Sul controllo dinamico dell affidabilità creditizia mediante catene di Markov*

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1 Studi e Note di Economia, Anno XVII, n , pagg GruppoMontepaschi Sul controllo dinamico dell affidabilità creditizia mediante catene di Markov* LoREnzo QUiRini** - LUiGi VAnnUCCi*** A dynamical monitoring of credit risky portfolios is described. It is shown how a dependence of Markovian kind can be used in modeling the tradeoff between customer s behaviour and profit/loss of his financial obligation. This framework is based on the Credit Worthiness Index (CWI), defined by the authors and whose properties have been described in previous works since In particular recursive formulas for estimating the CWI s first four moments (mean, variance, skewness, kurtosis) are given. Numerical examples, with a description of a profit/loss analysis of a financial obligation, complete the article. (J.E.L.: C3; C6; D8) 1. Introduzione A partire dall ultimo trimestre 2008, inizio della peggiore recessione che ha colpito il sistema economico-finanziario mondiale dopo la Grande Depressione, l attenzione alla gestione dei crediti problematici si è imposta come una delle priorità, se non la più importante, per le banche e gli operatori finanziari specializzati. Tuttora, a cavallo tra il 2010 e il 2011, l intero comparto bancario-finanziario è in cerca di riassestamento strutturale, lasciando intravedere qualche spiraglio. Dal Bollettino Economico della Banca d italia dell ottobre 2010, (Banca d italia 2010: 39): nel secondo trimestre del 2010 il flusso di nuove sofferenze [...] si è ridotto all 1.7% dal 2.0% del trimestre precedente [...] rimanendo elevato se confrontato con il livello medio del biennio dell 1.1%. * Articolo approvato nel febbraio Un sentito ringraziamento dagli Autori al dott. Ernesto Rabizzi, Presidente, al dott. Andrea Poletto, Direttore Generale, e al dott. Dario Lorenzini, Direttore Crediti di Consum.it Gruppo MPS, che hanno consentito la continuazione delle nostre analisi volte ad affinare l intreccio tra modelli teorici e problematiche operative in equilibrio tra i due punti di vista. ** Servizio Sistemi Decisionali, Monitoraggio e Scoring Consum.it Gruppo MPS. *** Dipartimento di Matematica per le Decisioni, Università di Firenze.

2 134 Studi e Note di Economia, Anno XVII, n nel quadro dell attuale contesto macro-economico, che ha visto una significativa crescita nei livelli di insolvenza per i soggetti già valutati a rischiosità media o a rischiosità alta, si impone agli operatori una maggiore attenzione, non solo per i suddetti clienti, ma anche per quelle tipologie di clienti che prima della crisi economico-finanziaria erano caratterizzati da una buona qualità creditizia ex ante (rating, score... ), qualità che riceveva le attese conferme ex post. Adesso anche i rapporti che nella fase iniziale paiono ben avviati possono subire improvvisi e diffusi deterioramenti del presunto buon livello di affidabilità. È ferma convinzione degli autori che, per poter continuare a operare profittevolmente su mercati sempre più complessi, gli operatori si debbano dotare, e utilizzare con continuità e consapevolezza, di strumenti di valutazione dinamica del rischio di credito. La necessità di valutare l evoluzione nel tempo dell affidabilità dei clienti fu uno degli obiettivi che intendeva perseguire l indicatore di affidabilità da noi proposto fin dal 2004 (Quirini e Vannucci 2004) e tale problematica è stata da noi ripresa e rilanciata in successive occasioni (Quirini e Vannucci 2009, Quirini 2009, Quirini e Vannucci 2010). Tra la modellistica, che può rivelarsi efficace nel contesto del credito al consumo e più in generale per tutte quelle forme di finanziamento per le quali è previsto un preciso piano di rimborso a rata costante (o poco variabile), si distingue quella offerta dalle catene di Markov. Tale modellistica è stata introdotta in questo ambito dal lavoro pioneristico di Cyert et al e tale linea di ricerca è stata proseguita da Betancourt 1999, Kallberg e Saunders 1983: per un resoconto esaustivo anche sul piano analitico dei principali filoni di indagine all inizio di questo ultimo decennio si rinvia a Thomas et al. 2002: il tema è stato più recentemente ripreso da Lai e Wong 2008 e Malik e Thomas Sempre restando nell ambito dei processi markoviani è da segnalare il contributo di Crowder et al in cui si propone l impiego dei cosiddetti modelli di Markov nascosti (HMM - Hidden Markov Models) per la stima delle frequenze di default, anche se l analisi non scende al livello di dettaglio qui proposto in merito al processo di ritardo dei rimborsi dei finanziamenti. nel presente articolo, ispirandosi a questo filone di ricerca, l intento è quello di connettere modelli offerti nell ambito delle catene di Markov con l indice di affidabilità creditizia da noi proposto. in dettaglio, nel successivo paragrafo 2 si richiama l indicatore di affidabilità da noi proposto nel caso di quelle forme di finanziamento per le quali è previsto un preciso piano di rimborso con rate prefissate in modo deterministico e si coglie il nesso tra tale indicatore e il valore attuale (aleatorio) delle rate effettivamente pagate; nel paragrafo 3 si costruisce la catena di Markov che descrive l effettivo (aleatorio) comportamento dei clienti; nel paragrafo 4 si utilizza tale modello di comportamento dei clienti per determinare i momenti delle variabili aleatorie introdotte nel primo paragrafo; nel para-

