Calcolo della risposta di un sistema lineare viscoso a più gradi di libertà con il metodo dell Analisi Modale

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1 Calcolo della risposta di u sistema lieare viscoso a più gradi di libertà co il metodo dell Aalisi Modale Lezioe 2/2 Prof. Adolfo Satii - Diamica delle Strutture 1

2 La risposta a carichi variabili co la stessa legge 1/4 Si cosideri u vettore di carico della forma p = s f i cui tutte le compoeti variao el tempo co la stessa legge f. Il vettore s prede il ome di vettore di eccitazioe e rappreseta la distribuzioe spaziale, idipedete dal tempo, delle compoeti del carico. Si ota che il carico equivalete a u azioe sismica ha la stessa forma della relazioe precedete. Il vettore s può essere espresso ella somma di cotributi modali come segue s = s i = Γ i M φ i Il coefficiete Γ i viee detto fattore di partecipazioe modale e può essere calcolato attraverso le proprietà di ortogoalità dei modi rispetto alla matrice di massa M φ T s = Γ i φ T M φ i Prof. Adolfo Satii - Itroduzioe alla Diamica delle Strutture 2

3 La risposta a carichi variabili co la stessa legge 2/4 φ T s = Γ φ T M φ Γ = φ T s = φ φ T Mφ T s Pertato, il vettore di eccitazioe modale s assume la forma s = Γ M φ Si ota che s o dipede da come i modi soo stati ormalizzati, al cotrario di Γ. Si osserva, ioltre, che il vettore s è proporzioale alle forze d ierzia associate al modo -esimo. Tali forze, ifatti, si ottegoo dalla relazioe f I = M u = Mφ q e la loro distribuzioe è data dal vettore Mϕ, proporzioale a quella di s. Prof. Adolfo Satii - Itroduzioe alla Diamica delle Strutture 3

4 La risposta a carichi variabili co la stessa legge 3/4 el caso i esame, il carico modale geeralizzato assume la forma P ( t) = φ T p( t) = φ T s f ( t) = Γ i φ T φ i e le equazioi del moto i termii di coordiate modali si scrivoo f ( t) = Γ f ( t) q + 2ξ ω q + ω 2 q = Γ f = 1, 2,..., Il fattore di partecipazioe modale Γ, pur dipededo da come soo stati ormalizzati i modi, rappreseta ua misura del grado di partecipazioe alla risposta totale del modo -esimo. Poedo si ha q = Γ + 2ξ ω + ω 2 = f = 1, 2,..., Queste equazioi soo formalmete idetiche a quelle di u sistema lieare viscoso a u grado di libertà co massa uitaria, rapporto di smorzameto ξ, e frequeza aturale ω, sollecitato da u carico f. Quidi, tali equazioi possoo essere risolte utilizzado gli stessi procedimeti sviluppati per i sistemi lieari viscosi a u grado di libertà. Prof. Adolfo Satii - Itroduzioe alla Diamica delle Strutture 4

5 La risposta a carichi variabili co la stessa legge 4/4 Risolte le equazioi del moto disaccoppiate e determiate le coordiate modali attraverso le relazioi q = Γ i cotributi modali alla risposta si ottegoo dalle relazioi u = φ q = φ Γ Per ogi cotributo modale, il vettore delle forze per il calcolo delle sollecitazioi itere assume la forma f S = Ku = Γ Kφ = Γ ω 2 Mφ = s ω 2 La quatità ω 2 ha le dimesioi di u accelerazioe e viee i geere idicata come pseudo-accelerazioe. Poedo si può ifie scrivere A = ω 2 f S = s A Prof. Adolfo Satii - Itroduzioe alla Diamica delle Strutture 5

6 1/10 el caso di azioi sismiche, il vettore di carico assume la forma p eq = Mr u g Si ota che ache i questo caso tutte le compoeti variao co la stessa legge temporale. Poedo s = Mr si può quidi defiire il vettore di eccitazioe modale s = ( Mr) = Γ φ i cui il fattore di partecipazioe modale è dato dall espressioe i cui si è posto Si può quidi scrivere Γ = φ T s = φ T Mr = L φ T Mφ φ T Mφ L = φ T Mr s = ( Mr) = L M φ Prof. Adolfo Satii - Lezioi di Diamica delle Strutture 6

7 2/10 el caso di azioi sismiche, le equazioi del moto i termii di coordiate modali si specializzao come segue oppure avedo posto q + 2ξ ω q + ω 2 q = Γ u g D + 2ξ ω + ω 2 = u g q = Γ = 1, 2,..., = 1, 2,..., Prof. Adolfo Satii - Lezioi di Diamica delle Strutture 7

8 3/10 Risposte modali Il cotributo dell -esimo modo alla risposta i termii di spostameti u è dato da u = φ q = φ Γ = Γ ω 2 φ A Il vettore delle forze per il calcolo delle sollecitazioi assume la forma f S = s A L -esimo cotributo modale r alla geerica risposta r può essere calcolato, per ogi istate di tempo desiderato, attraverso u aalisi statica della struttura sollecitata dalle forze f S. Idicado co r st l aliquota della risposta corrispodete al vettore s, si può scrivere r = r st A È importate sottolieare che la quatità r st è idipedete dalla modalità di ormalizzazioe dei modi. Prof. Adolfo Satii - Lezioi di Diamica delle Strutture 8

