ASINTOTI COME LIMITI DI TANGENTI

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1 ASINTOTI COME LIMITI DI TANGENTI ANDREA DI LORENZO SILVIA FEDI VALERIO STINCO RICCARDO VIGNOLI. UN ESEMPIO Nel piao cartesiao è riportato il grafico della fuzioe: e il suo asitoto obliquo di equazioe y y

2 Se ora tracciamo alcue delle rette tageti al grafico, ci si rede coto che per + esse tedoo ad "alliearsi" all'asitoto (aalogamete per ). y Questo fatto è icidetale o accade sempre? I altre parole: e' vero, che se il coefficiete agolare della tagete ha ite fiito o ullo tale ite è il coefficiete agolare di u asitoto obliquo? è vero che se c'è u asitoto obliquo allora il coefficiete agolare della tagete ha come ite il coefficiete agolare dell'asitoto? I questo lavoro cercheremo delle risposte a questi quesiti. Occorre però itrodurre alcui prerequisiti.. RICHIAMI TEORICI. ASINTOTI. Si dice che la curva G (evetualmete grafico di ua fuzioe di equazioe y) ammette la retta r come asitoto se la distaza del geerico puto P della curva dalla retta r tede a zero quado P si allotaa idefiitamete su G.

3 G P Q H Cioè: Dist(P;H). ASINTOTI OBLIQUI DI UNA FUNZIONE y Se si ha: ± è lecito chiedersi se esista u "asitoto obliquo", e cioè se il grafico della fuzioe si accosti (quado tede a più o meo ifiito) a quello di ua retta di equazioe: ym+q (ove m, altrimeti si tratterebbe di u asitoto orizzotale); aturalmete possiamo avere due diversi asitoti obliqui per che tede a più o meo ifiito. Per scoprirlo dobbiamo calcolare il ite: Se tale ite esiste ed è fiito, ci dà il valore di m; si procede effettuado il ite:. ( - m) Di uovo, se tale ite esiste ed è fiito, esso ci dà il valore di q. e quidi l'asitoto obliquo esiste per che tede a più ifiito ed ha equazioe ym+q..

4 Lo stesso tipo di aalisi va compiuto per che tede a meo ifiito..3 TEOREMA DI LAGRANGE Data ua fuzioe f cotiua i [a,b] e derivabile i (a,b), esiste c (a, b) tale che: f(b) f(a) f'(c) b a.4 TEOREMA DI DE L' HOSPITAL (PER ) Date due fuzioi f e g cotiue e derivabili i u itervallo (a, + ), se g'() per ogi (a, + ) e se: ± g() ± f'() g'() L (dove L idica u ite fiito o ifiito) allora: g() L.. RISULTATI Iiziamo itato a studiare come soo legati tra loro i due iti: e f' (). PROPOSIZIONE Sia cotiua e derivabile i u itervallo (a; + ), allora: f'() m ± Dimostrazioe. Suppoiamo che m>, allora, per la defiizioe di ite, per ogi m e m tali che < m < m < m esiste u itervallo (b, + ) co b >a tale che per ogi i (b, + ) si ha f'() > m. Cosiderata ora la retta r passate per ( ; f( ) ) per qualche i (b, + ) co coefficiete agolare pari a m, risulta che per ogi (, + ) il grafico di sta sopra tale retta.

5 m m retta r m ( ; f( ) ) Se così o fosse dovrebbe esistere u puto del grafico ( ; f( )) co > al di sotto della retta r, ma allora la retta secate passate per ( ; f( ) ) e ( ; f( )) avrebbe u coefficiete agolare m' m ; e per il teorema di Lagrage (.3) dovrebbe esistere u c (, ) tale che f'(c)m' m ; ma questo è assurdo perché per ogi (, + ) (b; + ) f'()> m. m m retta r m ( ; f( ) ) ( ; f( ) ) m' Cofrotado la fuzioe e la retta r ell'itervallo (, + ) si coclude che + Se fosse m< co aaloghi ragioameti si arriverebbe a:

