= 0 Ciascuna frazione tende ad x x 4 2 cos x lim x = il secondo addendo del numeratore è una funzione x (cos sin x 3 1) cos(x π 2 )

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1 + sen x Es. lim x = il numeratore tende ad un numero positivo, il x 4 denominatore tende a zero. x 4 lim x = il denominatore ha grado maggiore del numeratore. x 8 + x sen x lim x +( + x) sen x = lim x + ( + x) x = e l esponente tende a e la base ad e. lim x + + x = Ciascuna frazione tende ad. + x x 4 cos x lim x = il secondo addendo del numeratore è una funzione limitata. x 3 + lim x log( + 3x) x Si tratta come nel terzo esercizio di riportare ( + 3x) x 6 alla forma ( + 3x) 3x. Es. Determinare k in modo che lim x (cos sin x 3 ) cos(x π ) finito e non nullo. per il primo fattore sen si comporta come il suo argmomento mentre cos - (cos sin x 3 ) come il quadrato dell argomento e quindi lim x è finito e non nullo ed il secondo fattore è -sen x, qundi in totale k=7. Es. 3 Determinare quali tra le seguenti funzioni siano continue nel punto. tan(e x ) x log x sen (x ) 5x + 6 x Eccetto la prima funzione le altre non sono definite in ( ma la quarta..). Es. 4 Sia f(x)= x + 3 x. Discutere ove la funzione sia continua. Dimostrare che esistono almeno due punti che risolvono f(x)=3. Determinare di uno di essi un valore approssimato a meno di. Le funzioni esponenziali sono continue in tutto R e tale risulta la somma di due di esse. I limiti per x tendente a ± sono +. Poichè f()= dal teorema dei valori intermedi segue che esite almeno un punto x sul semiasse positivo ed un punto x sul semiasse negativo in cui la funzione vale 3. f(-)=7/ > 3, quindi -/=, punto medio del segmento [-,], è una approssimazione x k x 6 sia

2 di x a meno di.5. f(-/).4 quindi -3/4 è una approssimazione di x a meno di.5. Iterando il procedimento si trova l approssimazione richiesta. Es. 5 Dare esempi di tre funzioni continue in R+ per le quali non esista massimo, non esista minimo non esistano nè massimo nè minimo. Ovviamente ci sono vari esempi tra i quali e x, e x,e x sin x Es. 6 Determinare la costante a R in modo che la funzione f(x) = { sen x x > π 3 ax se x π () sia continua in tutto R. Per ogni a R la funzione è continua su R eccetto π. limiti destro e sinistro sono finiti e coincidono, cioè a= 3 π. È continua in π se i Es. 7 Determinare in base alla sola definizione le derivate delle seguenti funzioni nel punto. f (x) = (3x + ) 3 f (x) = sen x + cos π (3x + ) 3 3 lim x x = lim x 7x + 54x + 36 = 36 sen x + cos π cos π lim x x Es. 8 Qualeè la derivata nel punto della funzione f (x) = e x +x? f (x) = e x +x x + per cui la risposta è la terza. x + x Es. 9 Determinare quante tra le seguenti funzioni siano derivabili : f (x) = sen ln cos x f (x) = cosarcsen x f 3 (x) = e arctg x f 4 (x) = cos 5 xsen 5 x f è derivabile in tutti i punti in cui è definita eccetto ove cosx = ± per il teorema di derivazione di funzioni composte: se cosx = ±, x=k π con k intero. I limiti dei rapporti incrementali in tali punti sono nulli ergo la funzione è ivi derivabile. Si tratta di derivare f (x) = x 4. Ancora per il teorema di derivazione di funzioni composte non ci sono problemi se non per x = ±. I limiti dei rapporti incrementali in tali punti non esistono ( limite ( ) sin x 5/ destro e sinistro non coincidono). f 4 (x) = basta che la funzione sia definita. Per cui sono 5 le funzioni derivabili in. Es. Determinare per quali valori di a,b R la funzione =

