UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA "TOR VERGATA"

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1 UNIVRSITÀ DGLI STUDI DI ROMA "TOR VRGATA" FACOLTÀ DI INGGNRIA Corso di Tecnica delle Cosruzioni Meccaniche Richiami di Teoria dei Laminai Modelli di calcolo applicai allo sudio di Imballaggi in Carone Ondulao Ing. Marco. Biancolini Ing. Sefano Porziani ANNO ACCADMICO

2 . Richiami di Teoria Classica delle Piasre Laminae e applicazione su cara e caroni.. Maeriali ororopi La cara, a differenza dei mealli, presena una composizione fibrosa che ricorda la sruura amorfa dei maeriali polimerici. Quesa sruura paricolare è l origine di un comporameno complesso la cui modellazione è oggeo di numerose discussioni. Figura -: Fibre di cellulosa in un foglio di cara a 00 ingrandimeni. In queso lavoro si considererà la cara come un maeriale ororopo bidimensionale: risula palese infai come sia possibile per un foglio di cara rascurare la dimensione dello spessore rispeo alle alre due; inolre a causa delle fasi di lavorazione cui la cara sessa va inconro durane la produzione, le fibre che compongono il maeriale vengono ad allinearsi secondo il senso di avvolgimeno delle bobine. In queso modo è possibile definire per un foglio di cara, ma anche per un pannello di carone ondulao, un sisema di riferimeno inrinseco andando a considerare le re direzioni principali:

3 Richiami di Teoria Classica delle Piasre Laminae e applicazione su cara e caroni TD CD MD Figura -: Sisema di riferimeno inrinseco per cara e carone. Machine Direcion (MD): è la direzione secondo cui la cara avanza nell ondulaore, giacene sul piano medio della cara e lungo la quale si misurano i valori più ali dei moduli di Young; Cross Direcion (CD): perpendicolare alla Machine Direcion e giacene sempre sul piano medio della cara; Thickness Direcion (TD): perpendicolare al piano deerminao dalla Machine Direcion e Cross Direcion. Per un maeriale ororopo possono essere definii in forma veoriale sia il ensore delle ensioni che quello delle deformazioni: σ σ ε ε σ σ yy ε ε yy σ σ 3 zz ε ε 3 zz { σ} = = { ε} = = (3.) τ σ 4 yz γ ε 4 yz τ σ 5 z γ ε 5 z τ σ 6 y γ ε 6 y in queso modo è possibile esprimere il legame ra ensioni e deformazioni con la marice di rigidezza nella forma seguene: { σ} [ ]{ ε} = C (3.) La marice di rigidezza [ C ] per i maeriali ororopi ha dimensioni 66 ed è caraerizzaa da nove componeni indipendeni:

4 Richiami di Teoria Classica delle Piasre Laminae e applicazione su cara e caroni C C C C C C C = (3.3) C sym C55 0 C66 [ ] I ermini della marice possono essere ricavai dai valori delle proprieà meccaniche del maeriale, infai andando ad inverire la marice di rigidezza si oiene: dove ν ν ν C = (3.4) G sym G 0 3 G [ ] i sono i moduli di Young, ν ij i coefficieni di Poisson e G ij i moduli di elasicià angenziale. Tue quese grandezze possono essere misurae e le loro relazioni con i ermini della marice di rigidezza ricavai di conseguenza. A causa della simmeria della marice [ C ] i valori dei moduli di Young e dei coefficieni di Poisson sono legai dalle segueni relazioni: ν ν ν ν ν ν = ; 3 = 3 ; 3 = 3 (3.5) 3 3 Per quano riguarda la cara, è sao deo come quesa possa venire modellaa come un maeriale ororopo bidimensionale omogeneo. Assumendo che siano valide le ipoesi di Kirchhoff-Love, e che quindi ci si rovi in presenza di uno sao di ensione piano, è possibile semplificare le relazioni per i maeriali ororopi nelle segueni: ν ε 0 σ ν ε = 0 σ γ τ G 6 (3.6) ν σ 0 ν ν νν ε ν σ = 0 ε νν νν τ G γ 6 (3.7) Nel caso dei maeriali ororopi bidimensionali generalmene ci si riferisce alla marice di rigidezza indicandola come [ Q] menre la sua inversa viene indicaa con [ S ]. 3

5 Richiami di Teoria Classica delle Piasre Laminae e applicazione su cara e caroni Le relazioni precedeni sono sae espresse assumendo che il sisema di riferimeno (,, 6) in cui vengono calcolae sia allineao con gli assi principali del maeriale (MD, CD, TD). Ciò si verifica sempre nel caso del carone ondulao a causa del processo produivo, ma in generale è possibile esprimere le relazioni cosiuive in un riferimeno arbirario dopo aver ruoao di un angolo θ quello principale; in queso modo è possibile valuare gli effei dell orienazione sulle caraerisiche meccaniche del maeriale. e3 = e 3 Ο e' θ e θ e' e Π Figura -3: Roazione piana del sisema di riferimeno. a) b) Figura -4: Componeni della ensione nel piano: a) riferimeno del maeriale allineao con quello assoluo, b) riferimeno del maeriale ruoao. Indicando con l apice i valori di ensione e deformazione nel riferimeno principale del maeriale e senza apice nel riferimeno assoluo, è possibile rappresenare la roazione del riferimeno con la marice: ( θ) sin ( θ) { } [ ]{ } ( θ) cos( θ) cos { e} = i e = R e (3.8) sin i i Le componeni della ensione possono essere espresse nel riferimeno ruoao come: T { } [ ]{ } σ ι j = e i ej σ (3.9) che usando la relazione di rasformazione di coordinae divena 4

