numero desiderato di gruppi. I metodi gerarchici e non gerarchici possono essere utilizzati alternativamente o congiuntamente. 5.. I metodi gerarchici agglomerativi I metodi gerarchici agglomerativi sono così denominati perché procedono per agglomerazioni successive delle unità statistiche (individui). La procedura parte da n gruppi formati ciascuno da un solo individuo, per poi passare a n- gruppi, dei quali n-2 formati ancora da un solo individuo e formato da due individui; passa poi a n-2 gruppi, n-3, n-4, fino ad arrivare a un unico gruppo costituito da tutte le n unità statistiche del collettivo. vviamente, l obiettivo non è quello di arrivare a un unico gruppo costituito da tutte le unità, bensì quello di raggruppare le n unità in un certo numero (limitato) di gruppi. La scelta del numero di gruppi dovrà scaturire da un soddisfacente compromesso tra la necessità di mantenere una sufficiente omogeneità all interno dei gruppi e quella di tenere basso tale numero, in modo da evitare la proliferazione di differenti strategie di marketing. In dettaglio, i metodi gerarchici agglomerativi prevedono il seguente schema di raggruppamento. ) Si parte da n gruppi, ognuno dei quali è formato da una unità del collettivo. La distanza tra i gruppi è fornita dalla matrice delle distanze D nn : 0 d 2 d 3. d n 0 d 23. d 2n D =... d n-,n 0

4 2) Si ricerca il minimo valore all interno della matrice delle distanze (con l eccezione della diagonale principale che contiene tutti valori pari a zero). Esso identifica le due unità più simili, cioè quelle che presentano profili riga più omogenei nella matrice dei dati. Qualora ci siano più elementi della matrice con lo stesso valore di minimo se ne sceglie uno casualmente; le altre coppie troveranno aggregazione negli step appena successivi. 3) Si procede alla fusione delle unità corrispondenti a tale valore minimo. Poiché le unità oggetto di fusione non esistono più come soggetti singoli, vengono eliminate dalla matrice delle distanze D le due righe e le due colonne corrispondenti, ottenendo una nuova matrice delle distanze D n-2,n-2. 4) Si aggiunge una nuova riga e una nuova colonna che contiene le distanze tra il nuovo gruppo ottenuto dalla fusione dei due precedenti e tutte le altre unità che continuano a esistere singolarmente, in modo da ottenere una nuova matrice D n-,n-. 5) Si torna a eseguire lo step 2 e seguenti in modo iterativo, riducendo la matrice D di una unità a ogni iterazione, fino a quando si arriva alla configurazione finale costituita da un solo gruppo formato da tutte le n unità del collettivo preso in esame. Resta da chiarire il punto 4 del processo, cioè come ricalcolare, a ogni iterazione, la riga e la colonna della matrice che contengono le distanze tra il nuovo gruppo e tutti i preesistenti. A questo riguardo i metodi possibili sono diversi. Siano: C K : K-esimo gruppo (originariamente, k-esima unità) N K : numero di unità nel K-esimo gruppo (originariamente, N K =) D KL : misura di distanza tra il gruppo C K e il gruppo C L Si ipotizzi che D KL sia il minimo valore nella matrice delle distanze e dunque che i gruppi C K e C L vengano fusi in un unico gruppo chiamato C M. Metodo del legame singolo Le distanze tra il nuovo gruppo risultante dalla fusione e tutti i preesistenti, contenute nella nuova riga e nella nuova colonna della matrice D, sono definite come la distanza minore che, prima della fusione, avevano i gruppi oggetto di fusione con tutti gli altri gruppi. Indicato con J un generico gruppo preesistente, si ha cioè: D JM = min(d JK,D JL ) ltre alla semplicità di calcolo, tale metodo ha il vantaggio di essere poco sensibile ai valori anomali, riuscendo a isolarli in gruppi di una sola o di pochissime unità. Il limite principale consiste nel fatto di produrre gruppi tendenzialmente allungati (o a salsiccia ): una volta che si è creato un primo gruppo composto da due unità, proprio per il metodo di ricalcolo delle distanze, è più probabile che altre unità vadano ad aggiungersi a questo primo gruppo, formando un gruppo sempre più numeroso.

5 Esempio 5.2. (riprendere la matrice ottenuta con l esercizio 3.x) A C D E A D E C A 0 0,26 0,68 0,45 0,44 A 0 0,45 0,44 0,26 0 0, 0,39 0,68 D 0 0,82 0,39 C 0 0,52 0,9 E 0 0,9 D 0 0,82 C 0 E 0 A D CE D ACE A 0 0,45 0,26 D 0 0,39 D 0 0,39 ACE 0 CE 0 Metodo del legame completo Le distanze tra il nuovo gruppo risultante dalla fusione e tutti i preesistenti, che definiscono la nuova riga e la nuova colonna della matrice D, sono definite come le distanze maggiori che, prima della fusione, avevano i gruppi oggetto di fusione con tutti gli altri. Per il generico gruppo preesistente J si ha cioè: D JM = max(d JK,D JL ) A differenza del precedente, il metodo del legame completo risulta molto influenzato dalla presenza di valori anomali, tanto da suggerire una preventiva analisi ad hoc. Tende inoltre a produrre molti gruppi di dimensioni simili. Esempio (riprendere la matrice ottenuta con l esercizio 3.x) A C D E A D E C A 0 0,26 0,68 0,45 0,44 A 0 0,45 0,44 0,68 0 0, 0,39 0,68 D 0 0,82 0,52 C 0 0,52 0,9 E 0 0,68 D 0 0,82 C 0 E 0 D C AE C AED D 0 0,52 0,45 C 0 0,68 C 0 0,68 AED 0 AE 0 Metodo di McQuitty Le distanze tra il nuovo gruppo risultante dalla fusione e tutti i preesistenti sono definite come la media aritmetica semplice tra le distanze che, prima della fusione, avevano i gruppi oggetto di fusione con tutti gli altri gruppi. Per il generico gruppo preesistente J si ha cioè: D JM = (D JK + D JL ) / 2 Per le sue caratteristiche, quanto a vantaggi e svantaggi, questo metodo si colloca in posizione intermedia tra quello del legame singolo e quello del legame completo.

6 Esempio (riprendere la matrice ottenuta con l esercizio 3.x) A C D E A D E C A 0 0,26 0,68 0,45 0,44 A 0 0,45 0,44 0,47 0 0, 0,39 0,68 D 0 0,82 0,455 C 0 0,52 0,9 E 0 0,435 D 0 0,82 C 0 E 0 A D CE AD CE A 0 0,45 0,455 AD 0 0,54375 D 0 0,6325 CE 0 CE 0 Metodo del legame medio Le distanze tra il nuovo gruppo risultante dalla fusione e tutti i preesistenti sono definite come media aritmetica tra le distanze che, prima della fusione, avevano i gruppi oggetto di fusione con tutti gli altri gruppi, ponderata con le numerosità dei gruppi oggetto di fusione. Per il generico gruppo preesistente J si ha cioè: D JM = (D JK N K + D JL N L ) / N M Anche questo metodo si colloca in posizione intermedia, tra quello del legame singolo e quello del legame completo, per quanto attiene a vantaggi e svantaggi; inoltre tende a unire gruppi con bassa varianza interna e a produrre gruppi con varianza interna simile tra loro. Esempio (riprendere la matrice ottenuta con l esercizio 3.x) A C D E A D E C A 0 0,26 0,68 0,45 0,44 A 0 0,45 0,44 0,47 0 0, 0,39 0,68 D 0 0,82 0,455 C 0 0,52 0,9 E 0 0,435 D 0 0,82 C 0 E 0 A D CE AD CE A 0 0,45 0,46 AD 0 0,55 D 0 0,57 CE 0 CE 0 Come si evince dall Esempio 5.2.4, alla prima iterazione il metodo del legame medio coincide esattamente con il metodo di McQuitty in quanto tutti i gruppi preesistenti hanno dimensione unitaria. Altri metodi gerarchici agglomerativi si basano, invece che sulla matrice delle distanze, sulla matrice dei dati X contenente i profili delle unità secondo q variabili quantitative. Metodo del centroide La distanza tra i gruppi è posta pari alla distanza tra i centroidi o baricentri, costituiti dai valori medi delle p variabili considerate, calcolati sulle unità appartenenti ai gruppi. Anche in questo caso vengono fusi i gruppi che presentano distanza minima. Il metodo del centroide risulta più robusto in

7 relazione ai valori anomali rispetto alla maggior parte dei metodi gerarchici. La necessità che tutte le variabili della matrice X siano quantitative rende il metodo del centroide meno frequentemente applicabile nelle analisi di mercato, che, come si è detto, fanno spesso riferimento a dati misti, composti cioè da variabili sia quantitative sia qualitative. Inoltre, mentre per i primi tre metodi analizzati il livello di distanza a cui avvengono le fusioni successive risulta sempre non decrescente, il metodo del centroide può dar luogo a fusioni successive con livelli di distanza decrescenti. Figura 5.2. Esempio di applicazione del metodo del centroide nel caso di due dimensioni (p=2).

