RICERCA OPERATIVA (a.a. 2009/10) Nome: Cognome: Matricola:

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1 o Appello 08/0/00 RICERCA OPERATIVA (a.a. 009/0) Nome: Cognome: Matriola: ) Dato il grafo in figura e l albero T evidenziato, si verifihi se T sia un albero dei ammini minimi di radie ; si modifihi poi il osto di uno o più arhi in maniera tale he se T non era un albero dei ammini minimi lo diventi, mentre se lo era non lo sia più. Giustifiare le risposte. Infine, si dimostri he ponendo 0 non può esistere alun vettore delle etihette he soddisfi le ondizioni di Bellman. Sia d il vettore delle etihette per ui d(i) individua la lunghezza dell unio ammino in T dal nodo al nodo i: d() 0, d(), d(),, d(), d(), d() 0. T è un albero dei ammini minimi di radie se e solo se d soddisfa le ondizioni di Bellman: d(i)+ ij d(j) (i,j) A. Poihé gli arhi in T verifiano la ondizione ome uguaglianza, verifihiamo tale ondizione soltanto per gli arhi non in T: d()+ + > d() d()+ 0+ > 0 d() d()+ 0+ > d() d()+ 0 d() d()+ + < d() Quindi, T non è un albero dei ammini minimi. Poihé l unio aro a violare la ondizione di Bellman è (,), è suffiiente aumentare il suo osto della quantità d() (d()+ ) per garantire he sia verifiata e di onseguenza l albero T sia un albero dei ammini minimi di radie. Poniamo adesso 0 e supponiamo he esista un vettore di etihette d he soddisfa le ondizioni di Bellman. Considerando gli arhi appartenenti al ilo {(, ),(, ),(, )}, si hanno le disuguaglianze d()+ d() d()+ d() d()+ d() he, sommate membro a membro, danno la disuguaglianza d()+d()+d()+0+( )+ d()+d()+d() ossia l assurdo 0. Pertanto non può esistere alun vettore delle etihette he soddisfi le ondizioni di Bellman.

2 o Appello 08/0/00 ) Si individui un flusso massimo dal nodo al nodo sulla rete in figura, utilizzando l algoritmo di Edmonds e Karp a partire dal flusso riportato in figura di valore v. Ad ogni iterazione si fornisa l albero della visita, il ammino aumentante individuato on la relativa apaità, ed il flusso ottenuto on il relativo valore. Al termine, si indihi il taglio di apaità minima restituito dall algoritmo, speifiando l insieme dei nodi N s, l insieme dei nodi N t e la apaità del taglio.,,,,, 0,,,,, 8, 8 i x, u ij ij j Per ogni iterazione viene riportato l albero della visita, in ui viene evidenziato il ammino aumentante P individuato; viene inoltre indiato il flusso ottenuto in seguito all invio di flusso lungo P, trasurando per sempliità gli arhi a flusso nullo. It. θ( P,x) 8 v9 It. θ(p,x) 8 v It. 8 θ(p,x) v It. Non esistendo ammini aumentanti, il flusso orrente è massimo ed inoltre il taglio N s {,,}, N t {,,,} è di apaità minima: u(n s,n t ) ++.

3 o Appello 08/0/00 ) Si risolva geometriamente, per mezzo dell algoritmo del Simplesso Primale, il problema di PL in figura a partire dalla base B {,}. Per ogni iterazione si fornisano la base, la soluzione primale di base x e la direzione di spostamento ξ (riportandoli direttamente sulla figura), il segno delle variabili duali in base, e gli indii usente ed entrante, giustifiando le risposte. Si disuta la degenerazione, sia primale he duale, delle basi visitate dall algoritmo. A x ξ x x ξ ξ x A A A A A A A it.) B {,}, y 0 e y < 0 poihé A ; quindi, risulta h. La base è primale non degenere (I(x ) B) ma duale degenere (y 0). Il massimo passo lungo la direzione ξ si ottiene in orrispondenza ai vinoli e : quindi k min{,} per la regola antiilo di Bland. it.) B {,}, y < 0 e y > 0 poihé appartiene al ono generato da A e A, ome mostrato in figura (a); quindi, risulta h. La base è primale degenere (I(x ) {,,}), ma duale non degenere (y,y 0). Il massimo passo lungo la direzione ξ si ottiene in orrispondenza al vinolo, attivo ma non in base: si esegue quindi un ambio di base degenere selezionando k. it.) B {,}, y > 0 e y < 0 poihé appartiene al ono generato da A e A, ome mostrato in figura (b); quindi, risulta h. La base è duale non degenere (y,y 0), ma è primale degenere (I(x ) {,,}). Il massimo passo lungo la direzione ξ si ottiene in orrispondenza ai vinoli e : quindi k min{,} per la regola antiilo di Bland. it.) B {,}, y > 0 e y > 0 poihé appartiene al ono generato da A e A, ome mostrato in figura (); quindi, la base è duale ammissibile e l algoritmo termina, avendo determinato la soluzione ottima primale x. La base è primale degenere (I(x ) {,,}) ma duale non degenere (y,y 0). A A A A A A A A (a) (b) ()