9 4/10 Risposta totale La risposta totale si ottiee sommado i cotributi di tutte le risposte modali, cioè u = u = Γ φ = Γ ω 2 φ A Il vettore delle forze assume la forma f S = f S = s A Il geerico parametro di risposta r può essere calcolato, per ogi istate di tempo desiderato, sommado i cotributi di tutte le risposte modali r = r = r st A Prof. Adolfo Satii - Lezioi di Diamica delle Strutture 9

10 5/10 Sommario del procedimeto 1. Si calcolao le frequeze ω e i modi aturali di vibrazioe. 2. Si assegao i rapporti di smorzameto modali ξ. 3. Il vettore di eccitazioe Mr si suddivide elle sue compoeti modali s. 4. Per ogi cotributo modale si esegue u aalisi statica della struttura soggetta alle forze s e u aalisi diamica del sistema lieare viscoso a u grado di libertà di frequeza ω e rapporto di smorzameto ξ, soggetto all accelerazioe del suolo u g. φ L aalisi modale cosiste, quidi, ell aalisi statica della struttura sollecitata dagli isiemi di forze s ( = 1, 2,, ) e ell aalisi diamica di differeti sistemi a u grado di libertà. La risposta sismica della struttura è data dalla combiazioe delle risposte modali. Prof. Adolfo Satii - Lezioi di Diamica delle Strutture 10

11 6/10 Edifici multipiao co piata simmetrica Si cosideri il caso di edifici multipiao co due assi di simmetria i piata e impalcati rigidi el proprio piao, sollecitati da u accelerazioe del suolo diretta secodo uo degli assi di simmetria. I questo caso il vettore pseudostatico r ha compoeti tutte uitarie e verrà idicato co il simbolo 1, cioè el caso specifico si ha r = 1 L = L h = φ T M1 = m i φ i = φ T 2 Mφ = m i φ i Γ = φ T M1 = L h = φ T Mφ m i φ i m i φ i 2 s i = Γ m i φ f Si = s i A i u i = Γ ω φ A = u st 2 i i A i cui m i è la massa dell i-esimo impalcato. Prof. Adolfo Satii - Lezioi di Diamica delle Strutture 11

12 7/10 Il taglio modale alla base risulta T b st = s i = Γ m i φ i ( ) 2 = Γ L h = L h L h = L h * = m T b = T b st A = m * A Si ota che il geerico cotributo modale del taglio alla base è dato da u espressioe aaloga a quella relativa a u sistema lieare a u grado di libertà. m * La quatità prede il ome di massa modale efficace e risulta idipedete da come soo stati ormalizzati i modi aturali di vibrazioe. Prof. Adolfo Satii - Lezioi di Diamica delle Strutture 12

13 8/10 Il mometo ribaltate modale alla base risulta da cui poedo si ottiee st M b st M b = h i s i = Γ h i m i φ i ( ) 2 = Γ L θ = L h L θ = L h L θ = θ L h L h i m i φ i = m * * h M b = m * h * A Ache il geerico cotributo modale del mometo ribaltate alla base è dato da u espressioe aaloga a quella di u sistema lieare a u grado di libertà. h * La quatità prede il ome di altezza modale efficace e risulta idipedete da come soo ormalizzati i modi aturali di vibrazioe. Prof. Adolfo Satii - Lezioi di Diamica delle Strutture 13

14 9/10 I cotributi modali alla risposta alla base di u sistema simmetrico a molti gradi di libertà soo * * associati a ua massa m posta all altezza h rispetto al piao delle fodazioi. La massa e l altezza modale efficace del modo -esimo dipedoo dalla distribuzioe delle masse lugo l altezza dell edificio e dalla forma del modo e soo idipedeti da come soo stati ormalizzati i modi. La somma delle masse di tutti gli impalcati del sistema è uguale alla somma di tutte le masse modali efficaci, ifatti m i = 1 T M1 = 1 T s = 1 T s = Γ ( 1 T Mφ ) = Γ = 1 T Γ Mφ h * = Γ L = = m h ( L ) 2 m i φ i = Prof. Adolfo Satii - Lezioi di Diamica delle Strutture 14

15 10/10 Geeralmete i valori delle masse modali efficaci dimiuiscoo al crescere dell idice del modo. Ciò cosete di stabilire u criterio per cosiderare u umero di cotributi modali otevolmete iferiore a : ua precisioe sufficiete può essere raggiuta quado la somma delle masse modali efficaci, cioè della massa complessiva partecipate al moto, raggiuge ua percetuale riteuta sufficiete della massa totale dell edificio, per esempio il 90%. Di solito bastao pochi cotributi modali per raggiugere questa percetuale. Prof. Adolfo Satii - Lezioi di Diamica delle Strutture 15

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