ARITMETICA ed EQUAZIONI

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1 ARITMETICA ed EQUAZIONI 1) Cifre e numeri 755 è un numero composto di tre cifre. Mentre i numeri sono infiniti, le cifre sono solo dieci, sono i 10 simboli ( ) che costituiscono i dieci numeri (con una sola cifra) che vanno da 0 a 9. I numeri più grandi del 9 si scrivono seguendo queste tre regole [ a), b) e c) ]: a) - Dieci unità formano una decina; (10) - Dieci decine formano un centinaio; (100) - Dieci centinaia (mille unità) formano un migliaio;(1.000; in inglese thousand 1,000) - Dieci migliaia formano una decina di migliaia; (10.000; in inglese 10,000) - Dieci decine di migliaia formano un centinaio di migliaia; ( ; in inglese 100,000) - Dieci centinaia di migliaia (mille migliaia) formano un milione; ( ; inglese million 1,000,000) - Dieci milioni formano una decina di milioni; ( ; in inglese 10,000,000) - Dieci decine di milioni formano un centinaio di milioni; ( ; in inglese 100,000,000) - Dieci centinaia di milioni (mille milioni) formano un miliardo ( ; in inglese billion 1,000,000,000) - Dieci miliardi formano una decina di miliardi; ( ; in inglese 10,000,000) - Dieci decine di miliardi formano un centinaio di miliardi; ( ; in inglese 100,000,000) - Dieci centinaia di miliardi (mille miliardi) formano un trilione ( ; in inglese trillion 1,000,000,000,000) b) Il valore attribuito alle cifre che formano il numero dipende dalla loro posizione: la cifra più a destra indica le unità, quella alla sua sinistra le decine, la terza da sinistra le centinaia, poi le migliaia ecc. Riprendiamo il numero 755, formato dalle tre cifre 7, 5 e 5 ; in esso il valore del 5 più a destra è di 5 unità, quello della cifra al centro del numero è di 5 decine (= 50), mentre il 7 vale 7 centinaia (= 700). Facendo la somma dei valori delle tre cifre ( ) si ottiene il valore del numero (755). c) Quando il numero è composto da quattro o più cifre, per facilitarne la lettura lo si scompone in gruppi di tre cifre, da destra a sinistra, separando con uno spazio o un puntino un gruppo dall altro. Così, ad esempio, il numero degli abitanti in Cina ( ) è più facilmente leggibile se viene scritto così ( ) oppure con il puntino separatore delle migliaia: (un miliardo trecentocinquantaseimilioni duecentosessantottomila settecentodue). Attenzione: alcune calcolatrici evidenziano i numeri usando, per separare i gruppi, non il puntino ma la virgola, e questo perché nei paesi anglosassoni le funzioni del punto e della virgola sono invertite rispetto ai nostri usi. Ecco perché, nelle calcolatrici così come nelle tastiere dei P.C., il tasto della virgola è segnalato con un puntino. Ri-attenzione: quando il risultato del calcolo è un numero molto grande, molte calcolatrici lo evidenziano in una forma strana, la cosiddetta notazione scientifica. Con la vostra calcolatrice provate, ad esempio, a moltiplicare per : a meno che sul display appaia error (perché il risultato è costituito da un numero composto da più di 9 cifre e la vostra calcolatrice è troppo piccola ), è probabile che come risultato appaia 3 10 oppure 3E10 o qualcosa di analogo. Il significato è 3 seguito da 10 zeri, cioè (trenta miliardi). 1

2 forma italiana nome italiano forma inglese nome inglese forme scientifiche 1 unità ^0 1E E1 10^ ^2 1E mille 1,000 thousand ^3 1E , E4 10^ , ^5 1E milione 1,000,000 million ^6 1E ,000, E7 10^ ,000, ^8 1E miliardo 1,000,000,000 billion ^9 1E ,000,000, E10 10^ ,000,000, ^11 1E trilione 1,000,000,000,000 trillion ^12 1E12 Fino a ora abbiamo visto numeri interi. Se però dividiamo una unità per un qualsiasi numero (che sia però diverso da 1 e da 0) otteniamo un numero con la virgola ; in particolare: se dividiamo una unità in 10 parti uguali otteniamo 1/10 un decimo 0,1; se dividiamo una unità in 100 parti uguali otteniamo 1/100 un centesimo 0,01; se dividiamo una unità in parti uguali otteniamo 1/1.000 un millesimo 0,001; ecc. Nel caso capitassero numeri compresi fra 0 e 1 e con solo l ultima cifra diversa da zero, per facilitarne la lettura potete ricorrere a questo sistema: per rendersi conto se il numero esprime decimi o centesimi o millesimi