MATEMATICA CORSO A COMPITINO DI RECUPERO (Tema 1) 13 Febbraio 2014

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1 MATEMATICA CORSO A COMPITINO DI RECUPERO (Tema 1) 13 Febbraio 2014 Soluzioni 1. In un sahetto i sono 7 palline olorate: 2 rosse, 3 verdi e 2 gialle. Si fanno 4 estrazioni on rimessa. a) Calola la probabilità di estrarre una pallina rossa e tre verdi. b) Calola la probabilità di non estrarre palline rosse. Indihiamo on R l evento ese una pallina rossa, on V l evento ese una pallina verde, on G l evento ese una pallina gialla. Ad ogni estrazione si ha P (R) = 2/7, P (V ) = 3/7 e P (G) = 2/7. a) P (1R 3V ) = ( 4 1 ) ( ) 2 1 ( ) b) La probabilità di non estrarre una pallina rossa vale 1 P (R) = 5/7, quindi la probabilità erata è ( ) È stato preparato uno siroppo onentrato al 25% mettendo 30 grammi di zuhero in una erta quantità d aqua. a) Quanto vale la massa dell aqua? b) Fra quali valori può variare la massa dell aqua se la onentrazione dello siroppo è nota a meno di un errore assoluto del 5%? La onentrazione di una soluzione è definita ome il rapporto tra la massa del soluto s e quella della soluzione s + S, dove S è la massa del solvente. Nel aso dello siroppo si ha = 25% e s = 30 grammi, quindi la massa S dell aqua vale = s s + S S = 1 s S = 75/ = 90 grammi 25/100 Se la onentrazione dello siroppo è nota a meno di un errore assoluto del 5% si ha 20% 30%. Nel aso la onentrazione assuma il valore minimo del 20% la massa S dell aqua assume il valore massimo S max = 1 s S max = 80/ = 120 grammi 20/100 Nel aso la onentrazione assuma il valore massimo del 30% la massa S dell aqua assume il valore minimo S min = 1 s S min = 70/ = 70 grammi 30/100 1

2 3. Sia data la funzione f(x) = x2 7 x + 12 x Trovare per quali x R la funzione è negativa. La funzione proposta è una funzione razionale fratta, on il polinomio a denominatore strettamente positivo per ogni valore x reale. Il segno della funzione è allora determinato dal numeratore: f(x) < 0 x 2 7 x + 12 < 0 3 < x < 4 4. Sia data una funzione polinomiale di terzo grado f(x) tale he: f(x) è dispari; f(1) = 1; f(2) = 14. a) Trova l espressione analitia della funzione f(x). b) Trova gli zeri della funzione f(x) e rappresentala grafiamente. ) Trova l espressione analitia della funzione g(x) il ui grafio è ottenuto traslando di due unità verso destra e di un unità verso l alto il grafio di f(x). a) La forma generale di una funzione polinomiale di terzo grado è f(x) = a x 3 + b x 2 + x + d a, b,, d R Il fatto he la funzione sia dispari i porta a dire he nella sua espressione sono presenti solo i monomi di grado dispari, quindi si ha f(x) = a x 3 + x a, R Imponendo le ondizioni f(1) = 1, f(2) = 14 si ottiene un sistema di due equazioni lineare nelle due inognite a e : { a + = 1 8 a + 2 = 14 Risolvendo tale sistema si ottiene a = 2 e = 1, quindi la funzione erata è f(x) = 2 x 3 x b) La funzione trovata può essere sritta ome I suo zeri sono x = 0, x = ± 2/2. ) L espressione di g(x) è f(x) = x (2 x 2 1) g(x) = f(x 2) + 1 = 2 (x 2) 3 (x 2) + 1 = 2 x 3 12 x x 13 2

3 5. Un test diagnostio per una erta malattia M fornise un risultato positivo nel 95% dei asi in ui la malattia M è davvero presente e nel 5% dei asi in ui M non è presente (falsi positivi). È noto he la malattia M ha un inidenza nella popolazione del 2%. a) Calola la probabilità he in un individuo preso a aso il test risulti negativo. b) Calola la probabilità he un individuo preso a aso nella popolazione sia affetto da M sapendo he il test ha dato risultato positivo. Supponiamo adesso he la probabilità un individuo risulti positivo al test sia il 10%. ) Calola l inidenza della malattia M nella popolazione. Sappiamo he P (M) = 2/100 (inidenza della malattia nella popolazione), quindi P ( M) = 98/100. Inoltre P (+ M) = 95/100 (test positivo quando la malattia è presente, quindi 3

4 P ( M) = 5/100) e P (+ M) = 5/100 (test positivo quando la malattia non è presente, quindi P ( M) = 95/100). 2% 98% M M 95% 5% 5% 95% + + a) Dobbiamo alolare P ( ): P ( ) = P (M) P ( M) + P ( M) P ( M) = (2/100) (5/100) + (98/100) (95/100) = 932/1000 b) Dobbiamo alolare P (M +): P (M +) = P (M +) P (+) = P (M) P (+ M) P (M) P (+ M) + P ( M) P (+ M) = (2/100) (95/100) (2/100) (95/100) + (98/100) (5/100) = ) Dobbiamo alolare P (M) (he indiherò on x) sapendo he P (+) = 10/100: da ui P (+) = P (M) P (+ M) + P ( M) P (+ M) = x (1 x) = x + 5 (1 x) = x = 5 x = Una ditta di elettrodomestii produe due modelli di frigorifero, uno di lasse A e l altro di lasse A+. Analisi di merato prevedono una vendita di almeno 50 modelli di lasse A e 60 modelli di lasse A+ al giorno. La ditta è in grado di produrre al massimo 120 modelli di lasse A e 100 modelli di lasse A+ al giorno; il ontratto di distribuzione prevede la spedizione di almeno 180 frigoriferi al giorno. La ditta fissa i prezzi vendendo sottoosto il modello di lasse A on una perdita di 15 euro al pezzo, ma guadagnando 30 euro al pezzo sul modello A+. Supponi he la ditta riesa a vendere tutto iò he produe e india on x il numero di frigoriferi di lasse A prodotti(=venduti) al giorno e on y il numero di frigoriferi di lasse A+ prodotti(=venduti) al giorno. 4

5 a) Imposta il sistema di disequazioni he definise la regione ammissibile e disegna tale regione nel piano artesiano. b) Espliita la funzione he definise il profitto giornaliero della ditta. ) Trova quanti frigoriferi di lasse A e quanti di lasse A+ devono essere prodotti al giorno per massimizzare il profitto. d) Trova quanti frigoriferi di lasse A e quanti di lasse A+ devono essere prodotti al giorno per minimizzare il profitto. Indihiamo on x il numero di frigoriferi di lasse A prodotti(=venduti) al giorno e on y il numero di frigoriferi di lasse A+ prodotti(=venduti) al giorno. a) Il sistema he definise la regione ammissibile è il seguente 50 x y 100 x + y 180 La regione è omposta dal triangolo di vertii A (80, 100), B (120, 100), C (120, 60) e dalla sua parte interna. b) La funzione he definise il profitto giornaliero della ditta è G(x, y) = 30 y 15 x )+d) Per massimizzare e minimizzare il profitto (ovvero la funzione G) valutiamo G(x, y) nei vertii della regione ammissibile: G(80, 100) = 1800 G(120, 100) = 1200 G(120, 60) = 0 Quindi si otterrà il profitto massimo produendo/vendendo 80 frigoriferi di lasse A e 100 di lasse A+, mentre si otterrà il profitto minimo produendo/vendendo 120 frigoriferi di lasse A e 60 di lasse A+. 5