Secondo parziale di Matematica per l Economia lettere E-Z, a.a , compito A prof. Gianluca Amato

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1 Corso di Laurea in Economia e Management Secondo parziale di Matematica per l Economia lettere E-Z, a.a , compito A prof. Gianluca Amato Regole generali Si svolga il primo esercizio e, a scelta dello studente, l esercizio 2 o il 3. Nel caso vengano svolti entrambi, verrà considerato ai fini del voto finale solo uno dei due (a discrezione del docente). Si noti che: Tutte le risposte vanno opportunamente motivate. L aver copiato anche un singolo esercizio causa l annullamento di tutto il compito. È possibile utilizzare una calcolatrice. Non si possono adoperare libri o appunti. È assolutamente vietato l utilizzo di un cellulare o altro strumento di telecomunicazione. Testo della prova 1. Si consideri la funzione f : A R R data da f(x) = x3 3 +x2 3x. Determinare: (a) l insieme di definizione della funzione; (b) le intersezioni del grafico di f con gli assi cartesiani; (c) se la funzione è pari e/o dispari; (d) il segno di f(x) al variare di x; (e) la derivata della funzione; (f) i punti di massimo e minimo relativo; (g) i punti di massimo e minimo assoluto della funzione f quando ristretta all intervallo [ 1, 1]; (h) la derivata seconda della funzione; (i) concavità, convessità e punti di flesso; (j) grafico della funzione, in cui sono evidenziate le intersezioni con gli assi, i punti di massimo e minimo relativo e i punti di flesso. 2. Si determini l area della regione di piano nel I quadrante compresa tra le rette y = 1, x = 2 e l iperbole y = 1 x. 3. Si determini quali dei seguenti insiemi è costituito da vettori linearmente indipendenti. A = {(, 1, 1), (1,, ), (1, 1, 1)} B = {(, 1, 1), (1,, ), (1, 1, )}.

2 Soluzione compito A 1. (a) Poiché f è una funzione polinomiale, è definita su tutto R. (b) Per determinare l intersezione di f con l asse delle ordinate, basta calcolare la f nel punto. Poiché f() =, l intersezione sarà nel punto O = (, ). Per determinare le intersezioni con l asse delle ascisse, bisogna risolvere l equazione f(x) =, ovvero x3 + 3 x2 3x =. Possiamo liberarci della frazione moltiplicando numeratore e denominatore per 3, ottenendo x 3 + 3x 2 9x =. Mettendo in evidenza la x, otteniamo x(x 2 + 3x 9) =. Questa equazione ha una prima soluzione per x =, che corrisponde al punto O già individuato prima. Le altre soluzioni sono date dagli zeri di x 2 +3x 9. Calcoliamo il discriminante del polinomio ( = ( 9) = 45 = 3 2 5) e otteniamo le soluzioni x = e x 2 1 = A queste 2 soluzioni corrispondono i punti A = (x, ) e B = (x 1, ). Si noti che 2 < 5 < 3, per cui x < = 9/2 = 4.5 e x 2 > = 6, ovvero 6 < x 2 < 4.5. Analogamente, x 1 > = 2 3/2 = 1.5 and x 1 < = 3, ovvero 1.5 < x 2 1 < 3. (c) Sappiamo che f è pari quando f( x) = f(x) per ogni x nell insieme di definizione di f, mentre è dispari quando f( x) = f(x). Se troviamo anche un solo x per cui ciò non accade, abbiamo dimostrato che la f non è pari (o dispari, a seconda del caso). Proviamo con x = 1. Abbiamo f( 1) = 1/ = 11/3, mentre f(1) = 1/ = 5/3 e ovviamente f(1) = 5/3. Dunque f( 1) f(1) e anche f( 1) f(1), ovvero f non né pari né dispari. (d) Riprendiamo quanto fatto al punto 2. Studiare il segno di f(x) è equivalente a studiare il segno di x(x 2 + 3x 9). Studiamo separatamente il segno di x e di x 2 + 3x 9. Ovviamente x è positivo quando x >. Per quanto riguarda x 2 + 3x 9, poiché il segno del termine di secondo grado è positivo, il polinomio è positivo per i valori di x esterni ai due zeri, ovvero per x < x e per x > x 1. Mettiamo insieme i risultati: x + x 1 + x x 2 + 3x 9 f(x) Abbiamo dunque che f(x) > per x < x < e per x 1 < x, mentre f(x) < per x < x e per < x < x 1. (e) f (x) = D[f(x)] = 1/3 D[x 3 ] + D[x 2 ] 3 D[x] = 1/3 3x 2 + 2x 3 1 = x 2 + 2x 3. (f) Per determinare i punti di massimo e minimo relativo bisogna studiare il segno della funzione f. Si tratta di un polinomio di secondo grado, con = ( 3) = 16 = 4 2 e soluzioni x = 2 4 = 3 ed x 2 1 = 2+4 = 1. 2 Poiché il coefficiente del termine di secondo grafo è positivo, f (x) è positivo per x < x ed x > x 1, negativo per x < x < x 1. Ne segue che f(x) è crescente per x < x ed x > x 1, decrescente per x < x < x 1. Dunque, x è un punto di massimo relativo, mentre x 1 è un punto di