ecc. contate gli zeri, compreso quello prima della virgola. Ad esempio: 0, presenta sei zeri, gli stessi di un milione. Il numero quindi è leggibile come 3 milionesimi. Oppure: 0,009 si legge 9 millesimi (essendoci tre zeri come nelle migliaia); oppure ancora: 0,04 (con due zeri come le centinaia) si legge quattro centesimi ecc. Le cifre decimali si scrivono alla destra delle unità intere e sono da queste separate da una virgola. Attenzione: come ho già scritto più sopra, alcune calcolatrici adottano il modo inglese e quindi separano le cifre decimali dalle unità intere con un puntino al posto della virgola. Controlla la tua calcolatrice: scrivi, ad esempio, (quarantamila diviso sette) e guarda se il risultato appare al modo nostro (5.714,28571 ) oppure nella forma anglosassone (5, ). Che sia scritto in un modo o nell altro, il numero 5.714,285 ha come parte intera e come parte decimale 285. Il valore di queste cifre è il seguente: , migliaia centinaia decine unità decimi centesimi millesimi Per leggere il numero si comincia con la parte intera e si fa poi seguire la parte decimale aggiungendo il nome delle unità decimali dell ultima cifra: cinquemilasettecentoquattordici e duecentottantacinque millesimi (o, anche, virgola duecentottantacinque). Ricordati: un numero decimale rimane invariato se a destra dell ultima cifra decimale si aggiungono solo uno o più zeri (12,34 = 12,340 = 12,34000 = 12, ) 2

3 ) 2) La moltiplicazione. Sperando che tutti conosciate, abbiate capito e sappiate fare somme e sottrazioni, prima di parlare della divisione faccio solo un accenno alla moltiplicazione, che è un applicazione particolare della somma; infatti: moltiplicare un numero per un altro significa sommare uno dei due con sé stesso per un numero di volte pari all altro. Ad esempio, moltiplicare 7 4 significa sommare 4 volte il 7 o anche 7 volte il 4: 7 x 4 = oppure anche = 28 3) La divisione. Anche la divisione può essere considerata un applicazione particolare della somma; infatti: dividere un numero per un altro significa trovare quante volte bisogna sommare il secondo numero per se stesso per arrivare al primo. Ad esempio: trovare il risultato di 20 diviso 5 (e, in simboli, si può scrivere sia 20 : 5 che 20 / 5 20 o anche 20 5 o infine significa trovare quante volte occorre sommare 5 per arrivare a 20 5 (e cioè trovare 4). Infatti: = 20 (4 volte 5 = 20). Ecco perché 20 / 5 = 4 Questo spiega, tra l altro, perché il risultato della divisione di un numero per un altro più piccolo di 1 (ma maggiore di 0) è un numero più grande di quello di partenza. Ad esempio: 5 / 0,2 = 25 in quanto per arrivare a 5 devo sommare un sacco di volte (25 volte) il piccolo numero 0,2; e così ancora, se con la calcolatrice provate a fate: 120 / 0,001 troverete come risultato in quanto per arrivare a 120 bisogna sommare volte il numero (piccolissimo) 0,001 (un millesimo). Ecco perché si può anche dire che la divisione è l operazione inversa della moltiplicazione: dividere per un numero è la stessa cosa che moltiplicare per l inverso del numero Ad esempio: 120 0,001 = e ciò perché E così ancora: 8 5 = Ricordatevi: 1 (un 5 1 (0, cioè un millesimo) è l inverso di quinto è l inverso di 5); 60 2 = 60 ½ (un mezzo è l inverso di 2) ecc. io uso indifferentemente tutte queste forme: 30 : / così come per indicare l operazione di moltiplicazione uso indifferentemente e l asterisco * o, in presenza di lettere, anche nessun simbolo (a x b = a*b = ab) 3

4 3) L uso della calcolatrice. 3.1) I calcoli in sequenza. Spero che tutti sappiate fare, con la calcolatrice, questa operazione: (= 990), e anche questa: (= 51). Ancora nessun problema dovreste avere con questo calcolo: 21, (= 1.806), e anche con questo: ,78 5 (= 12 11,375). 