8 Metodo di Ward Il metodo di Ward si basa sulla scomposizione della devianza totale in devianza entro i gruppi e devianza tra i gruppi. A ogni iterazione viene considerata l unione di tutte le possibili coppie di gruppi e viene fusa la coppia che dà luogo alla minore varianza entro i gruppi. ltre al limite derivante dalla possibilità di analizzare solo variabili quantitative, il metodo risulta molto oneroso dal punto di vista computazionale e tende a produrre gruppi di dimensioni pressoché analoghe. Altri metodi gerarchici agglomerativi sono basati su stime non parametriche della densità di probabilità. Per una loro esauriente trattazione si veda Fabbris (990). Il processo di fusione realizzato impiegando uno dei metodi appena descritti può essere rappresentato graficamente attraverso il dendrogramma, un grafico che riporta sull asse orizzontale, non quantitativo, le unità che partecipano al processo di fusione, e sull asse verticale il livello di distanza a cui avviene la fusione tra i diversi gruppi che si vengono formando per agglomerazioni successive. Dall esame del dendrogramma è possibile ricavare utili indicazioni riguardo al numero dei gruppi da considerare. Aggregazioni che nel dendrogramma avvengono molto in alto, cioè a un livello di distanza elevato, si riferiscono a gruppi non omogenei al loro interno. Di conseguenza, se le unità che li compongono vengono fatte oggetto di un unica strategia di marketing studiata per quel gruppo, verosimilmente si otterranno risposte eterogenee, vanificando parte degli obiettivi dell analisi. È dunque consigliabile fermare il processo di aggregazione a un livello di distanza minore, identificando un più elevato numero di gruppi caratterizzati da una sufficiente omogeneità interna. La conseguenza sarà dover studiare un numero maggiore di strategie differenti, ma con la fondata prospettiva che le unità destinatarie risponderanno in modo analogo alla strategia proposta. Figura Dendrogrammi relativi agli esempi 5.2. e seguenti.

9 d C E A D unità legame singolo d C E A D unità legame completo

10 d C E A D unità McQuitty d C E A D unità Legame medio 5..2 I metodi gerarchici divisivi I metodi gerarchici divisivi seguono il percorso esattamente inverso rispetto a quello che caratterizza i metodi agglomerativi. Il punto di partenza, infatti, è un unico gruppo formato da tutte le n unità e si procede per divisioni successive: dapprima in 2 gruppi, poi il più eterogeneo dei due viene a sua volta diviso in due, e cosi via fino ad arrivare a n gruppi formati ciascuno da una unità. Al primo passo esistono 2 n- - possibili soluzioni per cui si tratta spesso di metodi molto onerosi dal punto di vista computazionale. Nel seguito vengono descritti i due metodi divisivi più comunemente impiegati. Anche in questo caso si tratta di decidere a quale livello di disaggregazione ci si deve fermare.

11 Metodi basati sulla distanza tra centroidi Questi metodi richiedono la disponibilità della matrice dei dati X composta da sole variabili quantitative e si articolano nei seguenti punti: ) al primo passo, quando si tratta di dividere le n unità in 2 gruppi, tra tutte le 2 n- - possibili soluzioni viene scelta quella che minimizza la somma delle devianze interne ai 2 gruppi; si tratta quindi di minimizzare la funzione: SD = g, i, h ( g x ih g x i ) 2 dove g x ih è il valore della variabile x h osservata presso l unità i-esima appartenente al gruppo g, con g =, 2; i =, 2,.., n g ; h =, 2,.., p; 2) a ogni passo successivo si individua il gruppo che presenta la massima devianza interna e si scinde in due sottogruppi replicando il passo. Questi metodi sono molto onerosi dal punto di vista computazionale e non sono applicabili in caso di variabili non solo quantitative; inoltre hanno il limite di produrre gruppi tendenzialmente di uguale numerosità. Metodi basati sui punti nodali Rispetto ai metodi basati sulla distanza tra centroidi, quelli basati sui punti nodali risultano molto meno onerosi dal punto di vista computazionale e possono essere utilizzati a partire dalla matrice delle distanze; il loro utilizzo è dunque esteso a matrici dei dati con variabili di qualsiasi tipologia. Il metodo consiste nell individuare, al primo passo, le due unità più distanti tra loro, che vengono identificate come nodi; tutte le altre unità vengono assegnate ai due nodi sulla base della distanza minima. Successivamente si ripete l operazione sui due gruppi appena costituiti e così via fino all ottenimento di n gruppi. Esempio (riprendere la matrice ottenuta con l esercizio 3.x)

12 A C D E A 0 0,26 0,68 0,45 0,44 0 0, 0,39 0,68 C 0 0,52 0,9 D 0 0,82 E 0 I punti nodali sono A e C; A D C E A 0 0,45 C 0 0, 0,9 D 0 0 0,68 E 0 Divido A e D I punti nodali sono ed E A D E C 0 0, C 0 Divido e C Stato iniziale: Iterazione Iterazione 2 Iterazione 3 gruppo composto da A,,C,D,E gruppo composto da A,D gruppo 2 composto da,c,e gruppo composto da A gruppo 2 composto da D gruppo 3 composto da E gruppo 4 composto da,c gruppo composto da A gruppo 2 composto da D gruppo 3 composto da E gruppo 4 composto da gruppo 5 composto da C 5..3 I metodi non gerarchici Gli algoritmi di tipo non gerarchico mirano a classificare le n unità statistiche in un numero prefissato di gruppi, senza effettuare agglomerazioni o divisioni successive. Richiedono quindi che il numero dei gruppi sia specificato a priori dal ricercatore, mentre nei metodi gerarchici la scelta ottimale del numero dei gruppi può essere fatta a posteriori sulla base del dendrogramma e di alcuni indicatori. Questi metodi necessitano di una matrice dei dati X costituita da sole variabili quantitative. Si tratta ancora di metodi iterativi, nel senso che, effettuato un raggruppamento provvisorio, a ogni iterazione successiva viene modificato per ottimizzare una funzione obiettivo; il sistema si ferma quando non sono possibili ulteriori miglioramenti. L algoritmo più utilizzato nell ambito dei metodi non gerarchici è quello denominato k-means. Il primo passo di tale metodo consiste nello specificare k punti iniziali, o seed, nello spazio p- dimensionale: un punto iniziale per ciascun gruppo da formare. gnuna delle n unità viene quindi provvisoriamente assegnata a uno di tali gruppi sulla base del seed più vicino. Vengono quindi calcolati i baricentri o centroidi dei gruppi provvisoriamente costituiti, cioè i valori medi delle p variabili nei gruppi, e si procede a riallocare tutte le unità al loro nuovo gruppo di appartenenza sulla base del centroide più vicino. Si procede in modo iterativo a ricalcolare i centroidi e riallocare

13 le unità fino a che non si raggiunge una configurazione stabile, ossia fino a che tutte le unità vengono riassegnate allo stesso gruppo del passo precedente. L utilizzo di questi algoritmi richiede una preventiva analisi della matrice dei dati al fine di valutare l opportunità di eventuali standardizzazioni delle variabili, poiché variabili con varianza maggiore tendono ad avere maggiore importanza nella formazione dei gruppi rispetto a variabili con varianza minore. In pratica, come già visto nel Capitolo 3, la standardizzazione delle variabili si rende necessaria ogni qual volta si ha a che fare con variabili espresse in unità di misura diverse. Si pensi, per esempio, al caso in cui si dispone di 2 variabili come il numero di figli e il reddito annuo espresso in euro; in assenza di standardizzazione, il raggruppamento verrebbe effettuato in modo pressoché esclusivo sulla base della variabile reddito. Ma in alcuni casi si ritiene opportuno standardizzare le variabili di partenza anche quando sono espresse nella stessa unità di misura; è il caso, per esempio, della variabile reddito annuo a prezzi correnti in periodi diversi, o di valutazioni, espresse con un punteggio da uno a dieci per diverse caratteristiche di un prodotto o servizio. Nel primo caso la perdita di potere di acquisto della moneta assegnerebbe una importanza maggiore alla variabile reddito relativa agli anni più recenti, mentre nel secondo avrebbero importanza maggiore quelle caratteristiche per cui è più marcata la tendenza degli intervistati a sbilanciarsi con giudizi molto positivi o molto negativi rispetto alle altre. Figura Applicazione del metodo k-means nel caso di due dimensioni (p = 2) e due gruppi. Dati di partenza

