Modellistica. Cos è un modello Caratteristiche dei modelli Metodi formali Esempi per sistemi semplici

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1 Modellstca Cos è un modello Caratterstche de modell Metod formal Esemp per sstem semplc (ved Marro par. 1.1, 1.4) (ved Vtell-Petternella par. I.1, I.1.1, I.1.2, I.2, I.2.1 ) Automatca ROMA TRE Stefano Panzer- 1

2 Modell d Process Descrzone o realzzazone d un fenomeno o d un oggetto, che evdenza alcun aspett d nteresse ESEMPI Modello n scala Modello analogco Modello grafco Modello matematco* Realsmo Astrazone * gl unc manpolabl n calcolatore. QUANTO DEVE ESSERE DETTAGLIATO UN MODELLO? Dpende dallo specfco caso. Esstono poche regole e l esperenza. Spesso s nza con un modello semplce po s è costrett ad affnarlo. Automatca ROMA TRE Stefano Panzer- 2

3 Statc Una tassonoma de Modell Dnamc Determnstc Param. concentrat Stocastc P. dstrbut Studamo quest stazonar Lnear Nonlnear Tempo-varant Tempo dscreto Tempo contnuo semplctà d uso aderenza alla realtà Automatca ROMA TRE Stefano Panzer- 3

4 Modell Determnstc e non Il modello è determnstco quando sono ben not tutt gl ngress applcat τ(t) τ(t) pressone eserctata dal vento Esempo d stuazone determnstca: pendolo soggetto a una coppa τ(t) nota, descrvble come funzone. Esempo d stuazone non determnstca: pendolo soggetto a una coppa t(t) dervante dalla pressone dal vento (caos dovuto a vortcostà). Caso non determnstco: non s può/nteressa determnare con esattezza l moto del pendolo stante per stante, modellazone stocastca: l comportamento del sstema vene studato utlzzando grandezze global, nvece d quelle stantanee (ad es. la meda, la varanza, ecc..). Il modello matematco è lo stesso, camba l modo d mpegarlo Automatca ROMA TRE Stefano Panzer- 4

5 Parametr Dstrbut T t 2 x 1 x 2 t t 1 T=T(x,t) T x 1 x 2 x x 1, x 2 =sensor d temperatura Equazone dfferenzale alle dervate parzal Dffclssma da trattare n generale F HG 2 f T T T,, t x I KJ = 2 0 Soluzone Consderare N element(dett element fnt) con T= costante all nterno T 1 T 2 T 3 T 4... T N Per ognuno scrvere un equazone ottenendo N equazon dfferenzal ordnare Automatca ROMA TRE Stefano Panzer- 5

6 Lneartà Sulle caratterstche statche y lneare non lneare x y=f(x) è lneare se y = f( ax + bx ) = af( x ) + bf( x ) = ay + by detto PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE LINEARE y y y = = =z kx dx dt xdt NON LINEARE 2 y = x y = x y = sgn( x) y = e x Automatca ROMA TRE Stefano Panzer- 6

7 x(t) Utltà Della Lneartà y(t) da x(t) y(t) x(t) y(t) e Kx(t) s deduce Ky(t) Kx(t) s deduce Ky(t) stessa frequenza!!!! S ntusce che la conoscenza necessara sul sstema s rduce notevolmente: l modello può essere compattato Automatca ROMA TRE Stefano Panzer- 7

8 Altre propretà 1 Tempo varant (non stazonar) y = k() t x F = M () t a (analogo ad un mssle che consuma l propellente) Tempo dscreto Tc t Tc t Invece d eq. dfferenzal, eq. alle dfferenze: Es. Programm d smulazone sul computer. x + 1 = bx + au k k k Automatca ROMA TRE Stefano Panzer- 8

9 Causaltà (propretà d...) Altre propretà 2 x x y causale y non causale a f b To a fg y() t = f x() t y() t = f x t+ t 0 Automatca ROMA TRE Stefano Panzer- 9