30 5,6 Provate ora con questo: ; 12 1,25 è probabile che qualcuno di voi abbia prima moltiplicato 30 5,6 e scritto da qualche parte il risultato (168) e poi abbia fatto 12 1,25 memorizzando anche questo risultato (15), e infine abbia calcolato trovando così il risultato finale corretto (11,2). Chi avesse fatto in questo modo avrebbe sprecato un po di tempo e rischiato inutilmente di commettere qualche errore nello scrivere i risultati parziali del numeratore e del denominatore (rispettivamente 168 e 15). Il modo più efficace di fare i calcoli con la calcolatrice quando sono presenti solo moltiplicazioni e divisioni (e non ci sono, quindi, anche somme o sottrazioni) è fare tutte le operazioni di seguito, senza trascrivere alcun risultato parziale. Il calcolo, cioè, può essere fatto digitando in questa sequenza: 30 5,6 12 1,25 (oppure anche quest altra: 30 1,25 5,6 12 o anche 5,6 12 1,25 30 o qualsiasi altra combinazione che veda il 30 e il 5,6 agire come fattori e il 12 e l 1,25 funzionare da divisori) e il risultato è sempre corretto (11,2); in caso di presenza di sole moltiplicazioni e divisioni l ordine con cui si effettuano le operazioni è ininfluente. Attenzione! Sia il 12 che l 1,25 sono dei divisori (sono al denominatore della frazione), e quindi prima di essi occorre digitare il tasto. Digitando, invece, 30 5,6 12 1,25 si commetterebbe un errore grossolano. In questo modo si moltiplicherebbe per 1,25 anziché dividere per quel numero, arrivando così al risultato sbagliato di 17,5. Il risultato corretto è 11,2 e se a qualcuno è risultato 17,5 (o altro) ha sbagliato. Quando in un calcolo ci sono, oltre a moltiplicazioni e divisioni, anche delle somme o delle sottrazioni, l ordine con cui si fanno le operazioni fa cambiare il risultato. In assenza di parentesi, le moltiplicazioni e le divisioni hanno la precedenza sulle somme e sulle sottrazioni. Ad esempio, in prima si moltiplica 6 5 e poi si fa il resto (+ 10 e 3 o anche prima 3 e dopo + 10) (R. 37); a meno che non abbiate una calcolatrice particolare, digitare i tasti nell ordine in cui i calcoli appaiono porta a un risultato sbagliato (schiacciando i tasti con questo ordine: il visore di una calcolatrice normale segnala un risultato di 77). Nel caso di calcoli come, ad esempio, questo , ,5 in cui, oltre a moltiplicazioni e divisioni, ci sono anche somme o sottrazioni, è inevitabile dover scrivere o memorizzare dei risultati parziali (a meno di avere e di saper usare una calcolatrice sofisticata, ad esempio con le parentesi). 4

5 Nell esempio appena fatto alla fine della pagina precedente, se si ha una calcolatrice normale si deve procedere in questo modo: 4 2,5 + 8 (R parz.1 : 18); ,5 (R parz.2 : 12,5); 18 12,5 = 1,44 Fare, quando è possibile, i calcoli in sequenza (cioè, lo ripeto, senza interrompere la digitazione sulla calcolatrice per scrivere dei risultati parziali) permette spesso di arrivare al risultato finale preciso; se invece si interrompe la digitazione sulla calcolatrice per scrivere uno o più risultati parziali si arriva a un risultato finale non del tutto corretto ogni volta che il risultato parziale è un numero con molte cifre decimali (= molte cifre dopo la virgola). Provate, ad esempio, a fare questo calcolo: Il risultato corretto è 218, ; 0,112 0,012 Se, invece di fare i calcoli in sequenza, avete annotato anche solo un risultato parziale per poi riscriverlo e arrivare al finale, allora avreste potuto arrivare al risultato esatto solo prestando molta attenzione nel ricopiare tutte le cifre decimali. Provate ora a fare questo calcolo: ,13 Il risultato corretto è 2, ; A differenza dell esempio di prima, qui non è possibile (a meno, come già detto, di avere una calcolatrice con le parentesi e di saperla usare) fare tutti i calcoli in sequenza, e quindi è quasi inevitabile utilizzare dei risultati parziali, un po come è inevitabile interrompere i lunghi viaggi procedendo per tappe lungo il percorso. Attenzione! Quando scrivete i risultati parziali dovete ricopiare tutte le loro (eventuali) cifre decimali Se non lo fate rischiate di arrivare a un risultato finale impreciso in misura tale da non poter essere accettato come valido. Provate a fare gli ultimi due esempi limitandovi a riportare solo tre cifre decimali e constaterete (= verificherete, vi accorgerete) quanto ho appena scritto. Queste ultime righe ci portano a parlare del prossimo argomento. 