3 minimo relativo. In corrispondenza di questi punti, la funzione f assume i valori f( 3) = ( 3) 3 /3 + ( 3) 2 3 ( 3) = = 9 ed f(1) = 1/ = 5/3. Vengono pertanto individuati i punti M = ( 3, 9) ed m = (1, 5/3) nel grafico della funzione corrispondenti a massimo e minimo relativo (relativamente, ricordiamolo, all intervallo [ 1, 1]). (g) I minimi e massimi assoluti nell intervallo [ 1, 1] si ottengono confrontando i minimi e massimi relativi interni all intervallo con i valori agli estremi. Il punto di massimo relativo x = 3 è esterno all intervallo selezionato. Il punto di minimo relativo x 1 = 1 coincide con uno degli estremi, e sappiamo già che f(1) = 5/3. Siccome per l altro estremo dell intervallo abbiamo f( 1) = ( 1) 3 /3 + ( 1) 2 3 ( 1) = 1/ = 11/3, si ha che 1 è un punto di massimo assoluto e 1 è un punto di minimo assoluto. (h) f (x) = D[f (x)] = D[x 2 + 2x 3] = D[x 2 ] + 2D[x] = 2x + 2. (i) Per determinare concavità, convessità e punti di flesso occorre studiare il segno della funzione f. Si tratta di un polinomio di primo grado. Si ha che 2x + 2 > se e solo se 2x > 2 ovvero x > 1. Dunque f (x) < per x < 1, f (x) = per x = 1 ed f (x) > per x > 1. Dal punto di vista della funzione f, questo vuol dire che f(x) è concava per x < 1, convessa per x > 1, ed ha un punto di flesso in x = 1. Siccome f( 1) = 11/3, viene individuato nel grafico della funzione il punto F = ( 1, 11/3) corrispondente al punto di flesso. (j) Segue il grafico della funzione. Sono stati evidenziati i punti O, A, B, m, M ed F precedentemente individuati. 1 M 5 F A O B m Questo che segue è il grafico dell iperbole y = 1/x e delle rette y = 1 ed x = 2

4 ristrette al I quadrante: 3 2 y = 1/x y = 1 x = 2 1 A B C O D E Il punto A è l intersezione tra l iperbole y = 1/x e la retta y = 1, cioè la soluzione del sistema { y = 1/x y = 1 Questo sistema ha una unica soluzione x = y = 1, per cui A = (1, 1). Il punto C 1 è l intersezione dell iperbole y = 1/x con la retta x = 2. Risolvendo il sistema { y = 1/x x = 2 otteniamo x = 2 ed y = 1/2, ovvero C = (2, 1/2). L area che vogliamo calcolare è quella della regione di piano ombreggiata. Questa la possiamo ottenere come differenza tra l area del quadrato ABED e della regione di piano ACED. Il quadrato ABED ha lato unitario, per cui la sua area è 1. L area della regione di piano ACED è l area sottostante al grafico di 1/x, per cui la si può calcolare come x dx I numeri 1 e 2 (gli estremi di integrazione) sono le ascisse dei punti D ed E. Siccome sappiamo che log x è una primitiva di 1/x, abbiamo: [ ] 2 x dx = log x = log 2 log 1 = log 2, 1 per cui la regione di piano ombreggiata ha area 1 log Sappiamo che i vettori x 1, x 2, x 3 sono linearmente dipendenti se esistono k 1, k 2, k 3 non tutti nulli tali che k 1 x 1 + k 2 x 2 + k 3 x 3 =. Proviamo dunque a risolvere l equazione k 1 x 1 + k 2 x 2 + k 3 x 3 = prendendo i vettori x 1, x 2 e x 3 da A e B, e vediamo se riusciamo a trovare una soluzione con qualche coefficiente non nullo. 1 Notare che le coordinate esatte del punto C non sono utili per la risoluzione di questo esercizio, ma le calcoliamo per completezza.