6 Richiami di Teoria Classica delle Piasre Laminae e applicazione su cara e caroni T T { } [ ] [ ][ ]{ } σ = e R σ R e (3.0) ι j i i le sesse considerazioni possono essere fae per il veore delle deformazioni. Manipolando le relazioni precedeni si può arrivare ad oenere una formula più semplice in forma veoriale che lega le ensioni e le deformazioni nei due sisemi di riferimeno: σ c s sc σ σ y = s c sc σ y τ y sc sc c s τ y ε c s sc ε ε y = s c sc ε y γ y sc sc c s γ y (3.) (3.) Nelle precedeni relazioni si è scelo di uilizzare la noazione c cos( θ ) sin ( θ ) = e s = per rendere più agevole la leura delle marici. Operando delle uleriori rasformazioni è possibile esprimere i ermini della marice [ Q ] nel riferimeno assoluo in funzione dei ermini della sessa nel riferimeno ruoao e dell angolo di roazione θ : ([ Q], θ ) ([ Q] θ ) ([ Q] θ ) ([ Q], θ ) ([ Q], θ ) ([ Q] θ ) 4 4 Q c s cs 4cs 4 4, s c c s 4c s Q Q ' 4 4 cs cs c + s 4cs Q, Q ' = Q ( ) Q ( ) Q cs cs cs cs ( cs cs) cs cs cs c s 66 Q ' c s cs cs c s cs c s 6 Q ' , (3.3) È ineressane noare come la marice di rigidezza nel sisema assoluo abbia in generale ui i ermini diversi da zero, i ermini Q i,6 rappresenano l accoppiameno ra scorrimeno e razione che non è presene nei maeriali ororopi. Andando a considerare ageni sulla porzione di maeriale ororopo delle ensioni nel riferimeno assoluo σ, σ y e τ y separaamene, è possibile, mediane successive manipolazioni delle espressioni, oenere il valore delle caraerisiche meccaniche in funzione della roazione del sisema di riferimeno inrinseco: ( ) ( ) ( ) θ = θ θ sin ( ) cos ( ) ν + + θ θ G 4 4 cos sin (3.4) 5

7 Richiami di Teoria Classica delle Piasre Laminae e applicazione su cara e caroni ν ( ) ( ) ( ) θ = θ θ sin ( ) cos ( ) ν + + θ θ G ( θ ) G 4 4 cos sin ( θ) ( θ)( + ) ( ( θ) + ( θ) ) 4 4 cos ( θ) sin ( θ) ν + + sin ( θ) cos ( θ)( G ) sin cos cos sin = ( θ ) 4 4 G ( ) ( θ)( + ν ) ( θ) ( θ) sin sin cos = + + G ν (3.5) (3.6) (3.7) Modulo elasico (GPa) G Angolo di roazioneθ (deg) Figura -5: Andameno delle caraerisiche meccaniche al variare dell'orienazione. Valori base: =3.3 GPa, =.8 GPa, G =0.8 GPa. Le relazioni per la rigidezza in una direzione arbiraria sono uili per valuare l aderenza delle caraerisiche del maeriale al modello ororopo; inolre possono essere uilizzae per misurare indireamene il valore per il modulo di resisenza a aglio: risolvendo la prima delle equazioni precedeni (3.4) in funzione di G, si oiene una relazione che lega il modulo di elasicià angenziale, i moduli di Young nelle due direzioni principali e il modulo di Young apparene misurao in una direzione arbiraria. Nel caso la misura di ale modulo sia effeuaa con il maeriale orienao a 45 si oiene la relazione seguene: G ν 4 = + 45 (3.8) 6

8 Richiami di Teoria Classica delle Piasre Laminae e applicazione su cara e caroni Dao che prove per deerminare G nella cara sono di gran lunga più complesse rispeo a semplici prove di razione, il modulo di resisenza a aglio viene deerminao uilizzando la relazione riporaa sopra... Teoria delle Piasre Laminae I pannelli in carone ondulao sono generalmene caraerizzai da uno spessore rascurabile rispeo alla loro esensione nel piano, e sono quindi raabili con la eoria delle piasre soili di Kirchhoff-Love. Figura -6: sisema di riferimeno per una piasra soile. Le ipoesi fondamenali sono:. il rapporo ra lo spessore e una lunghezza caraerisica è inferiore a /0, in queso modo è possibile assumere ε = 0;. le deformazioni membranali e flessionali sono piccole confronae con le dimensioni della piasra; 3. le sezioni che erano perpendicolari alla superficie media della piasra nella configurazione indeformaa, lo rimangono anche in quella deformaa; si può quindi assumere che ε z e ε yz sono rascurabili; 4. l andameno della ensione lungo lo spessore (σ zz ) è rascurabile rispeo alle alre componeni dello sao pensionale; si può assumere uno sao di ensione piano. Con riferimeno alla figura 3-6, gli sposameni di un generico puno A possono essere espressi come: 7

9 Richiami di Teoria Classica delle Piasre Laminae e applicazione su cara e caroni (,, ) 0 (, ) (,, ) 0 (, ) (,, ) = (, ) u y z = u y z v y z = v y z w y z w y 0 w0 w0 y (, y) (, y) (3.9) Dove il pedice 0 si riferisce agli sposameni della superficie media; le corrispondeni deformazioni sono: ε ε γ yy y ( yz,, ) ( yz,, ) ( ) ε ( ) (, ) (, ) u0 y w0 y = z v0 y w0 y = z y y (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) u0 y v0 y w0 y yz,, = y yz,, = + z y y (3.0) Uilizzando una noazione compaa si oiene: ε ε γ (, yz, ) (, yz, ) (, yz, ) = ε + zk = ε + zk yy y y = γ + zk y y y (3.) Avendo indicao con il ermine k le curvaure della superficie media, definie come: k k k y y = = w = 0 w 0 (, y) (, y) y w 0 (, y) (3.) Uilizzando le relazioni cosiuive lineari per maeriali ororopi si possono ricavare le espressioni delle ensioni correlae al campo di sposameni della piasra: σ = ε + zk + ν ε + ( γ z k ) ( zk ) y y νν σ = ε + zk + ν ε + τ ( zk ) yy y y νν = G + y y y (3.3) Da quese espressioni è possibile ricavare una forma esplicia delle risulani delle forze e dei momeni; con riferimeno alla figura 3-7 è possibile scrivere: 8

