Esercizi su Rette e Piani

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1 Esercizi su Rette e Piani Raffaella Di Nardo dinardo@calvino.polito.it 1 aprile 2004 Esercizio 1. In R 2, determinare l equazione dellal retta per P 0 e parallela al vettore u = 3i j. Esercizio 2. Data la retta di equazione cartesiana 2x 3y + 1 = 0 determinare le componenti di un vettore ortogonale alla direzione della retta. Esercizio 3. Determinare l eq. della retta in R 2 passante per P (1, 2) e parallela al vettore v = i + 3j. Esercizio 4. Scrivere in forma cartesiana le seguenti rette, date in forma parametrica: r 1 )(x, y) = (2, 1) + t(2, 3), r 2 )(x, y) = (2, 1) + t(0, 2). Esercizio Scrivere in forma parametrica le seguenti rette e trovare per ognuna vettore direttore e vettore ortogonale: r 1 )2x 3y+3 = 0, r 2 )x+4 = 0, r 3 )5x 3y + 1 = Scrivere in forma paramentrica le equazioni di: asse x, asse y, retta parallela asse x, bisettrice primo e terzo quadrante, bisettrice secondo e quarto quadrante. Esercizio Dati i punti P 0 (5, 3) e P 1 (2, 1), scrivere la retta che passa per questi due punti utilizzando vari metodi. 2. i punti P 0 (1, 3), P 1 (2, 1), P 2 (4, 0) sono allineati? Esercizio Dato il punto P 0 (1, 2, 1), determinare l eqḋella retta per P 0 e parallela al vettore v = 3i + 4j + 5k 2. Data la retta (x, y, z) = t(3, 4, 5)+(1, 2, 1) verificare che il punto Q(1, 1, 1) non vi appartiene. 1

2 3. Dati i due punti P 0 (2, 1, 1) e P 1 (2, 1, 1), determinare l eqḋella retta che determinano. 4. I punti S( 1, 1, 2), T ( 2, 2, 1), U(1, 1, 4) sono allineati? Esercizio Scrivere l eq. della retta per P 0 (1, 2, 1) e di vettore direttore u = i 2j + 2k. 2. Scrivere le equazioni della retta per P (1, 1, 1) e di parametri direttori (2, 2, 1). 3. scrivere le equazioni della retta per P 2 (2, 1, 3) e P 3 (1, 2, 0). 4. Scrivere le eqauzioni delle rette per P (2, 1, 3) e aventi come vettori direttori i, j, k. Esercizio 9. Scrivere le eqauzioni dei piani: 1. passante per P 0 (1, 0, 1) e parallelo al piano vettoriale generato da u 1 (1, 1, 1) e u 2 (1, 1, 2). 2. Passante per P 1 (2, 0, 1) e parallelo al piano xy. 3. Passante per P 2 (0, 1, 3) e parallelo alla rette: e 4. contenente la retta: e parallelo alla retta: x 3 2 = y 1 0 s) x 1 = y x 1 2 x 1 4 = y 2 6 = y determinato dalle rette affini incidenti: x = t y = 5 3t s) z = 1 + t = z = z 1 1. = z = z 1. x = 1 + 2t y = 2 + t z = 2t 6. passante per P (1, 2, 1) e parallelo al piano di equazioni: x = 1 + t 1 t 2 y = 2 + t 1 + 3t 2 z = 2t 1 + t 2 7. Passante per i tre punti (2, 1, 0), (0, 1, 2), (2, 1, 3). 2

3 Esercizio 10. Dato il piano π) 2x 3y + z 1 = 0, determinare le equazioni della retta del piano π incidente la retta: { x = z 1 y = 2z 4 e perpendicolare alla retta: { x 2y + z = 0 s) 2x + y 1 = 0 Esercizio 11. Dato il punto P (1, 2, 2), detreminare l equazione del piano passante per P e soddisfacente l ulteriore condizione: 1. parallelo al piano x 2y + 3z 1 = perpendicolare alla retta OP. 3. contenente la retta: { x 2y + 1 = 0 x + y + 2z = 0 4. contenente la retta per il punto A(1, 2, 1) e vettore direttore u = 2i+3j k. 5. perpendicolare alla retta: { x = y + 3 z = 2y 6. perpendicolare al piano 2x + 3y z + 3 = 0 e passante per il punto B(2, 4, 3). Esercizio 12. Tra i piani che hanno distanza 1 dall origine, determinare quelli che sono paralleli alla retta : { 2x + 3z = 0 p) y z 1 = 0 e perpendicolari al piano di equazioni parametriche: x = 1 + 3t 1 y = 1 + t 1 t 2 z = 2 + 3t 1 + t 2 Esercizio 13. Dato il punto P ( 2, 3, 3), scrivere le equazioni della retta per P che soddisfa l ulteriore condizione: 3