3.2) Gli arrotondamenti. Capita spesso che il risultato di un calcolo sia un numero con molte cifre decimali, non di rado addirittura infinite; ad esempio: 18 7 = 2, E chiaro che in casi come questi è necessario interrompere, presto o tardi, la scrittura delle cifre decimali. Ad esempio, quando si esprimono dei valori monetari ci si limita quasi sempre alla seconda cifra decimale (cioè ci si ferma al centesimo, come 13,75 (euro) o 99,99 $ (dollari) o 4,20 CHF (franchi svizzeri)). Ogni volta che non si scrivono tutte le cifre decimali, però, si commette un errore più o meno grande; nell esempio di prima (18 7 = 2, ), se mi limito a scrivere una sola cifra dopo la virgola (2,5) scrivo un numero che è inferiore di oltre 0,071 (cioè di oltre 71 millesimi) al risultato corretto dell operazione; e se proseguo fino alla seconda cifra (scrivendo 2,57) commetto (= faccio) un errore certamente inferiore (poco più grande di 0,001 cioè di un millesimo) ma continuo comunque a non esprimere il risultato corretto. 5

6 . arrotondare Insomma, spesso è opportuno (o addirittura necessario) togliere una o più cifre finali a un numero, ed è chiaro che in questo modo il numero cambia e quindi è inevitabile commettere un errore. Una volta deciso il numero di cifre decimali da indicare occorre, però, commettere l errore più piccolo, e per fare questo bisogna imparare ad arrotondare (si dice anche ad approssimare ) i numeri nel modo giusto, quello appunto che minimizza (= fa diventare più piccolo possibile) l errore. significa commettere l errore minore. Non ci si può limitare a troncare (a cancellare, a non scrivere) le cifre decimali successive a quelle che si è stabilito di conservare, bisogna anche verificare se l ultima cifra decimale deve o no essere modificata. Rimanendo all esempio di prima (18 7 = 2,57142 ), se si scrive il risultato fermandosi alla prima cifra decimale (si dice anche approssimando alla prima cifra decimale o approssimando al decimo), occorre scrivere 2,6 e non 2,5! Infatti, scrivendo 2,5 si fa un errore maggiore; si indica un valore inferiore a quello corretto di oltre 7 centesimi (2, meno 2,5 = 0, ), mentre se si scrive 2,6 l errore (2,6 meno = 0,02858 ) è di meno di 3 centesimi, cioè meno della metà di prima; scrivendo 2,6 si è perciò ridotto l errore. Quando si arrotonda indicando un valore superiore al reale si dice che si approssima (o si arrotonda) per eccesso, quando invece si arrotonda riportando un numero inferiore a quello preciso, allora si dice che si è scritto un numero approssimato (o arrotondato) per difetto. Quando l approssimazione per eccesso e quella per difetto causano un errore esattamente uguale, allora stabiliamo di arrotondare per eccesso. Così se nel calcolo 2.121, vi dico di approssimare il risultato (1,1465) alla terza cifra decimale, voi dovrete scrivere 1,147 e non 1,146 A meno che non vi siano date indicazioni diverse (= a meno che non vi venga detto di fare diversamente), nei calcoli e nei problemi che farete dovrete scrivere i risultati numerici arrivando almeno fino alla seconda cifra decimale. Quindi, se vi chiedessi di determinare quanto ho pagato al litro il gasolio sapendo che ho speso 77,40 per comprarne 50 litri, (77,40 50 = 1,548 /l): - se vi dico di arrotondare alla seconda cifra decimale voi dovete indicare 1,55 /l (approssimando perciò in eccesso per commettere un errore di + 2 millesimi; se, invece, scriveste 1,54 approssimando per difetto, fareste un errore di 8 millesimi, il quadruplo dell errore precedente, e io vi boccerei); - se vi dico di arrotondare alla prima cifra decimale voi dovete scrivere il risultato 1,5 /l (arrotondando questa volta in difetto per commettere un errore di 48 millesimi che è più piccolo dell errore, di + 52 millesimi che si farebbe arrotondando per eccesso a 1,6); - se vi dico di arrotondare all unità intera dovete scrivere 2 (con un errore di 0,452 e cioè 452 millesimi) e non 1 (perché in questo caso l errore sarebbe di 0,548 o 548 millesimi e quindi maggiore di prima) - se vi dico nulla sulle cifre decimali da tenere, allora voi potete sia scrivere 1,548 /l, senza approssimare il risultato, sia arrotondare alla seconda cifra decimale, e però dovete arrotondare correttamente e scrivere quindi 1,55 e non 1,54. Scrivendo 1,5 questa volta sbagliereste (nonostante l arrotondamento fatto alla prima cifra sia quello giusto) perché la nostra regola è di tenere, quando non ci sono indicazioni diverse, almeno due cifre dopo la virgola. 6