10 Richiami di Teoria Classica delle Piasre Laminae e applicazione su cara e caroni N N y M y z N M M y y M y N y Figura -7: Risulani delle ensioni per una piasra. N dz z( k k ) dz = σ = ε + νεy + + ν y νν N dz z( k k ) dz y = σ yy = εy + νε + y + ν νν y = τy = y y + ( γ ) N dz G z k dz M zdz z( ) z ( k k ) dz = σ = ε + ν εy + + ν y νν M zdz z( ) z ( k k ) dz y = σ yy = εy + ν ε + y + ν νν y = τy = y y + ( γ ) M z dz G z z k dz Operando le inegrazioni le relazioni precedeni si semplificano nelle segueni: N = ε + ν ε = A ε + A ε ( ) y y νν N = ε + ν ε = A ε + A ε ( ) y y y νν N = G γ = A γ y y 66 y (3.4) (3.5) (3.6) 3 M = k + k = D k + D k ( ) ( ν ) ν ν y y 3 M = k + k = D k + D k ( ) ( ν ) ν ν y y y 3 M = G k = D k y y 66 y (3.7) Le caraerisiche N e M sono definie ad unià di lunghezza, hanno quindi come dimensioni [N/m] per quano riguarda gli sforzi normali e [N] anziché [Nm] per quano 9

11 Richiami di Teoria Classica delle Piasre Laminae e applicazione su cara e caroni riguarda i momeni. Quese espressioni possono essere messe in una forma più compaa, oenendo le equazioni mariciali cosiueni delle piasre soili soggee a carichi membranali e flessionali: N A A 0 ε N y A A 0 = ε y N 0 0 A γ y 66 y (3.8) M D D 0 k M y D D 0 = ky M 0 0 D k y 66 y (3.9) Si può noare come i ermini della marice [D] hanno la sessa forma dei coefficieni di rigidezza noi per la rave di ulero: per una rave con sezione rea di dimensioni b si ha: 3 dw bdw M = I d = d (3.30) Considerando una unià di lunghezza e indicando con M il momeno ad unià di lunghezza l espressione precedene divena: 3 M = k (3.3) Che è analogo alla relazione momeno-flessione per le piasre M = 3 ( ν ν ) k (3.3) L ovvia differenza risiede nella dipendenza dai coefficieni di Poisson; inolre, rispeo alla rave euleriana, la eoria delle piasre soili mosra che una flessione cilindrica ( ky = ky = 0 ) genera ensioni rasversali dovui alla presenza del ermine M y. Quano descrio finora è valido nel caso di una singola piasra in paree soile, omogenea e ororopa caricaa lungo le direzioni principali. Nel caso si abbia una roazione del riferimeno del maeriale rispeo alle direzioni di carico è possibile uilizzare le espressioni ricavae nel caso di riferimeno ruoao per i valori delle caraerisiche meccaniche da inserire nelle equazioni cosiuive. Inolre, nel caso in cui si voglia rappresenare una sruura caraerizzaa da due o più srai di maeriali ororopi bidimensionali, è possibile esendere il dominio di inegrazione andando a considerare per ogni srao la propria marice di rigidezza [Q]: 0

12 Richiami di Teoria Classica delle Piasre Laminae e applicazione su cara e caroni 3 : k- k : n z z z k- z k z 0 z n z Figura -8: Piasra a sruura mulisrao e sisema di riferimeno. In queso caso il dominio di inegrazione non è, in generale, simmerico e si hanno dei ermini addizionali nella espressione finale; con riferimeno alla figura 3-8, i carichi flessionali e membranali risulani si oengono sommando i carichi oenui per ogni srao: ε (,, ) ε n z n k zk [ ] ε (,, ) [ ] [ ] k z k k k z ε (3.33) k k= k= γ (,, ) γ N y z k Ny = Q yy y z dz = Q y + z Q ky dz N y y y z y k y ε (,, ) ε n z n k zk [ ] ε (,, ) [ ] [ ] k z k k k z ε (3.34) k k= k= γ (,, ) γ M y z k M y = zq yy yz dz= zq y + z Q ky dz M y y y z y k y In queso modo, operando le inegrazioni come nel caso del singolo srao si oiene N A A A6 B B B6 ε N A A A6 B B B y ε 6 y N y A6 A6 A66 B6 B6 B 66 γ y = (3.35) M B B B6 D D D k 6 M y B B B6 D D D k 6 y M y B6 B6 B66 D6 D6 D k 66 y La marice 66 è noa come marice [ABD] di un laminao e descrive in forma compaa le relazioni che legano i carichi risulani sulla superficie media alle deformazioni e roazioni che quesa subisce. I ermini delle soomarici [A] [B] e [D] possono essere facilmene calcolai noe la marici di rigidezza dei singoli srai: n n k k ( ) Bij = Qij ( zk zk ) A = Q z z ij ij k k k = n k 3 3 Dij = Qij ( zk zk ) k = (3.36) 3 k =

