Algoritmi per il Calcolo degli Indici di Potere nei Giochi di Maggioranza Pesata

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1 Algoritmi per il Calcolo degli Indici di Potere nei Giochi di Maggioranza Pesata Eleonora Arcidiacono Alice Invernizzi Progetto di Programmazione Avanzata Politecnico di Milano Facoltà di Ingegneria Corso di studi in Ing.Matematica Anno Accademico

2 Indice Introduzione 3 1 Introduzione agli indici di potere Classificazione dei giochi Giochi semplici e giochi di maggioranza pesata Concetto di soluzione di un gioco cooperativo Algoritmi per il calcolo degli indici di potere Metodo dell enumerazione diretta Commento al codice Esempio: Elezioni politiche italiane 2001 e distribuzione del potere all interno della maggioranza Metodo delle funzioni generatrici Indice di Banzhaf e Coleman Indice di Shapley-Shubik Alcune osservazioni Commento al Codice Esempio: Ampliamento della Comunità Europea Programmazione dinamica Dummy Player Commento al codice Esempio: Evoluzione del Consiglio dei Ministri dell UE Conclusioni 24 Appendice A 25 Appendice B 31 Appendice C Metodo Diretto Programmazione Dinamica Funzioni Generatrici Bibliografia 57 2

3 Introduzione Il seguente elaborato è finalizzato a confrontare e ad implementare algoritmi per il calcolo degli indici di potere per i giochi di maggioranza pesata. Gli indici di potere permettono di valutare l influenza di ogni membro, partecipante al gioco, sull esito del gioco stesso. Tali indici forniscono uno strumento essenziale per lo studio a priori, cioè trascurando le effettive preferenze dei giocatori, del potere di voto e trovano molte applicazioni in campo reale, basti pensare per esempio allo studio dei sistemi elettorali, votazioni politiche... In questa breve introduzione vorremmo illustrare come è stato strutturato il nostro lavoro. Nel capitolo 1 è presente una breve introduzione alla Teoria dei Giochi e agli indici di potere: la prima sezione introduce una classificazione di base delle varie tipologie di giochi esistenti; nella seconda ci si sofferma sull analisi dei giochi semplici e dei giochi a maggioranza pesata, che sono le tipologie di cui ci occuperemo per sviluppare un codice numerico; nell ultima sezione si introducono i concetti di soluzione per i giochi cooperativi. Nel secondo capitolo vengono presentati tre possibili algoritmi per l implementazione degli indici di potere (Indice di Shapley, Indice di Banzhaf, Indice di Coleman): Metodo dell enumerazione diretta, Metodo delle funzioni generatrici, Programmazione dinamica. Tutti e tre gli algoritmi vengono presentati come segue: descrizione ed analisi dell algoritmo, commento al codice numerico implementato, presentazione ed analisi di un esempio numerico. Tali esempi sono finalizzati a testare gli algoritmi su casi che riteniamo significativi, nonchè a fornire una possibile analisi basata sugli indici di potere. I paragrafi sono suddivisi nel modo seguente: il 2.1 riguarda il Metodo dell enumerazione diretta; il 2.2 è relativo al Metodo delle funzioni generatrici; il 2.3 si riferisce alla Programmazione dinamica. L ultimo capitolo riporta le conclusioni finali. In appendice vengono riportati i codici relativi all implementazione dei tre suddetti algoritmi, con i relativi commenti. 3

4 1 Introduzione agli indici di potere Nelle sezioni seguenti vengono introdotti alcuni concetti essenziali per la comprensione del lavoro svolto nei successivi paragrafi. Questa breve introduzione non ha la pretesa di essere esaustiva, ma ha semplicemente lo scopo di introdurre un po di notazione e di terminologia propri della Teoria dei Giochi, nonchè alcuni concetti basilari che riteniamo offrano un background sufficiente per agevolare la lettura dei capitoli successivi. 1.1 Classificazione dei giochi La soluzione di moltissimi problemi pratici richiede l analisi di situazioni in cui ci sono due parti che si oppongono e in cui il risultato di una azione di una delle parti dipende parzialmente anche dall azione dell altra. Per poter analizzare questo tipo di situazioni di conflitto, tipiche, per esempio, dell economia, sono state sviluppate particolari tecniche matematiche derivanti dalla Teoria dei Giochi e il cui scopo è quello di elaborare, secondo linee razionali, le possibili azioni delle parti avverse. Secondo la classificazione di Harsanyi (1966) si possono distinguere due classi di giochi: Giochi non cooperativi: in cui non sono possibili accordi vincolanti tra i giocatori; Giochi cooperativi: in cui sono possibili accordi vincolanti tra i giocatori. Nel nostro progetto ci occuperemo solo della seconda categoria, i giochi cooperativi, quindi ci apprestiamo ad analizzarli meglio. I giochi cooperativi possono essere a loro volta suddivisi in due sottoclassi: giochi a utilità non trasferibile (NTU) o senza pagamenti laterali e giochi a utilità trasferibile. I giochi di cui ci siamo occupate appartengono alla seconda sottoclassificazione: ossia esiste un bene traferibile da un giocatore ad un altro e variazioni unitarie del bene portano a variazione unitarie di utilità, misurate attraverso una scala comune tra i giocatori. Quando si ha a che fare con un gioco è importante avere a disposizione una rappresentazione che ne fornisca informazioni di base (quali ad esempio il numero dei giocatori, le alternative tra cui un giocatore può scegliere, le informazioni di cui dispone, l utilità che consegue alla conclusione del gioco per ogni possibile esito, le strategie possibili, i possibili esiti del gioco). Le rappresentazioni più comuni di un gioco sono tre: la forma estesa, la forma strategica, la forma caratteristica. Nella forma estesa le informazioni disponibili sono solitamente rappresentate tramite un albero, detto albero decisionale, ai cui nodi vengono associati i vari giocatori, agli archi le possibili mosse e alle foglie la vincita di ciascun giocatore. La forma strategica riassume, solitamente utilizzando tabelle o matrici, informazioni accurate sulle possibili strategie e sui possibili esiti di ciascun giocatore. La forma caratteristica viene utilizzata unicamente per i giochi cooperativi. Analizziamo quindi quest ultima possibile rappresentazione dei giochi utilizzando la notazione appropriata. L insieme costituito da tutti i giocatori viene indicato con N; un sottoinsieme S di N prende il nome di coalizione. Se S = N si parla di grande coalizione. Da un insieme di N giocatori si possono formare 2 n coalizioni. La forma caratteristica di un gioco ad n giocatori è rappresentata da una coppia (N, v), dove N rappresenta l insieme dei giocatori, mentre la funzione v è definita come: v : 2 n R con v( ) = 0 (1) 4

