Sul controllo dinamico dell affidabilità creditizia mediante catene di Markov*

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Sul controllo dinamico dell affidabilità creditizia mediante catene di Markov*"

Transcript

1 Studi e Note di Economia, Anno XVII, n , pagg GruppoMontepaschi Sul controllo dinamico dell affidabilità creditizia mediante catene di Markov* LoREnzo QUiRini** - LUiGi VAnnUCCi*** A dynamical monitoring of credit risky portfolios is described. It is shown how a dependence of Markovian kind can be used in modeling the tradeoff between customer s behaviour and profit/loss of his financial obligation. This framework is based on the Credit Worthiness Index (CWI), defined by the authors and whose properties have been described in previous works since In particular recursive formulas for estimating the CWI s first four moments (mean, variance, skewness, kurtosis) are given. Numerical examples, with a description of a profit/loss analysis of a financial obligation, complete the article. (J.E.L.: C3; C6; D8) 1. Introduzione A partire dall ultimo trimestre 2008, inizio della peggiore recessione che ha colpito il sistema economico-finanziario mondiale dopo la Grande Depressione, l attenzione alla gestione dei crediti problematici si è imposta come una delle priorità, se non la più importante, per le banche e gli operatori finanziari specializzati. Tuttora, a cavallo tra il 2010 e il 2011, l intero comparto bancario-finanziario è in cerca di riassestamento strutturale, lasciando intravedere qualche spiraglio. Dal Bollettino Economico della Banca d italia dell ottobre 2010, (Banca d italia 2010: 39): nel secondo trimestre del 2010 il flusso di nuove sofferenze [...] si è ridotto all 1.7% dal 2.0% del trimestre precedente [...] rimanendo elevato se confrontato con il livello medio del biennio dell 1.1%. * Articolo approvato nel febbraio Un sentito ringraziamento dagli Autori al dott. Ernesto Rabizzi, Presidente, al dott. Andrea Poletto, Direttore Generale, e al dott. Dario Lorenzini, Direttore Crediti di Consum.it Gruppo MPS, che hanno consentito la continuazione delle nostre analisi volte ad affinare l intreccio tra modelli teorici e problematiche operative in equilibrio tra i due punti di vista. ** Servizio Sistemi Decisionali, Monitoraggio e Scoring Consum.it Gruppo MPS. *** Dipartimento di Matematica per le Decisioni, Università di Firenze.

2 134 Studi e Note di Economia, Anno XVII, n nel quadro dell attuale contesto macro-economico, che ha visto una significativa crescita nei livelli di insolvenza per i soggetti già valutati a rischiosità media o a rischiosità alta, si impone agli operatori una maggiore attenzione, non solo per i suddetti clienti, ma anche per quelle tipologie di clienti che prima della crisi economico-finanziaria erano caratterizzati da una buona qualità creditizia ex ante (rating, score... ), qualità che riceveva le attese conferme ex post. Adesso anche i rapporti che nella fase iniziale paiono ben avviati possono subire improvvisi e diffusi deterioramenti del presunto buon livello di affidabilità. È ferma convinzione degli autori che, per poter continuare a operare profittevolmente su mercati sempre più complessi, gli operatori si debbano dotare, e utilizzare con continuità e consapevolezza, di strumenti di valutazione dinamica del rischio di credito. La necessità di valutare l evoluzione nel tempo dell affidabilità dei clienti fu uno degli obiettivi che intendeva perseguire l indicatore di affidabilità da noi proposto fin dal 2004 (Quirini e Vannucci 2004) e tale problematica è stata da noi ripresa e rilanciata in successive occasioni (Quirini e Vannucci 2009, Quirini 2009, Quirini e Vannucci 2010). Tra la modellistica, che può rivelarsi efficace nel contesto del credito al consumo e più in generale per tutte quelle forme di finanziamento per le quali è previsto un preciso piano di rimborso a rata costante (o poco variabile), si distingue quella offerta dalle catene di Markov. Tale modellistica è stata introdotta in questo ambito dal lavoro pioneristico di Cyert et al e tale linea di ricerca è stata proseguita da Betancourt 1999, Kallberg e Saunders 1983: per un resoconto esaustivo anche sul piano analitico dei principali filoni di indagine all inizio di questo ultimo decennio si rinvia a Thomas et al. 2002: il tema è stato più recentemente ripreso da Lai e Wong 2008 e Malik e Thomas Sempre restando nell ambito dei processi markoviani è da segnalare il contributo di Crowder et al in cui si propone l impiego dei cosiddetti modelli di Markov nascosti (HMM - Hidden Markov Models) per la stima delle frequenze di default, anche se l analisi non scende al livello di dettaglio qui proposto in merito al processo di ritardo dei rimborsi dei finanziamenti. nel presente articolo, ispirandosi a questo filone di ricerca, l intento è quello di connettere modelli offerti nell ambito delle catene di Markov con l indice di affidabilità creditizia da noi proposto. in dettaglio, nel successivo paragrafo 2 si richiama l indicatore di affidabilità da noi proposto nel caso di quelle forme di finanziamento per le quali è previsto un preciso piano di rimborso con rate prefissate in modo deterministico e si coglie il nesso tra tale indicatore e il valore attuale (aleatorio) delle rate effettivamente pagate; nel paragrafo 3 si costruisce la catena di Markov che descrive l effettivo (aleatorio) comportamento dei clienti; nel paragrafo 4 si utilizza tale modello di comportamento dei clienti per determinare i momenti delle variabili aleatorie introdotte nel primo paragrafo; nel para-

3 L. Quirini, L. Vannucci - Sul controllo dinamico dell affidabilità creditizia grafo 5 si correda l analisi con l illustrazione di un caso di scuola a un parametro; nel paragrafo 6 si illustra come possa essere stimato da dati empirici un modello a due parametri; nel paragrafo 7 si adatta il modello al caso di default; nel paragrafo conclusivo 8 si sintetizza il significato della proposta metodologica presentata e si accenna a possibili evoluzioni del modello. 2. L indicatore di affidabilità e il valore attuale aleatorio delle rate pagate Un rapporto di credito con inizio in 0 e con piano di ammortamento prefissato prevede che il capitale prestato, c, sia restituito con un numero finito di rate, r 1, r 2,..., r n, versate nelle scadenze equintervallate 1, 2,..., n. Tra il capitale c e le rate r 1, r 2,..., r n intercorre la relazione c = r 1 (1+x) -1 + r 2 (1+x) r n (1+x) -n dove x è il tasso di interesse periodale che regola il rapporto creditizio. in un precedente nostro lavoro (Quirini e Vannucci 2004), è stato definito l indicatore di affidabilità creditizia (v = (1 - x) -1 è il fattore di attualizzazione periodale in una struttura piatta dei tassi di interesse qui assunta come quella di contratto) per h = 1, 2,..., n,... dove R 1, R 2,..., R h sono le rate aleatorie effettivamente pagate dal soggetto affidatario. A tali rapporti aleatori si è data la connotazione di indice di affidabilità creditizia all epoca h. Di tali rapporti e dei loro indicatori di sintesi, valore medio E[X h ] e varianza s 2 [X h ], abbiamo sottolineato le proprietà che li rendono efficace strumento nelle varie fasi del processo creditizio. È evidente che considerando il valore attuale aleatorio all epoca 0 delle rate effettivamente pagate fino all epoca h W h = R 1 v + R 2 v R h v h risulta il seguente legame tra X h e W h ovvero le due grandezze sono proporzionali. Siccome è complicato determinare la distribuzione di probabilità del valore attuale aleatorio delle rate pagate fino all epoca h = 1, 2,..., n conviene puntare ad una procedura che consenta almeno di ottenerne il valore medio, la varianza, l indice di asimmetria e la kurtosis: valori che serviranno per determinare anche gli analoghi momenti per l indicatore di affidabilità creditizia, sussistendo