13 Richiami di Teoria Classica delle Piasre Laminae e applicazione su cara e caroni Oppure, uilizzando la posizione della superficie media e dello spessore per ogni singolo srao si può uleriormene semplificare in: A Q z z A k n n k k ij = ij ( k k ) = ij k= k= B = Q z z = ( ) n k ij ij k k k = zk n k = Qij ( zk + zk )( zk zk ) = k = n n k k Qij zk k Aij zk k= k= = = (3.37) (3.38) D = Q z z = 3 3 ( ) n k ij ij k k 3 k = n k k Qij k zk k = n k k = Dij + Aij zk k = = + = (3.39) Nel caso di sisema di riferimeno ruoao, la rasformazione da applicare è la sessa illusraa per il caso del singolo srao. Dalla CLPT si ha che nel caso generico di un laminao non simmerico si ha accoppiameno ra i ermini di razione e flessione: l applicazione di una semplice forza di razione può quindi porare ad una deformazione non planare. Nel caso di laminai che hanno invece una disposizione simmerica degli srai rispeo al piano medio, i ermini B ij sono ui nulli e non si verifica accoppiameno. Quando si uilizza la CLPT per descrivere il comporameno di un laminao, le deformazioni membranali e le curvaure sono riferie alla superficie media della piasra; per ricavare le ensioni ageni localmene in funzione dello spessore si devono uilizzare le relazioni σ = ε + zk + ν ε + ( γ z k ) ( zk ) y y νν σ = ε + zk + ν ε + τ ( zk ) yy y y νν = G + y y y (3.40)

14 Richiami di Teoria Classica delle Piasre Laminae e applicazione su cara e caroni... Condensazione delle caraerisiche del core ondulao Il carone ondulao viene spesso modellao come un laminao cosiuio dalle coperine e dagli srai ondulai, è quindi possibile applicare la CLPT nella caraerizzazione del comporameno di un pannello. Per quano riguarda il conribuo delle coperine alla rigidezza membranale e flessionale, risula facilmene deerminabile una vola noe le caraerisiche meccaniche delle care cosiueni. Per quano riguarda il fluing, invece, si rende necessaria la sua sosiuzione, nel modello laminao, con un maeriale coninuo che preseni caraerisiche di rigidezza equivaleni a quelle della cara da fluing nella sua configurazione ondulaa. Per effeuare la condensazione in un maeriale equivalene, si è scelo di uilizzare la eoria di Briassoulis per ondulazioni armoniche nel campo delle lamine mealliche. Una complea raazione della eoria può essere reperia in [Briassoulis986]. Come in ue le eorie di omogeneizzazione si assumerà in queso caso che lo srao ondulao maniene la configurazione anche a riposo ; ciò equivale a rascurare le solleciazioni applicae alla cara per ondularla. Sicuramene quesa approssimazione ha influenza sulla resisenza del maeriale, ma considerao che nel pannello di carone ondulao è predominane il conribuo delle coperine alla resisenza della sruura, la perdia dovua al rascurare quese solleciazioni ha sicuramene un effeo globale limiao. Nel lavoro di Briassoulis sono riporae ue le considerazioni energeiche che porano alla definizione dei ermini delle marici A e D per il maeriale equivalene. a) M y, CD z M N My N * θ z() N * H d ds θ My M b) P, MD Figura -9: a) piasra equivalene allo srao ondulao; b) caraerisiche dell ondulazione. Di seguio vengono riporae le espressioni per i ermini A i, je D i, j: 3

15 Richiami di Teoria Classica delle Piasre Laminae e applicazione su cara e caroni [A] Theoreical value [D] Theoreical value A 3 f ψ D + 6( νν ) ψ sin ( πψ) ψ ( νyν y ) π A 3 ψ D + f ( ν ν ) A =A ν A D =D ν D A 33 3 G G D 33 ψ ψ Tabella -: Termini di rigidezza per il maeriale equaivalene secondo la eoria di Briassoulis. Dove con i, G ij e ν ij sono indicae i moduli di Young, di elasicià angenziale e i coefficieni di Poisson per la cara uilizzaa come fluing, con lo spessore della cara, conψ il coefficiene di ondulazione, ossia la lunghezza della cara ondulaa per unià di lunghezza, e con f l ampiezza dell ondulazione..3. Crieri di resisenza per i maeriali ororopi La resisenza di un maeriale è oenua sperimenalmene uilizzando provini sooposi a carichi che producono semplici sai di ensione monoassiali, regisrando il carico a cui avviene la roura. La sima della capacià di sopporare un cero carico per una sruura o un componene avviene araverso procedure che coinvolgono le analisi ensionali e la comparazione dello sao ensionale presene con la resisenza del maeriale. Quando il campo ensionale che sollecia la sruura è semplice, come quello prodoo nei provini durane i es di resisenza, può essere fao un confrono direo ra carico agene e carico limie. In realà, le sruure possono essere soggee a sai di ensione ben più complessi di quelli che si verificano in sede di es, ed è improponibile sabilire le resisenze caraerisiche dei maeriali per ogni possibile sao di ensione. Un crierio di roura o una eoria della roura, se valida, può prevedere le resisenze dei maeriali soo sai di ensione complessi parendo dai dai ricavai dalle prove monoassiali. Nel caso di maeriali ororopi, la siuazione più complessa. La più imporane complessià deriva dal fao che le resisenze, come le cosani elasiche, dipendono dalla direzione. Quindi, per un maeriale ororopo, possono essere oenui infinii valori di resisenza perfino dai es monoassiali, in dipendenza della direzione del carico applicao. Allo scopo di prevedere la capacià porane di una sruura composa da maeriale 4

