Daniela Lera A.A

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1 Daniela Lera Università degli Studi di Cagliari Dipartimento di Matematica e Informatica A.A

2 Equazioni Differenziali Si consideri il seguente problema: Quali sono le curve y = f (x) del piano in ogni punto delle quali la pendenza è uguale al doppio del prodotto delle sue coordinate? La pendenza di una curva in un suo punto è la derivata prima in quel punto, quindi il problema può essere risolto dall equazione y = 2xy (1)

3 Equazioni Differenziali Le soluzioni dell equazione (1) non sono numeri, ma sono funzioni y = f (x), cioé l equazione (1) è una equazione funzionale. Equazioni di tipo (1), che coinvolgono la variabile indipendente x, la variabile dipendente y e le sue derivate, sono dette equazioni differenziali.

4 Equazioni Differenziali Verifichiamo che la famiglia di funzioni y = ce x2 costituisce la soluzione dell equazione differenziale (1). Derivando la y = ce x2 = y = 2cxe x2 Sostituendo nella (1) 2cxe x2 = 2xy = 2xce x2 L uguaglianza è verificata per qualunque x e qualunque c.

5 Osservazioni Equazioni Differenziali La soluzione dell equazione differenziale (1) è costituita da infinite funzioni, una per ogni valore di c e quindi, geometricamente, da infinite curve del piano x, y, una per ogni punto assegnato P del piano. Assegnate le coordinate del punto P, ad esempio P(1, 1), si può determinare la curva della famiglia particolare soluzione della (1): basta individuare il valore della costante c relativo a quella curva della famiglia passante per P. Le coordinate di P devono soddisfare la y = ce x2 : 1 = ce 1 = c = e 1

6 Osservazioni Equazioni Differenziali Allora la curva della famiglia passante per P è y = e 1 e x2 = e x2 1 La y = e x2 1 viene detta soluzione particolare o primitiva particolare o integrale particolare o ancora, in termini geometrici curva integrale particolare dell equazione differenziale. La y = ce x2 viene detta soluzione generale o primitiva o integrale generale o ancora, in termini geometrici curva integrale dell equazione differenziale.

7 Equazioni Differenziali In generale Definizione Una equazione differenziale ordinaria di ordine n è una relazione della forma: F : U R, U R n+2. F(t, y(t), y (t), y (t),..., y (n) (t)) = 0 L incognita è la funzione y = y(t), che compare nell equazione insieme alle sue derivate fino all ordine n incluso, calcolate nello stesso punto.

8 L aggettivo ordinaria si riferisce al fatto che l incognita è una funzione di una variabile. Si parla di equazioni a DERIVATE PARZIALI quando l incognita è funzione di più variabili, es: l equazione di Laplace u xx + u yy + u zz = 0.

9 Definizione Dicesi ordine di un equazione differenziale l ordine massimo delle derivate che in essa compaiono. Definizione Dicesi grado di un equazione differenziale l esponente massimo della derivata di ordine massimo che in essa compare.

10 Esempi a. y = x(y 2) (primo ordine, primo grado) b. y 5y + 6y = 2x 2 (secondo ordine, primo grado) c. (y ) 2 + xy y = 0 (primo ordine, secondo grado) d. (y ) 2 + y y = sinx (terzo ordine, secondo grado) e. y + y (y ) 3 = sinx (terzo ordine, primo grado)

11 Equazioni Differenziali Definizione L equazione si dice in forma normale se è possibile esplicitare la derivata di ordine massimo: con f : D R, D R n+1. y (n) (t) = f (t, y(t), y (t),..., y (n 1) (t))

12 Sistemi di Equazioni Differenziali Più in generale si parla di sistemi di equazioni differenziali ordinarie, in più funzioni incognite, tutte di una sola variabile. Un generico sistema di equazioni differenziali del primo ordine (compare la derivata prima) in n funzioni incognite si scrive:

13 Sistema di equazioni differenziali y 1 (t) = f 1(t, y 1, y 2,..., y n ) y 2 (t) = f 2(t, y 1, y 2,..., y n ). y n(t) = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) Le f j sono definite in una stessa regione D R n+1, e le y 1 = y 1 (t),..., y n = y n (t) sono le funzioni incognite. y (t) = f(t, y(t)) Forma compatta vettoriale y(t) = (y 1 (t),..., y n (t)) T e f = (f 1,..., f n ) T.