5 Tale funzione è detta funzione caratteristica. La funzione caratteristica v assegna ad ogni coalizione S N il suo guadagno. 1.2 Giochi semplici e giochi di maggioranza pesata Introduciamo ora una classe particolare di giochi cooperativi: i giochi semplici. Sia N = {1,..., n l insieme dei giocatori di un gioco cooperativo. Come visto prima, si dice che tale gioco è espresso in forma caratteristica se ad ogni possibile coalizione S fra membri di N è associata una vincita v(s). Ogni gioco in forma caratteristica si dice semplice se la sua funzione caratteristica assume valori nell insieme {0, 1, cioè se, per tutte le S N, si ha v(s) = 0 (coalizione perdente) oppure v(s) = 1 (coalizione vincente), con l assunzione che la grande coalizione sia sempre vincente, ossia v(n) = 1 Noi ci occuperemo dei giochi a maggioranza pesata, una particolare classe di giochi semplici, come è immediato verificare dalla loro definizione. Tali giochi sono adatti a descrivere situazioni di voto, dal momento che i pesi possono rappresentare seggi di partiti politici. Sia (w 1,..., w n ) un vettore reale a componenti non negative che chiameremo pesi degli N giocatori. Per ogni coalizione S indichiamo con w(s) = i S w i (2) il peso della coalizione. Fissiamo un numero reale q, detto quota di maggioranza, tale che 0 < q w(n) (3) Chiamiamo gioco di maggioranza pesata (q; w 1,..., w n ) il gioco semplice (N, v) la cui funzione caratteristica vale: v(s) = { 1 se w(s) q 0 altrimenti (4) 1.3 Concetto di soluzione di un gioco cooperativo Una delle problematiche principali relative ai giochi cooperativi è la definizione di soluzione, non è infatti possibile definire in maniera univoca un concetto di soluzione. Tuttavia, esistono in letteratura svariate proposte in questo senso. In generale una soluzione di questi giochi è un sottoinsieme di R n, con opportune caratteristiche. Ricordiamo a tale proposito che è possibile definire almeno due tipologie di soluzioni: soluzioni di tipo insiemistico e soluzioni di tipo puntuale. Della prima classe fa parte, per esempio, il nucleo 1 che rappresenta uno dei concetti più importante di soluzione per diverse categorie di giochi cooperativi. Una particolare classe di soluzioni per i giochi semplici, invece, è rappresentata dagli indici di potere. Gli indici di potere sono utilizzati per determinare il contributo marginale dei singoli giocatori nelle coalizioni, cioè identificano il potere di ciascun giocatore all interno delle coalizioni stesse. Un indice di potere è una funzione Ψ che associa ad ogni gioco semplice (N, v) un vettore Ψ(v) R n : Ψ(v) = (Ψ 1 (v),..., Ψ n (v)) la cui i-esima componente è interpretata come una misura dell influenza che il giocatore i può esercitare sull esito del gioco. 1 Il nucleo per un gioco (N, v) è definito come: nucleo(v) = {(x i ) i N : i N x i = v(n) e i N x i > v(s) S N 5

6 Tra gli indici di potere più utilizzati sicuramente bisogna citare l indice di Banzhaf- Coleman e l indice di Shapley. Occupiamoci ora di introdurre il Valore Shapley per un TU game (gioco ad utilità trasferibile) e di vedere come ricavare l indice di potere relativo per i giochi semplici. Dato un gioco (N, v), una famiglia di numeri reali, indiciata sugli elementi di S, cioè (x i ) i S, rappresenta una allocazione di payoff tra gli elementi di S. L idea che si segue per la costruzione del Valore Shapley è quella di assegnare ad ogni gioco una allocazione, in modo tale da rispettare alcuni criteri, si segue un approccio di tipo assiomatico. Un primo criterio è la simmetria. Simmetria significa che se due giocatori si trovano nella stessa identica posizione in un gioco, allora il Valore Shapley dovrebbe assegnare loro la stessa quantità. Un altra condizione è quella di anonimità. Tale proprietà esprime il fatto che quanto viene dato ad un giocatore non deve dipendere da chi è questo giocatore, ma solo da quanto questo giocatore è in grado di ottenere da solo e con gli altri. Indichiamo con θ(n) l insieme di tutti i giochi (N, v) che sono definiti su un dato insieme N di giocatori, cioè θ è l insieme di tutti i TU-game su N. Chiamiamo valore una funzione Φ definita come segue: Φ : θ(n) R n, dove n = N. Vale a dire, una funzione valore è una regola che, ad ogni gioco, associa un allocazione. Introduciamo alcune definizioni, utili per introdurre la caratterizzazione assiomatica del valore Shapley. Sia σ : N N una permutazione di N, che ricordiamo è una corrispondenza biunivoca. Definiamo il contributo marginale di un giocatore i N. Se S è una coalizione, ed i S, il numero reale v(s {i) v(s) viene detto contributo marginale di i alla coalizione S. Se si ha che v(s {i) v(s) = v(i) per ogni coalizione S che non contiene i, il giocatore i viene detto dummy player. Presi, infine, due giochi (N, v) θ(n) e (N, w) θ(n) definiamo il gioco somma (N, v + w) θ(n) come il gioco tale per cui: (v + w)(s) = v(s) + w(s), S N. Siamo ora pronti per introdurre una possibile assiomatizzazione del valore Shapley. Assioma I (Anonimità): Sia v un gioco e σ : N N una permutazione. Allora, Φ σ(i) (σv) = Φ i (v) Assioma II (Efficienza): Per ogni gioco v, Φ(v) è una pre-imputazione, cioè i N Φ i(v) = v(n) Assioma III (Dummy player): Se in un gioco v il giocatore i è un dummy player, allora Φ i (v) = v(i) Assioma IV (Additività): Per ogni gioco v, w si ha: Φ i (v + w) = Φ i (v) + Φ i (w), per ogni i N Theorema 1.1 [Shapley, 1953] Esiste ed è unical applicazione Φ : θ(n) R n che soddisfa gli assiomi I, II, III, IV. Tale funzione viene detta Valore Shapley. Il vettore Φ(v) R n sarà detto valore di Shapley del gioco v e può essere calcolato come: Φ i (v) = 1 m σ i (v) i N (5) n! σ 6

