Corso di Idraulica ed Idrologia Forestale

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1 Corso di Idraulica ed Idrologia Forestale Docente: Prof. Santo Marcello Zimbone Collaboratori: Dott. Giuseppe Bombino - Ing. Demetrio Zema Lezione n. 1: Cenni al calcolo vettoriale Anno Accademico

2 Grandezze scalari e grandezze vettoriali Nozione di vettore Definizione di vettore Operazioni sui vettori (somma, differenza, opposto di un vettore, e, prodotto per uno scalare, scomposizione di vettori e componenti vettoriali) Sistemi di riferimento e scomposizione di vettori nei s.d.r. Versori Operazioni sui vettori nei s.d.r. Indice Prodotto scalare e prodotto vettoriale 2

3 Materiale didattico Slides delle lezioni frontali Dispensa Sistemi di misura (pagg e 14-20) 3

4 Grandezze scalari e grandezze vettoriali Chiameremo grandezze scalari (o, più semplicemente, scalari) ) quelle grandezze fisiche, come la temperatura oppure il tempo, che risultano completamente descritte da un numero (reale) che ne individua l entitl entità Per definire univocamente una grandezza scalare è pertanto necessario indicare un valore numerico accompagnato dalla relativa unità di misura: ad esempio, la durata di un certo fenomeno è di 5 s, la massa di un determinato oggetto è 3 kg, la temperatura della stanza in cui lavoriamo è 20 C 4

5 Grandezze scalari e grandezze vettoriali Sono dette grandezze vettoriali (o più semplicemente vettori) ) quelle grandezze fisiche che, per essere definite completamente, necessitano, oltre che di un intensit intensità,, anche di una direzione e di un verso 5

6 Nozione di vettore Quando, ad esempio, una nave, che effettui servizio di linea tra due località,, debba andare dal punto A fino al punto B, essa compie uno spostamento, definito dal valore della distanza AB, dalla direzione della retta passante per i punti A e B e dal verso che va da A verso B 6

7 Nozione di vettore Questi tre attributi di un qualsiasi spostamento (distanza, direzione e verso) sono completamente determinati se si rappresenta uno spostamento per mezzo di un segmento orientato applicato nel punto A (vettore),, cioè per mezzo di una freccia, la cui lunghezza rappresenti il valore della distanza AB, la cui direzione ed il cui verso siano, rispettivamente, la direzione ed il verso dello spostamento 7

8 Definizione di vettore Grandezza fisica caratterizzata da 3 diversi elementi: modulo: valore ed unità di misura che esprimono l entità r a ;a direzione: giacitura della retta lungo cui agisce il vettore verso: orientamento nella direzione del vettore r a r a 8

9 Nozione di vettore Il punto A si chiama origine o punto di applicazione del vettore; il punto B viene chiamato estremo libero; ; la retta (r), lungo la quale giace il vettore, viene detta retta di azione Oltre allo spostamento, molte altre grandezze fisiche sono rappresentate per mezzo di vettori: le velocità,, le accelerazioni, le forze, ecc. 9

10 Nozione di vettore Due vettori sono uguali se, rappresentando grandezze fisiche omogenee (due velocità,, due forze, due spostamenti, ecc.), hanno lo stesso modulo, la stessa direzione e lo stesso verso 10

11 Nozione di vettore Due (o più) ) vettori sono diversi se differiscono in una delle loro caratteristiche: possono differire nel modulo, nella direzione e nel verso 11

12 Somma Operazioni sui vettori La somma di due o più vettori è quel vettore che si ottiene riportando i vettori uno di seguito all altro altro (con la regola di far coincidere un punto di applicazione con un estremo libero) e congiungendo, poi, il punto di applicazione del primo con l estremo l libero dell ultimo Il vettore somma viene detto vettore risultante o, più semplicemente, risultante 12

13 Operazioni sui vettori Somma In modo perfettamente equivalente, la somma si può ottenere secondo la cosiddetta regola del parallelogramma,, valida per due vettori 13

14 Somma Operazioni sui vettori Se i due vettori sono uguali ed opposti,, la loro risultante coincide con il vettore nullo 0 Quest ultimo ultimo è un vettore di modulo nullo, che si riduce ad un punto 14

15 Operazioni sui vettori Somma La somma gode della proprietà commutativa e della proprietà associativa 15

16 Operazioni sui vettori Moltiplicazione per un scalare Consideriamo un vettore a ed uno scalare k. La grandezza rappresenta un nuovo vettore che ha la stessa direzione di a; il suo modulo è proporzionale, secondo il fattore k, a quello di a, cioè b = k a, ed il verso è concorde oppure discorde con quello di a, a seconda che il numero reale k sia positivo oppure negativo 16

17 Moltiplicazione per un scalare Consideriamo il caso particolare k = - 1: risulta b = a ed il verso di b è discorde rispetto a quello di a Il vettore b è l opposto di a Operazioni sui vettori 17

18 Operazioni sui vettori Differenza La differenza di due vettori può, ricondursi ad una somma: eseguire la differenza vuol dire sommare al vettore a il vettore - b 18

19 Operazioni sui vettori Differenza La somma e la differenza di due vettori rappresentano le due diagonali del parallelogramma avente per lati i due vettori stessi 19

20 Operazioni sui vettori Scomposizione e componenti vettoriali Un altra importante operazione è la scomposizione di un dato vettore secondo direzioni assegnate,, determinate da due rette (non parallele) giacenti nello stesso piano I vettori derivanti dalla scomposizione vengono detti vettori componenti: 20

21 Sistemi di riferimento Nel caso bidimensionale un sistema di riferimento è costituito da due assi ortogonali, chiamati assi cartesiani,, ai quali viene attribuito un verso ed una scala di misura Di solito questo sistema di assi cartesiani viene disegnato con un asse orizzontale, detto asse delle ascisse o delle x, e con un asse verticale, detto asse delle ordinate o delle y Il punto di intersezione tra i due assi viene detto origine del sistema di riferimento 21

22 Sistemi di riferimento Per individuare un vettore su un piano con un sistema di riferimento, basta specificare le coordinate del punto P di applicazione del vettore e dell estremo estremo libero E Vale pure il viceversa: assegnato un vettore, possiamo determinare le coordinate dei suoi estremi 22

23 Sistemi di riferimento Le componenti vettoriali saranno: Il modulo del vettore si calcola facilmente a partire dalle componenti del vettore in forza del teorema di Pitagora 23

24 Versori Il generico vettore v r si può scrivere come: in cui vˆ rappresenta un versore, cioè un vettore di modulo unitario,, nella direzione di v r 24

25 Versori È conveniente tracciare i versori degli assi coordinati scelti 25

26 Operazioni sui vettori nei s.d.r. Il teorema di scomposizione ci consente di scrivere un generico vettore in funzione delle componenti e dei versori degli assi, come I vettori sono chiamati componenti vettoriali,, o più semplicemente i componenti, di v 26

27 Operazioni sui vettori nei s.d.r. 27

28 Operazioni sui vettori nei s.d.r. Somma La risultante di due vettori può, in termini di componenti, scriversi come: Dato che due vettori come R e a + b sono uguali solo se lo sono le corrispondenti componenti, si può scrivere 28

29 Posto: Operazioni sui vettori nei s.d.r. Moltiplicazione per uno scalare risulta: Differenza 29

30 Prodotto scalare 30

31 Prodotto vettoriale 31