5 Insieme A. Nel caso dell insieme A, l equazione diventa k 1(, 1, 1)+k 2(1,, )+ k 3(1, 1, 1) = (,, ). Eseguendo i prodotti vettore per scalare e le somme tra vettori, otteniamo l equazione (k 2 + k 3, k 1 + k 3, k 1 + k 3) = (,, ), ovvero il sistema: k 2 + k 3 = k 1 + k 3 = k 1 + k 3 = A questo punto, determino k 2 dalla prima equazione: determino k 1 dalla seconda equazione: k 2 = k 3 k 1 + k 3 = k 1 + k 3 = k 2 = k 3 k 1 = k 3 k 1 + k 3 = sostituisco il valore di k 1 nelle altre equazioni: k 2 = k 3 k 1 = k 3 k 3 + k 3 = L ultima equazione k 3 + k 3 = è in realtà equivalente a =, che è sempre verificata per qualunque valore di k 3. Il sistema si riduce quindi a { k 2 = k 3 k 1 = k 3 che non impone nessun vincoo su k 3. Già questo è sufficiente a concludere che i vettori di A sono linearmente dipendenti. Tuttavia, se si vogliono dei numeri effettivi per k 1, k 2 e k 3, basta scegliere per k 3 qualunque numero diverso da, calcolare i corrispettivi valori per k 1 e k 2, e otteniamo la combinazione lineare cercata. Ad esempio, per k 3 = 1 otteniamo k 1 = k 2 = 1. Con un semplice conto si vede subito che 1 (, 1, 1) + ( 1) (1,, ) + 1 (1, 1, 1) =. Insieme B Nel caso dell insieme B, l equazione diventa k 1(, 1, 1)+k 2(1,, )+ k 3(1, 1, ) = (,, ) che da origine al sistema: k 2 + k 3 = k 1 + k 3 = k 1 =

6 sostituisco k 1 nelle altre equazioni: sostituisco k 3 nelle altre equazioni: k 2 + k 3 = k 3 = k 1 = k 2 = k 3 = k 1 = Il sistema è risolto è da un unica soluzione k 1 = k 2 = k 3 =. Dunque l unica combinazione lineare nulla dei tre vettori in B è quella in cui tutti i coefficienti sono nulli. Pertanto, B è un insieme di vettori linearmente dipendenti.

7 Corso di Laurea in Economia e Management Secondo parziale di Matematica per l Economia lettere E-Z, a.a , compito B prof. Gianluca Amato Regole generali Si svolga il primo esercizio e, a scelta dello studente, l esercizio 2 o il 3. Nel caso vengano svolti entrambi, verrà considerato ai fini del voto finale solo uno dei due (a discrezione del docente). Si noti che: Tutte le risposte vanno opportunamente motivate. L aver copiato anche un singolo esercizio causa l annullamento di tutto il compito. È possibile utilizzare una calcolatrice. Non si possono adoperare libri o appunti. È assolutamente vietato l utilizzo di un cellulare o altro strumento di telecomunicazione. Testo della prova 1. Si consideri la funzione f : A R R data da f(x) = e x2 +1. Determinare: (a) l insieme di definizione della funzione; (b) le intersezioni del grafico di f con gli assi cartesiani; (c) se la funzione è pari e/o dispari; (d) il segno di f(x) al variare di x; (e) la derivata della funzione; (f) i punti di massimo e minimo relativo; (g) i punti di massimo e minimo assoluto della funzione f quando ristretta all intervallo [ 1, 1]; (h) la derivata seconda della funzione; (i) concavità, convessità e punti di flesso; (j) grafico della funzione, in cui sono evidenziate le intersezioni con gli assi, i punti di massimo e minimo relativo e i punti di flesso. 2. Si determini l area della regione di piano compresa tra le parabole di equazione y = x 2 2x ed y = 2x 2 + 4x. 3. Si determinino gli asintoti obliqui del grafico della funzione f(x) = x2 +2 x+1.