14 Si inseriscono i due seed e si assegnano le unità Si calcolano i centroidi dei gruppi provvisori e si riassegnano le unità Si ricalcolano i centroidi e si riassegnano le unità; non essendoci modifiche nel raggruppamento il processo termina

15 In alternativa al criterio del centroide più vicino, per la riallocazione delle unità tra i gruppi si può ricorrere alla scomposizione della devianza totale in devianza entro i gruppi e devianza tra i gruppi e procedere alla minimizzazione della funzione obiettivo, costituita dalla devianza entro i gruppi. Poiché i metodi non gerarchici prevedono l identificazione a priori dei k punti iniziali, a cui corrisponde una partizione iniziale, la soluzione finale risulterà in qualche modo dipendente non solo dalla preventiva scelta del numero di gruppi da ottenere, ma anche dalla scelta dei punti iniziali. Quest ultima potrà fondarsi su informazioni a priori che suggeriscono una particolare scelta ragionata o, più frequentemente, su punti casuali. In ogni caso, è buona norma ripetere l analisi utilizzando diversi punti iniziali e verificare la stabilità della soluzione finale. Questa si rivelerà piuttosto stabile al variare dei punti iniziali quando i gruppi risultano ben definiti e sufficientemente omogenei al loro interno, ovvero quando anche la scelta di k, cioè del numero dei gruppi da ottenere, era corretta. Al contrario, quando la popolazione di riferimento risulta piuttosto omogenea nelle p variabili considerate e non ammette partizioni ben definite, o quando il numero dei gruppi ben definiti nella popolazione non coincide con il numero di gruppi richiesto, la soluzione finale si rivelerà molto instabile, cioè variabile al variare dei k punti iniziali La scelta del metodo di raggruppamento e del numero ottimo di gruppi La scelta del metodo da utilizzare per realizzare una analisi di raggruppamento è operazione non semplice, che richiede una buona dose di esperienza. Ribadito che non esiste, in assoluto, un metodo migliore, una prima valutazione dovrà essere fatta sulla base della tipologia dei dati che si hanno a disposizione o che si intendono raccogliere. Se i dati di cui si dispone riguardano variabili qualitative o variabili miste, in parte quantitative e in parte qualitative, tutta una serie di metodi presentati nei paragrafi precedenti risulteranno, come già detto, inapplicabili. In questo caso la scelta può avvenire soltanto nell ambito dei metodi del legame singolo, del legame completo, di McQuitty, del legame medio o dei metodi gerarchici divisivi basati sui punti nodali. Tutti i predetti metodi consentono di scegliere il numero di gruppi a posteriori, il che rappresenta un indubbio vantaggio. In particolare, il metodo del legame completo trova larga applicazione e può fornire buoni risultati a patto che venga effettuata un analisi preliminare per identificare ed eliminare i valori anomali, per esempio attraverso l utilizzo preliminare del metodo del legame singolo. Quando la matrice dei dati X risulta tutta quantitativa la scelta si allarga a un numero molto maggiore di metodi utilizzabili. In questo caso, un operazione preliminare necessaria consiste nell analisi dei profili colonna per valutare la necessità di eventuali operazioni di standardizzazione delle variabili, per correggere il problema delle diverse unità di misura; per valutare l opportunità di trasformazioni di variabili, per tener conto della struttura delle correlazioni tra le variabili da utilizzare. In via generale si può affermare che i metodi gerarchici risultano maggiormente sensibili alla presenza di valori anomali e, soprattutto, non consentono di modificare una aggregazione effettuata a un passo precedente: una volta che due unità sono state unite in un gruppo, esse resteranno sempre nello stesso gruppo. I metodi non gerarchici non presentano questo problema, consentendo a due unità che sono state unite in un gruppo a un certo passo di trovarsi successivamente in gruppi diversi se ciò migliora il raggruppamento. I metodi non gerarchici richiedono però la preventiva indicazione del numero dei gruppi e la definizione dei punti iniziali. Una strategia di analisi spesso utilizzata consiste nel ricorrere prima a una analisi gerarchica per individuare il numero ottimale dei gruppi e i punti iniziali (definiti come medie di gruppo per i Quando si utilizzano i metodi non gerarchici o i metodi gerarchici che prevedono la disponibilità della matrice dei dati X, due variabili con elevato grado di correlazione esprimono, verosimilmente, due aspetti dello stesso fenomeno latente. In questo caso inserire entrambe le variabili equivale ad assegnare una importanza doppia a tale fenomeno, solo per il fatto che esso è rappresentato, nella matrice dei dati, con due variabili anziché con una soltanto.

16 gruppi ottenuti) da assegnare poi in input a una analisi non gerarchica al fine di definire la soluzione finale. Una strategia alternativa può consistere nell effettuare una preliminare analisi non gerarchica specificando un elevato numero di gruppi al fine di individuare sia eventuali valori anomali (che la procedura riesce a enucleare, almeno quando si specifica un elevato numero di gruppi, in gruppi di una unità), sia i principali gruppi significativi dalle cui medie ricavare i punti iniziali da inserire in input in una nuova analisi non gerarchica. Una strategia ancora diversa può essere necessaria nel caso di data set composti da un grande numero di osservazioni, il che rende particolarmente onerose le analisi gerarchiche. Se si ritiene che l obiettivo dello studio richieda comunque analisi gerarchiche, queste possono essere fatte precedere da una analisi non gerarchica con il metodo k-means, che risulta molto più efficiente dal punto di vista delle risorse di calcolo, in modo da identificare un elevato numero di gruppi. L analisi gerarchica può essere poi applicata per raggruppare gerarchicamente i gruppi così ottenuti. Per quanto attiene alla scelta del numero ottimale di gruppi da ottenere, valgono alcune considerazioni di carattere generale. Come si è più volte rilevato, le applicazioni più frequenti dell analisi dei gruppi nelle analisi di mercato sono rivolte alla segmentazione a posteriori del mercato. In questi casi si è già accennato all interesse oggettivo di avere a che fare con un numero di gruppi contenuto in modo da evitare di disperdere le risorse, studiando un numero troppo elevato di strategie diverse. La scelta del numero di gruppi non potrà non tenere conto di questa esigenza, ma dovrà contemperarla con la necessità di individuare gruppi dotati di una sufficiente omogeneità interna, altrimenti possono risultare vanificate le stesse strategie di marketing. Dal punto di vista tecnico, la definizione del numero dei gruppi ottimale può essere effettuata, nei metodi gerarchici, esaminando i valori assunti dagli indici di distanza tra i due gruppi che si fondono a ogni passo successivo. In generale, valori di distanza elevati stanno a indicare che in quella fase della procedura stiamo unendo gruppi che sono piuttosto diversi tra loro. Un criterio di scelta può dunque essere fondato sulle differenze nella serie progressiva dei valori di distanza a cui vengono effettuate le aggregazioni, tenendo conto del fatto che quando si registrano differenze elevate si sta verificando una diminuzione rilevante della omogeneità interna dei gruppi che si vanno a formare. Un criterio di scelta è dunque quello di arrestare il processo di aggregazione immediatamente prima di uno di tali salti nella sequenza dei valori di distanza riportati nel dendrogramma. Quando si ha a che fare con variabili quantitative il criterio di scelta del numero di gruppi può essere fondato anche sull indicatore ottenuto rapportando ai diversi passi di aggregazione la devianza tra i gruppi alla devianza totale. Nel passo in cui tale indicatore subisce la riduzione relativa più consistente si stanno unendo gruppi molto eterogenei tra loro, per cui è opportuno fermare il processo al passo precedente L analisi dei gruppi in SAS Le principali procedure per l analisi dei gruppi in SAS sono le seguenti. PRC CLUSTER PRC TREE PRC FASTCLUS Per l analisi gerarchica con l uso dei diversi metodi disponibili Per realizzare il dendrogramma Per l analisi non gerarchica con l uso del metodo k-means