14 Esempi di risoluzione 1) y = cosx + 2x dy = cosx + 2x dy = (cosx + 2x)dx dx Integrando membro a membro dy = (cosx + 2x)dx y = sinx + x 2 + c La famiglia di funzioni trovata costituisce l integrale generale dell equazione. Era una equazione del tipo y = M(x).

15 Esempi di risoluzione 2) y = 1/(y 1) con y 1 dy dx = 1 y 1 Integrando membro a membro (y 1)dy = (y 1)dy = dx dx (y 1)2 2 = +x + c 1 (y 1) 2 = 2x + c con c = 2c 1 Era una equazione del tipo y = N(y).

16 Variabili separabili Le equazioni 1) e 2) fanno parte di una gamma più ampia di equazioni differenziali cosiddette a variabili separabili, con esattezza equazioni del tipo y = M(x)N(y) nelle quali M(x) ed N(y) sono funzioni rispettivamente solo della variabile x ed y. In tal caso si può integrare direttamente, scrivendo l equazione nella forma 1 dy = M(x)dx N(y)

17 Esempi di risoluzione 3) y = (x 2)/(y + 3) con y 3 (y + 3)dy = (x 2)dx Integrando membro a membro (y + 3)dy = (x 2)dx (y + 3)2 2 = (x 2)2 2 + c 1 (y + 3) 2 (x 2) 2 = c con c = 2c 1

18 Esempi 4) y = x 2 5x + 6 5) xy x = 4 6) yy (y 2 1) = 0 7) y = xe y 8) y = x(y+1) y(x 1) con y 0, x 1

19 Esempio di Malthus Storicamente il primo modello di dinamica delle popolazioni. Si considera una popolazione che evolve isolata ed in cui gli unici fattori di evoluzione sono fertilità e mortalità. Siano: y(t) = no. di individui al tempo t λ = no. nuovi nati nell?unità di tempo µ = no. di individui che muore nell?unità di tempo In tali condizioni il tasso di variazione del no. di individui è costante, uguale a λ?µ. In formule y (t) = (λ µ)y(t) ε = λ µ è il potenziale biologico.

20 Il problema di Cauchy Sia I 0 un intervallo di R contenente un punto fissato x 0. Data una funzione f : I 0 R n R n e dato un y 0 R n, si chiama problema di Cauchy il problema della ricerca di una funzione y(x), continua e derivabile sull intervallo I 0, a valori in R n, tale che { y (x) = f (x, y(x)) x I 0 (1) y(x 0 ) = y 0 (2)

21 Il problema di Cauchy La variabile x in genere rappresenta il tempo e la condizione (2) viene detta condizione di Cauchy. Una funzione y che verifica l equazione (1) è detta integrale del sistema differenziale (1). Il sistema è detto del primo ordine perché in esso intervengono solo le derivate prime della funzione y.

22 Il problema di Cauchy Dal punto di vista intuitivo è facile convincersi del fatto che la sola equazione (1), priva di condizione iniziale, non è sufficiente a garantire l unicità della soluzione del problema. Infatti essa consente di conoscere la derivata della soluzione nell intervallo I 0, e quindi solo l andamento locale della generica curva integrale. Il punto iniziale (x 0, y 0 ) fornisce la possibilità di selezionare la soluzione tra le infinite curve la cui derivata coincide con quella assegnata.