4 o Appello 08/0/00 ) Si onsideri il seguente problema di PL: max x + x x x x 0 x x + x x + x Si applihi l algoritmo del Simplesso Duale, per via algebria, a partire dalla base B {, }. Per ogni iterazione si indihino: la base, la matrie di base e la sua inversa, la oppia di soluzioni di base, l indie entrante k, il vettore η B, il passo θ e l indie usente h, giustifiando le risposte. it. ) B {,}: A B it. ) B {,}: A B it. ) B {,}: A B [ 0 0, A B [ 0 0 ȳ B A B [ [ 0 0 A N x [, x A 0 B b B 0 [ [, [, ȳ N 0, ȳ [ 0 0 0, [ 8 b N 0, k min{ i N : A i x > b i } min{, } [regola antiilo di Bland, η B A k A B [ [ 0 [, 0 θ min{ ȳ i /η i : i B, η i > 0 } /, h min{ i B : η i > 0, θ ȳi /η i } [ 0 ȳ B [ [ / / 0 A N x, A B [ / / 0 0 [ / /, x 0 [ [ 0 [ / /, ȳ N 0, ȳ [ / 0 0 / 0, [ 0 η B [ [ / / 0 [ [, A B ȳ B [ [ A N x b N 0, k, [ / /, θ /, h [, x [ [ 0, [ 0, ȳ N 0, ȳ [ , [ 0 0 b N 0, STOP. B {,} è una base ottima: x [,0 è una soluzione ottima per il problema primale, mentre ȳ [0,0,0,0, è una soluzione ottima per il problema duale.,

5 o Appello 08/0/00 ) In vista dell imminente periodo estivo, la soietà ABROAD deide di rifornire alune delle sue m agenzie di viaggio di pahetti turistii. Stabilise he ad ogni agenzia, se rifornita, venga assegnato o un bloo di K pahetti, oppure un bloo di K pahetti (K < K ). Nel primo aso ABROAD pagherà un osto fisso pari a C per ogni agenzia rifornita, mentre nel seondo aso pagherà un osto fisso C per agenzia (on C > C ). Mediante un indagine di merato ABROAD ha verifiato he nel passato ognuna delle sue n zone-lienti si è sempre rivolta ad una sola agenzia di viaggio, distante al più δ dalla zona stessa. ABROAD ritiene quindi he, anhe nel prossimo periodo estivo, ogni zona-liente si rivolgerà ad esattamente un agenzia di viaggio distante al più δ. ABROAD ha anhe stimato pari a p i la domanda (intesa in numero di pahetti turistii aquistati) di ogni zona-liente nel prossimo periodo estivo, ed ha stabilito he ogni agenzia di viaggi he sarà rifornita di pahetti dovrà venderne almeno ǫ. Nota la distanza d ij di ogni zona i da ogni agenzia j, si aiuti ABROAD a pianifiare la prossima stagione di vendite formulando un modello PLI he speifihi quali agenzie dotare di pahetti turistii, ed in aso affermativo di quanti pahetti dotarle, in modo da garantire he la domanda stimata di ogni zona-liente possa essere soddisfatta, e he il requisito relativo alle distanze e quello relativo alle soglia minima di vendita siano soddisfatti, minimizzando il osto totale di rifornimento sostenuto da ABROAD. Per desrivere il problema introduiamo m variabili binarie { l agenzia j viene dotata di Kh pahetti y jh 0 altrimenti j,...,m, h,. Posto J(i) {j : d ij δ} l insieme delle agenzie ompatibili on la zona-liente i, e, vieversa, I(j) {i : d ij δ} l insieme delle zone-liente he si possono rivolgere all agenzia j, introduiamo inoltre le seguenti variabili logihe: { se la zona-liente i si rivolge all agenzia j x ij 0 altrimenti i,...,n, j J(i). Il problema di ABROAD può essere formulato mediante il seguente modello PLI: min m j h C hy jh j J(i) x ij h y jh i I(j) p ix ij K y j +K y j i I(j) p ix ij ǫ(y j +y j ) i,...,n j,...,m j,...,m j,...,m y jh {0,} j,...,m, h, x ij {0,} i,...,n, j J(i) Il primo bloo di vinoli, di semiassegnamento, garantise he ogni zona-liente si rivolga ad esattamente un agenzia distante al più δ. Il seondo ed il terzo bloo assiurano he ogni agenzia j, se rifornita, sia dotata di K pahetti (y j ) o di K pahetti (y j ), ed impongono he ogni agenzia venda un numero di pahetti non superiore al numero assegnato all agenzia da ABROAD. Si noti he si tratta di variabili a valori disreti. Si noti anhe he la possibilità he un agenzia j non venga rifornita da ABROAD viene modellata dalla selta y j y j 0; in tal aso, l agenzia non può vendere pahetti, ed il quarto bloo di vinoli orrettamente forza tutte le variabili di assegnamento relative all agenzia j, ovvero x ij, al valore 0. Il penultimo bloo di vinoli garantise il soddisfaimento del requisito di vendita minimo ǫ. Infine la funzione obiettivo, da minimizzare, rappresenta il osto totale sostenuto da ABROAD.

