1971 Maturità Scientifica Corso di Ordinamento Sessione Suppletiva. Il candidato risolva, a sua scelta, almeno due dei seguenti quesiti.

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1 1971 Maturità Scientifica Corso di Ordinamento Sessione Suppletiva Il candidato risolva, a sua scelta, almeno due dei seguenti quesiti. In un piano riferito ad un sistema cartesiano ortogonale Oxy, si rappresenti la curva di equazione y Condotta poi per il punto ( 1, 1) la retta di coefficiente angolare m, si dica per quali valori di m una delle sue intersezioni con la curva appartiene al primo o al quarto o al terzo quadrante. Si determini inoltre la lunghezza della corda minima intercettata sulla retta dalla curva e si dica qual è il rapporto, maggiore di 1,fra le aree dei triangoli che le tangenti negli estremi di tale corda formano con gli assi coordinati. = x x Pagina 1 di 30

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6 ( ) = + + = + + = # # x x m y y m mx y m mx y a x x = 1 ( ) ( ) ( ) ( ) PP x x y y x x m x x m a a = + = + = + = ( ) m m m m m m m + = + = Pagina 6 di 30

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12 Tra i coni circolari retti inscritti in una sfera di raggio r, determinare quello per il quale è massima l'area della superficie totale, dopo averne trovata l'espressione in funzione della semiapertura x di un generico cono. Pagina 1 di 30

13 A x x r O h a C A H = x = semiapertura del cono AH AC AO HC = h = altezza del cono = a = apotema del cono = r = raggio della sfera = y = raggio del cono B H y C S t 1 = π CH + π CH AC D L'area S t della superficie totale del cono, in funzione della sua semiapertura x, è determinabile 1 mediante la seguente formula : St = π CH + π CH AC Pongo : AH AO = h = altezza del cono, AC = a = apotema del cono = r = raggio della sfera, HC = y = raggio del cono, C A H = x = semiapertura del cono St = πy + π ya 1 = πy( a y) + = area della superficie totale del cono AC = AD cos x a = r cos x, HC = AC sin x y = sin x = rsin x cos x = rsinx ( cos ) = πr sinx( cos x + sinx) = 4πr sin x x( 1 sin x) St = πrsinx r x + rsinx 4 3 = 4πr ( sin x sin x + sin x + sin x) Il massimo della funzione S t coincide col massimo della funzione t ( ) = = sin x x( 1 + sin x) f x S 4πr 4 3 cos = sin x sin x + sin x + sin x ( ) ( ) ( ) f x = cos 3 x 1 + sin x sin x cos x 1 + sin x + sin x cos 3 x = = ( 1 ) ( 1 ) 3 cos x + sin x sin x cos x + sin x + sin x cos x cos x = = cos x( 1 + sin x) [ cos x sin x + sin x( 1 sin x) ] = = cos x( 1 + sin x)[ 1 sin x sin x + sin x sin x] ( ) cos ( 1 )( 4 1) f x = x + sin x sin x + sin x + cos + = con 0 < x < 90. Pagina 13 di 30

14 ( ) f x = 4sin 3 x cos x 3sin x cos x + sin x cos x + cos x 3 ( ) cos ( 4 3 1) f x = x sin x sin x + sin x + f ( x) = 0 cos x( sin x)( sin x sin x ) = 0 cos x = 0, sin x = 1 sin x = , 4, sin x = , 64 x = o arcsin 8 punto di massimo assoluto cos x = 1 sin x = 1 o o = = St ( xo ) = 4π r 1 + = 4πr sinx πr ( ) ( ) St xo = = + 18 x o + o sin x = cosx 1-17 sin x = 8 segno della funzione - 4sin x + sinx + 1 x o O + O x cosx(1+cosx) 4sin x + sinx + 1 f ( x) Pagina 14 di 30

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17 h = r a = r Pagina 17 di 30

18 Si studi il grafico della funzione y = sin x + sin x nell'intervallo [ 0, π ] Calcolare l area S della regione finita di piano delimitata dal grafico della funzione e dalle tangenti al grafico della funzione rispettivamente nei punti di ascissa x = 0 e x = π. Dire se esiste un punto A dell asse delle ascisse rispetto al 3 quale il grafico della funzione è simmetrico. Pagina 18 di 30

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25 Si può accettare solo la soluzione x = π Il punto richiesto è: C( π;0 ) Pagina 5 di 30

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27 4 Si esamini la posizione delle radici dell equazione in x : ( m-1) x -( m+1) x+m-1=0 rispetto all intervallo ( 1;1). Pagina 7 di 30

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