7 dove presa una permutazione σ =: N N definiamo con m σ i (v) = v({σ(1), σ(2),..., σ(j)) v({σ(1), σ(2),..., σ(j 1)) (6) il contributo marginale di i alla coalizione {σ(1), σ(2),..., σ(j 1) dove j è l unico elemento di N per cui i = σ(j). Oppure utilizzando una formula semplificata e più efficiente al crescere del numero di giocatori coinvolti (dove s è il numero di elementi di S ed n è il numero di elementi di N): Φ i (v) = S N,i S (s 1)!(n s)! (v(s) v(s\{i)) (7) n! Se siamo nell ambito dei giochi semplici: (v(s) v(s\{i)) = 1 quando la coalizione S è vincente e la coalizione (S\{i) è perdente, negli altri casi il contributo marginale è uguale a zero. Perciò la formula per il calcolo del valore Shapley diventa: Φ i (v) = S A i (s 1)!(n s)! n! (8) dove A i denota l insieme di tutte le coalizioni vincenti S che contengono il giocatore i e tali da rendere le coalizioni S\{i perdenti. Infine, ricordiamo che la caratterizzazione assiomatica del valore Shapley, prima introdotta, perde di significato per i giochi semplici, dal momento che non ha senso per tali giochi richiedere il soddisfacimento dell assioma di additività. Si chiama, invece, indice di Banzhaf (1965) il vettore β(v) R n la cui componente β i è il contributo marginale medio del giocatore i rispetto alle possibili coalizioni a cui appartiene, cioè: β i (v) = 1 (v(s) v(s\{i)) (9) 2n 1 S N,S i Tutte le coalizioni a cui appartiene il giocatore i sono, in questo caso, considerate equiprobabili. Con notazione analoga a quella adottata in precedenza, per i giochi semplici l indice è esprimibile come: β i = S A i 1 2 n 1 (10) L indice di Coleman, infine, non è nient altro che la versione normalizzata dell indice di Banzhaf ed è esprimibile come il numero di volte in cui un giocatore è cruciale rapportato al numero totale di casi in cui i giocatori sono cruciali, ovvero è esprimibile come il rapporto tra il numero di swings del giocatore in esame fratto il numero totale di swings. Da quanto detto risulta evidente che l indice di Shapley somma ad uno, per l assioma di efficenza, mentre l indice di Banzhaf 2 non necessariamente, dal momento che non si richiede che sia soddisfatta la proprietà di efficienza 3. Ricordiamo a proposito che gli indici di potere hanno anche un interpretazione probabilistica cioè esprimono la probabilità che un giocatore ricopra un ruolo rilevante nel gioco; il fatto stesso di essere una distribuzione di probabilità dà significato alla condizione di rispettare l assioma di efficienza. 2 L indice di Coleman che è la sua versione nomalizzate evidentemente si. 3 Qui per brevità omettiamo la caratterizzazione assiomatica dell indice di Banzhaf. 7

8 2 Algoritmi per il calcolo degli indici di potere Nelle sezioni successive verranno esaminati alcuni algoritmi, presenti in letteratura, per il calcolo degli indici di potere. Restringiamo la nostra analisi ai giochi di maggioranza pesata, definiti precedentemente. Questi metodi si basano su approcci differenti ed ognuno di essi è caratterizzato da alcuni vantaggi e da alcune limitazioni, discussi nei paragrafi seguenti, e che devono essere considerati per l applicabilità degli stessi ai casi in esame. Tratteremo nel dettaglio tecniche per la computazione esatta degli indici di potere, fornendo alcuni esempi ottenuti sfruttando gli algoritmi implementati. 2.1 Metodo dell enumerazione diretta Uno dei metodi più semplici per il calcolo degli indici di potere in un gioco di maggioranza pesata è quello basato sull enumerazione diretta. Questo metodo si fonda direttamente sulle definizioni degli indici, vedi (8)-(10). Illustriamo brevemente come si può operare in questo caso. Il primo passo consiste nel trovare tutti i sottoinsiemi di ordine k, per k = 1, 2,...n, degli n giocatori. Per ogni sottoinsieme si determina il peso, sommando i pesi dei giocatori che costituiscono la coalizione in esame. Come da definizione, per calcolare l indice di potere del giocatore i-esimo è necessario contare il numero di volte in cui il giocatore è determinante nel far passare una coalizione da vincente a perdente, o meglio valutare il numero di swings. Fissato il giocatore i-esimo, dopo aver inizializzato gli indici a zero, si effettuano i seguenti controlli per operare gli aggiornamenti (η rappresenta l indice di Banzhaf, mentre φ l indice di Shapley): 1. Presa un coalizione S con i S si determina la coalizione S 1 = S \ {i; 2. Si calcola il peso di S 1 e si verifica che w(s 1 ) < q e w(s) = w(s 1 ) + w i q: allora il giocatore è determinante; 3. Se i controlli precedenti risultano positivi, gli indici vengono aggiornati come segue: φ i = φ i + (n k)!(k 1)! n! η i = η i n 1 Questo processo viene ripetuto su tutte le coalizioni S N e su tutti i giocatori i = 1, 2,..., n. Dal momento che il numero di sottoinsiemi di un insieme di n giocatori è pari a 2 n, il tempo di calcolo per ogni giocatore è esponenziale. La limitazione maggiore per l applicabilità di tale tecnica è pertanto dovuta ai costi computazionali che crescono esponenzialmente al crescere dei giocatori coinvolti. Dal punto di vista del calcolo è evidente, da quanto detto, che tale procedura non è efficiente; per questo motivo analizzeremo nelle sezioni successive ulteriori approcci nel tentativo di ridurne i costi. Questo algoritmo, pertanto, è adottabile per giochi di dimensione ridotta. Questo metodo tuttavia ha un interpretazione immediata, basata sulla definizione degli indici, e può essere esteso, con opportune modifiche, anche ai giochi cooperativi non necessariamente in forma semplice. Ricordiamo infine, come d altro canto è evidente da quanto sopra detto, che il metodo fornisce un procedura esatta per il calcolo della distribuzione del potere. 8

