Sistemi di unità di misura

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1 Sistemi di unità di misura L Assemblea Nazionale Francese avvia nel 1790 l adozione di un sistema di unità di misura decimale, che possa essere comune per tutto il genere umano. Prima di questa data ( e anche dopo ) ogni nazione, anzi ogni singola località aveva un proprio sistema di unità di misura. Ma questo può portare ad inconvenienti gravi. Ad esempio il 23 settembre 1999 la sonda Mars Climate Orbiter si è schiantata sulla superficie del pianeta Marte a causa di un errore di conversione dalle tavole della Lockheed Martin, costruttrice del veicolo,in feet ( piedi ) a quelli della NASA in metri.

2 Oppure si possono avere altri tipi di inconvenienti, come illustra la figura.

3 Da allora si sono succeduti diversi sistemi decimali : il sistema cgs ( basato sul centimetro, grammo e secondo), quello MKS o Giorgi ( basato sul metro, chilogrammo, secondo), il sistema tecnico o degli ingegneri ( basato sul metro, il chilogrammo-peso e il secondo). Tuttora usato è anche il Sistema inglese ( non decimale ), basato su yard, pound e secondo. In particolare un inch ( pollice) vale 1/12 di foot ( piede), che a sua volta vale 1/3 di yard. Un inch vale circa 2,54 cm e 1 yard vale circa 0,914 metri.

4 Il sistema ( quasi) universalmente accettato oggi è il Sistema Internazionale, SI, introdotto nel 1960 alla XI Conferenza Generale dei Pesi e delle Misure, CGPM, che si svolge a Sèvres in Francia ogni quattro anni. Esso si basa su sette grandezze fondamentali ( lunghezza, tempo, massa, corrente elettrica, temperatura termodinamica, quantità di sostanza, intensità luminosa) e due supplementari ( angolo piano e angolo solido ) di cui stabilisce le unità di misura. Stabilisce inoltre le grandezze derivate e le relative unità di misura.

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7 Ogni grandezza fisica ha la propria unità SI; tuttavia una stessa unità SI può corrispondere a più d una Un esempio: grandezza fisica. Il momento di una forza e il lavoro di una forza, pur non essendo grandezze omogenee, hanno le stesse dimensioni e quindi sono espressi con le stesse unità SI. Tuttavia, per evitare equivoci, è meglio misurare il momento di una forza in N m e il lavoro in J. Notare il punto fra N e m : la notazione mn significa millinewton!

8 Su c è il vademecum sul SI. Di ogni unità si possono usare multipli e sottomultipli.

9 La Notazione Scientifica La Notazione Scientifica è usata in Fisica per rappresentare valori di grandezze o troppo grandi o troppo piccoli. Si tratta di un caso particolare di rappresentazione di un numero a in virgola mobile, a=m b E, in cui M è la mantissa, b è la base ed E l esponente. Nella notazione scientifica b vale 10, mentre E è un numero intero, positivo o negativo. Esempi : 10 1 = = = = 1/10= 0, = 1/1000= 0, = 1/ = 0,

10 Un altro esempio : 0, , , , sono rappresentazioni diverse dello stesso valore di una grandezza. Di queste la rappresentazione normalizzata corrisponde a 0, , quando la mantissa è compresa fra 0 e 1. Da notare che i calcolatori presentano i numeri con la notazione scientifica con la convenzione che la base viene omessa e la lettera E viene usata per indicare l esponente. Il numero 0, viene presentato come 0,7824 E4.

11 Ordine di grandezza Se arrotondiamo un numero alla più vicina potenza di 10, l esponente è chiamato ordine di grandezza del numero. Il numero 0, è più vicino a 10 5 che non a 10 4 : diremo allora che esso ha 5 ordini di grandezza. Il raggio medio dell atomo di idrogeno vale 5, m mentre il raggio medio del suo nucleo vale 1, m. Le potenze di 10 più vicine sono e rispettivamente e il loro rapporto vale Se ne conclude che l atomo d idrogeno ha un raggio più grande di quello del suo nucleo di 5 ordini di grandezza.

12 Cambiamento di sistemi di unità di misura. Supponiamo di voler esprimere il valore di una grandezza in due sistemi di unità di misura differenti. Per fare questo abbiamo bisogno di conoscere il fattore di ragguaglio r, ossia il rapporto tra le due unità di misura. Supponiamo di voler esprimere una massa di 3,4 kg in unità cgs. Il fattore di ragguaglio r vale 1 kg/ 1 g =10 3 e quindi 3,4 kg = 3,4 r g = 3, g

13 Supponiamo di voler esprimere la forza di 1 N nel sistema cgs, ossia in dyne. Il fattore di ragguaglio per le masse r m vale, come prima, 10 3 ; il fattore di ragguaglio per i tempi vale 1; il fattore di ragguaglio per le lunghezze r l vale 1m/1cm=10 2, per cui il fattore di ragguaglio totale vale Se ne conclude che 1 N = 10 5 dyne.