6 o Appello 08/0/00 ) Si risolva la seguente istanza di TSP mediante un algoritmo di B&B he usa MST ome rilassamento e nessuna euristia. Si effettui il branhing ome segue: selezionato un nodo i ol più piolo valore r > di arhi dell MST in esso inidenti, rea r(r )/ figli orrispondenti a tutti i modi possibili per fissare a zero la variabile orrispondente a r di tali arhi. Si visiti l albero delle deisioni a ventaglio, e si inserisano in oda i figli di un nodo dell albero delle deisioni in ordine lessiografio resente dell insieme di arhi la ui variabile è fissata a zero (nel aso r, in ordine resente del nodo j dell aro (i,j) fissato a zero, dove i è il nodo on grado ). Per ogni nodo dell albero si riportino la soluzione ottenuta dal rilassamento on la orrispondente valutazione inferiore; si indihi poi se, e ome, viene effettuato branhing o se il nodo viene hiuso e perhé. Si esplorino solamente i primi due livelli dell albero delle deisioni (la radie onta ome un livello); se iò non è suffiiente a risolvere il problema, si indihi il gap relativo ottenuto, giustifiando la risposta. Indihiamo on z la valutazione inferiore ottenuta ad ogni nodo e on z la migliore delle valutazioni superiori determinate. Inizializzazione: La oda Q viene inizializzata inserendovi il solo nodo radie dell albero delle deisioni, orrispondente a non aver fissato aluna variabile; inoltre, si pone z +. Nodo radie Il orrispondente MST, on z, è mostrato in (a). Poihè non è un ilo Hamiltoniano, non si è determinata aluna soluzione ammissibile ed oorre proedere ol branhing. Ciò orrisponde a selezionare il nodo (he ha quattro arhi inidenti) e reare sei figli, in iasuno dei quali si fissano a zero le variabili orrispondenti a una delle possibili oppie degli (,), (,), (,) e (,). x x 0 Il orrispondente MST, on z, è mostrato in (b). Poihè non è un ilo Hamiltoniano oorre proedere ol branhing sul nodo, he ha tre arhi inidenti. x x 0 Il orrispondente MST, on z, è mostrato in (). Poihè non è un ilo Hamiltoniano oorre proedere ol branhing sul nodo, he ha tre arhi inidenti. x x 0 Il orrispondente MST, on z, è mostrato in (d). Poihè non è un ilo Hamiltoniano oorre proedere ol branhing sul nodo, he ha tre arhi inidenti. x x 0 Il orrispondente MST, on z, è mostrato in (e). Poihè non è un ilo Hamiltoniano oorre proedere ol branhing sul nodo, he ha tre arhi inidenti. x x 0 Il orrispondente MST, on z 9, è mostrato in (f). Poihè non è un ilo Hamiltoniano oorre proedere ol branhing sul nodo, he ha tre arhi inidenti. x x 0 Il orrispondente MST, on z, è mostrato in (g). Poihè non è un ilo Hamiltoniano oorre proedere ol branhing sul nodo, he ha tre arhi inidenti. (a) (b) () (d) (e) (f) (g) Poihé Q non è vuota, l algoritmo viene interrotto antiipatamente. L analisi dell algoritmo B&B assiura he min { z, min { z(p ) : P Q } } è una valutazione inferiore globale orretta, dove Q è l insieme dei predeessori immediati dei nodi in Q. In questo aso Q ontiene tutti i nodi esaminati (dato he nessuno è stato potato), ed il minimo si ottiene in orrispondenza al nodo x x 0, he ha z. Pertanto, la valutazione inferiore globale è. Poihéz + (non è anora stata generata aluna soluzione ammissibile per il problema), il gap relativo quando l algoritmo viene interrotto è +.