9 2.1.1 Commento al codice Commentiamo la struttura del programma Metodo diretto, il cui codice è inserito in appendice. Sono state implementate due classi, la classe Combinazioni e la sua classe figlia Indice. La prima classe permette di generare le combinazioni di ordine k su n elementi, utilizzando due tipologie di metodi: un metodo diretto e un metodo ricorsivo. La procedura diretta (Funzione Diretto), viene implementata nel seguente modo: 1 Si calcola un combinazione iniziale; 2 Si incrementa la combinazione corrente mantenendo l ordine lessicografico (Funzione Incremento); 3 Si visualizzano le combinazioni trovate (Funzione Stampacomb). La seconda procedura, implementata nella Funzione Ricorsivo, si basa su un approccio ricorsivo. Questo metodo lavora utilizzando la Funzione Combimpl che riceve in ingresso il numero di giocatori e l ordine della coalizione desiderata. Si opera in modo ricorsivo, fino all esaurimento delle combinazioni di ordine k, e ci si avvale della Funzione Stampacomb per visualizzare le combinazioni trovate. La seconda classe implementata, la classe Indice, eredita dalla classe Combinazioni. Tale classe ha la funzione di calcolare, per ogni giocatore, gli indici parziali di Banzhaf, Shapley e Coleman. Come spiegato precedentemente, utilizzando la funzione Calcola indice parziale, si opera nel seguente modo: Utilizzando la Funzione Salva, si salvano, in un vettore di struct Coalizioni (contenente un vettore con la combinazione in esame e il suo peso), le combinazioni correnti, calcolate tramite la funzione Diretto ridefinita nella classe Indice per consentire il salvataggio dei dati ; Procedendo iterativamente su tutte le coalizioni, si calcolano i pesi tramite la Funzione Peso coal e si verifica che quest ultimo sia maggiore della quota di maggioranza; Tramite la Funzione Find, si verifica che il giocatore, di cui si sta calcolando l indice, appartenga alla coalizione corrente, in modo da poter passare al passo successivo; Si calcola la nuova coalizione, privata del giocatore corrente (Funzione Subset), e il nuovo peso; Se la nuova coalizione risulta essere perdente da sola, ma vincente con l aggiunta del giocatore corrente, si procede all aggiornamento degli indici. Tale procedura viene ripetuta per tutti i giocatori e per tutte le coalizioni. Un volta individuati gli indici parziali per ogni giocatore, si procede iterativamente per ottenere gli indici totali, sommando i valori parziali ottenuti, su tutte le coalizioni di ordine k = 1,...n (Funzione Totale) Esempio: Elezioni politiche italiane 2001 e distribuzione del potere all interno della maggioranza L esempio seguente si basa sui risultati delle elezioni politiche avvenute in Italia nel Cercheremo di analizzare questi risultati avvalendoci degli Indici di potere calcolati con l ausilio del programma, da noi sviluppato, basato sull algoritmo che utilizza il Metodo diretto. 9

10 % Seggi N Seggi Coleman Banzhaf Shapley Forza Italia AN CCD Lega CDU PRI PSI Fiamma Tabella 1: Distribuzione del potere al Senato % Seggi N Seggi Coleman Banzhaf Shapley Forza Italia AN Lega CCD CDU PSI Indip Tabella 2: Distribuzione del potere alla Camera Nelle tabelle (tab.1, tab.2) sono riportati i risultati ottenuti sia alla Camera che al Senato. Il numero dei seggi rappresenta il peso attribuito a ciascun partito della maggioranza. La quota di maggioranza, relativa al Senato, tab.1, è data da 158 seggi. La quota relativa alla Camera è di 316 seggi, tab.2. Dalle tabelle risulta evidente che il Polo ha vinto le elezioni: da questa vincita deriva la creazione della mappa dei poteri, ovvero presidenze, ministeri,... Per quantificare la forza contrattuale dei vari partiti si possono utilizzare gli Indici di potere. Si può notare, infatti, che i partiti Forza Italia e Alleanza Nazionale (AN) hanno lo stesso potere sia alla Camera che al Senato, mentre il CCD, con essi paritetico al Senato, risulta essere molto più debole alla Camera. Questo fatto può essere spiegato osservando che ciascuno dei tre partiti è indispensabile per la formazione della maggioranza al Senato (dove, per avere la maggioranza, sono necessari 158 voti). Un partito viene detto cruciale per una coalizione se questa è vincente con lui e perdente senza di lui. Facciamo un esempio con i dati a nostra disposizione: il PRI è cruciale per la coalizione che forma, al Senato, con Forza Italia, AN, CCD e CDU. Infatti questa coalizione raggiunge 158 seggi con il PRI, mentre è minoritaria senza. L indice di Banzhaf assegna ad ogni partito un potere proporzionale al numero delle coalizioni per cui risulta essere cruciale. La creazione di una coalizione preelettorale, può portare ad alcuni partiti svantaggi in termini di seggi, ma vantaggi in termini di realizzazione dei programmi (aumenta il suo potere). Osservando la tabella riguardante il Senato (tab.1), notiamo che il potere attribuito dall Indice di Coleman a Forza Italia ( % ) è poco più della metà della sua percentuale di seggi nell ambito della coalizione (46.3%), mentre quello relativo al CCD è poco più del doppio. I poteri di AN e della Lega variano di poco rispetto 10

