Algebra Proff. A. D Andrea e P. Papi Quarto scritto

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1 Algebra Proff. A. D Andrea e P. Papi Quarto scritto LUGLIO 8 Nome e Cognome: Numero di Matricola: Esercizio Punti totali Punteggio otale 3 Occorre motivare le risposte. Una soluzione corretta priva di motivazione riceverà punti. Il tempo a disposizione è due ore e mezzo. Non si possono usare testi e i cellulari devono essere tenuti spenti e non in vista. Si possono consultare due fogli formato A4 con eventuali appunti. Voto/3:

2 Esercizio. Si consideri in G = R R = {(a, b) a, b R, a } l operazione binaria (a, b) (c, d) = (ac, ad + b) Calcolare ((, ) (, 4)) (/, 3). Dimostrare che (G, ) è un gruppo non abeliano. [Potete evitare di dimostrare l associatività] Nel gruppo simmetrico S 8 determinare, se esiste, una permutazione pari x tale che ax = b ove a = ( 3)(3 4 5), b = ( 8 3)( 3 4). Fidiamoci che l operazione sia associativa; l identità è l elemento (, ). In effetti: (, ) (c, d) = ( c, d + ) = (c, d), (a, b) (, ) = (a, a + b) = (a, b). Inoltre, l inverso di (a, b) è (/a, b/a) in quanto: (a, b) (/a, b/a) = (a /a, a ( b/a)+b) = (, ), (/a, b/a) (a, b) = (/a a, /a b b/a) = (, ). Il conto richiesto è facile: poiché (, ) (, 4) = (, 6), il risultato cercato è (, 6) (/, 3) = (, ). Il gruppo non è abeliano in quanto ad esempio (, 4) (, ) = (, 8) che è diverso da (, 6) = (, ) (, 4) che è stato calcolato precedentemente. Se ax = b, allora x = a b, che è sicuramente pari; in effetti, a è prodotto di 3-cicli, ed è quindi pari, e così anche b. L elemento a b è allora prodotto di permutazioni pari. Per calcolarlo esplicitamente, esprimiamo prima a e b come prodotto di cicli disgiunti: Pertanto e quindi a = ( 3 4 5), b = ( ). a = ( ), b = ( 3 8 4), x = a b = ( 8 3)(4 5), che è una permutazione pari, come sapevamo già dovesse essere.

3 Esercizio. Risolvere, se possibile, il sistema di congruenze { 4x 5 mod 7 4x 5 mod. Se vogliamo fare pochi conti, utilizziamo il teorema cinese dei resti per riassumere le due congruenze in una sola: 4x 5 mod 77. Poiché 4 9 = 76 mod 77, l inverso di 4 modulo 77 è 9. Moltiplicando entrambi i membri della congruenza per 9 si ottiene 76x 95 mod 77, cioè x 59 mod 77. 3

4 Esercizio 3. L applicazione lineare : R 3 R 3 soddisfa:. ker è generato dal vettore ;. =, =. Scrivere la matrice A associata a utilizzando le basi canoniche sia in partenza che in arrivo. Il testo ci informa che =, =, =. Si ricavano rapidamente: = = = e = = =. La matrice cercata è quindi. 4

5 Esercizio 4. Sia V l insieme dei polinomi nella variabile x di grado minore uguale a 3 a coefficienti reali con termine noto nullo. Mostrare che V è un sottospazio vettoriale dello spazio dei polinomi di grado minore uguale a 3 a coefficienti reali e calcolare la dimensione di V esibendone una base. rovare una base di W = {(x, x, x 3, x 4 ) R 4 x + x + 3x 3 + 4x 4 = }. rovare, se esiste, un isomorfismo tra V e W. Gli elementi di V sono quelli della forma ax 3 + bx + cx, cioè le combinazioni lineari dei polinomi x 3, x, x. Questi monomi sono linearmente indipendenti e costituiscono una base di V, la cui dimensione è quindi uguale a 3. Risolvendo l equazione data, si vede che gli elementi di W sono tutte e sole le combinazioni lineari di (4,,, ), (3,,, ), (,,, ), che sono automaticamente linearmente indipendenti. Costituiscono così una base di W V e W hanno entrambi dimensione 3 e sono quindi isomorfi. Un isomorfismo si può costruire mandando una base in una base ed estendendo per linearità. Utilizzando le basi precedenti, ad esempio, si vede che φ(ax 3 + bx + cx) = (4a + 3b + c, c, b, a) è un isomorfismo tra V e W. 5

6 Esercizio 5. Per ciascuna delle seguenti affermazioni, dare una dimostrazione se è vera o esibire un controesempio se è falsa.. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita e siano W, W sottospazi di V. Se B, B sono basi di W, W, rispettivamente, allora B B è una base di W + W.. Se due sottogruppi del gruppo simmetrico S 3 hanno lo stesso ordine, allora sono isomorfi. 3. Se due sottogruppi del gruppo simmetrico S 4 hanno lo stesso ordine, allora sono isomorfi. 4. Se A è una matrice 3 4 di rango 3 e b R 3, il sistema lineare AX = b ammette sempre infinite soluzioni X R Se {v, v, v 3 } è un insieme di vettori linearmente dipendenti nello spazio vettoriale V, allora v è combinazione lineare di v, v 3. L affermazione è falsa. Se W = W (), l unione di due basi diverse possiede troppi elementi per essere una base di W = W + W. L affermazione è vera solo quando la somma W + W è diretta. Sottogruppi di ordine 6 coincidono, quindi sono isomorfi; allo stesso modo, sottogruppi di ordine coincidono, e sono quindi isomorfi. Vi è anche un unico sottogruppo di ordine 3, che è ( 3), pertanto sottogruppi di ordine 3 coincidono, e sono quindi isomorfi. I sottogruppi di ordine di S 3 sono ( ), ( 3), ( 3), che sono tutti ciclici di ordine e pertanto isomorfi tra loro. I sottogruppi ( ), (3 4) e ( 3 4) hanno entrambi ordine 4, ma non sono isomorfi tra loro. In effetti, il primo sottogruppo non ha elementi di ordine 4, mentre il secondo sì. In altre parole, il primo dei due sottogruppi non è ciclico, mentre il secondo lo è. L affermazione è vera. Stiamo parlando di un sistema di 3 equazioni in 4 incognite, in cui la matrice dei coefficienti delle incognite ha rango 3. La matrice completa, che ha per ultima colonna i termini noti forniti dal vettore b, è una matrice 3 5 il cui rango è almeno quello di A e non può superare min(3, 5) = 3. Il rango è quindi ancora uguale a 3, e il sistema ha soluzione per il teorema di Rouché-Capelli. Appurato che soluzioni esistono, devono necessariamente essere infinite, in quando l insieme delle soluzioni è uno spazio affine la cui dimensione è data dalla differenza tra il numero di incognite nel nostro caso 4 e il rango della matrice dei coefficienti qui è 3. L insieme delle soluzioni del sistema è quindi una retta reale affine. L affermazione è falsa. Ad esempio, i vettori v, v =, v 3 = sono sempre linearmente dipendenti. uttavia, se v, allora v non è combinazione lineare di v e di v 3. Se dei vettori sono linearmente dipendenti, allora almeno uno di essi è combinazione lineare dei rimanenti, ma questo può non essere vero di ognuno di essi. 6