17 PRC CLUSTER La procedura può prendere in input alternativamente matrici di distanza o matrici di dati; in questo secondo caso calcola automaticamente le distanze euclidee con la possibilità di richiedere la standardizzazione delle variabili a media zero e varianza unitaria. In tutti i casi in cui si dispone di variabili non quantitative o in cui si voglia utilizzare misure di distanza diverse occorre prima calcolare la matrice delle distanze mediante l utilizzo della PRC DISTANCE e, successivamente, fornire in input alla PRC CLUSTER la matrice così ottenuta. Vi è anche la possibilità di controllare preventivamente i valori anomali ed escluderli dall analisi; tale opzione risulta particolarmente utile quando si utilizzano metodi molto sensibili alla presenza di valori anomali, come il metodo del legame completo. Illustriamo ora la sintassi della procedura iniziando dalle opzioni della PRC CLUSTER PRC CLUSTER DATA=nome(TYPE=DISTANCE) METHD= SIN legame singolo CM legame completo AVE legame medio CEN centroide WAR Ward MCQ McQuitty DEN Stime non parametriche della densità di probabilità STD TRIM=p Standardizza le variabili a media zero e varianza unitaria (solo con matrice dei dati) mette dall analisi le osservazioni con bassa densità di probabilità stimata p ammette valori da zero a 00; se p=0 la procedura omette il 0% delle osservazioni. UTTREE=nome Produce un sds di output che servirà alla PRC TREE per realizzare il dendrogramma. NNRM Esclude la normalizzazione a media unitaria degli indici di distanza I principali statement che si possono usare sono i seguenti. Y variabile Realizza tante analisi dei gruppi per ciascuna modalità assunta dalla variabile di Y. Richiede che il sds di input sia stato preventivamente ordinato sulla base della variabile di Y. ID variabile Identifica l osservazione con il nome contenuto nella variabile di ID sia nell output della procedura sia nel sds di UTTREE; in mancanza, identifica le osservazioni con un numero progressivo con cui sono presenti nella matrice dei dati o nella matrice delle distanze. VAR variabili Specifica l elenco delle variabili numeriche da utilizzare per il calcolo della matrice delle distanze; in mancanza utilizza tutte le variabili numeriche del sds di input. PRC TREE La procedura prende in input il sds creato con l opzione UTTREE della PRC CLUSTER e realizza il dendrogramma. La procedura può anche essere utilizzata per creare un sds di output contenente le osservazioni di partenza con l indicazione del gruppo di appartenenza a un determinato passo dell analisi. La sintassi fondamentale è la seguente. PRC TREE DATA=nome CLUSTER UT=nome NCL=n È il sds creato dall opzione UTTREE della PRC Crea un sds con le osservazioni assegnate al gruppo di appartenenza Specifica il numero di gruppi desiderato nel sds di output

18 Si può usare lo statement ID variabile per dare alle osservazioni il nome della variabile di ID. Esempio Riprendere la matrice ottenuta nell esempio 3.x e realizzare una analisi dei gruppi con il metodo del legame medio con il relativo dendrogramma Il programma che consente di ottenere l analisi dei gruppi è il seguente: * Esempio procedura cluster; data consu; input nome $ v v2 v3 v4 v5 ; cards; unitàa unità unitàc unitàd unitàe ; proc cluster data=consu(type=distance) method=ave outtree=gra nonorm; id nome; proc tree data=gra; id nome; run; L output della procedura è il seguente:! "#$%% & "#$&% " &#$'() %&"'#$')&"

19 0. 6 D i s t 0. 5 a n z a 0. 4 m e d i 0. 3 a t r a 0. 2 c l u 0. s t e r 0. 0 uni t àa uni t àe uni t à uni t àc uni t àd nome PRC FASTCLUS La procedura FASTCLUS realizza analisi non gerarchiche mediante l uso del metodo k-means. Prima di utilizzare la procedura FASTCLUS si raccomanda di effettuare analisi sui profili colonna della matrice dei dati al fine di valutare eventuali standardizzazioni delle variabili mediante l uso della PRC STANDARD. La sintassi fondamentale è la seguente. PRC FASTCLUS DATA=nome Indica il sds di input (la matrice dei dati). MAXCLUSTERS=n Indica il numero di gruppi che si vuole creare. MEAN=nome Crea un sds di output che contiene le media di gruppo e altre statistiche descrittive. UT=nome Crea un sds di output con le variabili originali oltre all indicazione del gruppo di appartenenza e della distanza dal centroide. SEED=nome Indica il sds di input che contiene le coordinate dei k punti iniziali; il sds deve contenere le stesse variabili del sds di input e un numero di osservazioni pari al numero di gruppi da ottenere indicato con l opzione MAXCLUSTERS=. LEAST=p La procedura minimizza la p-esima radice della media delle p-esime potenze delle differenze assolute tra le coordinate del punto e del baricentro. I principali statement che si possono usare sono i seguenti. Y variabile Realizza tante analisi dei gruppi per ciascuna modalità assunta dalle variabili di Y. Richiede che il sds di input sia stato preventivamente ordinato sulla base della variabile di Y.

20 WEIGHT variabile Richiede che nel calcolo dei baricentri dei gruppi vengano calcolate le medie aritmetiche ponderate delle p variabili utilizzando la variabile di WEIGHT. VAR variabili Specifica l elenco delle variabili numeriche da utilizzare per il calcolo della matrice delle distanze; in mancanza, utilizza tutte le variabili numeriche del sds di input. Esempio Applicazione dell analisi dei gruppi non gerarchica ai dati della Figura * Esempio procedura fastclus; data dati; input nome $ v v2; cards; A C 5 3 D 6 5 E 8 2 F 3 4 G ; data puntiin; input v v2; cards; ; proc fastclus data=dati seed=puntiin maxclusters=2 out=risu least=2 outseed=puntifin; proc print data=risu; proc print data=puntifin; run; **#+*"+*%#,*#$###%*" -,%,"... %%$#########/$######### "$#########$######### --*$"")% - 0, -%"... %"$%/(#$)#)(#$(""2 "%$&''#$%%&#$(#' &%$"&')##,-3 4$ 04*%$"&')

Principal Component Analysis

Principal Component Analysis Principal Component Analysis Alessandro Rezzani Abstract L articolo descrive una delle tecniche di riduzione della dimensionalità del data set: il metodo dell analisi delle componenti principali (Principal

Dettagli

Elementi di Statistica

Elementi di Statistica Elementi di Statistica Contenuti Contenuti di Statistica nel corso di Data Base Elementi di statistica descrittiva: media, moda, mediana, indici di dispersione Introduzione alle variabili casuali e alle

Dettagli

Principal Component Analysis (PCA)

Principal Component Analysis (PCA) Principal Component Analysis (PCA) Come evidenziare l informazione contenuta nei dati S. Marsili-Libelli: Calibrazione di Modelli Dinamici pag. Perche PCA? E un semplice metodo non-parametrico per estrarre

Dettagli

Parte 2. Determinante e matrice inversa

Parte 2. Determinante e matrice inversa Parte. Determinante e matrice inversa A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Determinante di una matrice, 1 Teorema di Cramer (caso particolare), 3 3 Determinante di una matrice

Dettagli

Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee

Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee Se a e b sono numeri interi, si dice che a divide b, in simboli: a b, se e solo se esiste c Z tale che b = ac. Si può subito notare che:

Dettagli

Matematica B - a.a 2006/07 p. 1

Matematica B - a.a 2006/07 p. 1 Matematica B - a.a 2006/07 p. 1 Definizione 1. Un sistema lineare di m equazioni in n incognite, in forma normale, è del tipo a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + + a 2n x n = b 2 (1) = a m1 x 1 + +

Dettagli

Accuratezza di uno strumento

Accuratezza di uno strumento Accuratezza di uno strumento Come abbiamo già accennato la volta scora, il risultato della misurazione di una grandezza fisica, qualsiasi sia lo strumento utilizzato, non è mai un valore numerico X univocamente

Dettagli

ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE

ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE 1 DIPENDENZA E INDIPENDENZA LINEARE Se ho alcuni vettori v 1, v 2,, v n in uno spazio vettoriale V, il sottospazio 1 W = v 1,, v n di V da loro generato è

Dettagli

METODO DEI MINIMI QUADRATI. Quest articolo discende soprattutto dai lavori di Deming, Press et al. (Numerical Recipes) e Jefferys.