7 . ; 4) Le equazioni di primo grado. 4.1) La proprietà convertitrice del segno = Se leggete = 7 oppure 4 2 = 24 3 non vi stupite e siete anche in grado di comprenderne il senso. Questo perché conoscete, oltre al significato dei simboli delle operazioni e delle cifre, anche il significato del simbolo =. Non tutti, probabilmente, conoscono invece la proprietà convertitrice che il simbolo = ha sulle quattro operazioni. Prendiamo = 7 n queste altre uguaglianze: usando gli stessi numeri possiamo scrivere, tra le tante, anche 3 1 = 7 5 (2 = 2) e verificare così che spostandolo dall altra parte dell =, il sommatore 5 si è trasformato in un sottrattore. Possiamo anche dire che il 5 per scavalcare l = ha dovuto invertire la sua funzione: da + 5 si è trasformato in = 7 3 (4 = 4); qui è il 3 che per trasferirsi dall altra parte ha dovuto invertire la sua funzione, e da + 3 si è trasformato in = (8 = 8); in questa è l 1 che ha voluto farsi un viaggio al di là dell =, ma per farlo ha dovuto trasformarsi da sottrattore in sommatore (da 1 a + 1); 3 = (3 = 3); si sono spostati il + 5 e il 1 trasformandosi in 5 e + 1; 0 = (0 = 0); qui son voluti partire tutti per trasferirsi dall altra parte dell =, e così a sinistra c è rimasto il nulla (lo 0) e a destra dell uguale si sono tutti convertiti (a parte il 7 che non si è spostato). Gli spostamenti possono essere fatti sia da sinistra a destra che da destra a sinistra: la regola del cambio di segno non cambia; se il 7 scavalca l = da destra a sinistra si avrà: = 0 Procediamo allo stesso modo partendo, questa volta, da 4 2 = Tra combinazioni possiamo ad esempio scrivere: le tante 4 = ; il 2 prima era un moltiplicatore e ora, scavalcato l =, è diventato un divisore = 24 ; qui è il 3 che per trasferirsi da sinistra a destra dell = ha dovuto rassegnarsi a convertirsi da divisore a moltiplicatore. 4 3 = 24 2 ; in questo caso il 2 passando da sinistra a destra dell uguale è diventato 2, mentre il 3 che era a destra dell = è diventato, a sinistra, un 3. 2 = ; il 4 prima era un moltiplicatore e ora, scavalcato l =, è diventato un divisore Nota per gli appassionati di matematica: quanto visto in questa pagina è un modo diverso di illustrare quelli che i libri di testo definiscono i principi di equivalenza delle equazioni che, un po semplificati, possono essere così esposti: primo principio di equivalenza: data un'equazione, aggiungendo o togliendo ad entrambi i membri uno stesso numero si ottiene un'equazione equivalente; secondo principio di equivalenza: data un'equazione, moltiplicando ambo i membri per un numero diverso da zero si ottiene un'equazione equivalente. 7

8 4.2) La semplicità e l utilità delle equazioni (di primo grado). Alle medie alcuni di voi hanno già fatto le equazioni di primo grado e altri, invece, non le hanno mai viste. Sia in un caso che nell altro non dovete preoccuparvi: se avete capito il paragrafo di prima (4.1)) siete ormai in grado di risolvere le equazioni. E saper usare le equazioni è estremamente importante (e non solo per poter essere promossi). I problemi semplici si possono risolvere con strumenti matematici semplici e minime dosi di logica. Ad esempio: un uomo di 48 anni ha un figlio di 12; quanti anni aveva il padre quando nacque suo figlio? R isp.: = 36 anni. Man mano che i problemi si fanno più complessi, la loro soluzione richiede dosi più impegnative di logica e strumenti matematici più potenti. Ad esempio: un uomo ha 48 anni e suo figlio 12; tra quanti anni il padre avrà il doppio degli anni del figlio? Questa volta l applicazione degli strumenti matematici più elementari (le quattro operazioni) non permettere di giungere alla soluzione (a meno di andare, stupidamente, a tentativi fino a che si è trovato il valore corretto che verifica le condizioni). Le equazioni sono uno strumento estremamente utile per risolvere i problemi, e l equazione di primo grado (l unica che useremo almeno fino alla terza) ha il duplice pregio (= il doppio merito) di essere uno strumento ancora piuttosto semplice da maneggiare (= da usare) e contemporaneamente di avere già una buona potenza, nel senso che con essa si riescono a risolvere problemi anche non banali. Per padroneggiare lo strumento dell equazione occorrono prima la logica (per impostare l equazione corretta) e poi la tecnica (per risolvere senza errori l equazione). L esercizio (nel senso di allenamento) non saltuario (= regolare, costante) è indispensabile per acquisire naturalezza in entrambi i campi (cioè nell usare la logica e cavarsela con la matematica). Ricordatevi: uscire dal banco e venire alla lavagna per scrivere oggi c è un bel sole vi sembra una prova facilissima, mentre in realtà è straordinariamente complessa: solo per mantenere l equilibrio usi contemporaneamente centinaia di muscoli e devi coordinare in modo perfetto i loro movimenti; la scrittura corretta della frase implica poi l utilizzo di regole grammaticali tutt altro che semplici. Se ora ti sembra facile è perché per anni hai fatto continui esercizi e, soprattutto all inizio, tantissimi errori (hai continuato a cadere almeno fino ai tre anni e ancora a nove scrivevi ogi ce un bel sole ). Ecco perché, anche se all inizio non vi sarà facile, dovete impegnarvi a risolvere i problemi utilizzando lo strumento delle equazioni: col tempo diventerà per voi più semplice fino a risultare naturale come vi sembra semplice e naturale il camminare. E una volta che vi sembrerà naturale usare le equazioni, sarete in grado di cominciare a maneggiare strumenti più complessi e più potenti, che vi permetteranno di risolvere situazioni davanti alle quali la gran parte delle persone si arrende immediatamente. Il processo di crescita mentale e culturale è graduale, esattamente come il miglioramento nelle attività sportive: solo con tanto allenamento si arriva, gradualmente, a giocare bene a pallavolo, e non puoi sperare di riuscire nelle veloci se prima con l esercizio e l abitudine non hai acquisito naturalezza nell esecuzione dei fondamentali più semplici. Per risolvere i problemi usando lo strumento delle equazioni si segue questo percorso: a) prima si battezza con un simbolo (normalmente si usano le lettere X, Y ecc., ma vanno benissimo anche #,, o quello che vi pare) il (o i) dato (i) ignoto (i) che si vuole arrivare a conoscere; b) poi si formalizza in linguaggio matematico il problema, impostando l equazione: si tratta, cioè, tradurre il testo dall italiano al matematichese; c) infine si risolve l equazione applicando la funzione convertitrice del segno = vista nel paragrafo precedente a pagina 7. 8

9 4.3) Soluzione di problemi con le equazioni (di primo grado): primi esempi. Premetto subito di essere ben consapevole che i primi problemi sono talmente semplici da fare apparire stupida l idea di risolverli con le equazioni. Se ve li propongo è per cominciare a familiarizzare con il percorso ( a) b) c) ) descritto alla fine della pagina precedente. Esempio 1: Giada ha speso 1.662,50 per comprare 50 grammi d oro; quale è il prezzo al grammo dell oro che ha comprato? a) Chiamo X (o P o quello che ti pare) il prezzo al grammo dell oro; b) Riscrivo il problema in questi termini: X 50 = 1.662,50 (che pu50 volte il prezzo di un grammo d oro ( X ) è pari a 1.662,50 ) c) Isolo (= lascio da sola) l incognita X portando il suo moltiplicatore 50 dall altra parte (convertendolo così in divisore): X = 1.662,50 50 e calcolo così il prezzo al grammo dell oro (R is. 33,25 ). Esempio 2: Telemaco ha comprato un televisore da 450 e 30 DVD. In tutto ha speso 585,00. Quanto ha pagato ogni DVD? a) Chiamo X (o P o o quello che ti pare) il prezzo di un DVD; b) Traduco il testo del problema in questo modo: X = 585 (il prezzo del televisore (450) più 30 volte il prezzo di un DVD ( X ), in totale fa 585 ); c) Isolo l incognita (questa volta in due passaggi): 30 * X = ; X = (R is. 4,50 ). Adesso qualche problema un po meno semplice da risolvere se non si usano le equazioni. Esempio 3: Anna vuole acquistare un auto che costa Se riuscisse a raddoppiare i risparmi che ha adesso, per comprare l auto dovrebbe comunque trovare altri Quanti risparmi ha ora Anna? a) Chiamo X (o R o o quello che ti pare) l importo dei risparmi