16 Richiami di Teoria Classica delle Piasre Laminae e applicazione su cara e caroni ororopo, possono essere oenue cinque resisenze nelle direzioni principali del maeriale, che sono la resisenza longiudinale a razione, la resisenza rasversale a razione, la resisenza a aglio, la resisenza longiudinale a compressione e la resisenza rasversale a compressione. Poiché i valori di resisenza monoassiali per un maeriale ororopo sono noi solo lungo gli assi principali del maeriale, il primo passo in ui i calcoli relaivi alla resisenza deve essere la rasformazione dell auale campo di ensioni ad uno relaivo al sisema principale del maeriale così da poer confronare le resisenze appropriaamene. Ogni vola però che lo sao ensionale del maeriale è muliassiale, un confrono direo con le resisenze monoassiali non può essere valido e allora deve essere usao un adeguao crierio di roura. Può essere fao noare qui che uno sforzo monoassiale, applicao in qualsiasi direzione olre che quelle principali del maeriale, produce sforzi muliassiali lungo gli assi principali del maeriale. Dunque, la resisenze monoassiali in qualunque direzione di un maeriale ororopo può essere predea, così come la resisenza soo un complesso sao ensionale, araverso un appropriao crierio di roura. Tui i crieri di roura per maeriali ororopi sono, ovviamene, scrii in ermini di ensioni lungo le direzioni principale del maeriale. Un primo crierio di resisenza applicabile per i maeriali ororopi è quello della Tensione Massima. Secondo queso crierio si raggiunge la crisi del maeriale quando non risula verificaa una delle segueni disuguaglianze: σ < σ r σ < σ r (3.4) τ < τ r nel caso in cui le ensioni normali siano di razione si devono invece considerare le relazioni: σ < σ ' r (3.4) σ < σ ' r Queso crierio non iene cono dell inerazione ra i modi di roura, risulando quindi più che un crierio, cinque diversi subcrieri. Per applicare queso crierio daa ad esempio una ensione procedere alla verifica: σ, è necessario riporare le ensioni nel riferimeno del maeriale e poi 5

17 Richiami di Teoria Classica delle Piasre Laminae e applicazione su cara e caroni σ σ θ σ = σ sin θ = cos τ = σ sinθcosθ (3.43) Un alro crierio applicabile con i maeriali ororopi è quello della Deformazione Massima. Analogamene al precedene, queso crierio prescrive che, affinché non si raggiunga la crisi del maeriale, debbano essere verificae le segueni disuguaglianze: ε < ε r ε < ε r (3.44) γ < γ r menre nel caso si abbiano deformazioni di compressione si devono considerare le segueni: ε < ε ' r (3.45) ε < ε ' r Nel caso il maeriale abbia un comporameno lineare fino alla roura è possibile correlare le deformazioni alle ensioni σ r ε r = σ r ε r = (3.46) τr γr = G Nel caso si abbia una ensione σ è quindi possibile ricavare uilizzando il legame cosiuivo il valore delle deformazioni nel riferimeno del maeriale e confronarle con i valori limie: ε = cos θ υ sin θ σ ( ) ε = sin θ υ cos θ σ ( ) γ = ( sin θ cos θ) σ G (3.47) Come anicipao quesi due crieri non engono cono dell inerazione ra le solleciazioni ageni nel maeriale. Una eoria che iene cono di quesa inerazione è quella 6

18 Richiami di Teoria Classica delle Piasre Laminae e applicazione su cara e caroni sviluppaa da Tsai Hill (e la versione modificaa da Tsai Wu) che presena inolre il vanaggio di essere implemenaa nei moderni codici di calcolo agli elemeni finii. Queso crierio deriva dalle eorie sviluppae per i maeriali meallici, considerando l energia di disorsione: si esende il crierio di Von Mises ai maeriali duili anisoropi e si ipoizza un uguale comporameno a razione e compressione del maeriale. Nel caso di ensione piano si può scrivere: Aσ + Bσ + Cσ σ + Dτ = (3.48) dove le ensioni riporae sono misurae nel riferimeno del maeriale; nel caso si abbiano ensioni ageni lungo una direzione arbiraria rispeo a ale riferimeno è possibile ricavare i ermini correi con le regole di roazione precedeni. Le cosani A, B e D possono essere ricavae da es di razione monoassiali e da es di aglio. Segue quindi che: σ σ τ + + Cσσ + = σr σr τr (3.49) Per quano riguarda la cosane C è possibile ricavarla considerando un es biassiale, dao che si ha σ r < σ r, la crisi si raggiunge quando σ = σ r. In queso caso la cosane C assume il valore / σr, e l espressione finale che rappresena il crierio di Tsai Hill è: σ σ σσ τ + + = σr σr σr τr (3.50) Il vanaggio di ale crierio risiede nella facilià nel reperire i parameri che vi compaiono; al conrario il principale svanaggio risiede nel non enere in considerazione il caso in cui si abbia per il maeriale in esame un diverso comporameno in razione e compressione. La eoria di Tsai Wu, invece iene cono di un diverso comporameno del maeriale nel caso di solleciazioni di razione o di compressione; nel caso di sao di ensione piano e ipoizzando la crisi del maeriale indipendene dalla direzione di applicazione del carico, si ha la seguene formulazione del crierio: Fσ + Fσ + F σ + F σ + F τ + F σ σ = (3.5)

19 Richiami di Teoria Classica delle Piasre Laminae e applicazione su cara e caroni Le cosani F i e F ij sono oenue mediane:. Tes di razione e compressione monoassiali in direzione longiudinale, misurando σ e σ c : F c F c (3.5). Tes di razione e compressione monoassiali in direzione rasversale, misurando σ e σ c : F = F = (3.53) σ σc σσc 3. Tes di aglio semplice, misurando τ 6r : F = (3.54) 66 τ 6r 4. Regressioni su dai sperimenali per la deerminazione della cosane F, o uilizzando l espressione empirica: F F F = (3.55) σ σcσσc L espressione complea per il crierio di Tsai-Wu divena quindi: σ σ τ 6 σ+ σ Fσσ + = (3.56) σ σ c σ σc σ σc σσc τ6r Dove il coefficiene F viene indicao in leeraura come coefficiene di inerazione di Tsai Wu o sosiuio dalla correlazione fornia sopra. 8