8 Soluzione compito B 1. (a) Tutte le operazioni presenti nella definizione di f(x) (ovvero somma, elevamento al quadrato ed esponenziale) possono essere eseguite per qualunque numero reale. Quindi l insieme di definizione di f è tutto R. 2 (b) Per determinare l intersezione di f con l asse delle ordinate, basta calcolare la f nel punto. Poiché f() = e 2 +1 = e 1 = e, abbiamo una intersezione nel punto A = (, e). Per determinare le intersezioni con l asse delle ascisse, bisogna risolvere l equazione f(x) =, ovvero e x2 +1 =. Questa equazione non ha soluzione, perché e elevato a un qualunque numero reale è un numero strettamente positivo. Non ci sono quindi intersezioni con l asse delle ascisse. (c) Sappiamo che f è pari quando f( x) = f(x) per ogni x nell insieme di definizione di f. Calcoliamo allora f( x): f( x) = e ( x)2 +1 = e x2 +1. Quest ultima formula è esattamente uguale a quella di f(x), dunque f( x) = f(x) qualunque sia x, e la funzione f è pari. 3 Ora verifichiamo che f non è dispari. In questo caso basta trovare un singolo numero x tale che f( x) f(x). Con x = 1 abbiamo f( 1) = e ( 1)2 +1 = e 2 mentre f(1) = e = e 2. Ovviamente f( 1) e f(1) sono diversi, in quanto il primo è positivo e il secondo è negativo. 4 (d) Abbiamo già detto che e x2 +1 è strettamente positiva qualunque sia x. 5 (e) La funzione f la si può pensare come la composizione di g(x) = e x ed h(x) = x 2 + 1, ovvero f(x) = g(h(x)). Pertanto: f (x) = g (h(x)) h (x). Siccome g (x) = e x e h (x) = 2x, abbiamo f (x) = e x2 +1 2x = 2xe x2 +1. (f) Per determinare i punti di massimo e minimo relativo bisogna studiare il segno della funzione f. Poiché f (x) = 2xe x2 +1 è il prodotto di 2x per un numero (e x2 +1 ) che è sempre positivo, il segno di f (x) è uguale al segno di 2x. Pertanto f (x) < per x <, f (x) = per x = ed f (x) > per x >. Dunque f(x) è decrescente per x negativo, crescente per x positivo, ed ha un punto di minimo relativo per x =, che è anche il punto di intersezione con l asse delle ordinate che abbiamo trovato precedentemente. 2 Alcuni di voi hanno sbagliato richiedendo che fosse x 2 + 1, come se e non fosse definito. 3 Molti hanno sbagliato perché hanno solo provato a verificare che f(1) = f( 1). Siccome l uguaglianza è verificata, hanno concluso che f è pari. Ma il fatto che f(1) = f( 1) non ci assicura che questa cosa sia vera per tutte le x. 4 Alcuni di voi hanno detto che siccome f era pari non poteva essere dispari. Questo non è del tutto vero. Esiste una funzione che è sia pari che dispari, ovvero la funzione costante f(x) =. 5 Alcun di voi hanno sbagliato perché per determinare i punti per cui e x2 +1 > hanno provato a risolvere l equazione x >. Questo non ha senso: e elevato a qualcosa è sempre positivo, anche se questo qualcosa è negativo.