che attualmente possiede Anna; b) Traduco in matematichese il testo: 2 * X = (il doppio dei risparmi attuali più sono pari a un totale di ); c) Isolo l incognita: 2 * X = ; X = (R is ). Quando vi è solo un dato da trovare (o, come si dice, quando c è solo una incognita ), allora è sufficiente avere a disposizione una sola equazione che mette in relazione fra loro i dati del problema; è stato il caso dei tre esempi fatti fino a ora. Quando, invece, ci sono due dati da trovare (o, come si dice, ci sono due incognite ), allora è necessario individuare due equazioni, cioè scrivere due uguaglianze che mettono in relazione i dati del problema. Se ho a disposizione una sola equazione con due incognite allora i risultati possibili sono infiniti: se ad esempio sapessimo soltanto che Leporello ha il quadruplo delle figurine del suo amico Masetto, non potremmo mai sapere quante figurine possiedono i due amici: i risultati possibili sono infiniti: Leporello potrebbe avere 4 figurine e Masetto 1, o anche Leporello 8 e Masetto 2 come pure Leporello 400 e Masetto 100 ecc. 9

10 Adesso un esempio di problema con due incognite che è risolvibile solo con l uso delle equazioni. Senza di esse la soluzione può essere trovata solo andando a tentativi e impiegando così un sacco di tempo. Esempio 4: Leporello ha il quadruplo (= quattro volte di più) delle figurine di Masetto, e le figurine che ha Masetto sono 111 in meno di quelle possedute da Leporello. Quante figurine ha Leporello e quante Masetto? a) Chiamo L (o X o o quello che ti pare) il numero di figurine possedute da Leporello, e invece chiamo M (o Y o o quello che ti pare) il numero di figurine in mano a Masetto; b) Traduco il testo in queste due equazioni: la prima è: L = 4 * M (il numero di figurine di Leporello è pari al quadruplo delle figurine di Masetto); e la seconda è: M = L 111 (il numero di figurine di Masetto è pari a quelle di Leporello meno 111). Sostituisco poi una delle due incognite (ad esempio M) di una equazione (ad esempio la prima) con il suo valore indicato nell altra equazione (e quindi, nel nostro caso, nella seconda): L = 4 * (L 111); [ ho cioè messo al posto della M della prima equazione ( L = 4 * M ) il suo valore (L 111) che ho letto nella seconda equazione ( M = L 111 ); in questo modo L = 4 * M è diventato L = 4 * (L 111) ] c) Isolo, nella nuova equazione così trovata, l unica incognita rimasta (L): L = 4* L = 4* L L 3* L = 444 L = (R is. Leporello 148 figurine). d) Sostituisco ora il valore trovato di L (148) in una delle due equazioni iniziali, ad esempio nella seconda: M = (R is. Masetto 37 figurine). [e, infatti, 4 37 = 148]. E ora finiamo gli esempi con il problema proposto all inizio, uno dei tanti che possono essere risolti solo con l uso delle equazioni (a parte il sistema stupido di andare a tentativi finché si arriva al risultato giusto): Esempio 5: un uomo ha oggi 48 anni e suo figlio 12; tra quanti anni il padre avrà il doppio degli anni del figlio? a) Chiamo a (o X o o quello che ti pare) il numero di anni che devono trascorrere da oggi prima che le due età diventino una il doppio dell altra; b) Trasformo il testo del problema in questa equazione: 48 + a = 2 * (12 + a); in questo modo ho imposto che l età che il padre avrà fra a anni (ne avrà 48 + a ) sia il doppio di quella che nello stesso momento avrà il figlio (l età del figlio sarà 12 + a ); c) Isolo l incognita: a = 2 * (12 + a) 48 a = a = 2a a 24 = a (R is fra 24 anni il padre avrà il doppio degli anni di suo figlio). [e, infatti, = 72 mentre = 36; e 72 è il doppio di 36]. Per alleggerire un po l argomento e contemporaneamente rassicurarvi sulla possibilità di comprenderlo, vi propongo la spiegazione che Einstein diede a suo nipote di otto anni del metodo per risolvere le equazioni di 1 grado. Pare che il bimbo, che pure al contrario di suo nonno non era un genio, non abbia in seguito mai avuto difficoltà con le equazioni di primo grado. Io non sono certo Einstein, però voi di anni non ne avete 8 ma quasi il doppio, per cui anche voi se solo vi impegnerete a sufficienza dovete riuscire a risolvere le equazioni di primo grado. 10