3 L. Quirini, L. Vannucci - Sul controllo dinamico dell affidabilità creditizia grafo 5 si correda l analisi con l illustrazione di un caso di scuola a un parametro; nel paragrafo 6 si illustra come possa essere stimato da dati empirici un modello a due parametri; nel paragrafo 7 si adatta il modello al caso di default; nel paragrafo conclusivo 8 si sintetizza il significato della proposta metodologica presentata e si accenna a possibili evoluzioni del modello. 2. L indicatore di affidabilità e il valore attuale aleatorio delle rate pagate Un rapporto di credito con inizio in 0 e con piano di ammortamento prefissato prevede che il capitale prestato, c, sia restituito con un numero finito di rate, r 1, r 2,..., r n, versate nelle scadenze equintervallate 1, 2,..., n. Tra il capitale c e le rate r 1, r 2,..., r n intercorre la relazione c = r 1 (1+x) -1 + r 2 (1+x) r n (1+x) -n dove x è il tasso di interesse periodale che regola il rapporto creditizio. in un precedente nostro lavoro (Quirini e Vannucci 2004), è stato definito l indicatore di affidabilità creditizia (v = (1 - x) -1 è il fattore di attualizzazione periodale in una struttura piatta dei tassi di interesse qui assunta come quella di contratto) per h = 1, 2,..., n,... dove R 1, R 2,..., R h sono le rate aleatorie effettivamente pagate dal soggetto affidatario. A tali rapporti aleatori si è data la connotazione di indice di affidabilità creditizia all epoca h. Di tali rapporti e dei loro indicatori di sintesi, valore medio E[X h ] e varianza s 2 [X h ], abbiamo sottolineato le proprietà che li rendono efficace strumento nelle varie fasi del processo creditizio. È evidente che considerando il valore attuale aleatorio all epoca 0 delle rate effettivamente pagate fino all epoca h W h = R 1 v + R 2 v R h v h risulta il seguente legame tra X h e W h ovvero le due grandezze sono proporzionali. Siccome è complicato determinare la distribuzione di probabilità del valore attuale aleatorio delle rate pagate fino all epoca h = 1, 2,..., n conviene puntare ad una procedura che consenta almeno di ottenerne il valore medio, la varianza, l indice di asimmetria e la kurtosis: valori che serviranno per determinare anche gli analoghi momenti per l indicatore di affidabilità creditizia, sussistendo