9 (g) I minimi e massimi assoluti nell intervallo [ 1, 1] si ottengono confrontando i minimi e massimi relativi interni all intervallo con i valori agli estremi. Per x = sappiamo già che f() = e. Siccome f(1) = e = e 2 ed f( 1) = f(1) = e 2 in quanto la funzione è pari, abbiamo che è un punto di minimo assoluto e 1 ed 1 sono punti di massimo assoluto. (h) f (x) = D[f (x)] = D[2x] e x xD[e x2 +1 ]. Siccome D[2x] = 2 e abbiamo già calcolato che D[e x2 +1 ] = 2xe x2 +1, otteniamo f (x) = 2e x x(2xe x2 +1 ) = (4x 2 + 2)e x2 +1. (i) Per determinare concavità, convessità e punti di flesso occorre studiare il segno della funzione f. Si noti che f (x) è il prodotto di due numeri e x2 +1 e 4x Il primo sappiamo già essere sempre strettamente positivo. Il secondo è la somma di un numero positivo (4x 2 ) con un numero strettamente positivo (2) quindi è strettamente positivo. Pertanto f (x) è sempre strettamente positivo, e la funzione f è convessa ovunque, senza punti di flesso. (j) Segue il grafico della funzione A O La parabola di equazione y = x 2 2x ha la concavità verso l alto. Risolvendo l equazione x 2 2x =, ovvero x(x 2) =, si ottiene che la parabola tocca l asse x nei punti di ascissa e 2. Analogamente, la parabola di equazione y = 2x 2 + 4x ha la concavità verso il basso, e tocca l asse delle x sempre nei

10 punti di ascissa e 2. Dunque, il grafico è il seguente: 4 y = x 2 2x y = 2x 2 + 4x L area da calcolare è la somma dell area rossa e dell area blu. L area rossa la si ottiene integrando la funzione f(x) = 2x 2 + 4x tra e 2, mentre l area blu la si ottiene integrando la funzione x 2 2x tra e 2 e poi cambiando segno (in quanto in questo intervallo la funzione è negativa). Dunque 2 ] 2 Area rossa = ( 2x 2 4x)dx = [ 2 x x2 = = 8 3, Area blu = 2 [ (x 2 x 3 2x)dx = 3 2 x2 2 ] 2 Area totale = Area rossa + Area blu = = 3. = ( ) ( = 4 ) = f(x) 3. L eventuale asintoto obliquo ha equazione y = mx + q dove m = lim x + x e q = lim x + f(x) mx. L asintoto orizzontale esiste quando sia m che q esistono finiti, ed m. Analogamente, un altro asintoto obliquo può esistere calcolando gli stessi limiti di cui sopra ma per x. Nel nostro caso facciamo solo i conti per x + in quanto è facile vedere che per x si ottiene esattamente lo stesso risultato. Calcoliamo allora m = f(x) lim x + x = lim x + x 2 +2 x+1 x x = lim x + x 2 + x = lim x 2 x + x = 1. 2 Poiché m è finito e diverso da, passiamo a calcolare q: q = lim f(x) mx = lim x x + x + = lim x + x + 1 x + 1 = lim x + x + 1 x = x x = 1. lim x x 2 x = x + x + 1 Otteniamo dunque un asintoto obliquo di equazione y = x 1.

11 Corso di Laurea in Economia e Management Secondo parziale di Matematica per l Economia lettere E-Z, a.a , compito C prof. Gianluca Amato Regole generali Si svolga il primo esercizio e, a scelta dello studente, l esercizio 2 o il 3. Nel caso vengano svolti entrambi, verrà considerato ai fini del voto finale solo uno dei due (a discrezione del docente). Si noti che: Tutte le risposte vanno opportunamente motivate. L aver copiato anche un singolo esercizio causa l annullamento di tutto il compito. È possibile utilizzare una calcolatrice. Non si possono adoperare libri o appunti. È assolutamente vietato l utilizzo di un cellulare o altro strumento di telecomunicazione. Testo della prova 1. Si consideri la funzione f : A R R data da f(x) = x 3 + 3x 2 9x. Determinare: (a) l insieme di definizione della funzione; (b) le intersezioni del grafico di f con gli assi cartesiani; (c) se la funzione è pari e/o dispari; (d) il segno di f(x) al variare di x; (e) la derivata della funzione; (f) i punti di massimo e minimo relativo; (g) i punti di massimo e minimo assoluto della funzione f quando ristretta all intervallo [ 1, 1]; (h) la derivata seconda della funzione; (i) concavità, convessità e punti di flesso; (j) grafico della funzione, in cui sono evidenziate le intersezioni con gli assi, i punti di massimo e minimo relativo e i punti di flesso. 2. Si determini l area della regione di piano nel I quadrante compresa tra le rette y = 1, x = 2 e il grafico della funzione f(x) = 1 x Si determini quali dei seguenti insiemi è costituito da vettori linearmente indipendenti. A = {(, 1, 1), (1,, ), (2, 2, 2)} B = {(, 2, 2), (3,, ), (1, 1, )}.