METODO DEI MINIMI QUADRATI. Quest articolo discende soprattutto dai lavori di Deming, Press et al. (Numerical Recipes) e Jefferys. METODO DEI MINIMI QUADRATI GIUSEPPE GIUDICE Sommario Il metodo dei minimi quadrati è trattato in tutti i testi di statistica e di elaborazione dei dati sperimentali, ma non sempre col rigore necessario

Dettagli

ESERCIZI SVOLTI PER LA PROVA DI STATISTICA

ESERCIZI SVOLTI PER LA PROVA DI STATISTICA ESERCIZI SVOLTI PER LA PROVA DI STATISTICA Stefania Naddeo (anno accademico 4/5) INDICE PARTE PRIMA: STATISTICA DESCRITTIVA. DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA E FUNZIONE DI RIPARTIZIONE. VALORI CARATTERISTICI

Dettagli

Analisi delle Corrispondenze Multiple Prof. Roberto Fantaccione

Analisi delle Corrispondenze Multiple Prof. Roberto Fantaccione Analisi delle Corrispondenze Multiple Prof. Roberto Fantaccione Consideriamo il nostro dataset formato da 468 individui e 1 variabili nominali costituite dalle seguenti modalità : colonna D: Age of client

Dettagli

Dimensione di uno Spazio vettoriale

Dimensione di uno Spazio vettoriale Capitolo 4 Dimensione di uno Spazio vettoriale 4.1 Introduzione Dedichiamo questo capitolo ad un concetto fondamentale in algebra lineare: la dimensione di uno spazio vettoriale. Daremo una definizione

Dettagli

Dott.ssa Caterina Gurrieri

Dott.ssa Caterina Gurrieri Dott.ssa Caterina Gurrieri Le relazioni tra caratteri Data una tabella a doppia entrata, grande importanza riveste il misurare se e in che misura le variabili in essa riportata sono in qualche modo

Dettagli

STUDIO DI SETTORE SM43U

STUDIO DI SETTORE SM43U ALLEGATO 3 NOTA TECNICA E METODOLOGICA STUDIO DI SETTORE SM43U NOTA TECNICA E METODOLOGICA CRITERI PER LA COSTRUZIONE DELLO STUDIO DI SETTORE Di seguito vengono esposti i criteri seguiti per la costruzione

Dettagli

UTILIZZO DEI METODI MULTICRITERI O MULTIOBIETTIVI NELL OFFERTA ECONOMICAMENTE PIÙ VANTAGGIOSA. Filippo Romano 1

UTILIZZO DEI METODI MULTICRITERI O MULTIOBIETTIVI NELL OFFERTA ECONOMICAMENTE PIÙ VANTAGGIOSA. Filippo Romano 1 UTILIZZO DEI METODI MULTICRITERI O MULTIOBIETTIVI NELL OFFERTA ECONOMICAMENTE PIÙ VANTAGGIOSA Filippo Romano 1 1. Introduzione 2. Analisi Multicriteri o Multiobiettivi 2.1 Formule per l attribuzione del

Dettagli

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE 1. EQUAZIONI Definizione: un equazione è un uguaglianza tra due espressioni letterali (cioè in cui compaiono numeri, lettere

Dettagli

STUDIO DI UNA FUNZIONE

STUDIO DI UNA FUNZIONE STUDIO DI UNA FUNZIONE OBIETTIVO: Data l equazione Y = f(x) di una funzione a variabili reali (X R e Y R), studiare l andamento del suo grafico. PROCEDIMENTO 1. STUDIO DEL DOMINIO (CAMPO DI ESISTENZA)

Dettagli

RELAZIONE TRA DUE VARIABILI QUANTITATIVE

RELAZIONE TRA DUE VARIABILI QUANTITATIVE RELAZIONE TRA DUE VARIABILI QUANTITATIVE Quando si considerano due o più caratteri (variabili) si possono esaminare anche il tipo e l'intensità delle relazioni che sussistono tra loro. Nel caso in cui

Dettagli

Analisi statistica di dati biomedici Analysis of biologicalsignals

Analisi statistica di dati biomedici Analysis of biologicalsignals Analisi statistica di dati biomedici Analysis of biologicalsignals II Parte Verifica delle ipotesi (a) Agostino Accardo (accardo@units.it) Master in Ingegneria Clinica LM in Neuroscienze 2013-2014 e segg.

Dettagli

Metodi statistici per l economia (Prof. Capitanio) Slide n. 4. Materiale di supporto per le lezioni. Non sostituisce il libro di testo

Metodi statistici per l economia (Prof. Capitanio) Slide n. 4. Materiale di supporto per le lezioni. Non sostituisce il libro di testo Metodi statistici per l economia (Prof. Capitanio) Slide n. 4 Materiale di supporto per le lezioni. Non sostituisce il libro di testo Dipendenza di un carattere QUANTITATIVO da un carattere QUALITATIVO

Dettagli

Diaz - Appunti di Statistica - AA 2001/2002 - edizione 29/11/01 Cap. 3 - Pag. 1 = 1

Diaz - Appunti di Statistica - AA 2001/2002 - edizione 29/11/01 Cap. 3 - Pag. 1 = 1 Diaz - Appunti di Statistica - AA 2001/2002 - edizione 29/11/01 Cap. 3 - Pag. 1 Capitolo 3. L'analisi della varianza. Il problema dei confronti multipli. La soluzione drastica di Bonferroni ed il test

Dettagli

ANALISI DEI DATI CON SPSS

ANALISI DEI DATI CON SPSS STRUMENTI E METODI PER LE SCIENZE SOCIALI Claudio Barbaranelli ANALISI DEI DATI CON SPSS II. LE ANALISI MULTIVARIATE ISBN 978-88-7916-315-9 Copyright 2006 Via Cervignano 4-20137 Milano Catalogo: www.lededizioni.com

Dettagli

METODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARI

METODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARI METODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARI LUCIA GASTALDI 1. Metodi iterativi classici Sia A R n n una matrice non singolare e sia b R n. Consideriamo il sistema (1) Ax = b. Un metodo iterativo per la soluzione

Dettagli

Il concetto di valore medio in generale

Il concetto di valore medio in generale Il concetto di valore medio in generale Nella statistica descrittiva si distinguono solitamente due tipi di medie: - le medie analitiche, che soddisfano ad una condizione di invarianza e si calcolano tenendo

Dettagli

METODO DELLE FORZE 1. METODO DELLE FORZE PER LA SOLUZIONE DI STRUTTURE IPERSTATICHE. 1.1 Introduzione

METODO DELLE FORZE 1. METODO DELLE FORZE PER LA SOLUZIONE DI STRUTTURE IPERSTATICHE. 1.1 Introduzione METODO DELLE FORZE CORSO DI PROGETTZIONE STRUTTURLE a.a. 010/011 Prof. G. Salerno ppunti elaborati da rch. C. Provenzano 1. METODO DELLE FORZE PER L SOLUZIONE DI STRUTTURE IPERSTTICHE 1.1 Introduzione

Dettagli

Flusso a costo minimo e simplesso su reti

Flusso a costo minimo e simplesso su reti Flusso a costo minimo e simplesso su reti La particolare struttura di alcuni problemi di PL può essere talvolta utilizzata per la progettazione di tecniche risolutive molto più efficienti dell algoritmo

Dettagli

Compito di SISTEMI E MODELLI. 19 Febbraio 2015

Compito di SISTEMI E MODELLI. 19 Febbraio 2015 Compito di SISTEMI E MODELLI 9 Febbraio 5 Non é ammessa la consultazione di libri o quaderni. Le risposte vanno giustificate. Saranno rilevanti per la valutazione anche l ordine e la chiarezza di esposizione.

Dettagli

PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIANZA DELLE QUANTITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIONE CON I DATI OSSERVATI

PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIANZA DELLE QUANTITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIONE CON I DATI OSSERVATI statistica, Università Cattaneo-Liuc, AA 006-007, lezione del 08.05.07 IDICE (lezione 08.05.07 PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIAZA DELLE QUATITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIOE CO I DATI OSSERVATI 3.1 Valore

Dettagli

Sistemi di supporto alle decisioni Ing. Valerio Lacagnina

Sistemi di supporto alle decisioni Ing. Valerio Lacagnina Cosa è il DSS L elevato sviluppo dei personal computer, delle reti di calcolatori, dei sistemi database di grandi dimensioni, e la forte espansione di modelli basati sui calcolatori rappresentano gli sviluppi

Dettagli

Da una a più variabili: derivate

Da una a più variabili: derivate Da una a più variabili: derivate ( ) 5 gennaio 2011 Scopo di questo articolo è di evidenziare le analogie e le differenze, relativamente al calcolo differenziale, fra le funzioni di una variabile reale

Dettagli

Capitolo 9: PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI

Capitolo 9: PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI Capitolo 9: PROPAGAZIOE DEGLI ERRORI 9.1 Propagazione degli errori massimi ella maggior parte dei casi le grandezze fisiche vengono misurate per via indiretta. Il valore della grandezza viene cioè dedotto

Dettagli

su web che riportano documentazione e software dedicati agli argomenti trattati nel libro, riportandone, alla fine dei rispettivi capitoli, gli

su web che riportano documentazione e software dedicati agli argomenti trattati nel libro, riportandone, alla fine dei rispettivi capitoli, gli Prefazione Non è facile definire che cosa è un problema inverso anche se, ogni giorno, facciamo delle operazioni mentali che sono dei metodi inversi: riconoscere i luoghi che attraversiamo quando andiamo