4 136 Studi e Note di Economia, Anno XVII, n X h 3. Un modello markoviano per rappresentare l affidabilità in questo lavoro considereremo il caso rilevante, poichè molto frequente nell operatività aziendale, in cui r 1 = r 2 =... = r n = r R h = J h r con J h variabile aleatoria con determinazioni = 0, 1,... h per h = 1, 2,..., n tenuto conto del fatto che l affidatario può, ad ogni scadenza h, non pagare, j = 0, o pagare multipli di rata r in modo da annullare eventuali ritardi nei pagamenti effettuati, che alla scadenza h sono al più pari a h 1: in tale ipotesi, ovvero quando alla scadenza h l affidatario non ha ancora pagato alcuna rata, se alla scadenza h paga hr si rimette in pari come numero di rate pagate, anche se non dal punto di vista finanziario a meno che il tasso di interesse contrattuale sia nullo. Questa casistica è modellabile con una catena di Markov in cui gli stati della stessa sono i mesi cumulati di ritardo nei pagamenti delle rate alle varie scadenze, un dato facilmente acquisibile dal sistema informativo aziendale. il modello considerato consente di fare previsioni sul numero delle posizioni incagliate e sul loro grado di gravità e, tra l altro, di prevedere la dinamica al variare di h dell indice di affidabilità X h. il confronto tra tali previsioni e l effettiva dinamica dei rapporti in un portafoglio di contratti consente al gestore di allertare tempestivamente il sistema qualora vi siano scostamenti significativi tra previsto e osservato. in sintesi, il modello proposto pare, più di altri, adeguato per seguire costantemente l affidabilità di un portafoglio di contratti di finanziamento, in modo da percepire per tempo se sono in atto mutamenti strutturali. Sia allora S h = {0,1,..., h 1} per h = 1, 2,..., n l insieme degli stati del sistema appena prima dell epoca h con la lettura che S h indica il ritardo cumulato nei pagamenti prima della scadenza h, scadenza in cui la rata r e le altre rate in sospeso per mancato pagamento potrebbero

5 L. Quirini, L. Vannucci - Sul controllo dinamico dell affidabilità creditizia essere versate. È ovvio che, con l assunzione fatta sull insieme degli stati possibili alle varie scadenze, segue che non si considera la possibilità che l affidatario paghi rate in anticipo rispetto alle scadenze prefissate. La distribuzione di probabilità su S 1 all inizio del rapporto contrattuale (e prima della prima scadenza) è degenere ovviamente P(S 1 = 0) =1 La matrice delle probabilità di transizione, P h, in dipendenza del comportamento effettivo dell affidatario alla scadenza h per h = 1, 2,..., n può pensarsi come una matrice stocastica con h righe e h+1 colonne. Tale matrice sia... dove p h,i,j è la probabilità che alla scadenza h una posizione che ha cumulato prima di tale scadenza i = 0, 1,..., h 1 ritardi di pagamenti si porti, per l epoca successiva, pagando (i j + 1)r, ad un cumulo di j ritardi di pagamenti, ovviamente con j = 0, 1,..., i + 1: j = 0 significa che all epoca h la posizione si è comunque rimessa in pari come numero di rate da pagare,..., j = i + 1 significa che all epoca h non vi sono stati pagamenti e lo stato del sistema passa da i ritardi cumulati a i + 1. indicando p h-1 per h = 1,..., n + 1 il vettore a h componenti che indica la distribuzione di probabilità su S h = {0, 1,..., h 1} prima dell epoca h, risulta p 0 = (1) = P(S 1 =0) e ricorsivamente p h = p h-1 P h per h = 1, 2,..., n Si noti che p h-1 ha h componenti, P h è matrice h (h+1) e p h ha h + 1 componenti. 3.1 Un esemplificazione del modello a un parametro immaginiamo un esempio che nella parte riguardante il comportamento degli affidati sia caratterizzato da un solo parametro a. Sia p 1,0,0 = a e p 1,0,1 = 1 a se h = 2, 3,... Pertanto

6 138 Studi e Note di Economia, Anno XVII, n p 0 = (1) p 1 = (a,1 a), ecc. ovviamente questo è un caso ideale; nell operatività di uno specifico contesto, le matrici delle probabilità di transizione si potranno stimare dai dati di archivio. Esse difficilmente potranno adattarsi al modello considerato, il quale ha tuttavia il pregio di legare ad un unico parametro l intera struttura di affidabilità creditizia degli affidati. Per brevità ma senza perdita di generalità possiamo supporre r = 1 e valutare per esercizio indicando con W h il valore attuale all epoca 0 delle rate effettivamente pagate fino alla scadenza h inclusa, risulta W 0 = 0 e quindi da cui ecc. Al crescere di h le formule diventano sempre più complicate e va sfruttata la markovianità del processo per ottenere ricorsivamente all indietro i valori di E[W h ] e di E[W h 2] e quindi di s 2 [X h ]. Per inciso, la procedura ricorsiva ideata e sotto illustrata non è legata al modello specifico considerato, ma