3 f(x) = { x + ax + se x > cos(xπ) + b se x risulti derivabile in tutto R. Occorre che non solo la derivata destra e quella sinistra coincidano ma anche che la funzione sia continua nel punto,a=b=-4. Es. Dimostrare che la derivata di una funzione pari é una funzione dispari e che la derivata di una funzione dispari é una funzione pari. Siano x e x nel dominio della funzione pari f(x), che risulti ivi derivabile. posto t=-x f ( x )) = lim x x f(x) f( x ) x ( x ) f(t) f(x ) lim t x (t (x )) = f (x ) = lim x x f( x) f(x ) ( x (x )) = Analogo l altro caso. Es. Determinare una equazione della retta tangente alla parabola di equazione y=x 4x + nel punto (,-). y+=-(x-) Es. 3 Dimostrare che il polinomio x x3 + x + 4 x + 4 ha al piú due radici reali. Non si tratta di utilizzare formule risolventi per equazioni di quarto grado, ma di utlizzare bene il teor. di Rolle. Se il polinomio avesse tre radici reali, x < x < x 3, dovrebbero esistere punti x 4,x 5, con x < x 4 < x < x 5 < x 3 in cui si annulla la derivata prima del polinomio e quindi dovrebbe esserci un punto x 6 in cui si annulli la derivata seconda, ma la derivata seconda non ha radici reali. Es. 4 Determinare i primi due termini non identicamente nulli del polinomio di McLaurin delle seguenti funzioni: f (x) = e x sin x f (x) = cosx f 3 (x) = x + 3x 5 4x 7 + 8x 9 f 4 (x) = log( + x sin x) f 5 (x) = 5 cos x + xf 6 (x) = (x + ), x + x, x 4 /, segue dalla definizione x + 3x 5 x x 4 /3 + x/5 + x Es. 5 Sia f(x) = senx x per x ed f()=. Discutere la derivabilità di tale funzione. Non ci sono problemi di derivabilità eccetto in, ma senx x / x () = sen x x x

4 che ha limite in. Es. 6 Determinare le primitive delle seguenti funzioni: f (x) = x + x + f (x) = x cosx f 3 (x) = tg x f 4 (x) = senx sen x f 5 (x) = e x x log(x + ) + ArcTan x + C ottenuto scomponendo in log cos x + Cimmediato x x + 4 e x + rispetto al precedente solo una differenza di segno sugli intervalli in cui cos x < e x immediato sin 3 x cos 5 x dx = sin x( cos x) cos 5 x dx = (t )t 5 dt Es. 7 Studiare la funzione f(x) : [, ] R definita da f(x) = x sen t dt senza calcolarne esplicitamente primitive. f()= ed f (x)= sin x si annulla in ed in ± π. È facile studiare il segno di f (x), positiva tra ± π e negativa in [-,] al di fuori di tale intervallo, per cui non è ne un minimo ne un massimo relativo, mentre tali risultano nell ordine π(vedi fig.?? ). Es. 8 Sia f(x) una funzione dispari continua nell intervallo [-a,a] allora a a f(x)dx = A parte considerazioni geometriche che possono suggerire il risultato, a a f(x)dx = a f(x)dx + a ponendo t=-x nel primo integrale si ha a f(t)dt + a f(x)dx = f( x)dx + f(x)dx a a f(x)dx =

5 Figure : y= x sen t dt Il risultato si estende anche a funzioni dispari continue su R. Es. 9 Determinare l area della intersezione del cerchio di raggio e centro (,) e dall insieme {(x,y) R : y > x x + } Se P = (x,y ) e P = (x,y ) sono i punti di intersezione tra la circonferenza C di equazione (x ) +y = 4 e la parabola Γ di equazione y = x x+ Si tratta di determinare la differenza tra le aree dei trapezoidi individuati dalla funzione y = 4 (x ) e da Γ sull intervallo [x,x ]. Si trova x,x = + 7 per cui la soluzione è data da x 4 (x ) (x x + ) dx = x x x 4 x x dx sostituendo sin t ad x e corrispondentemente dx= cos t dt e t= arcsen x per cui cos t > 4 x dx = sin t cos tdt = 4 cos tdt = (vedi M.S.(6.) pag34) = (t + sin t cos t) + c = arcsin x + x 4 x Es. Un insieme di funzioni {f(x),f (x),...,f k (x),..} si dice un sistema ortogonale su un intervallo [a,b] ( o su R, su una semiretta etc. ) se b f j (x)f k (x)dx = j k, a