14 Un classico problema alla Fermi : quanti accordatori di pianoforte si trovano a New York? Possiamo ragionare per gradi e per ordini di grandezza. Quanti sono gli abitanti di New York? Circa 10 7 ( meno di 10 8 e più di 10 6 ) Quante famiglie ci possono essere in New York? Circa 10 6 ( meno di 10 7 e più di 10 5 ) Quante famiglie hanno un pianoforte? Circa 10 5 ( meno di 10 6 e più di 10 4 )

15 Quanti accordatori sono necessari per 10 5 pianoforti? Qualche famiglia non farà accordare mai il suo pianoforte. Qualche altra una volta al mese. Forse in media si avrà un accordo all anno per famiglia, per un totale di 10 5 accordi. Quanti accordi può fare un accordatore di pianoforte? Se ammettiamo che un accordatore possa fare 4-5 accordi al giorno e che i giorni lavorativi in un anno siano , allora un accordatore farà in un anno circa 10 3 accordi.

16 Quanti accordatori di pianoforte sono necessari in New York? Circa 10 5 / 10 3 = Se facciamo differenti ipotesi per i vari fattori, è improbabile che si abbia una risposta maggiore o minore di un ordine di grandezza rispetto a quanto trovato, ossia è improbabile trovare più di 1000 o meno di 10 accordatori a New York.

17 Gli strumenti di misura Una misura si effettua mediante uno strumento, un dispositivo che fornisce una risposta quantitativa al confronto tra la grandezza in esame e la corrispondente unità di misura. Uno strumento può essere schematizzato da tre parti : Un elemento rivelatore, sensibile alla grandezza da misurare ( per esempio il mercurio contenuto nel bulbo di un termometro) Un trasduttore, che trasforma l informazione ottenuta dal rivelatore in una grandezza più facilmente utilizzabile dallo

18 sperimentatore ( per esempio il bulbo e il capillare trasformano una variazione di temperatura in una variazione di volume e quindi in una variazione della quota raggiunta dal pelo del mercurio ) Un dispositivo che fornisce visivamente o graficamente il risultato della misura ( per esempio la scala graduata incisa lungo il termometro, la posizione di un indice mobile su una scala graduata, come in una bilancia da salumiere, o un display numerico )

19 Nel seguito indicheremo con G la grandezza fisica in se stessa, con M(G) il risultato della misura di G, con V(G) il valore effettivo, sconosciuto, che aveva G al momento della misura e con R(G) la risposta dello strumento usato. Non dimentichiamo che la risposta di uno strumento analogico è il numero di divisioni che leggiamo su una scala graduata.

20 Per completare l operazione di misura occorre conoscere come varia la risposta R(G) al variare di V(G). Occorre effettuare la taratura dello strumento, mediante ad esempio un grafico che faccia corrispondere un valore della risposta al valore della grandezza fisica G, supposta nota per altra via. Bisogna notare che erroneamente spesso gli studenti chiamano taratura di uno strumento quello che è invece un semplice controllo dello zero dello strumento stesso.

21 Un metodo alternativo di taratura è quello di confrontare la risposta dello strumento, di cui ignoriamo la taratura, con la risposta di uno strumento di riferimento. Il relativo grafico dovrebbe essere una retta, bisettrice del primo quadrante e passante per l origine, se le scale degli assi x e y sono uguali. Vedremo più in là degli esempi di taratura di strumenti, in particolare quella di un dinamometro e quello di un termometro a liquido.

22 Caratteristiche generali di uno strumento: portata, soglia, sensibilità, precisione e prontezza. La portata e la soglia sono rispettivamente il valore massimo e quello minimo della grandezza da misurare registrati dallo strumento. La sensibilità S è legata alla variazione minima apprezzabile e significativa del valore di G ad un certo istante e, quindi, in uno strumento analogico al minimo spostamento misurabile di un indice su una scala graduata.

23 Essa viene definita come la derivata di R(G) rispetto a V(G), determinata nei vari punti della scala, ossia da dr(g) dv(g) Sperimentalmente S viene determinata approssimando la derivata con il rapporto incrementale [R(G 2 ) R(G 1 )]/ [V(G 2 ) V(G 1 )] con l avvertenza che il denominatore può tendere a zero fino a quando rimane significativo.

24 Nel grafico di taratura di R(G) in funzione di V(G), S costituisce la pendenza della curva e può essere costante, se la curva è una retta. In un normale metro della vita di ogni giorno, in cui le divisioni sono equispaziate di 1 mm, ci sono 1000 divisioni ( che costituiscono la variazione di risposta dello strumento) e quindi S vale 1000 divisioni/m= 1 divisione/mm. Bisogna non confondere il numero delle divisioni con quello delle incisioni ( o tacche ) sulla scala, che sono in questo caso 1001 contando anche la tacca dello zero.