4 136 Studi e Note di Economia, Anno XVII, n X h 3. Un modello markoviano per rappresentare l affidabilità in questo lavoro considereremo il caso rilevante, poichè molto frequente nell operatività aziendale, in cui r 1 = r 2 =... = r n = r R h = J h r con J h variabile aleatoria con determinazioni = 0, 1,... h per h = 1, 2,..., n tenuto conto del fatto che l affidatario può, ad ogni scadenza h, non pagare, j = 0, o pagare multipli di rata r in modo da annullare eventuali ritardi nei pagamenti effettuati, che alla scadenza h sono al più pari a h 1: in tale ipotesi, ovvero quando alla scadenza h l affidatario non ha ancora pagato alcuna rata, se alla scadenza h paga hr si rimette in pari come numero di rate pagate, anche se non dal punto di vista finanziario a meno che il tasso di interesse contrattuale sia nullo. Questa casistica è modellabile con una catena di Markov in cui gli stati della stessa sono i mesi cumulati di ritardo nei pagamenti delle rate alle varie scadenze, un dato facilmente acquisibile dal sistema informativo aziendale. il modello considerato consente di fare previsioni sul numero delle posizioni incagliate e sul loro grado di gravità e, tra l altro, di prevedere la dinamica al variare di h dell indice di affidabilità X h. il confronto tra tali previsioni e l effettiva dinamica dei rapporti in un portafoglio di contratti consente al gestore di allertare tempestivamente il sistema qualora vi siano scostamenti significativi tra previsto e osservato. in sintesi, il modello proposto pare, più di altri, adeguato per seguire costantemente l affidabilità di un portafoglio di contratti di finanziamento, in modo da percepire per tempo se sono in atto mutamenti strutturali. Sia allora S h = {0,1,..., h 1} per h = 1, 2,..., n l insieme degli stati del sistema appena prima dell epoca h con la lettura che S h indica il ritardo cumulato nei pagamenti prima della scadenza h, scadenza in cui la rata r e le altre rate in sospeso per mancato pagamento potrebbero

5 L. Quirini, L. Vannucci - Sul controllo dinamico dell affidabilità creditizia essere versate. È ovvio che, con l assunzione fatta sull insieme degli stati possibili alle varie scadenze, segue che non si considera la possibilità che l affidatario paghi rate in anticipo rispetto alle scadenze prefissate. La distribuzione di probabilità su S 1 all inizio del rapporto contrattuale (e prima della prima scadenza) è degenere ovviamente P(S 1 = 0) =1 La matrice delle probabilità di transizione, P h, in dipendenza del comportamento effettivo dell affidatario alla scadenza h per h = 1, 2,..., n può pensarsi come una matrice stocastica con h righe e h+1 colonne. Tale matrice sia... dove p h,i,j è la probabilità che alla scadenza h una posizione che ha cumulato prima di tale scadenza i = 0, 1,..., h 1 ritardi di pagamenti si porti, per l epoca successiva, pagando (i j + 1)r, ad un cumulo di j ritardi di pagamenti, ovviamente con j = 0, 1,..., i + 1: j = 0 significa che all epoca h la posizione si è comunque rimessa in pari come numero di rate da pagare,..., j = i + 1 significa che all epoca h non vi sono stati pagamenti e lo stato del sistema passa da i ritardi cumulati a i + 1. indicando p h-1 per h = 1,..., n + 1 il vettore a h componenti che indica la distribuzione di probabilità su S h = {0, 1,..., h 1} prima dell epoca h, risulta p 0 = (1) = P(S 1 =0) e ricorsivamente p h = p h-1 P h per h = 1, 2,..., n Si noti che p h-1 ha h componenti, P h è matrice h (h+1) e p h ha h + 1 componenti. 3.1 Un esemplificazione del modello a un parametro immaginiamo un esempio che nella parte riguardante il comportamento degli affidati sia caratterizzato da un solo parametro a. Sia p 1,0,0 = a e p 1,0,1 = 1 a se h = 2, 3,... Pertanto

6 138 Studi e Note di Economia, Anno XVII, n p 0 = (1) p 1 = (a,1 a), ecc. ovviamente questo è un caso ideale; nell operatività di uno specifico contesto, le matrici delle probabilità di transizione si potranno stimare dai dati di archivio. Esse difficilmente potranno adattarsi al modello considerato, il quale ha tuttavia il pregio di legare ad un unico parametro l intera struttura di affidabilità creditizia degli affidati. Per brevità ma senza perdita di generalità possiamo supporre r = 1 e valutare per esercizio indicando con W h il valore attuale all epoca 0 delle rate effettivamente pagate fino alla scadenza h inclusa, risulta W 0 = 0 e quindi da cui ecc. Al crescere di h le formule diventano sempre più complicate e va sfruttata la markovianità del processo per ottenere ricorsivamente all indietro i valori di E[W h ] e di E[W h 2] e quindi di s 2 [X h ]. Per inciso, la procedura ricorsiva ideata e sotto illustrata non è legata al modello specifico considerato, ma

7 L. Quirini, L. Vannucci - Sul controllo dinamico dell affidabilità creditizia vale per una qualsiasi successione delle matrici delle probabilità di transizioni tra stati. 4. Il calcolo ricorsivo dei primi quattro momenti di W h Per ottenere e quindi la varianza, l indice di asimmetria e la kurtosis non solo di W h ma, alla luce di quanto rilevato nel primo paragrafo, anche di X h per h = 1, 2,..., n occorre introdurre le successioni a k, h, i = E[W h - W k S k+1 = i] con i = 0, 1, 2,..., k e 0 k h n b k, h, i = E[W h - W k S k+1 = i] con i = 0, 1, 2,..., k g k, h, i = E[W h - W k S k+1 = i] con i = 0, 1, 2,..., k d k, h, i = E[W h - W k S k+1 = i] con i = 0, 1, 2,..., k e 0 k h n e 0 k h n e 0 k h n nello specifico interessano i valori di a 0, h, 0 = E[W h - W 0 S 1 = 0]:= E[W h ] b 0, h, 0 = E[(W h - W 0 ) 2 S 1 = 0]:= E[W 2 h] g 0, h, 0 = E[(W h - W 0 ) 3 S 1 = 0]:= E[W 3 h] d 0, h, 0 = E[(W h - W 0 ) 4 S 1 = 0]:= E[W 4 h] ovviamente essendo W 0 = 0 ed essendo alla prima scadenza S 1 = 0. Fissato un particolare h vale l inizializzazione per ogni i = 0, 1,..., h e valgono ricorsivamente all indietro per ogni i = 0, 1,..., k per k = h 1, h 2,..., 1, 0 p k+1,i,j p k+1,i,j p k+1,i,j

8 140 Studi e Note di Economia, Anno XVII, n p k+1,i,j A giustificazione di queste formule si tenga conto che se, per m = 1, 2, 3, 4, si identifica dove w k+2,h,j,l rappresenta la generica determinazione della variabile W h W k+1 condizionata a S k+2 = j e q k+2,h,j,l ne è il corrispondente valore della probabilità (la sommatoria è estesa a tutte le determinazioni della variabile), allora lo sviluppo da considerare per giustificare le formule ricorsive è, considerando di volta in volta m = 1,2,3,4, E[(W h - W k ) m S k+1 = i] = p k+1,i,j da cui banalmente si motivano i risultati indicati. Per esempio nell esemplificazione del modello a un parametro prima considerato per h = 1 si ha immediatamente per i valori attesi, stante w 1,1,0 = 0. Per h = 2 è w 2,2,0 = w 2,2,1 = 0 e ricorsivamente e infine (si conferma il caso precedentemente e direttamente calcolato) p 1,0,j Per i momenti secondi per h = 1 si ha immediatamente, essendo a 1,1,0 = b 1,1,0 = 0, Per h = 2 è, essendo a 2,2,0 = b 2,2,0 = 0 e a 2,2,1 = b 2,2,1 = 0,

9 L. Quirini, L. Vannucci - Sul controllo dinamico dell affidabilità creditizia e infine (si conferma il caso precedentemente e direttamente calcolato) b 0,2,0 = b 1,2,j 5. Risultanze numeriche dell algoritmo ricorsivo Si è redatto l algoritmo sopra presentato, che è bene ribadire ha portata del tutto generale, considerando il modello che regola le transizioni tra Stati con il solo parametro a e ipotizzando un orizzonte temporale di 12 periodi. Tab. 1 - Probabilità (x1000) di essere nei vari stati del sistema (mesi di ritardo) dopo le epoche indicate in colonna 1 per a = 0.9, ovvero i vettori p h. h Da notare che già al nono mese la maggioranza degli affidatari fa registrare qualche ritardo nei pagamenti (il 47.63% non ha ritardi anche se li può avere avuti in precedenza). Dalla Tabella 2 si intuisce che in questo modello l affidabilità recupera al crescere di h e che anche gli indicatori s[x h ], g h, si spostano nel senso di una valutazione di minor rischio. Curioso è il comportamento della kurtosis che dopo aver toccato il minimo per h = 5 torna poi lentamente a crescere. Per apprezzare l effetto del parametro a, fermo restando x = 0.05, si è considerato per h = 12 come si modificano i valori di E [W 12 ], E [X 12 ], s[w 12 ], s[x 12 ], g 12, k 12 al variare di a da 0.82 a 0.98 con passo 0.02.