11 10,5 Discorso un po diverso è l impostazione delle equazioni necessarie a risolvere i problemi: qui, come già detto, più della tecnica conta la logica; anche la logica, però, la si acquisisce soprattutto con l allenamento, perciò molto dipende dalla vostra volontà. Ecco come Albert Einstein spiegò al nipote di otto anni le equazioni: X non vuole farti sapere chi è, ma è certo che è tuo nemico e tu lo vincerai solo scoprendo la sua identità. Comincia la battaglia tra te e X. Il campo di combattimento è questo:. = 2,5 * X + 6,5. i numeri sono i vostri alleati e il simbolo = rappresenta un fiume: tu sei da una parte con il tuo alleato 10,5 mentre X, il nemico, sta dall altra parte insieme ai suoi alleati 2,5 e 6,5. Per batterlo tu devi isolare X, facendo in modo che chi adesso è con lui lo abbandoni e passi con te, dalla tua parte del fiume. E come ho già detto gli attuali alleati di X sono, dall altra parte del fiume, il moltiplicatore 2,5 e il sommatore 6,5. Per fare in modo che cambino alleanza e vengano dalla tua parte, gli alleati di X devono convertirsi, devono quindi cambiare la loro natura: perciò una volta che passano dalla tua parte (e cioè dall altra parte del fiume = ), 2,5 da moltiplicatore si trasforma in divisore, e il sommatore 6,5 si converte diventando un sottrattore. 10,5 6,5 Ecco allora che la nuova situazione è: = X. 2,5 Ora il nemico è isolato, solo e indifeso. Finalmente puoi, senza sforzo, capire quale identità si cela (= si nasconde) dietro la maschera della X: (10,5 6,5) / 2,5 = 1,6. Seguire le indicazioni di Einstein può servire per risolvere le equazioni, cioè nella parte finale; prima, però, occorre impostare la (o le) equazioni corrette, ed è qui che, come ho già detto, ancor più della tecnica occorre allenare la logica. Qui sotto vi propongo qualche esercizio di allenamento da risolvere, mi raccomando, usando le equazioni. Esercizio 1: ho speso 6,96 per comprare delle mele a 1,45 /kg (= 1,45 al chilo); quanti chili di mele ho comprato? Esercizio 2: Abele e Caino sono due fratelli che hanno vinto al totocalcio Per giocare la schedina Abele ha speso il triplo di Caino, e quindi ora gli spetta una vincita tripla di quella del fratello. Quanti spettano a ognuno?.esercizio 3: Per costruire Pinocchio, Geppetto ha dovuto eliminare, tra legno iniziale, e ora il burattino pesa ricavandolo da un unico pezzo di legno, segatura e schegge, i 2/9 (due noni) del 12,5 kg. Quanto pesava all inizio il pezzo di legno intero? Esercizio 4: Oggi un uomo ha 32 anni e suo figlio 5; tra quanti anni il padre avrà il quadruplo degli anni del figlio? 11

12 Esercizio 5: Un fruttivendolo ha venduto 25 kg di mele a 2,15 /kg (= 2,15 al kg), 12 kg di arance a 1,85 /kg, 40 kg di patate a 0,90 /kg e 11 vasetti di marmellata di pere. In tutto ha ricavato 161,45. A che prezzo ha venduto ciascun vasetto di marmellata? Esercizio 6: Avevi 4,25 di traffico telefonico e allora hai fatto una ricarica telefonica da 25 ; successivamente hai inviato 41 sms dal costo unitario di 0,12 e hai telefonato per 2 ore al costo di 0,11 al minuto. Quale è il tuo residuo traffico telefonico? Esercizio 7: La I B va a una visita didattica (= gita scolastica) di un giorno al museo della tortura di Volterra. Il costo totale (tutto compreso) per i 26 alunni è 818,00. Il costo per il pullman è 350,00, il biglietto per la visita al museo costa 7,50. Quale è il prezzo unitario per il pranzo (a menù fisso) al ristorante? Esercizio 8: Poldo ha acquistato un divano per 660,00, pagando subito 150,00 di acconto. Il resto lo pagherà in 6 rate mensili di uguale importo. Di quanti euro è ogni singola rata? Esercizio 9: Dumbo, cucciolo di elefante, al suo primo compleanno pesa 119 kg, i 4/10 (o il 40%, è la stessa cosa) in più del suo peso alla nascita. Quanto pesava appena nato? Esercizio 10: Rico ha comprato 13 kg di ricotta spendendo complessivamente 87,75. A che prezzo unitario (al chilo) deve rivenderla per guadagnare complessivamente 29,25? Esercizio 11: Rino ha venduto un rinoceronte a uno zoo per ,00 ; in questo modo ha guadagnato i 3/4 (o il 75%, è la stessa cosa) di quanto aveva speso per comprarlo. A quanto, Rino, aveva acquistato il rinoceronte? 12