11 alla proporzione dei seggi. Analizziamo la situazione alla Camera: la Lega aumenta di molto il suo potere ( %) rispetto alla percentuale dei seggi (9.6%). Si osserva che, in questo caso, l Indice di Coleman assegna lo stesso potere ( %) a Forza Italia e AN, anche se la percentuale dei rispettivi seggi era differente. Forza Italia diminuisce il suo potere ( %) rispetto ai seggi che aveva ottenuto (51.5%), mentre AN aumenta il potere ( % contro 26.2% di seggi). Tutti gli altri partiti hanno un potere assai inferiore. 2.2 Metodo delle funzioni generatrici In questa sezione introduciamo un ulteriore tecnica di tipo combinatorio per il calcolo degli indici di potere basata sul concetto delle funzioni generatrici 4. Iniziamo con l introdurre questo metodo per poi analizzare le proprietà, i vantaggi e gli svantaggi di un approccio di questo tipo. Tratteremo nel seguito separatamente l algoritmo per il calcolo del valore Shapley e dell indice di Banzhaf-Coleman. Premettiamo dunque la definizione di funzione generatrice: Definizione 2.1 (Funzione generatrice ordinaria) Si definisce funzione generatrice ordinaria (FGO) della successione di numeri reali {a k k 0 la funzione f(x): f(x) = k 0 a k x k (11) dove la variabile x consente di individuare i coefficienti a k corrispondenti a x k in f(x) Indice di Banzhaf e Coleman Come visto dalla loro definizione (10) per il calcolo di questi indici è necessario individuare il numero di swings per ogni giocatore e il numero totale di swings. Procediamo come segue. Calcoliamo il numero di coalizioni, S N, di peso w(s), per ogni possibile peso w = 0, 1,..., w(n). Tale numero può essere opportunamente trovato attraverso l utilizzo della funzione generatrice così definita: f(x) = n (1 + x w j ) (12) j=1 L espressione precedente individua un polinomio di grado w(n) che può essere anche scritto f(x) = w(n) j=0 a j x j (13) Per i calcoli che ci apprestiamo a compiere sono rilevanti i coefficienti che compaiono nella (13), mentre la variabile x non ha un vero e proprio significato in questo contesto se non quello di permettere l individuazione di tali coeffienti. Gli a j rappresentano infatti il numero totale di coalizioni che hanno peso uguale a j: a j = {S : S N, w(s) = j j = 0, 1, 2,..., w(n) (14) 4 Ricordiamo che questo metodo fu introdotto per la prima volta da Shapley e Mann nel 1962 su suggerimento di D.G.Cantor. 11

12 Ovviamente a 0 = 1 dal momento che esiste un unico insieme, l insieme vuoto, che ha peso nullo (per ipotesi assumiamo dunque che i giocatori abbiamo pesi strettamente positivi). Analizziamo ora la procedura numerica per il calcolo di tali coefficienti. Utilizzando le funzioni generatrici notiamo che: f(x) = n (1+x w j ) = [1+x w 1 ] j=1 n (1+x w j ) = [1+x w 1 +x w 2 +x w 1+w 2 ] j=2 n (1+x w j ) =... (15) Il polinomio all interno delle parentesi allo stadio r-esimo può essere anche scritto nel modo seguente: 1 + a (r) 1 x + a(r) 2 x a (r) w(n) xw(n) r = 1, 2,..., n (16) Quindi possiamo riscrivere la (15) come segue: f(x) = [1 + a (1) 1 x a(1) = [1 + a (2) 1 x a(2) w(n) xw(n) ] w(n) xw(n) ]... n (1 + x w j ) j=2 n (1 + x w j ) j=3 j=3 = [1 + a (n) 1 x a(n) w(n) xw(n) ] (17) Per quanto visto sopra i coefficienti a j possono essere calcolati iterativamente utilizzando il seguente metodo. Posto a (0) j = 0 j 0 e a (0) 0 = 1 si calcola: a (r) j = a (r 1) j + a (r 1) j w r j = w r,..., s r s r = w({1, 2, 3,..., r) r = 1,..., n (18) Dopo n iterazioni questo procedimento ci fornisce j i coefficienti a (n) j = a j desiderati. Ora vediamo come sfruttare opportunamente gli a j per calcolare gli indici di potere. Utilizzando questi coefficienti possiamo, infatti, ottenere il numero di swings per ogni giocatore. Fissato il giocatore i N, per ogni j tale che: q w i j q si determina il numero di coalizioni c j che non contengono il giocatore i e poi si somma su j. Ovvero: c j = a j c j wi j = 1, 2,..., v dove v = w(n) w i (19) Avendo posto c j = 0 per j < 0. Il numero di swings per il giocatore i è dato da: η i = q 1 j=q w i c j (20) Reiterando questo processo su ogni giocatore i = 1,.., n siamo in grado di determinare il numero di swings per ogni giocatore e il numero di swings totali. In questo modo è possibile 12

13 ricavare l indice di Coleman su tutti i giocatori. Questa procedura ci consente anche di determinare in modo immediata il numero totale di coalizioni vincenti. Noti infatti i coefficienti a j e la quota q è sufficiente calcolare: ω = w(n) j=q a j (21) Per l indice di Banzhaf, una volta noti il numero di swings dei giocatori, si procede come di consueto sfruttando la definizione (10). Nella prossima sezione viene illustrato come, con un procedimento analogo, sia possibile utilizzare questa tecnica anche per calcolare l indice di Shapley-Shubik Indice di Shapley-Shubik Per l indice di Shapley-Shubik possiamo considerare, come proposto da D.G. Cantor, un funzione generatrice in due variabili x, y. Vediamo come ricavarla. L indice Shapley può essere espresso come: φ i (v) = (s 1)!(n s)! = n! S A i n 1 k=0 ( k!(n k 1)! q 1 ) d i (j, k) n! j=q w i dove d i (j, k) rappresenta il numero di coalizioni a cui appartiene il giocatore i con peso j e con cardinalità k. Occupiamoci ora di trovare il numero d jk che rappresenta il numero di coalizioni composte da k membri il cui peso totale è j, il motivo sarà chiaro nel seguito. Vale il seguente risultato: (22) Proposizione 2.1 [Cantor] Sia [q; w1, w2,..., w n ] un gioco di maggioranza pesata, la funzione generatrice dei coeffcienti d jk è data da: che può essere riscritta come: f(x, y) = f(x, y) = n (1 + x w j y) (23) j=1 w(n) j=0 n d jk x j y k (24) Anche in questo caso si utilizza una tecnica iterativa per il calcolo della matrice D = D (n) di dimensioni (w(n) + 1) (n + 1), costituita dai coefficenti d jk. La regola di aggiornamento è la seguente. Posto si calcola: k=0 d (r) 00 = 1 e d(r) j0 = 0 j 0 r = 1, 2,..., n d (r) jk = d(r 1) jk + d (r 1) j w r,k 1 r = 1, 2,..., n k = 0, 1,..., n j = 0, 1,...w(N) (25) 13