10 142 Studi e Note di Economia, Anno XVII, n Tab. 2 - Valore di E [W h ], E [X h ], s[w h ], s[x h ], g h, k h con la parametrizzazione x = 0.05, a = 0.9 alle varie epoche di pagamento h. h E [W h ] E [X h ] s[w h ] s[x h ] g h k h Tab. 3 - Valore di E [W12], E [X12], s[w12], s[x12], g12, k12 con la parametrizzazione x = 0.05 al variare di a. a E [W 12 ] E [X 12 ] s[w 12 ] s[x 12 ] g 12 k il commento è che dal parametro a dipende la profittabilità della gestione di questa tipologia di contratti di credito, visto l andamento della affidabilità in termini dei suoi indicatori di sintesi. Si ricorda, vedi (Quirini e Vannucci 2004), che l affidabilità attesa può essere interpretata come il coefficiente moltiplicativo che riduce il valore di tutte le rate da pagare. Un finanziatore può allora leggere il risultato di questa tabella per a = 0.90 come un investimento che a fronte di un finanziamento concesso di (si ricorda che abbiamo posto r = 1) riceve con un tasso atteso (le virgolette indicano che non si tratta di un proprio valore medio ma solo di una sua euristica approssimazione) di remunerazione che è la soluzione della equazione in v

11 L. Quirini, L. Vannucci - Sul controllo dinamico dell affidabilità creditizia Tab. 4 - Valore di E [W 12 ], E [X 12 ], s[w 12 ], s[x 12 ], g 12, k 12 con la parametrizzazione a = 0.90 al variare di x. x E [W 12 ] E [X 12 ] s[w 12 ] s[x 12 ] g 12 k con soluzione, finanziariamente significativa, v = equivalente al tasso periodale = Per apprezzare l effetto del parametro x, fermo restando a = 0.90, si è considerato per h = 12 come si modificano i valori di E [W 12 ], E [X 12 ], s[w 12 ], s[x 12 ], g 12, k 12 al variare di x da 0.01 a 0.09 con passo Da notare, per non prendere abbagli, che è vero che l affidabilità media si riduce all aumentare di x, ma quando aumenta x c è un margine maggiore per compensare la riduzione di affidabilità! La considerazioni fatta sulla tabella precedente indica, per esempio, che per x = 0.01 l equazione ha la soluzione finanziariamente significativa v = che equivale a una remunerazione (negativa) di = Stima del modello a più parametri il modello a un parametro è un esempio con finalità didattico - espositiva: esso ha il vantaggio di una immediata lettura del significato dell unico parametro, che misura la propensione (probabilità) costante che il soggetto affidato ha di ritardare i pagamenti o di recuperare sui pagamenti in ritardo, qualunque sia il numero di essi. Per illustrare come si può procedere alla calibratura di un modello assumendo la possibilità di impiegare anche più di un parametro si presenta in questo paragrafo un problema di stima che può porsi in un contesto applicativo. Si considerino i seguenti dati relativi ai primi quattro momenti dell affidabilità (si riportano soltanto le cifre dopo la virgola), scansionati di tre mesi in tre mesi e calcolati partendo da registrazioni d archivio.

12 144 Studi e Note di Economia, Anno XVII, n Tab. 5 - Valori empirici rilevati per i quattro momenti dell indice di affidabilità ( 10 6 ). t = 3 t = 6 t = 9 t = 12 t = 15 t = 18 t = 21 t = 24 mesi mesi mesi mesi mesi mesi mesi mesi E[X t ] E[X 2 t] E[X 3 t] E[X 4 t] il tasso annuale mediamente applicato (e qui assunto costante per tutta la classe di contratti a cui i dati si riferiscono) sia l 8%, che, considerato il mese come periodo di riferimento, dà un tasso periodale pari a 1.08 (1/12) -1 = %. Per esempio, se si considerasse il trimestre come periodo di riferimento il tasso periodale corrispondente sarebbe 1.08 (1/4) 1 = %. ovviamente considerando catene di Markov non omogenee e dando la possibilità, con probabilità positiva, di recuperare ad ogni stadio qualunque numero di ritardi, il modello qui proposto avrebbe un così grande numero di parametri da consentire, sì, di impattare tutte le desiderate valorizzazioni dei momenti, ma perderebbe quella immediata e significativa interpretazione che, come sopra rilevato nel caso a un parametro, si ha quanto minore è il numero di parametri che in esso figurano. Qui, a titolo meramente esemplificativo, si considera una catena di Markov con due soli parametri liberi, omogenea e con le seguenti probabilità di transizione p 1,0,0 = 1 b e p 1,0,1 = b p h,i,j = { } 1 - b( i) - c se j = i b( i) se j = i + 1 c se j = i per gli altri j per h = 2, 3,, 24 con i = 0, 1,, h 1 e b e c parametri non negativi con le ovvie limitazioni dovute al fatto che essi sono legati a valutazioni di probabilità di eventi. Poiché l affidabilità media decresce (si veda la prima riga della Tab. 5) occorre una probabilità crescente per il ritardo di un ulteriore pagamento all aumentare del numero di ritardi cumulato: una calibrazione plausibile è stata sopra esemplificata considerando il fattore (1 + 8 i) per i = 0, 1,, 24, frutto di una sperimentazione/selezione su fattori del tipo (1 + k i d ). il modello ha ora, pertanto, due parametri, b e c: si immagina che il parametro b sia in grado di misurare la propensione, crescente con lo stato, a ritardare i pagamenti e che il parametro c sia in grado di misurare la propensione, costante con lo stato, a recuperare sui ritardi cumulati. nel modello precedente, a un parametro, queste due propensioni erano costanti nel tempo e

13 L. Quirini, L. Vannucci - Sul controllo dinamico dell affidabilità creditizia uguali per tutti gli stati con un numero positivo di ritardi. L algoritmo proposto è in grado di calcolare i primi quattro momenti dell indice di affidabilità su un qualunque orizzonte temporale e per qualunque catena di Markov, anche non omogenea, con cui si descriva quantitativamente il fenomeno dei ritardi/recuperi dei pagamenti nei rapporti contrattuali creditizi. Qui, considerato il mese come periodo di riferimento, si sono determinati, al variare dei valori in millesimi dei parametri b e c in una griglia rettangolare con passi dei due parametri pari a un millesimo, i valori teorici dei primi quattro momenti dell indice di affidabilità in corrispondenza delle epoche indicate in Tab. 5. Utilizzando il software da noi realizzato e che traduce in linguaggio informatico l algoritmo qui proposto si è selezionata tra le valorizzazioni dei due parametri considerate quella che rende minima la somma degli scarti quadratici pesati (momento primo con peso 1000, secondo con peso 100, terzo con peso 10, quarto con peso 1) tra i valori teorici calcolati al variare di b e c e quelli empirici di Tab. 5. il valore minimo della funzione obiettivo, , è stato ottenuto con b = e c = Per questi due valori dei parametri si riporta la tabella dei valori teorici dei primi quattro momenti dell indice di affidabilità alle 8 scadenze considerati. Tab. 6 - Valori teorici dei quattro momenti dell indice di affidabilità. t = 3 t = 6 t = 9 t = 12 t = 15 t = 18 t = 21 t = 24 mesi mesi mesi mesi mesi mesi mesi mesi E[X t ] E[X 2 t] E[X 3 t] E[X 4 t] Dunque una curiosa soluzione d angolo si è stimata come la migliore tra quelle considerate: tale soluzione segnala una trascurabile capacità di recupero dei ritardi, c = 0, da parte dei soggetti che iniziano a ritardare i pagamenti e un preoccupante crescendo nella probabilità di cumulare ulteriori ritardi (si noti che p(0,1) = e p(24,25) = ). 7. Un modello per il default Se si assume che vi sia default quando si verifichi per la prima volta il raggiungimento di un prefissato numero di ritardi, per esempio h * = 3, e che in tale ipotesi il contratto non produca nella gestione ordinaria ulteriori pagamenti di rate allora le matrici delle probabilità di transizione si modificano, poichè lo Stato con h * ritardi diventa assorbente e va posto p h,h*,h = 1 Le matrici di transizione successive a quella h * -ma sono tutte quadrate con h * + 1 righe e h * + 1 colonne, essendo