25 In un doppio decimetro, con divisioni spaziate di 1 mm, avremo ancora una sensibilità di 1 divisione/mm. Se la spaziatura fosse di 0,5 mm avremmo una sensibilità di 2 divisioni/mm. Le modalità di lettura sulla scala graduata introducono un incertezza sul valore : si tratta dell errore di sensibilità. Quando si legge la posizione di un indice su una scala, si cerca di individuare la divisione più vicina all indice. Quindi tutte le posizioni di un indice che differiscano tra di loro per meno di una certa quantità, che sarà indicata con 2ΔR(G) *, daranno origine alla stessa lettura. Ne consegue un incertezza 2ΔV(G) su V(G) data da 2ΔR(G) * /S.

26 Il fattore 2 ci ricorda che l indeterminazione sulla lettura di R(G) comporta che il valore effettivo è compreso fra R(G)- ΔR(G) * e R(G)+ ΔR(G) * e quindi il valore della grandezza misurata cade nell intervallo compreso fra M(G)-ΔV(G) e M(G)+ ΔV(G) Per convenzione si esprime questa indeterminazione indicando come risultato della misura M(G) ± ΔV(G) La quantità ΔV(G) è detta errore di sensibilità, perché lo strumento non è sensibile in un intervallo pari a 2 ΔV(G) intorno al valore misurato.

27 Da notare che, se 2ΔR(G) * è uguale a 1 divisione della scala, allora ΔV(G)=0,5/S. Quanto detto finora si applica agli strumenti analogici. Per gli strumenti digitali non si può parlare di sensibilità ma solo di errore di sensibilità. A meno di istruzioni particolari date dal costruttore, si può assumere che in uno strumento digitale 2 ΔV(G) sia pari ad un unità sulla cifra meno significativa.

28 Attenzione : su alcuni libri si confonde la sensibilità S con la risoluzione, che è il più piccolo valore di G che lo strumento può misurare. La precisione è legata al fatto che le misure ripetute della stessa grandezza fisica, in condizioni ambientali costanti, non danno lo stesso risultato, ma mostrano una dispersione, che dipende dalle caratteristiche costruttive dello strumento, che sono a loro volta influenzate da attriti, giochi meccanici,

29 fenomeni di isteresi, fluttuazioni di livelli elettrici. Lo strumento sarà tanto più preciso quanto più stretta è la larghezza di questa dispersione: vedremo successivamente come quantificare il concetto di precisione. La prontezza è legata al tempo necessario affinché lo strumento risponda ad una data variazione della grandezza da misurare. Per esempio un termometro, immerso inizialmente nel ghiaccio fondente e poi immerso nell acqua bollente, non raggiungerà istantaneamente la temperatura finale ma impiegherà un

30 certo tempo, che dipende da termometro a termometro. Questo tempo a sua volta dipende da un tempo caratteristico τ, che può essere ottenuto sperimentalmente. I vecchi termometri clinici ( quelli alti circa 20 cm! ) richiedevano quasi 10 minuti di attesa prima di poter sapere se uno aveva la febbre oppure no. Cifre significative Il risultato di una misura è espresso in generale da un numero avente una parte intera e una parte decimale, separate dalla virgola. Nei casi, in cui si hanno numeri molto maggiori o molto minori di 1, si preferisce usare la cosiddetta notazione scientifica, che consiste nello scrivere il dato con una sola cifra prima

31 della virgola moltiplicato per una opportuna potenza di 10. Ad esempio il numero 0, può essere scritto in notazione scientifica come 1, e il numero 12345,6789 come 1, Chiameremo cifre significative di un numero tutte le cifre, compreso lo zero, a partire da destra fino all'ultima, diversa da zero, a sinistra. Se usiamo la notazione scientifica, questa definizione si applica solo al termine che precede la potenza di 10. Esempi: 0, = 1, ha 3 cifre significative ,6789 = 1, ha 9 cifre significative. 0, = 1, ha 4 cifre significative, in

32 quanto lo zero a destra è significativo. Questo è dovuto al fatto che quando scriviamo 1, vogliamo dire che esso è maggiore di 1, e minore di 1, , mentre, quando scriviamo 1, vogliamo dire che esso è maggiore di 1, e minore di 1, In definitiva l'ultima cifra a destra indica in qualche modo il livello di precisione con cui conosciamo la grandezza in esame. D'altra parte questo livello di precisione non può dipendere dalla scelta delle unità di misura e questo implica che gli zeri a sinistra del risultato non siano significativi. Ad esempio se riteniamo di avere un'incertezza Δl di 1 mm su una lunghezza, misurata con il doppio decimetro, la significatività di questa incertezza non può cambiare se usiamo i multipli o i sottomultipli dell'unità di lunghezza : Δl = 1 mm = 0,1 cm = m = km ha sempre una sola cifra significativa.