20 . Descrizione dei modelli In queso capiolo verranno descrii e discussi i modelli di calcolo realizzai per la previsione del comporameno di un imballaggio in carone ondulao... Teoria di McKee [McKee963] Il lavoro di McKee risale al 963, in base alle sue osservazioni fu in grado di fornire una correlazione ra il carico ulimo a compressione di una scaola in carone ondulao e il carico in cui si manifesa l insabilià della sessa. sperimeni di compressione su scaole avevano dimosrao infai come dopo il raggiungimeno dell insabilià della sruura la maggior pare della resisenza alla compressione si concenrasse vicino agli spigoli, zone geomericamene più sabili, senza che si fosse raggiuno il collasso. McKee rovò che la relazione che inercorre ra insabilià e collasso è la seguene: Pz P buck CT = c Pbuck b (4.) Dove con P z è il carico ulimo a compressione, P buck il carico di insabilià e CT il valore della prova di dgewise Compression Tes per la ipologia di carone in esame misurao, come P z e P buck, in kn/m; c e b sono due cosani empiricamene deerminae. Considerando un pannello isolao semplicemene appoggiao, in modo da riprodurre le condizioni di vincolo cui è soggeo ogni lao della scaola, è possibile esprimere il valore del carico di insabilià come: dove P buck π DD = k (4.) cr a k cr β n = min + α + n n β (4.3) 9

21 Descrizione dei modelli Avendo indicao con α e β due parameri di rigidezza del pannello in esame: h D / D a β = e ( ) α = D + D / D + D, con h e a dimensioni caraerisiche del 66 pannello. n è il numero di semi-onde che il pannello assume nella configurazione insabile lungo la direzione parallela a quella di carico (direzione y in figura 4-): y CD h a MD Figura -: Configurazione di un pannello isolao e carico agene. Il numero n di onde, quindi, dipende dalla configurazione deformaa in condizione di insabilià, l equazione 4.3 risula minimizzaa quando n assume valore pari a, nel caso in cui le dimensioni del pannello siano ali da non porare ad una deformaa con ali caraerisiche si dovrà rivedere ale valore. In seguio si considereranno, dove non espliciamene indicao, pannelli e scaole le cui dimensioni siano ali da porare a deformae simmeriche e avere quindi un numero di semionde in direzione parallela a quella di carico pari a. Un paramero che iene cono del ipo di deformaa che assumerà il pannello è proprio β : 0

22 Descrizione dei modelli 5 k cr 4 3 α = α = β Figura -: Coefficiene criico di buckling per piasre semplicemene appoggiae in funzione del paramero di forma β e del paramero α. dal grafico in figura 4- si ha che per un fissao valore di α il valore del carico di insabilià ha un primo massimo relaivo per β pari a.4; olre ale valore si ha il passaggio da una configurazione deformaa con una sola semionda ad una configurazione con due semionde. L equazione 4. può essere riscria nella forma b b Pz c CT P buck = (4.4) Il carico di ulimo di compressione ad unià di lunghezza P z, può quindi essere ricavao secondo la seguene procedura:. calcolo delle caraerisiche di rigidezza D i, jdel pannello. calcolo del valore del coefficiene di buckling k cr mediane l equazione calcolo del valore del carico di insabilià ad unià di lunghezza P buck mediane l equazione calcolo del valore del carico ulimo di compressione mediane la 4.4 Le procedure per il calcolo del carico ulimo uilizzando quesa formulazione di McKee risulano paricolarmene dispendiose in ermini di empo e complicae da implemenare in ambio indusriale. Per queso moivo per il calcolo del carico ulimo di compressione viene impiegaa una formulazione semplificaa, McKee infai osservò che:

23 Descrizione dei modelli. il paramero α, da rilevazioni sperimenali, assume valori che variano ra 0 e, inolre nella formula 4.3 è un ermine addiivo e ha quindi un effeo meno che proporzionale, assumendo perciò α = 0.5 si oiene P z b b π DD β n = c CT + + a n β b (4.5). il rapporo ra le rigidezze flessionali D D varia, sempre da risconri sperimenali, ra.3 e.35; ma il valore di 4 D D varia invece ra.03 e.4, con un valore medio di.7 7 6, si oiene quindi, ricordando che β = ha 4 D D b b b b DD 49 h 36 na Pz = cπ CT + + (4.6) a 36 na 49 h 3. la formula 4. può essere applicaa alle scaole inere moliplicando il valore di P z per quaro se si considerano scaole con lai lunghi uguali. McKee dimosra che raare scaole reangolari come quadrae inroduce un errore del 5%, se la scaole reangolari hanno lai in rapporo ra loro inferiore a 4.0. Con quese assunzioni si oiene b b b b 6 96 h 9 npb Pz = cπ CT ( DD ) + + pb 9 npb 96 h b (4.7) osservando poi che P bo = P z p b e eliminando ue le cosani numeriche si arriva alla formula ( ) b P = a CT D D p k (4.8) b b b bo b cr dove il ermine a è la cosane numerica 4. la grandezza k cr varia al variare del rapporo ra le dimensioni del pannello, ma, assumendo da basi sperimenali il valore per l esponene b e quindi -b = 0.5, l influenza di queso faore viene ridoa. McKee assume che per scaole che hanno un rapporo alezza perimero di base superiore a 7 il valore di k cr può essere assuno come cosane e pari a.33, oenendo un errore non superiore al.5% indipendenemene dal valore di α. Soo quesa