23 Il problema di Cauchy Diamo il seguente risultato teorico: Teorema di Cauchy-Lipschitz Si suppone che la funzione f sia continua su I 0 R n e che esista una costante reale positiva L tale che f (x, y) f (x, z) L y z (x, y), (x, z) I 0 R n allora il problema di Cauchy (1)-(2) ammette una ed una sola soluzione. La condizione sopra dice che la funzione f (x, y) verifica la condizione di Lipschitz nella variabile y uniformemente rispetto ad x.

24 Esempio: predatore-preda, n=2 Si consideri la dinamica di due specie tipo preda-predatore: la preda si procura il cibo da sola ma è uccisa ogni volta che incontra il predatore (es. lepri e lupi). Descriviamo con un modello matematico come variano nel tempo le due popolazioni. Siano: y 1 (t) il numero della popolazione preda al tempo t. y 2 (t) il numero della popolazione predatore al tempo t.

25 Inoltre indichiamo: Esempio: predatore-preda x b (birth rate) tasso di accrescimento preda. x d (dead rate) tasso di morte naturale preda. Supponiamo che x b e x d siano costanti con x b > x d, cioè se la popolazione preda fosse sola crescerebbe con velocità (x b x d )y 1 (t)

26 Esempio: predatore-preda Supponiamo inoltre che il no. di volte che il predatore uccide la preda dipenda dalla probabilità di incontro, sia proporzionale a y 1 y 2. Per la popolazione predatore si assume che il no. di predatori diminuisca per cause naturali se le prede mancano, mentre aumenta in conseguenza degli incontri con le prede. Le popolazioni preda e predatore sono quindi descritte dall equazioni:

27 Esempio: predatore-preda Equazioni di Lotka-Volterra dy 1 = αy 1 + βy 1 y 2 dt dy 2 = γy 2 + δy 1 y 2 dt con α = x b x d > 0 e β < 0 mentre γ < 0 e δ > 0. Si devono inoltre assegnare le condizioni iniziali: y 1 (t 0 ) = y 0 1, y 2 (t 0 ) = y 0 2

28 Metodi discreti Consideriamo il problema con n = 1: { y (x) = f (x, y(x)) x I 0 y(x 0 ) = y 0 con I 0 intervallo di R, ed f : I 0 R R, continua e derivabile in I 0. Si cerca una funzione y : R R.

29 Metodi discreti Idea dei metodi: Si discretizza l intervallo [x 0, x 0 + T] considerando i nodi: x i+1 = x i + h i Il metodo, in corrispondenza dei nodi {x i } genera una successione di valori {η i } (soluzione discreta) tali che η i y(x i )

30 Metodi alle differenze finite Supponiamo: x i = x 0 + ih, i = 0, 1, 2..., cioè il passo h costante. I valori η i possono essere calcolati approssimando in vario modo la derivata della soluzione y(x) mediante rapporti incrementali, ossia utilizzando differenze finite in luogo di differenze infinitesime.

31 Differenze finite in avanti Approssimando la derivata nel punto x i col rapporto incrementale in avanti si ottiene: y i+1 y i h f (x i, y i ) da cui, sostituendo i valori incogniti y i = y(x i ) con le loro approssimazioni η i, e trasformando la relazione in uguaglianza si ottiene lo schema numerico: Metodo di Eulero-Cauchy { ηi+1 = η i + hf (x i, η i ) η 0 = y 0

32 Metodo di Eulero-Cauchy

33 Differenze finite all indietro Approssimando la derivata nel punto x i+1 si ottiene: Da cui y i+1 y i h f (x i+1, y i+1 ) Metodo di Eulero implicito { ηi+1 = η i + hf (x i+1, η i+1 ) η 0 = y 0

34 Differenze finite centrali Usando la stessa procedura su un intervallo contenente tre punti, approssimando la derivata nel punto centrale mediante il rapporto incrementale calcolato agli estremi si ottiene: y i+1 y i 1 f (x i, y i ) 2h Da cui: Metodo del punto medio { ηi+1 = η i 1 + 2hf (x i, η i ) η 0 = y 0 η 1 da calcolare.