7 L. Quirini, L. Vannucci - Sul controllo dinamico dell affidabilità creditizia vale per una qualsiasi successione delle matrici delle probabilità di transizioni tra stati. 4. Il calcolo ricorsivo dei primi quattro momenti di W h Per ottenere e quindi la varianza, l indice di asimmetria e la kurtosis non solo di W h ma, alla luce di quanto rilevato nel primo paragrafo, anche di X h per h = 1, 2,..., n occorre introdurre le successioni a k, h, i = E[W h - W k S k+1 = i] con i = 0, 1, 2,..., k e 0 k h n b k, h, i = E[W h - W k S k+1 = i] con i = 0, 1, 2,..., k g k, h, i = E[W h - W k S k+1 = i] con i = 0, 1, 2,..., k d k, h, i = E[W h - W k S k+1 = i] con i = 0, 1, 2,..., k e 0 k h n e 0 k h n e 0 k h n nello specifico interessano i valori di a 0, h, 0 = E[W h - W 0 S 1 = 0]:= E[W h ] b 0, h, 0 = E[(W h - W 0 ) 2 S 1 = 0]:= E[W 2 h] g 0, h, 0 = E[(W h - W 0 ) 3 S 1 = 0]:= E[W 3 h] d 0, h, 0 = E[(W h - W 0 ) 4 S 1 = 0]:= E[W 4 h] ovviamente essendo W 0 = 0 ed essendo alla prima scadenza S 1 = 0. Fissato un particolare h vale l inizializzazione per ogni i = 0, 1,..., h e valgono ricorsivamente all indietro per ogni i = 0, 1,..., k per k = h 1, h 2,..., 1, 0 p k+1,i,j p k+1,i,j p k+1,i,j

8 140 Studi e Note di Economia, Anno XVII, n p k+1,i,j A giustificazione di queste formule si tenga conto che se, per m = 1, 2, 3, 4, si identifica dove w k+2,h,j,l rappresenta la generica determinazione della variabile W h W k+1 condizionata a S k+2 = j e q k+2,h,j,l ne è il corrispondente valore della probabilità (la sommatoria è estesa a tutte le determinazioni della variabile), allora lo sviluppo da considerare per giustificare le formule ricorsive è, considerando di volta in volta m = 1,2,3,4, E[(W h - W k ) m S k+1 = i] = p k+1,i,j da cui banalmente si motivano i risultati indicati. Per esempio nell esemplificazione del modello a un parametro prima considerato per h = 1 si ha immediatamente per i valori attesi, stante w 1,1,0 = 0. Per h = 2 è w 2,2,0 = w 2,2,1 = 0 e ricorsivamente e infine (si conferma il caso precedentemente e direttamente calcolato) p 1,0,j Per i momenti secondi per h = 1 si ha immediatamente, essendo a 1,1,0 = b 1,1,0 = 0, Per h = 2 è, essendo a 2,2,0 = b 2,2,0 = 0 e a 2,2,1 = b 2,2,1 = 0,

9 L. Quirini, L. Vannucci - Sul controllo dinamico dell affidabilità creditizia e infine (si conferma il caso precedentemente e direttamente calcolato) b 0,2,0 = b 1,2,j 5. Risultanze numeriche dell algoritmo ricorsivo Si è redatto l algoritmo sopra presentato, che è bene ribadire ha portata del tutto generale, considerando il modello che regola le transizioni tra Stati con il solo parametro a e ipotizzando un orizzonte temporale di 12 periodi. Tab. 1 - Probabilità (x1000) di essere nei vari stati del sistema (mesi di ritardo) dopo le epoche indicate in colonna 1 per a = 0.9, ovvero i vettori p h. h Da notare che già al nono mese la maggioranza degli affidatari fa registrare qualche ritardo nei pagamenti (il 47.63% non ha ritardi anche se li può avere avuti in precedenza). Dalla Tabella 2 si intuisce che in questo modello l affidabilità recupera al crescere di h e che anche gli indicatori s[x h ], g h, si spostano nel senso di una valutazione di minor rischio. Curioso è il comportamento della kurtosis che dopo aver toccato il minimo per h = 5 torna poi lentamente a crescere. Per apprezzare l effetto del parametro a, fermo restando x = 0.05, si è considerato per h = 12 come si modificano i valori di E [W 12 ], E [X 12 ], s[w 12 ], s[x 12 ], g 12, k 12 al variare di a da 0.82 a 0.98 con passo 0.02.