24 Descrizione dei modelli ipoesi l effeo di k cr viene incluso nei ermini cosani della formula 4.8 oenendo così la forma ( ) b b b b Pbo a CT D D p = (4.8) 5. McKee inolre ha osservao che è possibile correlare la rigidezza flessionale composa DD, il valore dell CT misurao per il carone in quesione e lo spessore del carone sesso secondo la formula empirica DD = k CT (4.9) andando a valuare il valore delle cosani numeriche che compaiono nella 4.8 e nella 4.9 si ha che b = e b = 0.49, e si oiene così la versione più diffusa ed uilizzaa della formula di McKee in ambio indusriale P =.8 CT p (4.0) bo Vale la pena soolineare che le cosani impiegae dipendono dalle unià di misura in cui vengono espresse ue le grandezze, in paricolare nell equazione 4.0 il valore dell CT deve essere espresso in kn/m, lo spessore del carone in mm e il perimero in cm; il valore del carico risula così espresso in kg. Risula inolre evidene la maggiore semplicià di calcolo della formula semplificaa rispeo a quella complea, sebbene McKee sesso abbia risconrao che, a causa delle approssimazioni effeuae, la formulazione semplificaa fornisce valori per il carico ulimo di compressione che soosimano il valore reale. Infine la formulazione semplificaa non iene cono di ui i parameri geomerici dell imballaggio: infai nella formula 4.0 non si iene cono dell alezza della scaola, paramero che influenza l insabilià della sruura e che invece viene considerao nella formulazione complea mediane il paramero β. b 3

25 Descrizione dei modelli.. Modello FM laminao Uilizzando la eoria degli elemeni finii (FM), sono sai realizzai due modelli numerici per la rappresenazione del carone ondulao. In quesa fase dello sudio sono sai impiegai come sofware di pre e pos processing Femap e come soluore Nasran. Il carone modellao rappresena una ondulazione di ipo C, della quale sono sae riporae in precedenza le caraerisiche geomeriche, in una configurazione single wall ossia con un solo core ondulao e due coperine eserne. Il primo modello realizzao fa uso della eoria della laminazione: sono sai modellai re srai sovrapposi uilizzando elemeni di ipo laminae (PCOMP), gli srai eserni rappresenani le due coperine e quello inerno rappresenane il core ondulao. Per quano riguarda le caraerisiche delle coperine sono sai uilizzai i dai sulle caraerisiche meccaniche delle care cosiueni. Per lo srao ondulao, invece, si è fao ricorso alla condensazione di Briassoulis [Briassoulis986] per oenere le caraerisiche del maeriale equivalene. Il modello riproduce un pannello compleo rappresenane un lao dell imballaggio: Figura -3: Modello del pannello. inolre, per simulare gli effei dovui ad una evenuale non omogenea disribuzione del collane o ad ineviabili imperfezioni dell ondulazione, al pannello viene imposa una 4

26 Descrizione dei modelli imperfezione geomerica iniziale. I vincoli applicai alla sruura sono ali da riprodurre le condizioni sperimenali riporae in [Nordsrand004]: vengono impedie ue le raslazioni dei bordi al di fuori del piano su cui giace inizialmene, in modo da riprodurre le condizioni di semplice appoggio che sono quelle che più rispecchiano le reali condizioni del pannello considerao come lao della scaola complea. Il carico viene rasferio alla sruura mediane degli elemeni di ipo rigid (RB) che collegano un nodo eserno ai nodi appareneni al bordo caricao. Figura -4: Deaglio dei vincoli. Sfruando quesa rappresenazione del pannello sono sai realizzai modelli dell inero imballaggio: grazie al limiao numero di nodi ed elemeni richieso è sao possibile cosrure l inera scaola, senza che siano necessarie per le analisi numeriche eccessive risorse di calcolo. Figura -5: Inerfaccia grafica per la generazione del modello della scaola. 5

27 Descrizione dei modelli Figura -6: Modello dell'imballaggio e applicazione del carico. Per la realizzazione del modello della scaola sono sae sviluppae delle procedure auomaizzae in ambiene Visual Basic. L inerfaccia grafica del sofware richiede in ingresso i dai dell imballaggio: Dimensioni geomeriche della scaola Caraerisiche meccaniche dei maeriali Tipo di analisi richiesa e genera in uscia un file per il soluore (Nasran) realizzao uilizzando elemeni PCOMP. Il carico viene applicao ad un nodo eserno collegao rigidamene con il nodi del bordo caricao, menre i vincoli vengono applicai al bordo opposo rispecchiando le reali condizioni di prova. 6

28 Descrizione dei modelli.3. Modello FM in pieno deaglio Il secondo modello FM realizzao per il carone ondulao riproduce in pieno deaglio la geomeria dell ondulazione: 4.8 mm 6.7 mm Figura -7: Geomeria dell'ondulazione "C". Figura -8: Modello in pieno deaglio. La geomeria riporaa in figura 4-7 è saa imporaa nel sofware Femap, per manenere una cera accuraezza della forma dell ondulazione, una singola lunghezza d onda è saa suddivisa in oo segmeni e poi replicaa fino a coprire le effeive dimensioni del pannello. Per rappresenare il collane, si è scelo di impiegare connessioni rigide ra i nodi delle crese dell ondulazione e i nodi delle coperine. In queso modi si è assuno che il collane non abbia alcuna influenza sul collasso della sruura. Tale assunzione non risula 7