10 Sstema Massa - Smorzatore x,v modello grafco f M D v = x 1 lvello d astrazone equazone dv dt = 1 ( M f vd ) dagramm f v S perde l meccansmo FISICO Modello n scala: non rportable qu n quanto non è nformazone (ved carrello.wm, carrellomolla.wm, duecarell.wm, rsp_quadra2ord.wm, rsp_seno2ord.wm realzzat n Workng Model 2D) Automatca ROMA TRE Stefano Panzer- 10

11 Sstema Massa - Smorzatore ATTENZIONE al lvello d dettaglo fenomen molto lent: f D dv M 0 dt f = v D fenomen molto veloc f M Ke m e noltre F non è costante con la veloctà d spostamento Il modello ottmo va determnato n base alle esgenze del problema Automatca ROMA TRE Stefano Panzer- 11

12 Crcuto RL R L anche questo è un modello POSSIBILI MODELLI v(t) = R(t) + L d dt v t Quello n scala ha l nconvenente d non essere nformazone pura Automatca ROMA TRE Stefano Panzer- 12

13 Crcuto RL MA: Se la frequenza è molto bassa Se la frequenza è molto alta ed esstono altre varant mportant Il modello ottmo va determnato n base alle esgenze del problema capactà parassta Automatca ROMA TRE Stefano Panzer- 13

14 Massa molla smorzatore f M K molla: f e = - K x x D smorzatore: fs = D x x=0 rposo della molla M x = f = f Kx Dx Mx + Dx + Kx = f Equvale al crcuto RLC Automatca ROMA TRE Stefano Panzer- 14

15 2 masse 1 molla f 0 x 1 0 x 2 Scelt n modo che quando x 1 =x 2 =0 la K molla sa a rposo m 1 m 2 D 1 f=k(x 2 -x 1 ) D 2 mx = f + K( x x) Dx mx = 2 2 K( x 2 x1) Dx Automatca ROMA TRE Stefano Panzer- 15

16 Pass per modellare un Σ Dagramma schematco del sstema e defnzone delle varabl Dervazone delle equazon matematche de component elementar (blocch). Interconnessone de modell elementar Valdazone spermentale (confronto tra smulazon e esperment) eq. d equlbro Krchoff: Σ elettrc Lagrange: Σ meccanc Bernoull: Σ draulc utl ALTERNATIVAMENTE Identfcazone del modello dalle msure (legame ngresso-uscta) Automatca ROMA TRE Stefano Panzer- 16

17 Un Σ elettrco v = 0 t L d dt + 1 C (τ)dτ+v c(0) + R(t) = v (t) 0 v + L C R v u L d 2 dt 2 + R d dt + 1 C (t) = dv dt v u = R(t) Oppure... Un eq. del 2 ordne L d dt = v ( c(t) + R)+ v (t) C dv c = (t) dt v u = R(t) Due eq. del 1 ordne Automatca ROMA TRE Stefano Panzer- 17

18 Le equazon d Lagrange d dt L q L q q : coord. Lagrangane (poszon) = u q: angolo dalla vertcale u: coppa al fulcro 1 2 T = Iq U = U0 Mgd cos q 2 d L d T d a f = = Iq = Iq dt q dt q dt L q U = q = Mgd af sn q af Un Σ meccanco L = T U T : en. cnetca U : en. potenzale d M (ved pendolo.wm, pendolo_coppa.wm realzzat n Workng Model 2D) af Iq + M gd sn q = u( t) Automatca ROMA TRE Stefano Panzer- 18

19 Due format standard a) Un equazone dfferenzale d ordne N N M a d y d u N + + a y t b but N 0 () = M + + M 0 () dt dt Tp d Modell matematc Relazone ngresso - uscta R S T b) N equazon dfferenzal d 1 ordne N M x = a x + b u 1 1h h 1k k 1 1 N M x = a x + b u N Nh h Nk k 1 1 dove X è lo STATO Relazone ngresso - stato per ora assumamo che l uscta sa uno degl stat Ma lo stato è qualcosa d pù d una sosttuzone d varabl... Automatca ROMA TRE Stefano Panzer- 19