14 ponendo, come prima, coefficienti d jk con j < 0 o k < 0 pari a 0. Vediamo ora come da questa matrice sia possibile calcolare l indice di potere di ciascun giocatore. I coefficenti d i jkche compaiono nella (22), si possono ottenere dividendo la (24) per 1 + x w i z. Tali coefficienti vengono calcolati iterativamente come: d i jk = d jk d i j w i,k 1 (26) dove ovviamente d jk = d (n) jk. Il valore Shapley del giocatore i-esimo si ottiene, infine, come visto all inizio, con la seguente formula: φ i = n 1 k= Alcune osservazioni k!(n k 1)! n! q 1 j=q w i d i jk i = 1, 2,..., n (27) Per concludere questa sezione dedicata all utilizzo delle funzioni generatrici per il calcolo degli indici di potere, aggiungiamo alcune considerazioni sui costi computazionali richiesti e sulla conseguente applicabilità di tale procedura. Questo metodo fu utilizzato per la prima volta da Shapley-Shubik nel E una tecnica esatta per il calcolo degli indici di potere, come il metodo di enumerazione diretta, ma può essere utilizzata per giochi con un numero più elevato di giocatori. La complessità temporale di questa tecnica, infatti, è lineare in n, numero dei giocatori. D altro canto, la dimensione degli array contenenti gli a j cresce al crescere della somma dei pesi, fatto che ne limita l applicabilità a giochi con un sistema di pesi sensato, di media dimensione. Altro limite di questo algoritmo è la richiesta di un sistema di pesi e quota interi, come appare evidente dalla procedura esposta nelle sezioni precedenti. Sottolineiamo inoltre che tale metodo può essere esteso, con le modifiche del caso, anche a giochi di maggioranza pesata multipli, cioè basati sulla composizione di più giochi di maggioranza semplice Commento al Codice Per implementare l algoritmo delle funzioni generatrici sono state utilizzate 3 classi: la classe f generatrice e le due classi figlie i Coleman e i Shapley. La classe f generatrice contiene una struct con i dati del gioco in esame e una funzione grado per il calcolo del grado massimo del polinomio generato. Le due classi figlie sono finalizzate al calcolo dei rispettivi indici. La classe i Coleman è strutturata come segue: per la costruzione dei coefficienti del polinomio si procede utilizzando la funzione Coefficienti. Quest ultima funzione tramite l utilizzo di due arrays, di cui uno ausiliario, con una procedura iterativa in n (n è il numero dei giocatori) passi determina i coefficienti tramite la regola di aggiornamento descritta precedentemente. Vengono poi valutati il numero di swings effettuati da ogni giocatore, tramite la funzione swing, e il numero totale degli swings. Infine riassemblando le informazioni ottenute con le funzioni precedenti si determina l indice tramite la funzione c indice. Tale classe contiene inoltre una funzione Banzhaf utilizzata per il calcolo dell indice di Banzhaf. Per la classe i Shapley si procede in maniera analoga. Tale classe contiene infatti un funzione matrice d per la costruzione della matrice dei coefficienti, una funzione i indice per il 5 A riguardo si può per esempio consultare Algabada, Bilbao, Garcia, Lopez Computing Power Indices in Weighted Multiple Majority Games, Mathematical Social Science 46, pp.63-80,

15 calcolo vero e proprio dell indice. La funzione matrice d costruisce iterativamente la matrice dei coefficienti, tramite l ausilio di un array bidimensionale ausiliario, con dimensioni pari a (w(n) + 1) (n + 1), mentre matrice d calcola l indice con le formule viste in precedenza. 2.3 Esempio: Ampliamento della Comunità Europea L obiettivo di questo esempio è di calcolare la distrubuzione di potere all interno del Concilio dei Ministri dell UE a fronte di un suo possibile ampliamento. Utilizzando il metodo delle funzioni generatrici calcoleremo l indice di Banzhaf e di Coleman dei paesi partecipanti al concilio, secondo il gioco di maggioranza semplice discusso nel trattato di Nice (Dicembre 2000). Riporteremo nel seguito i risultati ottenuti tramite il programma f gen in corrispondenza a due scenari possibili e opposti: 1 Massimo ampliamento dell UE: ovvero tutti i candidati vengono ammessi, con il conseguente ampliamento dell UE a 27 membri. In tal caso si farà riferimento al seguente gioco di maggioranza semplice: la struttura dei pesi è la seguente pesi = [29, 29, 29, 29, 27, 27, 14, 13, 12, 12, 12, 12, 12, 10, 10, 10, 10, 7, 7, 7, 7, 7, 4, 4, 4, 4, 4, 3] con quota pari a q = Nel secondo caso assumeremo che non ci sia alcun tipo di ampliamento. Gli stati membri sono i 15 già appartenenti all UE ma il sistema dei pesi viene modificato e il gioco di maggioranza viene aggiornato con i nuovi pesi e la nuova quota. Nello specifico il gioco in esame ha la seguente struttura di pesi: con quota pari a q = 169 pesi = [29, 29, 29, 29, 27, 13, 12, 12, 12, 10, 10, 7, 7, 7, 4] Dalle tabelle precedenti possiamo notare come coerentemente con l assioma di simmetria (a giocatori che hanno lo stesso ruolo, viene attribuito il medesimo potere), giocatori con lo stesso peso hanno la medesima influenza ai fini del gioco, com era facilmente osservabile a priori. Tale assioma ha infatti, per i giochi di maggioranza pesata un immediata interpretazione. Possiamo inoltre notare che l aumento della quota in caso di ampliamento della comunità ( si passa infatti dal 71.3% al 73.9% dei voti) non permetta più ai quattro membri maggioritari di bloccare un decisione. Tale incremento non è quindi favorevole nè al Concilio nei ai singoli membri. In entrambi i sistemi proposti esistono inoltre nazioni che sono sottorappresentate ed altre sovrarappresentate, come si può osservare dai grafici fig.(1) che riportano in maniera grafica il contenuto informativo contenuto nelle tabelle tab.(3)-tab.(4). Per esempio, nel primo scenario, la Spagna è sovrarappresentata con il sistema di pesi prima esposto, mentre la Germania è sottorappresentata. Si potrebbe pertanto pensare di utilizzare gli indici di potere per trovare una distribuzione dei voti e una quota che siano il più rappresentativi possibili (problema inverso o di progettazione del sistema elettorale). Abbiamo infatti mostrato come in entrambi i casi soltanto alcune nazioni sono correttamente rappresentate, riducendo però gli errori percentuali commessi nell attribuzione dei pesi e della quota si garantirebbe a tutti i cittadini dell UE di avere medesimo potere di voto. 15