14 146 Studi e Note di Economia, Anno XVII, n {0, 1,..., h * } l insieme degli stati, con h * inteso quale stato assorbente associato al default. L algoritmo ideato continua ad essere pienamente valido per effettuare le valutazioni di affidabilità creditizia nella gestione ordinaria. il recupero delle spettanze connesse al default qui non si considera, anche se uno schema di questo tipo è ancora proponobile per quel tipo di problematica. ovviamente, se l operazione si interrompe con il default nella gestione ordinaria, l affidatario in default non paga più alcuna rata e ciò produce un peggioramento sia su W h che X h. Senza entrare nei dettagli formali basta tagliare le sommatorie mettendo quale estremo superiore non più i + 1(si vedano le formule ricorsive prima costruite) ma min(i + 1, h * ) valendo non solo la condizione iniziale a h,h,i = b h,h,i = g k,h,i = d h,h,i = 0 per ogni i = 0, 1,..., h ma anche a k,h,i = b k,h,i = g h,h,i = d k,h,i = 0 per ogni k < h se i = h *, h * + 1,..., n Alcune risultanze numeriche con la parametrizzazione x = 0.05, a = 0.9 e h * = 3 sono qui di seguito riportate in Tab. 7 e in Tab. 8. h h * = Tab. 7 - Probabilità di essere nei vari stati del sistema (mesi di ritardo) dopo le epoche indicate in colonna 1. ovviamente l ultima colonna indica la probabilità di essere in default all epoca h: al 12-mo periodo, per esempio, si registra una probabilità di 0,0285 d essere finiti (in quell epoca o precedentemente) in default. Dal confronto della Tab. 8 con la Tab. 2 si vede il peso del default: al 12-mo periodo l affidabilità si è ridotta da a con preoccupan-

15 L. Quirini, L. Vannucci - Sul controllo dinamico dell affidabilità creditizia Tab. 8 - Valore di E [W h ], E [X h ], s[w h ], s[x h ], g h, k h. h E [W h ] E [X h ] s[w h ] s[x h ] g h k h ti effetti sulle code come mostrano s[x 12 ] = , g 12 = , k 12 = da confrontare con i rispettivi , , Conclusioni Si è applicato un modello basato sulle catene di Markov per descrivere i comportamenti dei soggetti finanziati in presenza di prodotti con piani di rimborso prefissati. il modello riesce a spiegare e prevedere la dinamica del legame tra tali comportamenti e l affidabilità-redditività delle operazioni di finanziamento, consentendone un controllo nel perdurare dei rapporti contrattuali. Più specificamente, si calcola il nesso tra la parametrizzazione della catena di Markov, stimata dai dati di archivio, e i momenti di indicatori di affidabilità: dall andamento di tali momenti, facilmente disponibili e determinati con alta (giornaliera, settimanale...) frequenza, è consentito inferire la tipologia dei comportamenti in atto da parte dei soggetti affidati in merito agli effettivi differimenti in atto dei pagamenti dovuti. L approccio metodologico ha carattere di larga generalità e con le adeguate e adattate parametrizzazioni il modello proposto è in grado di descrivere molti altri contesti operativi, ivi incluso quello relativo al processo di gestione delle posizioni incagliate. Un evoluzione del modello potrebbe riguardare la sua inclusione nell ambito dei modelli di Markov nascosti (Hidden Markov Models - HMM). Con tale estensione si potrebbero tenere in considerazione anche le transizioni del sistema economico-sociale in cui l attività creditizia si svolge, condizionandone gli esiti economici.

Accuratezza di uno strumento

Accuratezza di uno strumento Accuratezza di uno strumento Come abbiamo già accennato la volta scora, il risultato della misurazione di una grandezza fisica, qualsiasi sia lo strumento utilizzato, non è mai un valore numerico X univocamente

Dettagli

LEZIONE 14. a 1,1 v 1 + a 1,2 v 2 + a 1,3 v 3 + + a 1,n 1 v n 1 + a 1,n v n = w 1

LEZIONE 14. a 1,1 v 1 + a 1,2 v 2 + a 1,3 v 3 + + a 1,n 1 v n 1 + a 1,n v n = w 1 LEZIONE 14 141 Dimensione di uno spazio vettoriale Abbiamo visto come l esistenza di una base in uno spazio vettoriale V su k = R, C, permetta di sostituire a V, che può essere complicato da trattare,

Dettagli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli A. Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Rango di una matrice, 2 Teorema degli orlati, 3 3 Calcolo con l algoritmo di Gauss, 6 4 Matrici

Dettagli

Evoluzione Risk Management in Intesa

Evoluzione Risk Management in Intesa RISCHIO DI CREDITO IN BANCA INTESA Marco Bee, Mauro Senati NEWFIN - FITD Rating interni e controllo del rischio di credito Milano, 31 Marzo 2004 Evoluzione Risk Management in Intesa 1994: focus iniziale

Dettagli

Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni

Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni Rosa Maria Mininni a.a. 2014-2015 1 Introduzione ai modelli binomiali La valutazione degli strumenti finanziari derivati e, in particolare, la valutazione

Dettagli

Corso di Valutazioni d Azienda

Corso di Valutazioni d Azienda Andrea Cardoni Università degli Studi di Perugia Facoltà di Economia Dipartimento di Discipline Giuridiche e Aziendali Corso di Laurea Magistrale in Economia e Management Aziendale Corso di Valutazioni

Dettagli

I permessi brevi (art. 20 del CCNL del 6.7.1995 del personale del comparto Regioni e Autonomie locali) Luglio 2013

I permessi brevi (art. 20 del CCNL del 6.7.1995 del personale del comparto Regioni e Autonomie locali) Luglio 2013 I permessi brevi (art. 20 del CCNL del 6.7.1995 del personale del comparto Regioni e Autonomie locali) Luglio 2013 INDICE Presupposti... 2 Modalità di fruizione... 4 Particolari tipologie di rapporto di

Dettagli

Corso di Matematica finanziaria

Corso di Matematica finanziaria Corso di Matematica finanziaria modulo "Fondamenti della valutazione finanziaria" Eserciziario di Matematica finanziaria Università degli studi Roma Tre 2 Esercizi dal corso di Matematica finanziaria,

Dettagli

Orientamenti ABE in materia di. valore a rischio in condizioni di stress (VaR in condizioni di stress) EBA/GL/2012/2

Orientamenti ABE in materia di. valore a rischio in condizioni di stress (VaR in condizioni di stress) EBA/GL/2012/2 Orientamenti ABE in materia di valore a rischio in condizioni di stress (VaR in condizioni di stress) EBA/GL/2012/2 Londra, 16.05.2012 1 Oggetto degli orientamenti 1. Il presente documento contiene una

Dettagli

Introduzione alla Teoria degli Errori

Introduzione alla Teoria degli Errori Introduzione alla Teoria degli Errori 1 Gli errori di misura sono inevitabili Una misura non ha significato se non viene accompagnata da una ragionevole stima dell errore ( Una scienza si dice esatta non

Dettagli

1 IL RISCHIO: INTRODUZIONE.2 2 LA VOLATILITA.4

1 IL RISCHIO: INTRODUZIONE.2 2 LA VOLATILITA.4 IL RISCHIO 1 IL RISCHIO: INTRODUZIONE.2 2 LA VOLATILITA.4 2.1 La volatilità storica... 4 2.2 Altri metodi di calcolo... 5 3 LA CORRELAZIONE..6 4 IL VALUE AT RISK....8 4.1 I metodi analitici... 9 4.2 La

Dettagli

Rischio impresa. Rischio di revisione

Rischio impresa. Rischio di revisione Guida alla revisione legale PIANIFICAZIONE del LAVORO di REVISIONE LEGALE dei CONTI Formalizzazione delle attività da svolgere nelle carte di lavoro: determinazione del rischio di revisione, calcolo della

Dettagli

Quando troncare uno sviluppo in serie di Taylor

Quando troncare uno sviluppo in serie di Taylor Quando troncare uno sviluppo in serie di Taylor Marco Robutti October 13, 2014 Lo sviluppo in serie di Taylor di una funzione è uno strumento matematico davvero molto utile, e viene spesso utilizzato in