4 1. incidente le rette: { x = 2y z = 1 { x = y s) z = 1 2. perpendicolare e incidente la retta: { x = 0 t) y = 2z perpendicolare al piano determinato da P e dalla retta { x = 3 z = 2 4. parallela alla retta { x y + z + 8 = 0 q) 2x + y + 8 = 0 Esercizio 14. Determinare l eq. del piano per P (2, 1, 1) e ortogonale al vettore v(2, 3, 4). Esercizio 15. Dato il piano di eq. x + y + z + 1 = 0, determinare d in modo tale che il piano 2x + 2y + 2z + d = 0 sia parallelo a quello dato. Esercizio 16. Determinare l eq. del piano per i tre punti P 0 (1, 1, 0), P 1 (3, 0, 1), P 2 (2, 1, 4) in forma cartesiana ed in forma parametrica. Esercizio 17. Stabilire se e quali fra le seguenti rette sono parallele o ortogonali tra loro: r 1 )(x, y, z) = t(1, 2, 3) + (1, 0, 0), r 2 )(x, y, z) = t( 2, 4, 6) + (3, 1, 0), r 3 )(x, y, z) = t( 2, 1, 0), r 4 )(x, y, z) = t(1, 1, 1) + (1, 1, 1). Esercizio 18. Stabilire se e quali dei seguenti piani sono paralleli o ortogonali tra loro: π 1 )x + y + z + 1 = 0, π 2 )x + y 2z = 0, π 3 )x y + z + 1 = 0, π 4 ) x y + 2z + 2 = 0. Esercizio 19. Scrivere un eq. del piana α passante per P 0 (2, 1, 1) e parallelo al piano 2x y + z = 0. Esercizio 20. Stabilire se le rette r 1 )(x, y, z) = t(1, 1, 1)+(2, 0, 0) e r 2 )(x, y, z) = t(0, 1, 1) + (0, 0, 1) sono parallele o perpendicolari ai piani π 1 )x + y z = 0, π 2 )x + y + z + 1 = 0. 4

5 Esercizio 21. Date le rette: { { x + y 2 = 0 x 2y + 1 = 0 x y 2z = 0 s) 2x 2z 2 = 0 trovare le eq. di tutti i piani paralleli a r e a s. Esercizio 22. Discutere al variare dei parametri c e d l insieme intersezione dei seguenti piani: π 1 )x + y + 2z + 1 = 0, π 2 )2x y + 3z + 0, x y + cz + d = 0. Esercizio Verificare che i piani seguenti si intersecano in un punto: π 1 )x+3y 3z+0, π 2 )x y+4z 4+0, π 3 2y+z+1+0, π 4 )2x+2z Utilizzarli per costruire due rette incidenti. 3. Trovare una rappresentazione parametrica per r = π 1 π 2. Esercizio 24. Dati i due fasci di piani: Φ 1 : λ(x + 2y + z 5) + µ(2x y) = 0 Φ 2 : λ (x 1) + µ (x + y + z 3) = 0 1. verificare che le due rette assi dei fasci sono incidenti. 2. Trovare le bisettrici degli angoli che esse formano. 3. Provare che esiste un piano comune ai due fasci. 4. Costruire una coppia di fasci che non abbiano alcun piano in comune. Esercizio 25. Si considerino le rette: x = 1 { 2x + y z = 0 y = t s) y + z 2 = 0 z = 2 + t 1. si verifichi che r e s sono sghembe. 2. trovare l eq. della retta che realizza la minima distanza e il valore di tale distanza. 3. trovare, se c è, una retta per A(2, 1, 0) incidente entrambe. 4. trovare tutte le rette incidenti r, s e la seguente retta: { x + y = 0 t) z = 1 5

6 Esercizio 26. Sia dato il piano π)x+2y+2z 1+0. Nella simmetria ortogonale rispetto a π trovare: 1. il simmetrico di P ()1, 2, 3). 2. la retta simmetrica di: x = t y = t z = 1 3. il piano simmetrico di x y + 1 = 0 Esercizio 27. Siano dati il piano π)x + z 1 = 0 e la retta x = t y = 2t z = t Determinare i piani per r che formano un angolo α con π. 6