10 142 Studi e Note di Economia, Anno XVII, n Tab. 2 - Valore di E [W h ], E [X h ], s[w h ], s[x h ], g h, k h con la parametrizzazione x = 0.05, a = 0.9 alle varie epoche di pagamento h. h E [W h ] E [X h ] s[w h ] s[x h ] g h k h Tab. 3 - Valore di E [W12], E [X12], s[w12], s[x12], g12, k12 con la parametrizzazione x = 0.05 al variare di a. a E [W 12 ] E [X 12 ] s[w 12 ] s[x 12 ] g 12 k il commento è che dal parametro a dipende la profittabilità della gestione di questa tipologia di contratti di credito, visto l andamento della affidabilità in termini dei suoi indicatori di sintesi. Si ricorda, vedi (Quirini e Vannucci 2004), che l affidabilità attesa può essere interpretata come il coefficiente moltiplicativo che riduce il valore di tutte le rate da pagare. Un finanziatore può allora leggere il risultato di questa tabella per a = 0.90 come un investimento che a fronte di un finanziamento concesso di (si ricorda che abbiamo posto r = 1) riceve con un tasso atteso (le virgolette indicano che non si tratta di un proprio valore medio ma solo di una sua euristica approssimazione) di remunerazione che è la soluzione della equazione in v

11 L. Quirini, L. Vannucci - Sul controllo dinamico dell affidabilità creditizia Tab. 4 - Valore di E [W 12 ], E [X 12 ], s[w 12 ], s[x 12 ], g 12, k 12 con la parametrizzazione a = 0.90 al variare di x. x E [W 12 ] E [X 12 ] s[w 12 ] s[x 12 ] g 12 k con soluzione, finanziariamente significativa, v = equivalente al tasso periodale = Per apprezzare l effetto del parametro x, fermo restando a = 0.90, si è considerato per h = 12 come si modificano i valori di E [W 12 ], E [X 12 ], s[w 12 ], s[x 12 ], g 12, k 12 al variare di x da 0.01 a 0.09 con passo Da notare, per non prendere abbagli, che è vero che l affidabilità media si riduce all aumentare di x, ma quando aumenta x c è un margine maggiore per compensare la riduzione di affidabilità! La considerazioni fatta sulla tabella precedente indica, per esempio, che per x = 0.01 l equazione ha la soluzione finanziariamente significativa v = che equivale a una remunerazione (negativa) di = Stima del modello a più parametri il modello a un parametro è un esempio con finalità didattico - espositiva: esso ha il vantaggio di una immediata lettura del significato dell unico parametro, che misura la propensione (probabilità) costante che il soggetto affidato ha di ritardare i pagamenti o di recuperare sui pagamenti in ritardo, qualunque sia il numero di essi. Per illustrare come si può procedere alla calibratura di un modello assumendo la possibilità di impiegare anche più di un parametro si presenta in questo paragrafo un problema di stima che può porsi in un contesto applicativo. Si considerino i seguenti dati relativi ai primi quattro momenti dell affidabilità (si riportano soltanto le cifre dopo la virgola), scansionati di tre mesi in tre mesi e calcolati partendo da registrazioni d archivio.