6 4 3-3 Figure : vedi es. 9 se inoltre b a f j (x)dx = j =,,... si dice un sistema ortonormale. Dimostrare che f (x) =,f (x) = x,f (x) = 3x,f 3 (x) = 5x3 3x,f 4 (x) = 35x 4 3x + 3 formano un sistema ortogonale su [-,] 8 le g k = f k k + / con le f k precedenti sono un sistema ortonormale. sin t e 3 sin t cos t sono ortogonali nell intervallo [,π] Si tratta di facili verifiche per il primo caso:per es. f 3 (x)f 4 (x)dx = (5x 3 3x)(35x 4 3x + 3) è una funzione dispari e quindi su un intervallo 6 simmetrico rispetto all origine è nullo. f (x)f 4 (x)dx = 35x 4 3x x dx = 6 [5x7 5x 5 +3x 3 3x] = Es. Discutere la convergenza o meno dei seguenti integrali: x dx x x + x dx arctg xdx x dx

7 Dalla definizione lim h + [arctanx]h = π x + + x + x dx = log(x + x + ) + K arctan(x + /) con K costante opportuna, per cui l integrale improprio diverge. arctan x tende a ±π/ se x tende all infinito, diverge. Per l ultimo basta per simmetria studiare dx x con dx = arcsin x + C, x per cui l integrale converge a π/. Es. Determinare un valore approssimato a meno di. di e x dx Si tratta di una funzione molto importante in statistica, ma le primitive di e x non sono esprimibili come composizione di funzioni elementari per cui se ne calcolano valori approssimati. Una approssimazione può essere fatta con lo sviluppo con i polinomi di McLaurin di e t = +t+t /+...+ tn n! +o(tn ). Se x [,] e t = x [, ] o(t n ) < M t n+ (n + )! ove M max [,]e t = e x ( x + x 4 / ( x ) n ) n! < x n+ (n + )! da cui per la monotonia dell integrale e x dx x + x 4 / ( x ) n dx n! < x n+ (n + )! dx e x = x + x 4 / x 6 /6 + x 8 /4 x / + x /7 x 4 /54.. ne deriva che basta integrare x +x 4 / x 6 /6+x 8 /4 ed il valore differira dall integrale di e x non piú di x /7dx < /

8 ( ) ( ) α /4 Es. 3 Dimostrare che e αx / 4α 3 /4 ed xe αx / sono ortogonali su tutto R. π π + xe αx dx = lim K + α e αk lim k α e αk = Es. 4 Risolvere le seguenti equazioni differenziali : y +6 y cosx + cosx= y y - y 3 3 (x + ) = y +3 y -4y= y +4 y +4y = x y +3 y +4y = y +4 y +4y = e x Dalla formula risolvente si ha y(x) = e 6sen x ( ) e 6sen x cos xdx + c, con l integrale immediato. Si tratta di una equazione di Bernoulli. z=y 3 riporta alla equazione z 3z (x + ) = che ha soluzioni z(x) = e 3x ( e 3x (x + )dx + C) Ovviamente le soluzioni della equazione sono le radici cubiche di z. La equazione caratteristica ammette due radici reali e distinte, -4 ed, per cui l equazione differenziale ha come soluzioni c e 4x + c e x. Alla generica soluzione della equazione omogenea c e x + c xe x va aggiunta una soluzione particolare x/ /. La equazione caratteristica ammette due radici complesse, 3 ± i 7 per cui l equazione differenziale ha come soluzioni c e 3x cos 7x+c e 3x sen 7x. per la eq caratteristiva vedi la eq. precedente, la soluzione particolare dato che - è soluzione doppia della equazione caratteristica, va ricercata tra quelle della forma ax e x