Dettagli

4. Operazioni elementari per righe e colonne

4. Operazioni elementari per righe e colonne 4. Operazioni elementari per righe e colonne Sia K un campo, e sia A una matrice m n a elementi in K. Una operazione elementare per righe sulla matrice A è una operazione di uno dei seguenti tre tipi:

Dettagli

(accuratezza) ovvero (esattezza)

(accuratezza) ovvero (esattezza) Capitolo n 2 2.1 - Misure ed errori In un analisi chimica si misurano dei valori chimico-fisici di svariate grandezze; tuttavia ogni misura comporta sempre una incertezza, dovuta alla presenza non eliminabile

Dettagli

Minimizzazione di Reti Logiche Combinatorie Multi-livello

Minimizzazione di Reti Logiche Combinatorie Multi-livello Minimizzazione di Reti Logiche Combinatorie Multi-livello Maurizio Palesi Maurizio Palesi 1 Introduzione Obiettivo della sintesi logica: ottimizzazione delle cifre di merito area e prestazioni Prestazioni:

Dettagli

GeoGebra 4.2 Introduzione all utilizzo della Vista CAS per il secondo biennio e il quinto anno

GeoGebra 4.2 Introduzione all utilizzo della Vista CAS per il secondo biennio e il quinto anno GeoGebra 4.2 Introduzione all utilizzo della Vista CAS per il secondo biennio e il quinto anno La Vista CAS L ambiente di lavoro Le celle Assegnazione di una variabile o di una funzione / visualizzazione

Dettagli

EQUAZIONI non LINEARI

EQUAZIONI non LINEARI EQUAZIONI non LINEARI Francesca Pelosi Dipartimento di Matematica, Università di Roma Tor Vergata CALCOLO NUMERICO e PROGRAMMAZIONE http://www.mat.uniroma2.it/ pelosi/ EQUAZIONI non LINEARI p.1/44 EQUAZIONI

Dettagli

RELAZIONE TRA VARIABILI QUANTITATIVE. Lezione 7 a. Accade spesso nella ricerca in campo biomedico, così come in altri campi della

RELAZIONE TRA VARIABILI QUANTITATIVE. Lezione 7 a. Accade spesso nella ricerca in campo biomedico, così come in altri campi della RELAZIONE TRA VARIABILI QUANTITATIVE Lezione 7 a Accade spesso nella ricerca in campo biomedico, così come in altri campi della scienza, di voler studiare come il variare di una o più variabili (variabili

Dettagli

Esercizi svolti sui numeri complessi

Esercizi svolti sui numeri complessi Francesco Daddi - ottobre 009 Esercizio 1 Risolvere l equazione z 1 + i = 1. Soluzione. Moltiplichiamo entrambi i membri per 1 + i in definitiva la soluzione è z 1 + i 1 + i = 1 1 + i z = 1 1 i. : z =

Dettagli

ALGEBRA I: NUMERI INTERI, DIVISIBILITÀ E IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA

ALGEBRA I: NUMERI INTERI, DIVISIBILITÀ E IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA ALGEBRA I: NUMERI INTERI, DIVISIBILITÀ E IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA 1. RICHIAMI SULLE PROPRIETÀ DEI NUMERI NATURALI Ho mostrato in un altra dispensa come ricavare a partire dagli assiomi di

Dettagli

LEZIONE 14. a 1,1 v 1 + a 1,2 v 2 + a 1,3 v 3 + + a 1,n 1 v n 1 + a 1,n v n = w 1

LEZIONE 14. a 1,1 v 1 + a 1,2 v 2 + a 1,3 v 3 + + a 1,n 1 v n 1 + a 1,n v n = w 1 LEZIONE 14 141 Dimensione di uno spazio vettoriale Abbiamo visto come l esistenza di una base in uno spazio vettoriale V su k = R, C, permetta di sostituire a V, che può essere complicato da trattare,

Dettagli

Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero

Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero Giacomo Pagina Giovanna Patri Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero 1 per la Scuola secondaria di secondo grado UNITÀ CMPIONE Edizioni del Quadrifoglio à t i n U 1 Insiemi La teoria degli

Dettagli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli A. Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Rango di una matrice, 2 Teorema degli orlati, 3 3 Calcolo con l algoritmo di Gauss, 6 4 Matrici

Dettagli

Ricerca Operativa Branch-and-Bound per problemi di Programmazione Lineare Intera

Ricerca Operativa Branch-and-Bound per problemi di Programmazione Lineare Intera Ricerca Operativa Branch-and-Bound per problemi di Programmazione Lineare Intera L. De Giovanni AVVERTENZA: le note presentate di seguito non hanno alcuna pretesa di completezza, né hanno lo scopo di sostituirsi

Dettagli

Cristian Secchi Pag. 1

Cristian Secchi Pag. 1 CONTROLLI DIGITALI Laurea Magistrale in Ingegneria Meccatronica SISTEMI A TEMPO DISCRETO Ing. Tel. 0522 522235 e-mail: cristian.secchi@unimore.it http://www.dismi.unimo.it/members/csecchi Richiami di Controlli

Dettagli

ESTRAZIONE DI RADICE

ESTRAZIONE DI RADICE ESTRAZIONE DI RADICE La radice è l operazione inversa dell elevamento a potenza. L esponente della potenza è l indice della radice che può essere: quadrata (); cubica (); quarta (4); ecc. La base della

Dettagli

4. Confronto tra medie di tre o più campioni indipendenti

4. Confronto tra medie di tre o più campioni indipendenti BIOSTATISTICA 4. Confronto tra medie di tre o più campioni indipendenti Marta Blangiardo, Imperial College, London Department of Epidemiology and Public Health m.blangiardo@imperial.ac.uk MARTA BLANGIARDO

Dettagli

Numeri reali. Funzioni e loro grafici

Numeri reali. Funzioni e loro grafici Argomento Numeri reali. Funzioni e loro grafici Parte B - Funzioni e loro grafici Funzioni reali di variabile reale Definizioni. Supponiamo che A sia un sottoinsieme di R e che esista una legge che ad

Dettagli

Classificazioni dei sistemi di produzione

Classificazioni dei sistemi di produzione Classificazioni dei sistemi di produzione Sistemi di produzione 1 Premessa Sono possibili diverse modalità di classificazione dei sistemi di produzione. Esse dipendono dallo scopo per cui tale classificazione

Dettagli

Applicazioni dell'analisi in più variabili a problemi di economia

Applicazioni dell'analisi in più variabili a problemi di economia Applicazioni dell'analisi in più variabili a problemi di economia La diversità tra gli agenti economici è alla base della nascita dell attività economica e, in generale, lo scambio di beni e servizi ha

Dettagli

VC-dimension: Esempio

VC-dimension: Esempio VC-dimension: Esempio Quale è la VC-dimension di. y b = 0 f() = 1 f() = 1 iperpiano 20? VC-dimension: Esempio Quale è la VC-dimension di? banale. Vediamo cosa succede con 2 punti: 21 VC-dimension: Esempio

Dettagli

Text mining ed analisi di dati codificati in linguaggio naturale. Analisi esplorative di dati testualilezione

Text mining ed analisi di dati codificati in linguaggio naturale. Analisi esplorative di dati testualilezione Text mining ed analisi di dati codificati in linguaggio naturale Analisi esplorative di dati testualilezione 2 Le principali tecniche di analisi testuale Facendo riferimento alle tecniche di data mining,

Dettagli

GEOMETRIA I Corso di Geometria I (seconda parte)

GEOMETRIA I Corso di Geometria I (seconda parte) Corso di Geometria I (seconda parte) anno acc. 2009/2010 Cambiamento del sistema di riferimento in E 3 Consideriamo in E 3 due sistemi di riferimento ortonormali R e R, ed un punto P (x, y, z) in R. Lo

Dettagli

Consideriamo due polinomi

Consideriamo due polinomi Capitolo 3 Il luogo delle radici Consideriamo due polinomi N(z) = (z z 1 )(z z 2 )... (z z m ) D(z) = (z p 1 )(z p 2 )... (z p n ) della variabile complessa z con m < n. Nelle problematiche connesse al

Dettagli

STATISTICA (A-K) a.a. 2007-08 Prof.ssa Mary Fraire Test di STATISTICA DESCRITTIVA Esonero del 2007

STATISTICA (A-K) a.a. 2007-08 Prof.ssa Mary Fraire Test di STATISTICA DESCRITTIVA Esonero del 2007 A STATISTICA (A-K) a.a. 007-08 Prof.ssa Mary Fraire Test di STATISTICA DESCRITTIVA Esonero del 007 STESS N.O. RD 00 GORU N.O. RD 006 ) La distribuzione del numero degli occupati (valori x 000) in una provincia