Dettagli

IL TRATTAMENTO DEL RISCHIO NELL ANALISI DEGLI INVESTIMENTI IN BENI STRUMENTALI

IL TRATTAMENTO DEL RISCHIO NELL ANALISI DEGLI INVESTIMENTI IN BENI STRUMENTALI IL TRATTAMENTO DEL RISCHIO NELL ANALISI DEGLI INVESTIMENTI IN BENI STRUMENTALI Testo di riferimento: Analisi finanziaria (a cura di E. Pavarani) McGraw-Hill 2001 cap. 11 (dottor Alberto Lanzavecchia) Indice

Dettagli

Corso di Asset and liability management (profili economico-aziendali) Il patrimonio di vigilanza e la misurazione del rischio di credito

Corso di Asset and liability management (profili economico-aziendali) Il patrimonio di vigilanza e la misurazione del rischio di credito Università degli Studi di Parma Corso di Asset and liability management (profili economico-aziendali) Il patrimonio di vigilanza e la misurazione del rischio di credito Prof.ssa Paola Schwizer Anno accademico

Dettagli

SCHEDA DI PROGRAMMAZIONE DELLE ATTIVITA EDUCATIVE DIDATTICHE. Disciplina: Matematica Classe: 5A sia A.S. 2014/15 Docente: Rosito Franco

SCHEDA DI PROGRAMMAZIONE DELLE ATTIVITA EDUCATIVE DIDATTICHE. Disciplina: Matematica Classe: 5A sia A.S. 2014/15 Docente: Rosito Franco Disciplina: Matematica Classe: 5A sia A.S. 2014/15 Docente: Rosito Franco ANALISI DI SITUAZIONE - LIVELLO COGNITIVO La classe ha dimostrato fin dal primo momento grande attenzione e interesse verso gli

Dettagli

METODO DEI MINIMI QUADRATI. Quest articolo discende soprattutto dai lavori di Deming, Press et al. (Numerical Recipes) e Jefferys.

METODO DEI MINIMI QUADRATI. Quest articolo discende soprattutto dai lavori di Deming, Press et al. (Numerical Recipes) e Jefferys. METODO DEI MINIMI QUADRATI GIUSEPPE GIUDICE Sommario Il metodo dei minimi quadrati è trattato in tutti i testi di statistica e di elaborazione dei dati sperimentali, ma non sempre col rigore necessario

Dettagli

IT FINANCIAL MANAGEMENT

IT FINANCIAL MANAGEMENT IT FINANCIAL MANAGEMENT L IT Financial Management è una disciplina per la pianificazione e il controllo economico-finanziario, di carattere sia strategico sia operativo, basata su un ampio insieme di metodologie

Dettagli

LA PROGETTAZIONE Come fare un progetto. LA PROGETTAZIONE Come fare un progetto

LA PROGETTAZIONE Come fare un progetto. LA PROGETTAZIONE Come fare un progetto LA PROGETTAZIONE 1 LA PROGETTAZIONE Oggi il raggiungimento di un obiettivo passa per la predisposizione di un progetto. Dal mercato al terzo settore passando per lo Stato: aziende, imprese, organizzazioni,

Dettagli

Capitolo 9: PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI

Capitolo 9: PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI Capitolo 9: PROPAGAZIOE DEGLI ERRORI 9.1 Propagazione degli errori massimi ella maggior parte dei casi le grandezze fisiche vengono misurate per via indiretta. Il valore della grandezza viene cioè dedotto

Dettagli

Eccellenza nel Credito alle famiglie

Eccellenza nel Credito alle famiglie Credito al Credito Eccellenza nel Credito alle famiglie Innovazione e cambiamento per la ripresa del Sistema Paese Premessa La complessità del mercato e le sfide di forte cambiamento del Paese pongono

Dettagli

Principal Component Analysis

Principal Component Analysis Principal Component Analysis Alessandro Rezzani Abstract L articolo descrive una delle tecniche di riduzione della dimensionalità del data set: il metodo dell analisi delle componenti principali (Principal

Dettagli

Centrale Rischi Banca d Italia: dal suo monitoraggio alla gestione attiva dell andamentale

Centrale Rischi Banca d Italia: dal suo monitoraggio alla gestione attiva dell andamentale Centrale Rischi Banca d Italia: dal suo monitoraggio alla gestione attiva dell andamentale di Luca Martini e Valerio Vimercati (*) In un contesto dove l accesso al credito da parte delle imprese risulta

Dettagli

RELAZIONE TRA DUE VARIABILI QUANTITATIVE

RELAZIONE TRA DUE VARIABILI QUANTITATIVE RELAZIONE TRA DUE VARIABILI QUANTITATIVE Quando si considerano due o più caratteri (variabili) si possono esaminare anche il tipo e l'intensità delle relazioni che sussistono tra loro. Nel caso in cui

Dettagli

L Emittente, Offerente e Responsabile del Collocamento. Banca di Credito Cooperativo di Flumeri

L Emittente, Offerente e Responsabile del Collocamento. Banca di Credito Cooperativo di Flumeri Prospetto Informativo Semplificato per l offerta al pubblico di strumenti diversi dai titoli di capitale emessi in modo continuo o ripetuto da banche di cui all art. 34-ter, comma 4 del Regolamento Consob

Dettagli

Da una a più variabili: derivate

Da una a più variabili: derivate Da una a più variabili: derivate ( ) 5 gennaio 2011 Scopo di questo articolo è di evidenziare le analogie e le differenze, relativamente al calcolo differenziale, fra le funzioni di una variabile reale

Dettagli

Analisi statistica di dati biomedici Analysis of biologicalsignals

Analisi statistica di dati biomedici Analysis of biologicalsignals Analisi statistica di dati biomedici Analysis of biologicalsignals II Parte Verifica delle ipotesi (a) Agostino Accardo (accardo@units.it) Master in Ingegneria Clinica LM in Neuroscienze 2013-2014 e segg.

Dettagli

LA MOLTIPLICAZIONE IN PRIMA ELEMENTARE

LA MOLTIPLICAZIONE IN PRIMA ELEMENTARE LA MOLTIPLICAZIONE IN PRIMA ELEMENTARE E bene presentarla confrontando tra loro varie tecniche: addizione ripetuta; prodotto combinatorio (schieramenti). Rispetto a quest'ultima tecnica, grande utilità

Dettagli

(accuratezza) ovvero (esattezza)

(accuratezza) ovvero (esattezza) Capitolo n 2 2.1 - Misure ed errori In un analisi chimica si misurano dei valori chimico-fisici di svariate grandezze; tuttavia ogni misura comporta sempre una incertezza, dovuta alla presenza non eliminabile

Dettagli

La gestione del rischio. Vademecum a uso dei confidi

La gestione del rischio. Vademecum a uso dei confidi La gestione del rischio Vademecum a uso dei confidi 1 Il presente lavoro è stato curato dall ufficio studi e comunicazione del Consorzio camerale per il credito e la finanza, nell'ambito della collaborazione

Dettagli

Energy risk management

Energy risk management Il sistema di supporto alle tue decisioni Energy risk management Un approccio orientato agli attori M.B.I. Srl, Via Francesco Squartini 7-56121 Pisa, Italia - tel. 050 3870888 - fax. 050 3870808 www.powerschedo.it

Dettagli

Economia monetaria e creditizia. Slide 3

Economia monetaria e creditizia. Slide 3 Economia monetaria e creditizia Slide 3 Ancora sul CDS Vincolo prestatore Vincolo debitore rendimenti rendimenti-costi (rendimenti-costi)/2 Ancora sul CDS dove fissare il limite? l investitore conosce

Dettagli

SENZA ALCUN LIMITE!!!