16 Potere Coleman Banzhaf %Pop %Peso Germania UK Francia Italia Spagna Polonia Romania Olanda Grecia Rep.Ceca Belgio Ungheria Portogallo Svezia Bulgaria Austria Slovacchia Danimarca Finlandia Irlanda Lituania Lettonia Slovenia Estonia Cipro Lussemburgo Malta Quota 255 Totale Voti 345 Tabella 3: Indice di Potere con l aggiunta dei nuovi membri 16

17 10 Caso I 14 Caso II 9 8 Spagna 12 %popolazione Indice di Coleman Germania %popolazione Indice di Coleman Germania %pop Coleman %popolazione 2 Coleman %pop Lussemburgo %popolazione 10 Caso I 14 Caso II 9 8 indice %popolazione %peso 12 %peso %popolazione indice 7 10 %popolazione indice %peso %popolazione indice %peso paesi paesi Figura 1: Rappresentatività effettiva degli stati membri 17

18 Voti Coleman Banzhaf Shapley %Pop %Peso Germania UK Francia Italia Spagna Olanda Grecia Belgio Portogallo Svezia Austria Danimarca Finlandia Irlanda Lussemburgo Quota 169 Totale Voti 237 Tabella 4: Indice di Potere senza l aggiunta di nuovi membri 2.4 Programmazione dinamica Terminiamo questa sezione dedicata agli aspetti di calcolo presentando un ultima procedura numerica. In quest ultima sezione ci occupiamo, infatti, di un ulteriore algoritmo esatto che può essere utilizzato per il calcolo degli indici di potere, basato su tecniche di programmazione dinamica. Spendiamo qualche parola per ricordare alcuni concetti di base. La programmazione dinamica consente di risolvere il problema in esame scomponendolo in sottoproblemi e componendo le soluzioni dei sottoproblemi stessi. Al contrario dei metodi divide et impera, la scomposizione non genera sottoproblemi risolubili in modo indipendente. La logica che si segue nella programmazione dinamica è di tipo button up: si parte da problemi piccoli per trovare le soluzioni dei problemi più grandi. Gli algoritmi che presentiamo in questa sezione, sia per il calcolo del dummy-player, sia per il calcolo degli indici sono ispirati a questa logica. Opereremo d ora in avanti facendo alcune ipotesi. Assumiamo che w i < q i 1, 2,..., n, ovvero che a ciascun giocatore convenga cooperare piuttosto che giocare da solo. Partizioniamo inoltre in maniera opportuna l insieme N dei giocatori, utilizzando una partizione che soddisfi le seguenti richieste: 1. sia costituita da sottoinsiemi disgiunti, che, uniti, danno luogo alla grande coalizione; 2. giocatori con il medesimo peso appartengono al medesimo sottoinsieme; 3. i sottoinsiemi sono ordinati con peso decrescente. Ovvero, in formule, introducendo la notazione che ci sarà utile anche nel seguito: 1. N 1 N 2... N z = N con N x N y = x, y x y con N i N i = 1, 2,..., z 2. Presi x, y con 1 x y z si ha che i N x, j N j, w i > w j 18

19 3. Preso x con 1 x z i j N x : w i = w j Trovata questa partizione, indichiamo con η x la cardinalità del generico sottoinsieme N x e con w x il peso dei giocatori appartenenti a N x. Ora per il calcolo degli indici di potere procediamo come segue. Per ogni giocatore i, indichiamo con c i (w, t, x) il numero di sottoinsiemi non contenenti il giocatore i, con peso pari a w, con cardinalità pari a t e a intersezione non nulla con il sottoinsieme N x, ovvero: { c i (w, k, x) = S N i : w j = w, S = k, S N x, S N x+1 =... = S N z = j S (28) Effettuando questa ricerca su tutti i sottoinsiemi della partizione, su tutti i sottoinsiemi non vuoti di ordine inferiore alla grande coalizione e con peso inferiore della quota è possibile ricavare un definizione alternativa degli indici di potere. Basandoci sulla definizione appena vista (28), si può dimostrare che gli indici di potere possono essere calcolati come segue: φ i = n 1 q 1 z k=1 w=q w i x=1 n 1 β i = (1/2 n 1 ) k!(n k 1)! c i (w, k, x) (29) n! q 1 k=1 w=q w i x=1 z c i (w, k, x) (30) Basandoci sulle def.(29)-def.(30) sopra riportate è possibile calcolare, in tempo pseudopolinomiale, entrambi gli indici simultanenamente per ogni giocatore con peso assegnato. Maggiori dettagli riguardanti l algoritmo implementato verranno forniti nella sezione di commento al codice. Per ora ci limitiamo a notare che la complessità temporale richiesta da questa procedura è limitata superiormente da O(n 2 q) e che l algoritmo si basa come detto su tecniche di programmazione dinamica Dummy Player La complessità di calcolo della procedura descritta in questa sezione può essere ridotta se si utilizza un ulteriore accorgimento. Conoscere l esistenza di eventuali dummy players semplificherebbe il calcolo degli indici. Questi giocatori, infatti, possono essere eliminati dai calcoli, dal momento che conosciamo già a priori il loro potere. Dalla definizione di dummy player, sappiamo, infatti, che se il giocatore i-esimo è un dummy player, allora il suo indice di potere è uguale al valore della sua funzione caratteristica. In particolare, per i giochi di maggioranza pesata che stiamo considerando, dal momento che nessun giocatore da solo è vincente, il valore degli indici attribuito a giocatori dummy è identicamente nullo, ovvero i giocatori dummy players sono anche null-players. La procedura descritta nel seguito può essere applicata non solo all ultimo metodo presentato, come per altro abbiamo fatto, ma anche ai precedenti. L individuazione dei dummy players, per l algoritmo da noi implementato, si basa sul seguente teorema: Theorema 2.2 [Dummy Player] Assumendo di aver ordinato i pesi dei giocatori in ordine decrescente, il giocatore i-esimo è dummy player se e soltanto se: α i + w i + w i w n < q (31) 19