29 Descrizione dei modelli eccessivamene pesane, in quano da prove sperimenali si è osservao come il collasso della sruura, ossia dell imballaggio, avviene prima che si verifichi il cedimeno dell incollaggio ra fluing e coperine. Anche queso modello rappresena un pannello semplicemene appoggiao, ma a causa dell elevao numero di nodi necessario a rappresenare l inera geomeria dell ondulazione, si è scelo di rappresenare solamene un quaro del pannello reale, sfruando condizioni di simmeria e riducendo in queso modo le risorse di calcolo richiese. A causa della simmeria, il modello viene vincolao sui due bordi eserni in maniera da rispecchiare le condizioni di semplice appoggio, menre i due bordi inerni sono vincolai in modo da manenere una deformaa simmerica. In queso caso, come per la deerminazione del faore k cr per il calcolo del carico di insabilià (equazione 4.3) occorre enere cono della geomeria e delle caraerisiche di rigidezza del pannello in esame: qualora quesi due ulimi faori siano ali da deerminare una deformaa non simmerica, le condizioni di vincolo vanno rivise e modificae. a) b) Figura -9: a) simmeria del pannello; b) deformaa simmerica. Il carico viene applicao alla sruura anche in queso caso uilizzando degli elemeni di ipo rigid (RB): il carico viene applicao ad un nodo eserno il quale è rigidamene connesso con i nodi del bordo caricao. Anche in queso caso, per enere cono di evenuali difei dovui alle lavorazioni, al pannello è saa imposa una imperfezione geomerica iniziale. 8

30 Descrizione dei modelli Figura -0: Paricolare del bordo caricao. Figura -: Paricolare dei vincoli applicai. Anche per la realizzazione dell imballaggio compleo usando quesa modellazione si è fao ricorso ad ipoesi di simmeria: l elevao numero di nodi ed elemeni necessari, infai, richiede, nel caso della modellazione dell inera scaola, risorse di calcolo molo elevae. La realizzazione di un oavo della scaola si basa sulle operazioni che realmene vengono effeuae su un pannello di carone ondulao: L H H L L / L (b) L (a) Figura -: a) scaola complea e zona modellaa; b) pannello base con linee di piegaura e zona modellaa. 9

31 Descrizione dei modelli Le procedure di realizzazione dei modelli, auomaizzae uilizzando un sofware dedicao sviluppao in linguaggio Visual Basic, parono da un pannello di dimensioni inferiori rispeo al pannello necessario per realizzare l inera scaola (figura4-). Il pannello viene meshao uilizzando la geomeria precedenemene descria, successivamene vengono effeuai gli inagli per le alee (slizaura) rimuovendo gli elemeni in corrispondenza degli sessi; il pannello viene cordonao andando a modificare la posizione dei nodi in corrispondenza della cordonaura sessa; infine il pannello viene piegao per oenere la forma finale della scaola. Deail Deail Figura -3:Modello della scaola in pieno deaglio e paricolari della cordonaura. Il carico viene applicao alla sruura uilizzando elemeni rigidi che collegano un nodo eserno a quelli sul bordo dei lai caricai. I vincoli applicai alla sruura, come nel caso del pannello, sono ali da rispecchiare una deformaa simmerica di ui i lai della scaola. Come evidenziao per il pannello isolao, qualora le dimensioni della scaola e le caraerisiche di rigidezza del carone ondulao siano ali da deerminare una deformaa non simmerica (figura 4-4), le condizioni di vincoli sono da rivedere e modificare. Come riporao in precedenza, ciò non si verifica qualora per ui i pannelli che cosiuiscono i lai dell imballaggio, risula verificaa la relazione β = φ 4 D D.4 (4.) con φ rapporo di forma dei lai del pannello in considerazione. 30

32 Descrizione dei modelli Anche in queso caso al modello viene imposa una deformaa iniziale, andando a modificare mediane delle leggi di sposameno, la posizione dei nodi che apparengono ai lai della scaola, in modo da riprodurre la configurazione noevolmene amplificaa riporaa in figura 4-5. F Figura -4: Deformaa non simmerica di un imballaggio. Y Z X Figura -5: Deformaa iniziale del modello della scaola. 3

33 Descrizione dei modelli.4. Modello analiico Da ulimo è sao realizzao un modello analiico basao sulla eoria di McKee [McKee963]. I modelli numerici basai sulla eoria degli elemeni finii possono risulare osici da inegrare in applicazioni indusriali, si è pensao quindi di sviluppare un sofware dedicao che effeui analisi e calcoli in maniera auomaica uilizzando la formulazione complea di McKee. Si è scelo per queso scopo di uilizzare il sofware Mahcad il quale permee una implemenazione rapida e inuiiva del codice di calcolo. Figura -6: sempio di programma in ambiene Mahcad. Il codice realizzao richiede in ingresso i dai geomerici dell imballaggio, ossia le re dimensioni caraerisiche. Sulla base delle caraerisiche meccaniche delle care cosiueni, il codice calcola la marice di rigidezza membranale e la marice di rigidezza flessionale uilizzando la eoria di Briassoulis per lamine ondulae. Uilizzando i risulai di quesa condensazione viene calcolao il carico di insabilià per un pannello isolao avene 3

34 Descrizione dei modelli dimensioni pari a quelle dei lai che cosiuiscono la scaola. Parendo poi dal valore del carico di insabilià il codice sima il valore del carico ulimo uilizzando l equazione 4.4. Il codice risula sruurao in: un foglio principale nel quale inserire i dai in ingresso, dimensioni, composizione delle care, caraerisiche dell ondulazione, e dal quale è possibile leggere i risulai finali un foglio subrouine che effeua la condensazione di Briassoulis del core ondulao, andando a calcolare sulla base delle caraerisiche dell ondulazione (passo, alezza, coefficiene di ondulazione e coefficiene di correzione per enere cono del discosameno della forma ondulaa da quella ideale ipoizzaa sinusoidale); il foglio resiuisce i valori dei ermini delle marici A, B e D per le coperine, per il maeriale equivalene e per il pannello complessivo un foglio subrouine che sulla base delle caraerisiche di rigidezza del pannello in carone ondulao (ermini della marice D) calcola il valore del coefficiene di buckling k cr un foglio subrouine che sulla base dei dai calcolai precedenemene e sui valori di CT misurai per la ipologia di carone in esame resiuisce il valore del carico ulimo di compressione ad unià di lunghezza per la scaola. 33