SENZA ALCUN LIMITE!!! Il Report Operativo di Pier Paolo Soldaini riscuote sempre più successo! Dalla scorsa settimana XTraderNet ha uno spazio anche sul network Class CNBC nella trasmissione Trading Room. Merito soprattutto

Dettagli

Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee

Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee Se a e b sono numeri interi, si dice che a divide b, in simboli: a b, se e solo se esiste c Z tale che b = ac. Si può subito notare che:

Dettagli

Scheda approfondita LAVORO PART-TIME

Scheda approfondita LAVORO PART-TIME Scheda approfondita LAVORO PART-TIME Nozione Finalità Ambito soggettivo di applicazione Legenda Contenuto Precisazioni Riferimenti normativi Ambito oggettivo di applicazione Forma Durata Trattamento economico

Dettagli

R I S K M A N A G E M E N T & F I N A N C E

R I S K M A N A G E M E N T & F I N A N C E R I S K M A N A G E M E N T & F I N A N C E 2010 Redexe S.u.r.l., Tutti i diritti sono riservati REDEXE S.r.l., Società a Socio Unico Sede Legale: 36100 Vicenza, Viale Riviera Berica 31 ISCRITTA ALLA CCIAA

Dettagli

Guido Candela, Paolo Figini - Economia del turismo, 2ª edizione

Guido Candela, Paolo Figini - Economia del turismo, 2ª edizione 8.2.4 La gestione finanziaria La gestione finanziaria non dev essere confusa con la contabilità: quest ultima, infatti, ha come contenuto proprio le rilevazioni contabili e il reperimento dei dati finanziari,

Dettagli

Qual è il fine dell azienda?

Qual è il fine dell azienda? CORSO DI FINANZA AZIENDALE SVILUPPO DELL IMPRESA E CREAZIONE DI VALORE Testo di riferimento: Analisi Finanziaria (a cura di E. Pavarani) - McGraw-Hill - 2001 Cap. 9 1 Qual è il fine dell azienda? Massimizzare

Dettagli

Process mining & Optimization Un approccio matematico al problema

Process mining & Optimization Un approccio matematico al problema Res User Meeting 2014 con la partecipazione di Scriviamo insieme il futuro Paolo Ferrandi Responsabile Tecnico Research for Enterprise Systems Federico Bonelli Engineer Process mining & Optimization Un

Dettagli

La distribuzione Normale. La distribuzione Normale

La distribuzione Normale. La distribuzione Normale La Distribuzione Normale o Gaussiana è la distribuzione più importante ed utilizzata in tutta la statistica La curva delle frequenze della distribuzione Normale ha una forma caratteristica, simile ad una

Dettagli

Costruirsi una rendita. I principi d investimento di BlackRock

Costruirsi una rendita. I principi d investimento di BlackRock Costruirsi una rendita I principi d investimento di BlackRock I p r i n c i p i d i n v e s t i m e n t o d i B l a c k R o c k Ottenere una rendita è stato raramente tanto difficile quanto ai giorni nostri.

Dettagli

Il monitoraggio della gestione finanziaria dei fondi pensione

Il monitoraggio della gestione finanziaria dei fondi pensione Il monitoraggio della gestione finanziaria nei fondi pensione Prof. Università di Cagliari micocci@unica.it Roma, 4 maggio 2004 1 Caratteristiche tecnico - attuariali dei fondi pensione Sistema finanziario

Dettagli

L analisi economico finanziaria dei progetti

L analisi economico finanziaria dei progetti PROVINCIA di FROSINONE CIOCIARIA SVILUPPO S.c.p.a. LABORATORI PER LO SVILUPPO LOCALE L analisi economico finanziaria dei progetti Azione n. 2 Progetti per lo sviluppo locale LA FINANZA DI PROGETTO Frosinone,

Dettagli

GUIDE Il lavoro part time

GUIDE Il lavoro part time Collana Le Guide Direttore: Raffaello Marchi Coordinatore: Annalisa Guidotti Testi: Iride Di Palma, Adolfo De Maltia Reporting: Gianni Boccia Progetto grafico: Peliti Associati Illustrazioni: Paolo Cardoni

Dettagli

if t>=0 x=1; else x=0; end fornisce, nella variabile x, il valore della funzione gradino a tempi continui, calcolata in t.

if t>=0 x=1; else x=0; end fornisce, nella variabile x, il valore della funzione gradino a tempi continui, calcolata in t. Il programma MATLAB In queste pagine si introduce in maniera molto breve il programma di simulazione MAT- LAB (una abbreviazione di MATrix LABoratory). Introduzione MATLAB è un programma interattivo di

Dettagli

La Valutazione degli Asset Intangibili

La Valutazione degli Asset Intangibili La Valutazione degli Asset Intangibili Chiara Fratini Gli asset intangibili rappresentano il patrimonio di conoscenza di un organizzazione. In un accezione ampia del concetto di conoscenza, questo patrimonio

Dettagli

General Linear Model. Esercizio

General Linear Model. Esercizio Esercizio General Linear Model Una delle molteplici applicazioni del General Linear Model è la Trend Surface Analysis. Questa tecnica cerca di individuare, in un modello di superficie, quale tendenza segue

Dettagli

VC-dimension: Esempio

VC-dimension: Esempio VC-dimension: Esempio Quale è la VC-dimension di. y b = 0 f() = 1 f() = 1 iperpiano 20? VC-dimension: Esempio Quale è la VC-dimension di? banale. Vediamo cosa succede con 2 punti: 21 VC-dimension: Esempio

Dettagli

CIRCOLARE N. 2/DF. Ai Comuni

CIRCOLARE N. 2/DF. Ai Comuni CIRCOLARE N. 2/DF MINISTERO DELL ECONOMIA E DELLE FINANZE DIPARTIMENTO DELLE FINANZE Roma, 11 maggio 2010 DIREZIONE FEDERALISMO FISCALE PROT. 10968/2010 Ai Comuni Alle Regioni Friuli-Venezia Giulia e Valle

Dettagli

Report Operativo Settimanale

Report Operativo Settimanale Report Operativo n 70 del 1 dicembre 2014 Una settimana decisamente tranquilla per l indice Ftse Mib che ha consolidato i valori attorno a quota 20000 punti. L inversione del trend negativo di medio periodo

Dettagli

COMUNE DI ORBETELLO (Provincia di Grosseto)

COMUNE DI ORBETELLO (Provincia di Grosseto) COMUNE DI ORBETELLO (Provincia di Grosseto) REGOLAMENTO DI ISTITUZIONE DELLE POSIZIONI ORGANIZZATIVE Art. 1 - Area delle posizione organizzative 1. Nel rispetto dei criteri generali contenuti nelle disposizioni

Dettagli

I crediti e la loro classificazione secondo gli IAS/IFRS

I crediti e la loro classificazione secondo gli IAS/IFRS IAS-IFRS E NON PERFORMING LOANS Verona, 9 giugno 2006 I crediti e la loro classificazione secondo gli IAS/IFRS Andrea Lionzo Università degli Studi di Verona andrea.lionzo@univr.it 1 Indice 1. I fondamenti

Dettagli

Studente: SANTORO MC. Matricola : 528

Studente: SANTORO MC. Matricola : 528 CORSO di LAUREA in INFORMATICA Corso di CALCOLO NUMERICO a.a. 2004-05 Studente: SANTORO MC. Matricola : 528 PROGETTO PER L ESAME 1. Sviluppare una versione dell algoritmo di Gauss per sistemi con matrice

Dettagli

ANALISI DI BILANCIO LA RICLASSIFICAZIONE FINANZIARIA E FUNZIONALE. Dott. Elbano De Nuccio

ANALISI DI BILANCIO LA RICLASSIFICAZIONE FINANZIARIA E FUNZIONALE. Dott. Elbano De Nuccio ANALISI DI BILANCIO LA RICLASSIFICAZIONE FINANZIARIA E FUNZIONALE Dott. Elbano De Nuccio L analisi di bilancio si propone di formulare un giudizio sull EQUILIBRIO ECONOMICO e FINANZIARIO/PATRIMONIALE della

Dettagli

Il presente documento è conforme all'originale contenuto negli archivi della Banca d'italia

Il presente documento è conforme all'originale contenuto negli archivi della Banca d'italia Il presente documento è conforme all'originale contenuto negli archivi della Banca d'italia Firmato digitalmente da Sede legale Via Nazionale, 91 - Casella Postale 2484-00100 Roma - Capitale versato Euro

Dettagli

GLI ASSI CULTURALI. Allegato 1 - Gli assi culturali. Nota. rimessa all autonomia didattica del docente e alla programmazione collegiale del

GLI ASSI CULTURALI. Allegato 1 - Gli assi culturali. Nota. rimessa all autonomia didattica del docente e alla programmazione collegiale del GLI ASSI CULTURALI Nota rimessa all autonomia didattica del docente e alla programmazione collegiale del La normativa italiana dal 2007 13 L Asse dei linguaggi un adeguato utilizzo delle tecnologie dell

Dettagli

GeoGebra 4.2 Introduzione all utilizzo della Vista CAS per il secondo biennio e il quinto anno

