Esempi di esercizi d esame A.A. 2006/07 Analisi Matematica 2 Ingegneria Elettronica Proff. G. Vergara Caffarelli e L. Giacomelli

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1 Esempi di esercizi d esame A.A. 6/7 Analisi Matematica Ingegneria Elettronica Proff. G. Vergara Caffarelli e L. Giacomelli versione preliminare, si prega di segnalare eventuali errori *) Determinare e classificare i punti critici della funzione fx, y) = 6x + y 4 xy4, x, y) R. Il punto critico è /8, ) ed è un punto di sella. *) Determinare i punti stazionari della funzione fx, y) = e x x + 4 ) 9 y y e precisarne la natura. I punti stazionari sono, /) e, /); il primo è un punto di minimo locale, il secondo è un punto di sella. *) Determinare e classificare i punti critici della funzione fx, y) = x 6xy + y, x, y) R. Si ha { fx = 6x 6y = f y = 6x + 6y = { y = x x = y x, y) =, ) oppure x, y) =, ). Inoltre D fx, y) = x ) detd f, )) = 6 <, detd f, )) = 6 > e f yy, ) = 6 >,

2 per cui, ) è un punto di sella e, ) è un punto di minimo locale. *) Calcolare l integrale curvilineo γ xyz ds γt) = cos t, sin t, t), t [, π]. π/ ) calcolo diretto). *) Calcolare +γ xy dx + xy dy γ è la porzione di circonferenza unitaria con centro nell origine contenuta nei primi due quadranti. / calcolo diretto). *) Calcolare l integrale doppio D = x + y) dx dy D { x, y) R : e x + e x y 5 }. Dopo aver tracciato un grafico qualtitativo si osserva che e x + e x = 5 x = ± log e che D è simmetrico rispetto all asse y. Quindi x + y) dx dy = D log 5 e x +e x y dx dy = 5 log. *) Calcolare y x dx dy = {x, y) R : x y x, y y y }.

3 Introducendo il cambio di variabili ) x u, v) = Ψx, y) = y, y x si ha e Perciò Ψ) = y x det { u, v) R : } u, v ) u, v) = det x, y) dx dy = Ψ) v x y x du dv y x = y y x ) =. v dv du = 7. *) Calcolare xy dx dy, = { x, y) R : y x + ), x 5 y }. Dopo aver tracciato un grafico qualitativo, si osserva che x = 5 y se e solo se y = 5 x e che { x + ) = 5 x x =. x Quindi xy dx dy = x+) xy dy dx x xy dy dx = *) Calcolare x + y dx dy = {x, y) R : x + y x } il ovvero il cerchio di centro, ) e raggio ). Passando in coordinate polari con centro nell origine, { x = r cos θ r, θ), ) π, π), y = r sin θ

4 si ottiene x + y x = r r cos θ r cos θ e cos θ. Pertanto x + y dx dy = π/ π/ cos θ r dr dθ = 9. *) Calcolare l integrale della forma differenziale ω = cosx) y + sinx) dx y + ) dy lungo la curva γt) = t/, log + t 7 e ))), t [, ]. La forma è esatta negli aperti connessi A = {x, y) R : y > /} e A = {x, y) R : y < /}: ω = du, Ux, y) = sinx) y +, x, y) A oppure x, y) A. Pertanto, poiché im γ) A, ω = Uγ)) Uγ)) = U /, ) U, ) = 4 sin4/ ) sin. +γ *) a) Determinare A R in modo tale che la forma differenziale ω = sia chiusa nel suo dominio D; b) per tale valore di A calcolare xy dx + x x + y ) Ay ) dy ) D che parte dal punto, ) e arriva al punto, ). γ ω, γ è una qualunque curva regolare in Visto che per svolgere b) risulterà necessario integrare la forma, conviene svolgere a) cercandone le primitive ricordiamo che: ω esatta in D ω chiusa in D). Si ha xy Ux, y) = x + y ) dx = y x + y + Cy), e U y x, y) = x + y y x + y ) + C y) = x y x + y ) + C y), per cui se A = allora du = ω con Ux, y) = 4 y x + y + C

5 e in questo caso, poiché imγ D = R \ {, }, ω = U, ) U, ) = /4. γ *) Calcolare l area della regione delimitata dal sostegno della curva γ = t cos t, t sin t), t, π), e dal segmento che congiunge i punti, ) e π, ). Per il Teorema della divergenza dx dy = divx, y) dx dy = y) n e ds = x, Poiché il contributo sul segmento è nullo, dx dy = = π π + x dy y dx). [t cos tsin t + t cos t) t sin tcos t t sin t)] dt t dt = 4π. *) Calcolare y + x, y e x) n ds = {x, y) R : x + y, x, y } ed n è la normale esterna ad. Applicando il Teorema della divergenza e successivamente passando in coordinate polari si ottiene y + x, y e x) n ds = x + y ) dx dy = π π r dr dθ = π. *)Calcolare x + y, y + x 6 ) n ds = {x, y) R : x + y 4x + y + } ed n è la normale esterna ad. Poiché x + y 4x + y + = x ) + y + ) 4, 5

6 è il cerchio di centro, ) e raggio. Utilizzando il Teorema della divergenza si ottiene quindi x + y, y + x 6 ) n ds = dx dy = = 8π. *) Calcolare S = S z dσ {x, y, z) R : z = x y }. Si tratta di una superficie cartesiana. Perciò si ottiene S z dσ = {x +y } x y dx dy = π r r dr = 6π. *) Determinare i punti di massimo e minimo assoluto della funzione fx, y) = x +y nell insieme = {x, y) R : x + y }. La funzione ammette massimo e minimo per il Teorema di Weierstrass), è regolare in e non ha punti critici interni al dominio. Sulla frontiera, parametrizzata in coordinate polari, si ha Studiandola, si ottiene che gθ) := fcos θ, sin θ) = cos θ + sin θ. max g = gπ/6) = g5π/6) = 5/4, min g = gπ/) =. Quindi i punti di massimo assoluto sono ± /, /) e il punto di minimo assoluto è, ). *) Calcolare, nel campo complesso, l integrale e z zz + ) dz nei seguenti due casi: a) D = {z C : z }; b) D = {z C : z 5}. + D 6

7 La funzione integranda ha una singolarità apparente in z = e, un polo di ordine in z =, in cui il residuo vale e z lim z z = e. Utilizzando il Teorema dei residui si ottiene quindi: nel caso a), iπ e nel caso b). *) Calcolare, nel piano complesso, γ sinz) z z dz γ è la frontiera del cerchio di centro z = e raggio, orientata positivamente. La funzione integranda ha una singolarità apparente in z = e due poli del primo ordine in z = ±, in cui il residuo vale lim z sin z zz + ) = sin, lim z Perciò, per il Teorema dei residui, l integrale vale. sin z zz ) = sin. *) Calcolare + cos z dz, = {z C : z < }. Gli zeri di z cos z sono z = π +kπ. Perciò l unico polo della funzione integranda interno a è z = π, e si ha lim z π z π cos z = lim z π z π sin π =. z) Perciò, per il Teorema dei residui, l integrale vale πi. *) Calcolare + z 9i dz, = {z C : z <, Im z > }. 7

8 I poli dell integranda si determinano come segue: z = 9i = 9e iπ/ z k = / e i π +kπ), k =,,. Si osserva che z = / +i), z = / +i), z = / i. Poiché lim z z z z )z z ) = z z )z z ), lim z z z z )z z ) = z z )z z ), segue dal Teorema dei residui che ) z 9i dz = πi πi = z z ) z z z z z z )z z ). + 8