Dettagli

MATRICI E DETERMINANTI

MATRICI E DETERMINANTI MATRICI E DETERMINANTI 1. MATRICI Si ha la seguente Definizione 1: Un insieme di numeri, reali o complessi, ordinati secondo righe e colonne è detto matrice di ordine m x n, ove m è il numero delle righe

Dettagli

LA CORRELAZIONE LINEARE

LA CORRELAZIONE LINEARE LA CORRELAZIONE LINEARE La correlazione indica la tendenza che hanno due variabili (X e Y) a variare insieme, ovvero, a covariare. Ad esempio, si può supporre che vi sia una relazione tra l insoddisfazione

Dettagli

errore I = numero soggetti (I = 4) K = numero livelli tratt. (K = 3) popolazione varianza dovuta ai soggetti trattamento

errore I = numero soggetti (I = 4) K = numero livelli tratt. (K = 3) popolazione varianza dovuta ai soggetti trattamento Analisi della varianza a una via a misure ripetute (Anova con 1 fattore within) modello strutturale dell'analisi della varianza a misure ripetute con 1 fattore: y = μ ik 0 +π i +α k + ik ε ik interazione

Dettagli

COME MASSIMIZZARE UNA FUNZIONE DI UTILITÀ

COME MASSIMIZZARE UNA FUNZIONE DI UTILITÀ icroeconomia Douglas Bernheim, ichael Whinston Copyright 009 The cgraw-hill Companies srl COE ASSIIZZARE UNA FUNZIONE DI UTILITÀ Supponiamo che il reddito mensile di Elena sia pari a Y e sia interamente

Dettagli

di4g: Uno strumento di clustering per l analisi integrata di dati geologici

di4g: Uno strumento di clustering per l analisi integrata di dati geologici di4g: Uno strumento di clustering per l analisi integrata di dati geologici Alice Piva 1, Giacomo Gamberoni 1, Denis Ferraretti 1, Evelina Lamma 2 1 intelliware snc, via J.F.Kennedy 15, 44122 Ferrara,

Dettagli

ESAME DI STATO 2010 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO

ESAME DI STATO 2010 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO Archimede ESAME DI STATO SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO ARTICOLO Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. Sia ABCD un quadrato di

Dettagli

+ / operatori di confronto (espressioni logiche/predicati) / + 5 3 9 = > < Pseudo codice. Pseudo codice

+ / operatori di confronto (espressioni logiche/predicati) / + 5 3 9 = > < Pseudo codice. Pseudo codice Pseudo codice Pseudo codice Paolo Bison Fondamenti di Informatica A.A. 2006/07 Università di Padova linguaggio testuale mix di linguaggio naturale ed elementi linguistici con sintassi ben definita e semantica

Dettagli

Esempi di algoritmi. Lezione III

Esempi di algoritmi. Lezione III Esempi di algoritmi Lezione III Scopo della lezione Implementare da zero algoritmi di media complessità. Verificare la correttezza di un algoritmo eseguendolo a mano. Imparare a valutare le prestazioni

Dettagli

LA MOLTIPLICAZIONE IN PRIMA ELEMENTARE

LA MOLTIPLICAZIONE IN PRIMA ELEMENTARE LA MOLTIPLICAZIONE IN PRIMA ELEMENTARE E bene presentarla confrontando tra loro varie tecniche: addizione ripetuta; prodotto combinatorio (schieramenti). Rispetto a quest'ultima tecnica, grande utilità

Dettagli

Se x* e punto di minimo (locale) per la funzione nell insieme Ω, Ω = { x / g i (x) 0 i I, h j (x)= 0 j J } lo e anche per F(x) = f o (x) + c x x 2

Se x* e punto di minimo (locale) per la funzione nell insieme Ω, Ω = { x / g i (x) 0 i I, h j (x)= 0 j J } lo e anche per F(x) = f o (x) + c x x 2 NLP -OPT 1 CONDIZION DI OTTIMO [ Come ricavare le condizioni di ottimo. ] Si suppone x* sia punto di ottimo (minimo) per il problema min f o (x) con vincoli g i (x) 0 i I h j (x) = 0 j J la condizione

Dettagli

1) IL MOMENTO DI UNA FORZA

1) IL MOMENTO DI UNA FORZA 1) IL MOMENTO DI UNA FORZA Nell ambito dello studio dei sistemi di forze, diamo una definizione di momento: il momento è un ente statico che provoca la rotazione dei corpi. Le forze producono momenti se

Dettagli

Appunti di Statistica

Appunti di Statistica Appunti di Statistica Riccardo Ricci Università di Firenze, Facoltà di Psicologia Corso di Laurea in Scienze e Tecniche di Psicologia del Lavoro e delle Organizzazioni Anno Accademico 2002-2003 1 maggio

Dettagli

IV-1 Funzioni reali di più variabili

IV-1 Funzioni reali di più variabili IV- FUNZIONI REALI DI PIÙ VARIABILI INSIEMI IN R N IV- Funzioni reali di più variabili Indice Insiemi in R n. Simmetrie degli insiemi............................................ 4 2 Funzioni da R n a R

Dettagli

Indice generale. Modulo 1 Algebra 2

Indice generale. Modulo 1 Algebra 2 Indice generale Modulo 1 Algebra 2 Capitolo 1 Scomposizione in fattori. Equazioni di grado superiore al primo 1.1 La scomposizione in fattori 2 1.2 Raccoglimento a fattor comune 3 1.3 Raccoglimenti successivi

Dettagli

Studente: SANTORO MC. Matricola : 528

Studente: SANTORO MC. Matricola : 528 CORSO di LAUREA in INFORMATICA Corso di CALCOLO NUMERICO a.a. 2004-05 Studente: SANTORO MC. Matricola : 528 PROGETTO PER L ESAME 1. Sviluppare una versione dell algoritmo di Gauss per sistemi con matrice

Dettagli

UN CASO CONCRETO DI VALUTAZIONE DELLA SODDISFAZIONE DEL CLIENTE

UN CASO CONCRETO DI VALUTAZIONE DELLA SODDISFAZIONE DEL CLIENTE Tratto dal corso Ifoa UN CASO CONCRETO DI VALUTAZIONE DELLA SODDISFAZIONE DEL CLIENTE Recentemente, si sono sviluppati numerosi modelli finalizzati a valutare e a controllare il livello di soddisfazione

Dettagli

Funzioni di più variabili. Ottimizzazione libera e vincolata

Funzioni di più variabili. Ottimizzazione libera e vincolata libera e vincolata Generalità. Limiti e continuità per funzioni di 2 o Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor libera vincolata Lo ordinario è in corrispondenza biunivoca con i vettori di

Dettagli

Il simbolo. è è = = = In simboli: Sia un numero naturale diverso da zero, il radicale. Il radicale. esiste. esiste 0 Il radicale

Il simbolo. è è = = = In simboli: Sia un numero naturale diverso da zero, il radicale. Il radicale. esiste. esiste 0 Il radicale Radicali 1. Radice n-esima Terminologia Il simbolo è detto radicale. Il numero è detto radicando. Il numero è detto indice del radicale. Il numero è detto coefficiente del radicale. Definizione Sia un

Dettagli

Analisi dei requisiti e casi d uso

Analisi dei requisiti e casi d uso Analisi dei requisiti e casi d uso Indice 1 Introduzione 2 1.1 Terminologia........................... 2 2 Modello del sistema 4 2.1 Requisiti hardware........................ 4 2.2 Requisiti software.........................

Dettagli

Matrice rappresent. Base ker e img. Rappresentazione cartesiana ker(f) + im(f).

Matrice rappresent. Base ker e img. Rappresentazione cartesiana ker(f) + im(f). Due Matrici A,B. Ker f = ker g. 1- Ridurre a scala A e B e faccio il sistema. 2 Se Vengono gli stessi valori allora, i ker sono uguali. Cauchy 1 autovalore, 1- Metto a matrice x1(0),x2(0),x3(0) e la chiamo

Dettagli

(V) (FX) Z 6 è un campo rispetto alle usuali operazioni di somma e prodotto.

(V) (FX) Z 6 è un campo rispetto alle usuali operazioni di somma e prodotto. 29 giugno 2009 - PROVA D ESAME - Geometria e Algebra T NOME: MATRICOLA: a=, b=, c= Sostituire ai parametri a, b, c rispettivamente la terzultima, penultima e ultima cifra del proprio numero di matricola

Dettagli

Business Intelligence. Il data mining in

Business Intelligence. Il data mining in Business Intelligence Il data mining in L'analisi matematica per dedurre schemi e tendenze dai dati storici esistenti. Revenue Management. Previsioni di occupazione. Marketing. Mail diretto a clienti specifici.