GeoGebra 4.2 Introduzione all utilizzo della Vista CAS per il secondo biennio e il quinto anno GeoGebra 4.2 Introduzione all utilizzo della Vista CAS per il secondo biennio e il quinto anno La Vista CAS L ambiente di lavoro Le celle Assegnazione di una variabile o di una funzione / visualizzazione

Dettagli

PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIANZA DELLE QUANTITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIONE CON I DATI OSSERVATI

PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIANZA DELLE QUANTITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIONE CON I DATI OSSERVATI statistica, Università Cattaneo-Liuc, AA 006-007, lezione del 08.05.07 IDICE (lezione 08.05.07 PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIAZA DELLE QUATITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIOE CO I DATI OSSERVATI 3.1 Valore

Dettagli

Le agenzie di rating e la crisi finanziaria

Le agenzie di rating e la crisi finanziaria Facoltà di Economia Corso di Laurea in Mercati e intermediari finanziari Le agenzie di rating e la crisi finanziaria RELATORE Prof. Claudio Boido CANDIDATO Greta Di Fabio ANNO ACCADEMICO 2008/2009 Indice

Dettagli

Esercizi su lineare indipendenza e generatori

Esercizi su lineare indipendenza e generatori Esercizi su lineare indipendenza e generatori Per tutto il seguito, se non specificato esplicitamente K indicherà un campo e V uno spazio vettoriale su K Cose da ricordare Definizione Dei vettori v,,v

Dettagli

Business Process Management

Business Process Management Corso di Certificazione in Business Process Management Progetto Didattico 2015 con la supervisione scientifica del Dipartimento di Informatica Università degli Studi di Torino Responsabile scientifico

Dettagli

Minimizzazione di Reti Logiche Combinatorie Multi-livello

Minimizzazione di Reti Logiche Combinatorie Multi-livello Minimizzazione di Reti Logiche Combinatorie Multi-livello Maurizio Palesi Maurizio Palesi 1 Introduzione Obiettivo della sintesi logica: ottimizzazione delle cifre di merito area e prestazioni Prestazioni:

Dettagli

EQUAZIONI non LINEARI

EQUAZIONI non LINEARI EQUAZIONI non LINEARI Francesca Pelosi Dipartimento di Matematica, Università di Roma Tor Vergata CALCOLO NUMERICO e PROGRAMMAZIONE http://www.mat.uniroma2.it/ pelosi/ EQUAZIONI non LINEARI p.1/44 EQUAZIONI

Dettagli

Università di Pavia - Facoltà di Economia

Università di Pavia - Facoltà di Economia 0 Università di Pavia - Facoltà di Economia Il calcolo imprenditoriale per la trasformazione «finanziaria» Michela Pellicelli Le imprese possono essere considerate trasformatori finanziari in quanto: a)

Dettagli

Parte 2. Determinante e matrice inversa

Parte 2. Determinante e matrice inversa Parte. Determinante e matrice inversa A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Determinante di una matrice, 1 Teorema di Cramer (caso particolare), 3 3 Determinante di una matrice

Dettagli

LE PROSPETTIVE PER L ECONOMIA ITALIANA NEL 2015-2017

LE PROSPETTIVE PER L ECONOMIA ITALIANA NEL 2015-2017 7 maggio 2015 LE PROSPETTIVE PER L ECONOMIA ITALIANA NEL 2015-2017 Nel 2015 si prevede un aumento del prodotto interno lordo (Pil) italiano pari allo 0,7% in termini reali, cui seguirà una crescita dell

Dettagli

General Motors: la storia della nascita e della crescita di una giant firm 1

General Motors: la storia della nascita e della crescita di una giant firm 1 General Motors: la storia della nascita e della crescita di una giant firm 1 Centralized control with decentralized responsibility (Johnson and Kaplan, 1987) 1. Dalla nascita fino al 1920 La General Motors,

Dettagli

LE PROSPETTIVE PER L ECONOMIA ITALIANA NEL 2014-2016

LE PROSPETTIVE PER L ECONOMIA ITALIANA NEL 2014-2016 5 maggio 2014 LE PROSPETTIVE PER L ECONOMIA ITALIANA NEL 2014-2016 Nel 2014 si prevede un aumento del prodotto interno lordo (Pil) italiano pari allo 0,6% in termini reali, seguito da una crescita dell

Dettagli

Tassi a pronti ed a termine (bozza)

Tassi a pronti ed a termine (bozza) Tassi a pronti ed a termine (bozza) Mario A. Maggi a.a. 2006/2007 Indice 1 Introduzione 1 2 Valutazione dei titoli a reddito fisso 2 2.1 Titoli di puro sconto (zero coupon)................ 3 2.2 Obbligazioni

Dettagli

Determinanti dell avversione al rischio degli investitori: riscontri giornalieri dal mercato azionario tedesco 1

Determinanti dell avversione al rischio degli investitori: riscontri giornalieri dal mercato azionario tedesco 1 Martin Scheicher +43 1 40420 7418 martin.scheicher@oenb.at Determinanti dell avversione al rischio degli investitori: riscontri giornalieri dal mercato azionario tedesco 1 I prezzi azionari oscillano al

Dettagli

ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE

ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE 1 DIPENDENZA E INDIPENDENZA LINEARE Se ho alcuni vettori v 1, v 2,, v n in uno spazio vettoriale V, il sottospazio 1 W = v 1,, v n di V da loro generato è

Dettagli

Matematica B - a.a 2006/07 p. 1

Matematica B - a.a 2006/07 p. 1 Matematica B - a.a 2006/07 p. 1 Definizione 1. Un sistema lineare di m equazioni in n incognite, in forma normale, è del tipo a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + + a 2n x n = b 2 (1) = a m1 x 1 + +

Dettagli

Dimensione di uno Spazio vettoriale

Dimensione di uno Spazio vettoriale Capitolo 4 Dimensione di uno Spazio vettoriale 4.1 Introduzione Dedichiamo questo capitolo ad un concetto fondamentale in algebra lineare: la dimensione di uno spazio vettoriale. Daremo una definizione

Dettagli

Specialista ITIL. Certificate of Advanced Studies. www.supsi.ch/fc

Specialista ITIL. Certificate of Advanced Studies. www.supsi.ch/fc Scuola universitaria professionale della Svizzera italiana Dipartimento tecnologie innovative Istituto sistemi informativi e networking Specialista ITIL Certificate of Advanced Studies www.supsi.ch/fc

Dettagli

Passività iscritte nei bilanci IAS: il coordinamento fiscale con le modifiche apportate allo IAS 37

Passività iscritte nei bilanci IAS: il coordinamento fiscale con le modifiche apportate allo IAS 37 Le novità civilistiche e fiscali per la stesura del bilancio di Stefano Chirichigno e Vittoria Segre Passività iscritte nei bilanci IAS: il coordinamento fiscale con le modifiche apportate allo IAS 37

Dettagli

CERVED RATING AGENCY. Politica in materia di conflitti di interesse

CERVED RATING AGENCY. Politica in materia di conflitti di interesse CERVED RATING AGENCY Politica in materia di conflitti di interesse maggio 2014 1 Cerved Rating Agency S.p.A. è specializzata nella valutazione del merito creditizio di imprese non finanziarie di grandi,

Dettagli

Un introduzione al rischio di credito

Un introduzione al rischio di credito UNIVERSITÀ CA FOSCARI DI VENEZIA DIPARTIMENTO DI MATEMATICA APPLICATA Martina Nardon Un introduzione al rischio di credito n. 123/2004 Un introduzione al rischio di credito Martina Nardon Dipartimento

Dettagli

Compito di SISTEMI E MODELLI. 19 Febbraio 2015

Compito di SISTEMI E MODELLI. 19 Febbraio 2015 Compito di SISTEMI E MODELLI 9 Febbraio 5 Non é ammessa la consultazione di libri o quaderni. Le risposte vanno giustificate. Saranno rilevanti per la valutazione anche l ordine e la chiarezza di esposizione.

