Esponente 32 = 9 Valore della potenza Base 9 = 3

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1 1 L estrazione di radice Consideriamo la potenza 3 2 = 9 di cui conosciamo: Esponente 3 2 = 9 Valore della potenza Base L operazione di radice consiste nel chiedersi qual è quel numero x che elevato alla seconda dà come risultato 9. x 2 = 9 x = 3 perché 3 2 = 9 Scriviamo dunque 2 9 = 3

2 L estrazione di radice In generale possiamo affermare che: DEFINIZIONE. L operazione inversa dell operazione di elevamento a potenza, che ci consente di calcolare la base conoscendo l esponente e il valore della potenza, si chiama estrazione di radice o più semplicemente radice di un numero. Indice Segno di radice 2 9 = 3 Radice Radicando 2

3 L estrazione di radice L operazione di radice è l operazione inversa di potenze di esponente diverso: 3, 4, 5 ecc.; si avranno così radici terze, quarte, quinte, ecc Radice terza di in quanto Radice quarta di in quanto DEFINIZIONE. La radice quadrata di un numero (radicando) è quel numero che elevato al quadrato (ossia moltiplicato per se stesso) dà come risultato il radicando stesso. 3

4 La radice quadrata esatta Consideriamo i numeri 900 e 64 ottenuti elevando al quadrato rispettivamente 30 e 8. Possiamo scrivere che Questi numeri hanno per radice quadrata un numero naturale; per questo motivo vengono definiti quadrati perfetti. Come possiamo riconoscere se un numero è un quadrato perfetto? PROPRIETÀ. Un numero naturale è un quadrato perfetto se nella sua scomposizione in fattori primi tali fattori hanno tutti esponente pari. 4

5 La radice quadrata esatta Consideriamo le scomposizioni in fattori primi dei due numeri 900 e = = 2 6 Consideriamo ora la scomposizione in fattori primi delle radici quadrate dei numeri 900 e 64, cioè di 30 e = = 2 3 Osserviamo che i fattori della radice quadrata hanno sempre l esponente dimezzato rispetto ai corrispondenti fattori del radicando. REGOLA. La radice quadrata di un quadrato perfetto si ottiene dal prodotto degli stessi fattori primi con gli esponenti dimezzati. 5

6 La radice quadrata approssimata all unità Se cerchiamo la radice quadrata del numero 45 cioè 45, non riusciamo a trovare alcun numero, nell insieme dei numeri razionali, che elevato alla seconda dia esattamente 45. Questo numero non è pertanto un quadrato perfetto. È però possibile individuare fra quali quadrati perfetti è compreso il numero 45. Siccome 36 < 45 < 49 possiamo dire che: 6 approssimazione per difetto, infatti 6 2 = 36 < 45 7 approssimazione per eccesso, infatti 7 2 = 49 > 45 Possiamo quindi dire che 6

7 La radice quadrata approssimata all unità REGOLE. La radice quadrata approssimata per difetto a meno di un unità è il numero naturale più grande che elevato alla seconda si avvicina maggiormente al numero considerato senza superarlo. La radice quadrata approssimata per eccesso a meno di un unità è il numero naturale più piccolo che elevato alla seconda si avvicina maggiormente al numero considerato restandogli maggiore. Il risultato dell estrazione di radice di un numero che non è un quadrato perfetto dà origine a un numero decimale illimitato non periodico. Tali numeri vengono chiamati irrazionali. DEFINIZIONE. I numeri irrazionali formano l insieme dei numeri irrazionali che viene indicato con la lettera I. 7

8 Le proprietà della radice quadrata ESEMPIO Se dobbiamo calcolare possiamo scrivere oppure Poiché i due procedimenti portano allo stesso risultato, possiamo concludere che: REGOLA. La radice quadrata di un prodotto è uguale al prodotto delle radici quadrate dei suoi fattori. 8

9 Le proprietà della radice quadrata ESEMPIO Se dobbiamo calcolare possiamo scrivere oppure Poiché i due procedimenti portano allo stesso risultato, possiamo concludere che: REGOLA. La radice quadrata di un quoziente è uguale al quoziente delle radici quadrate del dividendo e del divisore. 9

10 Il calcolo della radice quadrata mediante le tavole numeriche Per determinare la radice quadrata di un numero si possono utilizzare le tavole numeriche. Si possono presentare due casi. Primo caso Il radicando ha un valore compreso tra 1 e Per calcolare la radice quadrata basta individuare il numero nella colonna n e leggere la relativa radice quadrata sulla stessa riga, in corrispondenza della colonna n. Calcoliamo la radice quadrata di 329. n n 2 n 3 n n ,1108 6, ,1384 6, ,1659 6, Pertanto 10

11 Il calcolo della radice quadrata mediante le tavole numeriche Secondo Il radicando ha un valore compreso tra e caso Il numero non si trova sulle tavole nella colonna n. Si possono presentare due casi. Il numero si trova nella colonna n 2 In questo caso il numero dato è un quadrato perfetto e per trovare la radice quadrata basta leggere il numero sulla stessa riga nella colonna n. Calcoliamo la radice quadrata di n n 2 n 3 n n ,9800 8, , ,0200 8, Pertanto 11

12 Il calcolo della radice quadrata mediante le tavole numeriche Il numero non si trova nella colonna n 2 Il numero non è un quadrato perfetto e si deve ricorrere a un approssimazione. Calcoliamo, ad esempio, la radice quadrata di Scorriamo la colonna n 2 n n 2 n 3 n n ,4914 5, ,5258 5, ,5602 5, Ne deriva che è un numero compreso tra 211 e

13 La radice quadrata di un numero decimale REGOLA. In base all approssimazione che si intende raggiungere, si pareggiano le cifre decimali (nel caso non lo siano) aggiungendo zeri; si trasforma il numero decimale nella relativa frazione decimale; si estrae, mediante l uso delle tavole, la radice quadrata approssimata per difetto a meno di un unità del numeratore; si estrae la radice quadrata del denominatore; si trasforma la frazione decimale ottenuta nel corrispondente numero decimale. ESEMPIO La radice quadrata approssimata per difetto a meno di 0,1 di 4,6: 0,1 13

14 Numeri reali L unione tra l insieme dei numeri irrazionali (I) e l insieme dei numeri razionali (Q) forma l insieme dei numeri reali (R). numeri razionali assoluti Q a I a 7,386 N 1 numeri reali assoluti L insieme Rè: infinito, perché unione di due insiemi infiniti; continuo, perché riempie, senza buchi, la semiretta dei numeri. 0 3/5 1 R a numeri irrazionali assoluti