Dettagli

1 Numeri Complessi, Formula di Eulero, Decomposizioni Notevoli,... ecc.

1 Numeri Complessi, Formula di Eulero, Decomposizioni Notevoli,... ecc. Classi Numeriche 1 1 Numeri Complessi, Formula di Eulero, Decomposizioni Notevoli,... ecc. In questo breve capitolo richiamiamo le definizioni delle classi numeriche fondamentali, già note al lettore,

Dettagli

Appunti di Algebra Lineare

Appunti di Algebra Lineare Appunti di Algebra Lineare Indice 1 I vettori geometrici. 1 1.1 Introduzione................................... 1 1. Somma e prodotto per uno scalare....................... 1 1.3 Combinazioni lineari e

Dettagli

+ P a n n=1 + X. a n = a m 3. n=1. m=4. Per poter dare un significato alla somma (formale) di infiniti termini, ricorriamo al seguente procedimento:

+ P a n n=1 + X. a n = a m 3. n=1. m=4. Per poter dare un significato alla somma (formale) di infiniti termini, ricorriamo al seguente procedimento: Capitolo 3 Serie 3. Definizione Sia { } una successione di numeri reali. Ci proponiamo di dare significato, quando possibile, alla somma a + a 2 +... + +... di tutti i termini della successione. Questa

Dettagli

GLI INDICI DEI PREZZI ALL IMPORTAZIONE DEI PRODOTTI INDUSTRIALI

GLI INDICI DEI PREZZI ALL IMPORTAZIONE DEI PRODOTTI INDUSTRIALI 74/ 24 febbraio 2014 GLI INDICI DEI PREZZI ALL IMPORTAZIONE DEI PRODOTTI INDUSTRIALI L Istituto nazionale di statistica avvia la pubblicazione, con cadenza mensile, delle nuove serie degli indici dei prezzi

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA LE DISEQUAZIONI NON LINEARI

APPUNTI DI MATEMATICA LE DISEQUAZIONI NON LINEARI APPUNTI DI MATEMATICA LE DISEQUAZIONI NON LINEARI Le disequazioni fratte Le disequazioni di secondo grado I sistemi di disequazioni Alessandro Bocconi Indice 1 Le disequazioni non lineari 2 1.1 Introduzione.........................................

Dettagli

SISTEMI LINEARI QUADRATI: METODI ITERATIVI

SISTEMI LINEARI QUADRATI: METODI ITERATIVI SISTEMI LINEARI QUADRATI: METODI ITERATIVI CALCOLO NUMERICO e PROGRAMMAZIONE SISTEMI LINEARI QUADRATI:METODI ITERATIVI p./54 RICHIAMI di ALGEBRA LINEARE DEFINIZIONI A R n n simmetrica se A = A T ; A C

Dettagli

esame di stato 2012 seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento

esame di stato 2012 seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento RTICL rchimede 4 esame di stato seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario PRBLEM Siano f e g le funzioni

Dettagli

Numeri naturali numeri naturali minore maggiore Operazioni con numeri naturali

Numeri naturali numeri naturali minore maggiore Operazioni con numeri naturali 1 Numeri naturali La successione di tutti i numeri del tipo: 0,1, 2, 3, 4,..., n,... forma l'insieme dei numeri naturali, che si indica con il simbolo N. Tale insieme si può disporre in maniera ordinata

Dettagli

2 Formulazione dello shortest path come problema di flusso

2 Formulazione dello shortest path come problema di flusso Strumenti della Teoria dei Giochi per l Informatica A.A. 2009/10 Lecture 20: 28 Maggio 2010 Cycle Monotonicity Docente: Vincenzo Auletta Note redatte da: Annibale Panichella Abstract In questa lezione

Dettagli

LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ

LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ LE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE COSA SONO LE FUNZIONI Dati due sottoinsiemi A e B non vuoti di R, una FUNZIONE da A a B è una relazione che associa ad ogni numero reale

Dettagli

CAPITOLO PRIMO IL CONCETTO DI ALGORITMO 1

CAPITOLO PRIMO IL CONCETTO DI ALGORITMO 1 1.1 Che cos è un algoritmo CAPITOLO PRIMO IL CONCETTO DI ALGORITMO 1 Gli algoritmi sono metodi per la soluzione di problemi. Possiamo caratterizzare un problema mediante i dati di cui si dispone all inizio

Dettagli

Le formule possono essere scritte utilizzando un insieme di funzioni predefinite che Excel mette a disposizione, raggruppate per argomento.

Le formule possono essere scritte utilizzando un insieme di funzioni predefinite che Excel mette a disposizione, raggruppate per argomento. Excel: le funzioni Le formule possono essere scritte utilizzando un insieme di funzioni predefinite che Excel mette a disposizione, raggruppate per argomento. DEFINIZIONE: Le funzioni sono dei procedimenti

Dettagli

Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità

Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità Probabilità Probabilità Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità Se tutti gli eventi fossero ugualmente possibili, la probabilità p(e)

Dettagli

Esercizi per il corso di Algoritmi e Strutture Dati

Esercizi per il corso di Algoritmi e Strutture Dati 1 Esercizi per il corso di Algoritmi e Strutture Dati Esercizi sulla Tecnica Divide et Impera N.B. Tutti gli algoritmi vanno scritti in pseudocodice (non in Java, né in C++, etc. ). Di tutti gli algoritmi

Dettagli

I Numeri Complessi. Si verifica facilmente che, per l operazione di somma in definita dalla (1), valgono le seguenti

I Numeri Complessi. Si verifica facilmente che, per l operazione di somma in definita dalla (1), valgono le seguenti Y T T I Numeri Complessi Operazioni di somma e prodotto su Consideriamo, insieme delle coppie ordinate di numeri reali, per cui si ha!"# $&% '( e )("+* Introduciamo in tale insieme una operazione di somma,/0"#123045"#

Dettagli

1. Scopo dell esperienza.

1. Scopo dell esperienza. 1. Scopo dell esperienza. Lo scopo di questa esperienza è ricavare la misura di tre resistenze il 4 cui ordine di grandezza varia tra i 10 e 10 Ohm utilizzando il metodo olt- Amperometrico. Tale misura

Dettagli

Guido Candela, Paolo Figini - Economia del turismo, 2ª edizione

Guido Candela, Paolo Figini - Economia del turismo, 2ª edizione 8.2.4 La gestione finanziaria La gestione finanziaria non dev essere confusa con la contabilità: quest ultima, infatti, ha come contenuto proprio le rilevazioni contabili e il reperimento dei dati finanziari,

Dettagli

Esponenziali elogaritmi

Esponenziali elogaritmi Esponenziali elogaritmi Potenze ad esponente reale Ricordiamo che per un qualsiasi numero razionale m n prendere n>0) si pone a m n = n a m (in cui si può sempre a patto che a sia un numero reale positivo.

Dettagli

4.2. IL TEST F DI FISHER O ANALISI DELLA VARIANZA (ANOVA)

4.2. IL TEST F DI FISHER O ANALISI DELLA VARIANZA (ANOVA) 4.2. IL TEST F DI FISHER O ANALISI DELLA VARIANZA (ANOVA) L analisi della varianza è un metodo sviluppato da Fisher, che è fondamentale per l interpretazione statistica di molti dati biologici ed è alla

Dettagli

Come si può esprimere il risultato dl un conteggio e di una misura? Quando si dice che In una

Come si può esprimere il risultato dl un conteggio e di una misura? Quando si dice che In una NUMERI INTERI E NUMERI DECIMALI Come si può esprimere il risultato dl un conteggio e di una misura? Quando si dice che In una cassetta sono contenuti 45 penne e che una lamiera misura 1,35 m. dl lunghezza,

Dettagli

Organizzazione scientifica del lavoro

Organizzazione scientifica del lavoro Organizzazione scientifica del lavoro 1 Organizzazione scientifica del lavoro Organizzazione scientifica del lavoro è la teoria fondata da Frederick WindsdowTaylor (1865-1915) ingegnere minerario americano

Dettagli

Rischio impresa. Rischio di revisione

Rischio impresa. Rischio di revisione Guida alla revisione legale PIANIFICAZIONE del LAVORO di REVISIONE LEGALE dei CONTI Formalizzazione delle attività da svolgere nelle carte di lavoro: determinazione del rischio di revisione, calcolo della

Dettagli

Cenni su algoritmi, diagrammi di flusso, strutture di controllo

Cenni su algoritmi, diagrammi di flusso, strutture di controllo Cenni su algoritmi, diagrammi di flusso, strutture di controllo Algoritmo Spesso, nel nostro vivere quotidiano, ci troviamo nella necessità di risolvere problemi. La descrizione della successione di operazioni

Dettagli