Dettagli

Dott.ssa Caterina Gurrieri

Dott.ssa Caterina Gurrieri Dott.ssa Caterina Gurrieri Le relazioni tra caratteri Data una tabella a doppia entrata, grande importanza riveste il misurare se e in che misura le variabili in essa riportata sono in qualche modo

Dettagli

Economia e Finanza delle. Assicurazioni. Aspetti economico-finanziari delle gestioni assicurative. Mario Parisi

Economia e Finanza delle. Assicurazioni. Aspetti economico-finanziari delle gestioni assicurative. Mario Parisi Economia e Finanza delle Assicurazioni Università di Macerata Facoltà di Economia Mario Parisi Aspetti economico-finanziari delle gestioni assicurative 1 aspetti economici * gestione assicurativa * gestione

Dettagli

Perché investire nel QUANT Bond? Logica di investimento innovativa

Perché investire nel QUANT Bond? Logica di investimento innovativa QUANT Bond Perché investire nel QUANT Bond? 1 Logica di investimento innovativa Partiamo da cose certe Nel mercato obbligazionario, una equazione è sempre vera: Rendimento = Rischio E possibile aumentare

Dettagli

Gli uni e gli altri. Strategie in contesti di massa

Gli uni e gli altri. Strategie in contesti di massa Gli uni e gli altri. Strategie in contesti di massa Alessio Porretta Universita di Roma Tor Vergata Gli elementi tipici di un gioco: -un numero di agenti (o giocatori): 1,..., N -Un insieme di strategie

Dettagli

Unità di ricerca Business Intelligence, Finance& Knowledge

Unità di ricerca Business Intelligence, Finance& Knowledge Unità di ricerca Business Intelligence, Finance& Knowledge ( www.economia.unimi.it/lda/adamss ) Facoltàdi Scienze, Università degli Studi di Milano 10 febbraio 2006 Coordinatore: Davide La Torre (Professore

Dettagli

guida introduttiva alla previdenza complementare

guida introduttiva alla previdenza complementare COVIP Commissione di Vigilanza sui Fondi Pensione COVIP Commissione di Vigilanza sui Fondi Pensione Con questa Guida la COVIP intende illustrarti, con un linguaggio semplice e l aiuto di alcuni esempi,

Dettagli

www.bistrategy.it In un momento di crisi perché scegliere di investire sulla Business Intelligence?

www.bistrategy.it In un momento di crisi perché scegliere di investire sulla Business Intelligence? In un momento di crisi perché scegliere di investire sulla Business Intelligence? Cos è? Per definizione, la Business Intelligence è: la trasformazione dei dati in INFORMAZIONI messe a supporto delle decisioni

Dettagli

GUIDA RAPIDA emagister-agora Edizione BASIC

GUIDA RAPIDA emagister-agora Edizione BASIC GUIDA RAPIDA emagister-agora Edizione BASIC Introduzione a emagister-agora Interfaccia di emagister-agora Configurazione dell offerta didattica Richieste d informazioni Gestione delle richieste d informazioni

Dettagli

1. Premessa. Il contesto generale.

1. Premessa. Il contesto generale. Linee di indirizzo del Comitato interministeriale (d.p.c.m. 16 gennaio 2013) per la predisposizione, da parte del Dipartimento della funzione pubblica, del PIANO NAZIONALE ANTICORRUZIONE di cui alla legge

Dettagli

Comitato di Basilea per la vigilanza bancaria

Comitato di Basilea per la vigilanza bancaria Comitato di Basilea per la vigilanza bancaria Liquidity Coverage Ratio: requisiti di informativa pubblica Gennaio 2014 (versione aggiornata al 20 marzo 2014) La presente pubblicazione è consultabile sul

Dettagli

Elementi di Statistica

Elementi di Statistica Elementi di Statistica Contenuti Contenuti di Statistica nel corso di Data Base Elementi di statistica descrittiva: media, moda, mediana, indici di dispersione Introduzione alle variabili casuali e alle

Dettagli

VALUTAZIONE DI RISULTATO E DI IMPATTO del progetto Diesis

VALUTAZIONE DI RISULTATO E DI IMPATTO del progetto Diesis Obiettivo Competitività Regionale e Occupazione Programma Operativo Nazionale Azioni di Sistema (FSE) 2007-2013 [IT052PO017] Obiettivo Convergenza Programma Operativo Nazionale Governance e Azioni di Sistema

Dettagli

guida introduttiva alla previdenza complementare

guida introduttiva alla previdenza complementare 1 COVIP Commissione di Vigilanza sui Fondi Pensione guida introduttiva alla previdenza complementare www.covip.it 3 Questa Guida è stata realizzata dalla COVIP Indice grafica e illustrazioni Studio Marabotto

Dettagli

Esercizi per il corso di Algoritmi e Strutture Dati

Esercizi per il corso di Algoritmi e Strutture Dati 1 Esercizi per il corso di Algoritmi e Strutture Dati Esercizi sulla Tecnica Divide et Impera N.B. Tutti gli algoritmi vanno scritti in pseudocodice (non in Java, né in C++, etc. ). Di tutti gli algoritmi

Dettagli

IL GIOCO DEL 15. OVVERO: 1000$ PER SPOSTARE DUE BLOCCHETTI

IL GIOCO DEL 15. OVVERO: 1000$ PER SPOSTARE DUE BLOCCHETTI IL GIOCO DEL. OVVERO: 000$ PER SPOSTARE DUE BLOCCHETTI EMANUELE DELUCCHI, GIOVANNI GAIFFI, LUDOVICO PERNAZZA Molti fra i lettori si saranno divertiti a giocare al gioco del, uno dei più celebri fra i giochi

Dettagli

LA TECHNOLOGY TRANSFER PRESENTA SUZANNE ROBERTSON MASTERING THE REQUIREMENTS PROCESS COME COSTRUIRE IL SISTEMA CHE IL VOSTRO UTENTE DESIDERA

LA TECHNOLOGY TRANSFER PRESENTA SUZANNE ROBERTSON MASTERING THE REQUIREMENTS PROCESS COME COSTRUIRE IL SISTEMA CHE IL VOSTRO UTENTE DESIDERA LA TECHNOLOGY TRANSFER PRESENTA SUZANNE ROBERTSON MASTERING THE REQUIREMENTS PROCESS COME COSTRUIRE IL SISTEMA CHE IL VOSTRO UTENTE DESIDERA ROMA 20-22 OTTOBRE 2014 RESIDENZA DI RIPETTA - VIA DI RIPETTA,

Dettagli

Corso Base ITIL V3 2008

Corso Base ITIL V3 2008 Corso Base ITIL V3 2008 PROXYMA Contrà San Silvestro, 14 36100 Vicenza Tel. 0444 544522 Fax 0444 234400 Email: proxyma@proxyma.it L informazione come risorsa strategica Nelle aziende moderne l informazione

Dettagli

Le banche italiane tra gestione del credito e ricerca di efficienza

Le banche italiane tra gestione del credito e ricerca di efficienza ADVISORY Le banche italiane tra gestione del credito e ricerca di efficienza Analisi dei bilanci bancari kpmg.com/it Indice Premessa 4 Executive Summary 6 Approccio metodologico 10 Principali trend 11

Dettagli

Project Management Office per centrare tempi e costi

Project Management Office per centrare tempi e costi Project Management Office per centrare tempi e costi Il Project Management Office (PMO) rappresenta l insieme di attività e strumenti per mantenere efficacemente gli obiettivi di tempi, costi e qualità

Dettagli

risparmio, dove lo metto ora? le risposte alle domande che i risparmiatori si pongono sul mondo dei fondi

risparmio, dove lo metto ora? le risposte alle domande che i risparmiatori si pongono sul mondo dei fondi il risparmio, dove lo ora? metto le risposte alle domande che i risparmiatori si pongono sul mondo dei fondi Vademecum del risparmiatore le principali domande emerse da una recente ricerca di mercato 1

Dettagli

Economia e Finanza delle. Assicurazioni. Introduzione al corso. Mario Parisi. Università di Macerata Facoltà di Economia

Economia e Finanza delle. Assicurazioni. Introduzione al corso. Mario Parisi. Università di Macerata Facoltà di Economia Economia e Finanza delle Assicurazioni Università di Macerata Facoltà di Economia Mario Parisi Introduzione al corso 1 Inquadramento del corso 1996: Gruppo di ricerca sulle metodologie di analisi, sugli

Dettagli

ANALISI DEGLI SCOSTAMENTI DI COSTO E DI RICAVO

ANALISI DEGLI SCOSTAMENTI DI COSTO E DI RICAVO ATTIVITÀ DIDATTICHE 1 Prova di verifica ANALISI DEGLI SCOSTAMENTI DI COSTO E DI RICAVO di Rossana MANELLI MATERIA: ECONOMIA AZIENDALE (Classe 5 a IT IGEA, 5 a IP Economico - gestionale) La prova, indirizzata

Dettagli