35 Metodo del punto medio

36 Approssimazioni dell integrale Un altro approccio per determinare schemi discreti è il seguente. Dal teorema fondamentale del calcolo integrale l eq. (1) si scrive x 0 x < x. x y(x ) = y(x ) + f (x, y(x))dx x Se x e x sono nodi della discretizzazione si approssima l integrale con una formula di quadratura.

37 Approssimazioni dell integrale xi+1 y(x i+1 ) = y(x i ) + f (x, y(x))dx x i A seconda della formula di quadratura scelta si ottengono differenti schemi numerici. 1. Utilizzando le somme inferiori di Riemann si ha: Formula di Eulero-Cauchy η i+1 = η i + hf (x i, η i )

38 Approssimazioni dell integrale xi+1 y(x i+1 ) = y(x i ) + f (x, y(x))dx x i 2. Utilizzando le somme superiori di Riemann si ha: Formula di Eulero implicito η i+1 = η i + hf (x i+1, η i+1 )

39 Approssimazioni dell integrale xi+1 y(x i+1 ) = y(x i ) + f (x, y(x))dx x i 3. Utilizzando il metodo dei trapezi si ha: Formula di Crank-Nicolson η i+1 = η i + h 2 [f (x i, η i ) + f (x i+1, η i+1 )]

40 Approssimazioni dell integrale xi+1 y(x i+1 ) = y(x i 1 ) + f (x, y(x))dx x i 1 4. Utilizzando il metodo del rettangolo si ha: Formula del punto medio η i+1 = η i 1 + 2hf (x i, η i )

41 Approssimazioni dell integrale xi+1 y(x i+1 ) = y(x i 1 ) + f (x, y(x))dx x i 1 5. Utilizzando il metodo di Simpson si ha: Formula di Simpson η i+1 = η i 1 + h 3 [f (x i 1, η i 1 ) + 4f (x i, η i ) + f (x i+1, η i+1 )]

42 Catalogazione dei metodi Metodi Monostep, a un passo, in cui η i+1 dipende solo da η i. Metodi Multistep in cui η i+1 dipende da η i, η i 1,..., η i k+1, k passi. In tal caso la sola condizione iniziale non è sufficiente a inizializzare lo schema, si utilizzano in genere metodi monostep per gli altri k 1 valori.

43 Catalogazione dei metodi Metodi Espliciti in cui η i+1 può essere calcolato direttamente in funzione dei valori nei punti precedenti. Metodi Impliciti in cui η i+1 dipende implicitamente da se stesso attraverso la f (, ), compare quindi anche a secondo membro. In tal caso η i+1 è soluzione di una equazione non lineare.

44 Catalogazione dei metodi Come si catalogano i metodi pecedentemente definiti? Monostep: 1, 2, 3. Multistep: 4, 5. Espliciti: 1, 4. Impliciti: 2, 3, 5.

45 Osservazione: un metodo implicito può essere reso esplicito e un metodo multistep può essere reso monostep. Esempio 1. Si consideri la formula 3) dei trapezi e si approssimi η i+1 con Eulero-Cauchy, si ottiene: η i+1 = η i + h 2 [f (x i, η i ) + f (x i+1, η i + hf (x i, η i ))] Metodo di Heun, (esplicito).

46 Esempio 2. Si consideri la formula 4) del punto medio sui punti x i, x i+1/2 = x i + h/2, x i+1, cioé: η i+1 = η i + hf (x i + h/2, η i+1/2 ) Se si approssima η i+1/2 y(x i + h/2) con Eulero-Cauchy, si ottiene quindi la 4) diventa η i+1/2 = η i + h 2 f (x i, η i ) η i+1 = η i + hf (x i + h/2, η i + h 2 f (x i, η i )) Metodo di Eulero modificato