6 . PROPOSIZIONE Sia cotiua e derivabile i u itervallo (a; + ), e m allora: f'() m m + Dimostrazioe Applicado il teorema di de L'Hospital alle fuzioi e g() (è facile vedere che valgoo tutte le ipotesi del teorema, i particolare ± si ha per la prop..) si ha: + + f'() m.3 OSSERVAZIONE. Vale il viceversa? La risposta è affermativa per le fuzioi razioali fratte...4 PROPOSIZIONE Sia ua fuzioe razioale fratta e m, allora + m f' () m Dimostrazioe Essedo + m, la fuzioe razioale fratta è del tipo: P() Q() a b a b ed ioltre m + + a b a b + a b a b a b Calcolado f'() f' + () si ottiee: - [( + )a a]( b b ) ( a a )( b b) ( b b )

7 + [( )a b a b ] + a b a b + b b m Nella proposizioe che segue si vede che le domade poste all'iizio hao per le fuzioi razioali fratte ua risposta affermativa..5 PROPOSIZIONE Ua fuzioe razioale fratta ha u asitoto obliquo sse Dim. f' () m Se ha u asitoto obliquo allora + m e quidi per la prop.4 si ha: f'() m. Viceversa se f' () m, acora per la prop..4 si ha m ; ma el caso + delle fuzioi razioali fratte questo comporta ecessariamete l'esisteza di u umero q tale che: ( - m). q, da cui l'esisteza dell'asitoto obliquo di equazioe: ym+q.6 OSSERVAZIONE. La prop. si può ivertire i geerale aggiugedo l'ipotesi dell'esisteza dei iti e f' ()..7 PROPOSIZIONE Sia cotiua e derivabile i u itervallo (a; + ) e m ed ioltre esistao f'(), allora e + m f' () m

8 Dimostrazioe Applicado acora il teorema di de L'Hospital alle fuzioi e g() (il esiste per ipotesi, e o può essere fiito, altrimeti f'() + + f'() + ± m, quidi ± + m ) si ha.8 OSSERVAZIONE. L' ipotesi relativa all'esisteza di el quale o esiste f' (). f' () è esseziale, come risulta dal seguete esempio Esempio : + se se + se f'() + cos f'() ( + cos ) + + GRAFICO DI GRAFICO DI f'() Si oti che i questo caso la fuzioe o ha u asitoto obliquo, ifatti il ite per determiare q o esiste: + ( + se ) se +

9 Si potrebbe essere idotti a pesare che la prop.. o si iverta i questo caso proprio per la macaza dell'asitoto obliquo; ma o è così come risulta dal prossimo esempio. Esempio se + + se + se m + ( - ) + se - se + + q duque la fuzioe ha u asitoto obliquo di equazioe y se se f'() + cos f'() + cos + + I questo esempio si vede come l'esisteza dell'asitoto obliquo o comporti ecessariamete l'esisteza del ite: f' ().

10 3. CONCLUSIONI All'iizio di questo lavoro c'eravamo posti due quesiti. ) E' vero, che se il coefficiete agolare della tagete ha ite fiito o ullo tale ite è il coefficiete agolare di u asitoto obliquo? Abbiamo stabilito ella prop.. che se m allora i geerale: f'() ora se si ha ache ( - m) m m + q (e per le fuzioi razioali fratte ciò accade sempre), la fuzioe ha u asitoto obliquo ym+q co coefficiete agolare m ) E' vero che se c'è u asitoto obliquo allora il coefficiete agolare della tagete ha come ite il coefficiete agolare dell'asitoto? Per la prop..4 l'affermazioe vale per le fuzioi razioali fratte, ma o è vero i geerale (vedi esempio Oss..8). 4. BIBLIOGRAFIA E SITOGRAFIA M.Bergamii, A. Trifoe, G. Barozzi, Moduli di matematica Lieameti di Aalisi, Zaichelli, 8 M. Castella (), Logica, SILVIA FEDI (3^H PNI) ANDREA DI LORENZO (3^D PNI) VALERIO STINCO (3^D PNI) RICCARDO VIGNOLI (3^D PNI) (LICEO CLASSICO ORAZIO DI ROMA, A.S. 9-)