Indice Elementi di analisi delle matrici I fondamenti della matematica numerica

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Alberta Volpe
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1 Indice 1. Elementi di analisi delle matrici Spazivettoriali Matrici Operazionisumatrici Inversadiunamatrice Matricietrasformazionilineari Tracciaedeterminante Rangoenucleodiunamatrice Matricidiformaparticolare Matrici diagonali a blocchi Matricitrapezoidalietriangolari Matriciabanda Autovalorieautovettori Trasformazioni per similitudine Ladecomposizioneinvalorisingolari(SVD) Prodottoscalareenormeinspazivettoriali Normematriciali Relazione tra norme e raggio spettrale di una matrice Successionieseriedimatrici Matrici definite positive, matrici a dominanza diagonale e M-matrici Esercizi I fondamenti della matematica numerica Buona posizione e numero di condizionamento di un problema Stabilità dimetodinumerici Le relazioni tra stabilità econvergenza Analisiapriorieaposteriori Sorgentidierroreneimodellicomputazionali Rappresentazionedeinumerisulcalcolatore... 46

.. 10 1.7 Autovalorieautovettori... 11 1.8 Trasformazioni per similitudine........ 13 1.9 Ladecomposizioneinvalorisingolari(SVD)... 16 1.10 Prodottoscalareenormeinspazivettoriali... 17 1.

2 XII Indice Ilsistemaposizionale Ilsistemadeinumerifloating-point Distribuzionedeinumerifloating-point AritmeticaIEC/IEEE Arrotondamento di un numero reale nella sua rappresentazionedimacchina Operazioni di macchina effettuate in virgola mobile Esercizi Risoluzione di sistemi lineari con metodi diretti Analisi di stabilità per sistemi lineari Ilnumerodicondizionamentodiunamatrice Analisiaprioriinavanti Analisi a priori all indietro Analisiaposteriori Risoluzionedisistemitriangolari Aspetti implementativi dei metodi delle sostituzioni Analisideglierroridiarrotondamento Calcolo dell inversa di una matrice triangolare Il metodo di eliminazione gaussiana (MEG) e la fattorizzazionelu Il MEG interpretato come metodo di fattorizzazione L effettodeglierroridiarrotondamento Aspetti implementativi della fattorizzazione LU Formecompattedifattorizzazione Altritipidifattorizzazione Fattorizzazione LDM T Matrici simmetriche e definite positive: fattorizzazionedicholesky Matricirettangolari:fattorizzazioneQR Pivoting Il calcolo dell inversa Sistemiabanda Matrici tridiagonali Aspetticomputazionali Sistemiablocchi FattorizzazioneLUablocchi Inversadiunamatriceablocchi Sistemi tridiagonali a blocchi Accuratezza della soluzione generata dal MEG Calcolo approssimato di K(A) Aumento dell accuratezza Loscaling Raffinamentoiterativo...107

.. 60 3.1.2 Analisiaprioriinavanti... 62 3.1.3 Analisi a priori all indietro....... 64 3.1.4 Analisiaposteriori... 65 3.2 Risoluzionedisistemitriangolari... 66 3.2.1 Aspetti implementativi dei metodi delle sostituzioni 67 3.

3 Indice XIII 3.12 Sistemiindeterminati Esercizi Risoluzione di sistemi lineari con metodi iterativi Convergenzadimetodiiterativi Metodiiterativilineari I metodi di Jacobi, di Gauss-Seidel e del rilassamento Risultati di convergenza per i metodi di Jacobi e di Gauss-Seidel Risultati di convergenza per il metodo di rilassamento Ilcasodellematriciablocchi Forma simmetrica dei metodi di Gauss-Seidel e SOR Aspettiimplementativi MetodidiRichardsonstazionarienonstazionari Analisi di convergenza per il metodo di Richardson Matricidiprecondizionamento Ilmetododelgradiente Ilmetododelgradienteconiugato Il metodo del gradiente coniugato precondizionato MetodibasatisuiterazioniinsottospazidiKrylov IlmetododiArnoldipersistemilineari IlmetodoGMRES Criteridiarrestopermetodiiterativi Un criterio basato sul controllo dell incremento Uncriteriobasatosulcontrollodelresiduo Esercizi Approssimazione di autovalori e autovettori Localizzazionegeometricadegliautovalori Analisi di stabilità econdizionamento Stimeapriori Stimeaposteriori Ilmetododellepotenze Calcolo dell autovalore di modulo massimo Calcolo dell autovalore di modulo minimo Aspetticomputazionaliediimplementazione MetodibasatisulleiterazioniQR L iterazioneqrnellasuaformadibase IlmetodoQRpermatriciinformadiHessenberg Matrici di trasformazione di Householder e di Givens Riduzione di una matrice in forma di Hessenberg Fattorizzazione QR di una matrice in forma di Hessenberg...193

2.6 Aspettiimplementativi...126 4.3 MetodidiRichardsonstazionarienonstazionari...128 4.3.1 Analisi di convergenza per il metodo di Richardson. 129 4.3.2 Matricidiprecondizionamento...131 4.3.3 Ilmetododelgradiente.