12 144 Studi e Note di Economia, Anno XVII, n Tab. 5 - Valori empirici rilevati per i quattro momenti dell indice di affidabilità ( 10 6 ). t = 3 t = 6 t = 9 t = 12 t = 15 t = 18 t = 21 t = 24 mesi mesi mesi mesi mesi mesi mesi mesi E[X t ] E[X 2 t] E[X 3 t] E[X 4 t] il tasso annuale mediamente applicato (e qui assunto costante per tutta la classe di contratti a cui i dati si riferiscono) sia l 8%, che, considerato il mese come periodo di riferimento, dà un tasso periodale pari a 1.08 (1/12) -1 = %. Per esempio, se si considerasse il trimestre come periodo di riferimento il tasso periodale corrispondente sarebbe 1.08 (1/4) 1 = %. ovviamente considerando catene di Markov non omogenee e dando la possibilità, con probabilità positiva, di recuperare ad ogni stadio qualunque numero di ritardi, il modello qui proposto avrebbe un così grande numero di parametri da consentire, sì, di impattare tutte le desiderate valorizzazioni dei momenti, ma perderebbe quella immediata e significativa interpretazione che, come sopra rilevato nel caso a un parametro, si ha quanto minore è il numero di parametri che in esso figurano. Qui, a titolo meramente esemplificativo, si considera una catena di Markov con due soli parametri liberi, omogenea e con le seguenti probabilità di transizione p 1,0,0 = 1 b e p 1,0,1 = b p h,i,j = { } 1 - b( i) - c se j = i b( i) se j = i + 1 c se j = i per gli altri j per h = 2, 3,, 24 con i = 0, 1,, h 1 e b e c parametri non negativi con le ovvie limitazioni dovute al fatto che essi sono legati a valutazioni di probabilità di eventi. Poiché l affidabilità media decresce (si veda la prima riga della Tab. 5) occorre una probabilità crescente per il ritardo di un ulteriore pagamento all aumentare del numero di ritardi cumulato: una calibrazione plausibile è stata sopra esemplificata considerando il fattore (1 + 8 i) per i = 0, 1,, 24, frutto di una sperimentazione/selezione su fattori del tipo (1 + k i d ). il modello ha ora, pertanto, due parametri, b e c: si immagina che il parametro b sia in grado di misurare la propensione, crescente con lo stato, a ritardare i pagamenti e che il parametro c sia in grado di misurare la propensione, costante con lo stato, a recuperare sui ritardi cumulati. nel modello precedente, a un parametro, queste due propensioni erano costanti nel tempo e

13 L. Quirini, L. Vannucci - Sul controllo dinamico dell affidabilità creditizia uguali per tutti gli stati con un numero positivo di ritardi. L algoritmo proposto è in grado di calcolare i primi quattro momenti dell indice di affidabilità su un qualunque orizzonte temporale e per qualunque catena di Markov, anche non omogenea, con cui si descriva quantitativamente il fenomeno dei ritardi/recuperi dei pagamenti nei rapporti contrattuali creditizi. Qui, considerato il mese come periodo di riferimento, si sono determinati, al variare dei valori in millesimi dei parametri b e c in una griglia rettangolare con passi dei due parametri pari a un millesimo, i valori teorici dei primi quattro momenti dell indice di affidabilità in corrispondenza delle epoche indicate in Tab. 5. Utilizzando il software da noi realizzato e che traduce in linguaggio informatico l algoritmo qui proposto si è selezionata tra le valorizzazioni dei due parametri considerate quella che rende minima la somma degli scarti quadratici pesati (momento primo con peso 1000, secondo con peso 100, terzo con peso 10, quarto con peso 1) tra i valori teorici calcolati al variare di b e c e quelli empirici di Tab. 5. il valore minimo della funzione obiettivo, , è stato ottenuto con b = e c = Per questi due valori dei parametri si riporta la tabella dei valori teorici dei primi quattro momenti dell indice di affidabilità alle 8 scadenze considerati. Tab. 6 - Valori teorici dei quattro momenti dell indice di affidabilità. t = 3 t = 6 t = 9 t = 12 t = 15 t = 18 t = 21 t = 24 mesi mesi mesi mesi mesi mesi mesi mesi E[X t ] E[X 2 t] E[X 3 t] E[X 4 t] Dunque una curiosa soluzione d angolo si è stimata come la migliore tra quelle considerate: tale soluzione segnala una trascurabile capacità di recupero dei ritardi, c = 0, da parte dei soggetti che iniziano a ritardare i pagamenti e un preoccupante crescendo nella probabilità di cumulare ulteriori ritardi (si noti che p(0,1) = e p(24,25) = ). 7. Un modello per il default Se si assume che vi sia default quando si verifichi per la prima volta il raggiungimento di un prefissato numero di ritardi, per esempio h * = 3, e che in tale ipotesi il contratto non produca nella gestione ordinaria ulteriori pagamenti di rate allora le matrici delle probabilità di transizione si modificano, poichè lo Stato con h * ritardi diventa assorbente e va posto p h,h*,h = 1 Le matrici di transizione successive a quella h * -ma sono tutte quadrate con h * + 1 righe e h * + 1 colonne, essendo