20 dove α i = max{ j S w j : S {1, 2,..., i 1 w(s) < q (32) Dal teorema precedente possiamo identificare l insieme di tutti i dummy players calcolando la sequenza di valori α i. Indichiamo con c(x, w) per ogni coppia x, w di interi positivi la seguente quantità: { c(x, w) = S N : w i = w, S N x, S N x+1 =... = S N z = (33) i S Si dimostra che un giocatore i N x è un dummy player se e soltanto se: dove: α x + w x η x w z η z < q (34) α x = max{w : 0 w q 1 e y, 1 y x 1 : c(w, y) > 0 (35) Inoltre il numero di coalizioni vincenti può essere calcolato come z x=1 q+ w x 1 w=q c(w, x) (36) L algoritmo implementato, ispirato a tecniche di programmazione dinamica (si veda la sezione sucessiva), individua l esistenza di dummy players e fornisce in output, in caso di esito positivo, l indice della partizione da cui i sottoinsiemi possono essere eliminati. O meglio, se fornisce in uscita, per esempio, un valore y, l insieme costituito da sottoinsiemi contenenti dummy players sarà dato da S = N y+1 N y+2... N z. Il calcolo degli indici di potere si riduce, pertanto, allo studio del sottoinsieme N\S. Osserviamo che la complessità temporale di suddetto algoritmo è limitata da O(nq) Commento al codice Nel programma prog dinamica sono state implementate 3 classi: la classe partizione, la classe dummy player, la classe indice dyn. Vediamo nel dettaglio la struttura generale del programma e gli aspetti relativi all implementazione delle tre classi. Si è seguita, in primo luogo, la seguente prassi: Disponendo dell insieme dei pesi e della quota, si partiziona l insieme dei giocatori secondo le regole spiegate precedentemente. Si verifica l esistenza di eventuali dummy-players e si procede di conseguenza alla loro eliminazione, riducendo il gioco di partenza Si calcolano gli indici di potere Vediamo ora come sono organizzate le tre classi. La prima classe partiziona l insieme dei giocatori, secondo i criteri sopra esposti, utilizzando la funzione partition, quest ultima si avvale della fuzione conta part che individua il numero di partizioni e della funzione cardinalita subset per il calcolo della cardinalità dei singoli sottoinsiemi e fornisce in uscita la 20

21 partizione desiderata. La classe dummy-player ha come obiettivo l individuazione di eventuali giocatori dummy e la loro eliminazione dal gioco. La classe è così strutturata: esiste una funzione trova dummy per verificare l esistenza di giocatori dummy e una funzione delete dummy per la loro eliminazione. La funzione principale trova dummy è basata sull implementazione di un algoritmo che opera i seguenti passi: Si effettua un ciclo su tutti i sottoinsiemi; Si aggiorna la variabile w tenendo conto del peso totale del sottoinsieme in esame. Si verifica che c(w) si positivo e si itera sulla cardinalità del sottoinsieme. Si aggiornano le variabili ausiliarie Si calcolano le varibili c, numero di coalizioni minimali vincenti, e α x, secondo le regole sopra esposte. In uscita otteniamo il valore -1 se non esistono dummy-player, oppure l indice del sottoinsieme da cui i giocatori sono dummy. La funzione delete dummy riduce la partizione dei giocatori privandola di eventuali dummyplayers. L ultima classe permette il calcolo degli indici di potere di un dato giocatore attraverso la funzione index. Tale funzione riceve in ingresso il peso del giocatore e l indice che si desidera calcolare. Tale funzione si basa sul seguente algoritmo: 1 Si itera sui sottoinsiemi 2 Si verifica che il giocatore appartenga al sottoinsieme 3 Si cicla sulla cardinalità dei sottoinsiemi 4 Si cicla sul peso dei sottoinsiemi 5 Si aggiornano le variabili ausiliarie 6 Si calcola c(w, x, t) come esposto precedentemente 7 Se sono soddisfatti i criteri di aggiornamento si procede con il calcolo degli indici. Per dettagli più precisi si faccia riferimento al codice allegato. Tale funzione consente il calcolo simultaneo degli indici del giocatore in esame. Ogni giocatore inoltre è individuato dal suo peso: dal momento che giocatori con lo stesso peso hanno lo stesso potere, la distribuzione del potere avviena in maniera iterativa sui pesi della partizione Esempio: Evoluzione del Consiglio dei Ministri dell UE In continuazione all esempio precedente, vogliamo mostrare ora l evoluzione del sistema di maggioranza del Concilio dei Ministri dell UE dall 1958 al Facciamo ora un cenno alle sue caratteristiche essenziali. I pesi sono attribuiti tenendo conto più fattori tra cui il numero di abitanti dei rispettivi paesi e le decisioni vengono approvate se viene raggiunta una quota di maggioranza pari solitamente al 71% dei voti. In generale, come possiamo notare dall evoluzione in tabella, i paesi più popolosi hanno una percentuale di voti relativamente modesta 21

22 ( basti confrontare il Lussemburgo con la Germania), questo a tutela della rappresentatività dei paesi più piccoli. In compenso per tutelare i paesi più grandi la quota di maggioranza è abbastanza elevata. Quest ultimo fatto implica che qualsiasi decisione deve essere approvata da almeno 2 delle quattro nazioni più grandi (Germani, UK, Francia, Italia). Queste considerazioni sono fatte a priori basandosi sui pesi e sulla popolosità dei vari paesi, senza tener conto del loro potere. Nelle tabelle seguenti tab.(4) e tab.(5) sono riportati gli indici di potere degli stati appartenenti alla comunità europea al variare del sistema dei pesi e della quota, seguendo l evoluzione effettuata dal 1958 al Tali risultati sono stati ottenuti tramite il programma prog din che ci ha permesso di calcolare l indice di potere dei vari stati oltre ad eventuali dummy-players. Un osservazione interessante, messa in luce dal calcolo degli indici. Possiamo notare come, per esempio, il Lussemburgo passando dal 1958 al 1973 perda il suo ruolo di Dummy-Player, sebbene riduca il suo peso percentuale. Infatti mentre nel 1958 era un giocatore Dummy-Player con un peso percentuale pari al 5.88, nel nuovo sistema di pesi perde tale posizione sebbene il suo peso percentuale si sia ridotto a Questo risultato permette di mettere in evidenza un difetto nell assegnazione dei pesi nel Consiglio dell UE del Peso-Banzhaf Peso-Banzhaf Peso-Banzhaf Peso-Banzhaf Peso-Banzhaf Germania UK Francia Italia Spagna Olanda Grecia Belgio Portogallo Svezia Austria Danimarca Finlandia Irlanda Lussemburgo Quota Tabella 5: Evoluzione del gioco di maggioranza-indice di Banzhaf 22