33 Da quanto detto prima, non si può scrivere il risultato di una misura con un numero molto grande ( infinito al limite ) di cifre significative, perché questo implicherebbe un'incertezza molto piccola ( nulla al limite ) sulla misura stessa. D'altronde anche la stima dell'incertezza è frutto di una misura e quindi anche l'errore va scritto con un numero limitato di cifre significative. Nei laboratori di ricerca si possono organizzare esperimenti di alta statistica ( in cui si raccoglie un elevato numero di eventi ), tali da giustificare un errore scritto con due cifre significative. Nelle normali prove di laboratorio però l'errore va scritto con una sola cifra significativa, con un'eccezione, rappresentata dai casi in cui la prima cifra significativa dell'errore sia un 1 oppure un 2. Supponiamo che la stima dell'errore dia un numero del tipo 0, : scrivere questo errore con una sola cifra

34 significativa (ossia 0,1) comporterebbe un errore di arrotondamento troppo grande, per cui è meglio scrivere 0,14 con due cifre significative. In ogni caso è opportuno avere almeno una cifra significativa in più nei calcolo intermedi, per evitare spiacevoli arrotondamenti da parte del calcolatore da noi usato, e applicare le regole precedenti solo al momento di scrivere il risultato finale. Avendo scritto l'errore con il corretto numero di cifre significative, a questo punto il risultato della misura va scritto con lo stesso numero di cifre decimali dell'errore : si scriverà ad esempio 99 ± 1 mm e non 99,0 ± 1 mm. Le regole, enunciate precedentemente, valgono anche per le misure indirette, ossia per quelle misure, il cui risultato dipende dai valori di altre grandezze, misurate direttamente. Il volume di un parallelepipedo costituisce un esempio di

35 misura indiretta, una volta che sia stata misurata la lunghezza dei tre spigoli. Restano infine da fissare alcune norme, da seguire nell'eliminare le cifre eccedenti. Se la prima cifra eliminata, oltre l ultima cifra significativa, è <5, basta effettuare un semplice troncamento : ad esempio se il dato è 0, e deve essere scritto con una sola cifra significativa, la prima cifra eliminata è 4 e il risultato finale va scritto come 0,1. Se la prima cifra eliminata è > 5 oppure è 5 seguita da almeno un'altra cifra diversa da zero, si aumenta di 1 l'ultima cifra rimasta. Per esempio 0,16 si scrive 0,2 con una sola cifra significativa, mentre 0,551 si scrive 0,55 con due cifre significative e 0,6 con una sola cifra significativa ; 0,99 si scrive 1 con una sola cifra significativa.

36 Rimane il caso ambiguo in cui l'ultima cifra eliminata è solo un 5 oppure è un 5 seguito da zeri : i criteri esposti prima non sono applicabili. Bisogna stabilire un criterio ad hoc : per non rischiare di fare scelte sistematiche, un possibile modo di fare è quello di aumentare di 1 l'ultima cifra, se il numero, che si ottiene dal troncamento, è un numero dispari, e di lasciarla inalterata nel caso contrario. Supponiamo di dover scrivere con tre cifre significative 4,875 e 4,885. Il primo numero, troncato a tre cifre significative, è 4,87 ed è dispari, per cui si scrive correttamente 4,88. Il secondo numero troncato è pari, e quindi rimane 4,88. 4,88, ossia

37 Un utile avvertenza. Scrivere il valore di una grandezza fisica con un numero decimale consente di valutare il numero di cifre significative. Lo stesso non accade se il numero è intero. Se diciamo che la distanza fra due punti è 1000 m intendiamo che la distanza è compresa fra 999 m e 1001 m oppure che semplicemente è

38 maggiore di 500 m e minore di 1500 m? In alcuni libri si fa l ipotesi che i tre zeri presenti in 1000 non siano significativi perché uno potrebbe scrivere che la distanza è di 1 km. Resta tuttavia l ambiguità.

39 Incertezze relative L incertezza di una misura talora non dice tutto. Come dice il Taylor, un incertezza di un centimetro in una distanza di un chilometro indica una misura molto precisa, mentre la stessa incertezza in una distanza di pochi centimetri indica una stima grossolana. La bontà di una misura dipende quindi non solo dall incertezza ma anche dal valore della misura. Si introduce pertanto il concetto di errore relativo, definito dal rapporto fra il valore dell incertezza e il valore della misura. Viene in genere usato il simbolo ε r

40 Non è corretto dare il risultato di una misura ( ad esempio di lunghezza ) come 50,0 cm ± 2%, perché non vengono esplicitate le cifre significative dell errore e il valore della misura potrebbe non avere il giusto numero di cifre decimali.