14 146 Studi e Note di Economia, Anno XVII, n {0, 1,..., h * } l insieme degli stati, con h * inteso quale stato assorbente associato al default. L algoritmo ideato continua ad essere pienamente valido per effettuare le valutazioni di affidabilità creditizia nella gestione ordinaria. il recupero delle spettanze connesse al default qui non si considera, anche se uno schema di questo tipo è ancora proponobile per quel tipo di problematica. ovviamente, se l operazione si interrompe con il default nella gestione ordinaria, l affidatario in default non paga più alcuna rata e ciò produce un peggioramento sia su W h che X h. Senza entrare nei dettagli formali basta tagliare le sommatorie mettendo quale estremo superiore non più i + 1(si vedano le formule ricorsive prima costruite) ma min(i + 1, h * ) valendo non solo la condizione iniziale a h,h,i = b h,h,i = g k,h,i = d h,h,i = 0 per ogni i = 0, 1,..., h ma anche a k,h,i = b k,h,i = g h,h,i = d k,h,i = 0 per ogni k < h se i = h *, h * + 1,..., n Alcune risultanze numeriche con la parametrizzazione x = 0.05, a = 0.9 e h * = 3 sono qui di seguito riportate in Tab. 7 e in Tab. 8. h h * = Tab. 7 - Probabilità di essere nei vari stati del sistema (mesi di ritardo) dopo le epoche indicate in colonna 1. ovviamente l ultima colonna indica la probabilità di essere in default all epoca h: al 12-mo periodo, per esempio, si registra una probabilità di 0,0285 d essere finiti (in quell epoca o precedentemente) in default. Dal confronto della Tab. 8 con la Tab. 2 si vede il peso del default: al 12-mo periodo l affidabilità si è ridotta da a con preoccupan-

15 L. Quirini, L. Vannucci - Sul controllo dinamico dell affidabilità creditizia Tab. 8 - Valore di E [W h ], E [X h ], s[w h ], s[x h ], g h, k h. h E [W h ] E [X h ] s[w h ] s[x h ] g h k h ti effetti sulle code come mostrano s[x 12 ] = , g 12 = , k 12 = da confrontare con i rispettivi , , Conclusioni Si è applicato un modello basato sulle catene di Markov per descrivere i comportamenti dei soggetti finanziati in presenza di prodotti con piani di rimborso prefissati. il modello riesce a spiegare e prevedere la dinamica del legame tra tali comportamenti e l affidabilità-redditività delle operazioni di finanziamento, consentendone un controllo nel perdurare dei rapporti contrattuali. Più specificamente, si calcola il nesso tra la parametrizzazione della catena di Markov, stimata dai dati di archivio, e i momenti di indicatori di affidabilità: dall andamento di tali momenti, facilmente disponibili e determinati con alta (giornaliera, settimanale...) frequenza, è consentito inferire la tipologia dei comportamenti in atto da parte dei soggetti affidati in merito agli effettivi differimenti in atto dei pagamenti dovuti. L approccio metodologico ha carattere di larga generalità e con le adeguate e adattate parametrizzazioni il modello proposto è in grado di descrivere molti altri contesti operativi, ivi incluso quello relativo al processo di gestione delle posizioni incagliate. Un evoluzione del modello potrebbe riguardare la sua inclusione nell ambito dei modelli di Markov nascosti (Hidden Markov Models - HMM). Con tale estensione si potrebbero tenere in considerazione anche le transizioni del sistema economico-sociale in cui l attività creditizia si svolge, condizionandone gli esiti economici.

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