12 Soluzione compito C Questo compito è simile al compito A. Tuttavia, i polinomi di II grado che in esso compaiono hanno un discriminante negativo, che semplifica di molto la vita, a meno che non ci si faccia mettere in crisi dalla apparente novità. Data la somiglianza col compito A, la soluzione di questo sarà molto più sbrigativa delle precedenti. 1. (a) Poiché f(x) è un polinomio, l insieme di definizione è tutto R. (b) L intersezione con l asse delle ordinate è il punto O = (, f()) = (, ). Per trovare le intersezioni con l asse delle ascisse, risolviamo l equazione x 3 + 3x 2 9x =, ovvero x( x 2 + 3x 9) =. Il termine x ci da la soluzione x =, che dà di nuovo origine al punto O. Il polinomio di secondo grado x 2 + 3x 9 ha discriminante = ( 1) 9 = 9 36 = 27 <, dunque non ha zeri e non dà origine ad altre intersezioni. (c) Vedi, con le opportune modifiche, la soluzione al compito A. (d) Abbiamo già detto che il polinomio x 2 +3x 9 ha discriminante negativo. Siccome il termine di secondo grado è anch esso negativo, si ha che x 2 + 3x 9 è sempre negativo. Dunque, il segno di f(x) = x( x 2 + 3x 9) è l opposto del segno di x. Pertanto f(x) > per x <, f(x) = per x = ed f(x) < per x >. (e) f (x) = 3x 2 + 6x 9. (f) Dobbiamo studiare il segno di f. Siccome il determinate di f è ( 3) ( 9) = = 72 ed è negativo, f non ha zeri ed ha sempre lo stesso segno, uguale al segno del termine di grado massimo, ovvero negativo. Ne segue che f è ovunque decrescente e non ha punti di minimo o massimo relativo. (g) Poiché f è sempre decrescente, si ha che 1 è punto di massimo assoluto (nell intervallo considerato) e 1 è punto di minimo assoluto. (h) f (x) = 6x + 6. (i) Risolvendo la disequazione 6x+6 > otteniamo x < 1. Dunque abbiamo che f (x) > per x < 1, f (x) = per x = 1 ed f (x) < per x > 1. In altre parole, f è convessa per x < 1, concava per x > 1 ed ha in x = 1 un punto di flesso, corrispondete al punto F = (1, f(1)) = (1, 7) sul grafico della funzione.

13 (j) Segue il grafico della funzione: 1 O 1 F Vedi, con le opportune modifiche, la soluzione al compito A. 3. Vedi, con le opportune modifiche, la soluzione al compito A.

14 Corso di Laurea in Economia e Management Secondo parziale di Matematica per l Economia lettere E-Z, a.a , compito D prof. Gianluca Amato Regole generali Si svolga il primo esercizio e, a scelta dello studente, l esercizio 2 o il 3. Nel caso vengano svolti entrambi, verrà considerato ai fini del voto finale solo uno dei due (a discrezione del docente). Si noti che: Tutte le risposte vanno opportunamente motivate. L aver copiato anche un singolo esercizio causa l annullamento di tutto il compito. È possibile utilizzare una calcolatrice. Non si possono adoperare libri o appunti. È assolutamente vietato l utilizzo di un cellulare o altro strumento di telecomunicazione. Testo della prova 1. Si consideri la funzione f : A R R data da f(x) = e x2 2. Determinare: (a) l insieme di definizione della funzione; (b) le intersezioni del grafico di f con gli assi cartesiani; (c) se la funzione è pari e/o dispari; (d) il segno di f(x) al variare di x; (e) la derivata della funzione; (f) i punti di massimo e minimo relativo; (g) i punti di massimo e minimo assoluto della funzione f quando ristretta all intervallo [ 1, 1];. (h) la derivata seconda della funzione; (i) concavità, convessità e punti di flesso; (j) grafico della funzione, in cui sono evidenziate le intersezioni con gli assi, i punti di massimo e minimo relativo e i punti di flesso. 2. Si determini l area della regione di piano compresa tra le parabole di equazione y = x 2 + 2x ed y = 2x 2 4x. 3. Si determinino gli asintoti obliqui del grafico della funzione f(x) = 2x2 +2 x+1.