4 XIV Indice Aspetti implementativi del metodo Hessenberg-QR Implementazione delle matrici di trasformazione IlmetodoQRconshift Metodi per il calcolo di autovalori di matrici simmetriche IlmetododiJacobi IlmetododellesuccessionidiSturm Esercizi Risoluzione di equazioni e sistemi non lineari Condizionamentodiun equazionenonlineare Unapprocciogeometricoperlaricercadelleradici Ilmetododibisezione I metodi delle corde, secanti, Regula Falsi e Newton Ilmetododelleiterazionidipuntofisso Risultati di convergenza per alcuni metodi di punto fisso Radicidipolinomialgebrici IlmetododiHornereladeflazione IlmetododiNewton-Horner IlmetododiMuller Criterid arresto Tecnichedipost-processingpermetodiiterativi La tecnica di accelerazione di Aitken Tecnicheperiltrattamentodiradicimultiple Risoluzionedisistemidiequazioninonlineari IlmetododiNewtonelesuevarianti MetodidiNewtonmodificati Metodi quasi-newton e metodi ibridi o poli-algoritmi Metodiquasi-Newtonditiposecanti Metodidipuntofisso Esercizi Interpolazione polinomiale InterpolazionepolinomialediLagrange L errorediinterpolazione Limiti dell interpolazione polinomiale su nodi equispaziatiecontroesempiodirunge Stabilità dell interpolazione polinomiale FormadiNewtondelpolinomiointerpolatore Alcune proprietà delle differenze divise di Newton L errore di interpolazione usando le differenze divise InterpolazionecompositadiLagrange InterpolazionediHermite...277

Risoluzione di equazioni e sistemi non lineari 215 6.1 Condizionamentodiun equazionenonlineare...216 6.2 Unapprocciogeometricoperlaricercadelleradici...218 6.2.1 Ilmetododibisezione...219 6.2.2 I metodi delle corde, secanti, Regula Falsi e Newton 221 6.

5 Indice XV 7.5 L estensionealcasobidimensionale Interpolazionepolinomialesemplice Interpolazionepolinomialecomposita Funzionispline Splinecubicheinterpolatorie B-spline Curvesplineditipoparametrico Esercizi Integrazione numerica Formulediquadraturainterpolatorie Laformuladelpuntomedioodelrettangolo Laformuladeltrapezio LaformuladiCavalieri-Simpson FormulediNewton-Cotes FormulediNewton-Cotescomposite L estrapolazionedirichardson IlmetododiintegrazionediRomberg Integrazioneautomatica Algoritmidiintegrazionenonadattivi Algoritmidiintegrazioneadattivi Estensioni Integrali di funzioni con discontinuità di tipo salto Integrali di funzioni illimitate su intervalli limitati Integrali su intervalli illimitati Integrazione numerica in più dimensioni Ilmetododellaformuladiriduzione Quadraturecompositebidimensionali Esercizi I polinomi ortogonali nella teoria dell approssimazione Approssimazione di funzioni con serie generalizzate di Fourier IpolinomidiChebyshev IpolinomidiLegendre IntegrazioneedinterpolazioneGaussiana IntegrazioneedinterpolazioneconnodidiChebyshev IntegrazioneedinterpolazioneconnodidiLegendre Integrazione Gaussiana su intervalli illimitati Programmi per l implementazione delle formule Gaussiane Approssimazione di una funzione nel senso dei minimi quadrati Iminimiquadratidiscreti Ilpolinomiodimiglioreapprossimazione...360

..301 8.1.2 Laformuladeltrapezio...303 8.1.3 LaformuladiCavalieri-Simpson...305 8.2 FormulediNewton-Cotes...306 8.3 FormulediNewton-Cotescomposite...313 8.4 L estrapolazionedirichardson...315 8.4.1 IlmetododiintegrazionediRomberg.

6 XVI Indice 9.9 IpolinomitrigonometricidiFourier LatrasformatarapidadiFourier Approssimazionedellederivatediunafunzione Metodialledifferenzefiniteclassiche Differenzefinitecompatte Laderivatapseudo-spettrale Esercizi Risoluzione numerica di equazioni differenziali ordinarie IlproblemadiCauchy Metodinumericiadunpasso Analisideimetodiadunpasso La zero-stabilità Analisidiconvergenza L assoluta stabilità Leequazionialledifferenze I metodi a più passi(omultistep) ImetodidiAdams ImetodiBDF Analisideimetodimultistep Consistenza Lecondizionidelleradici Analisi di stabilità e di convergenza per i metodi multistep L assoluta stabilità neimetodimultistep Metodipredictor-corrector MetodiRunge-Kutta Derivazione di un metodo Runge-Kutta esplicito Adattività del passo per i metodi Runge-Kutta Regioni di assoluta stabilità per i metodi Runge-Kutta Ilcasodeisistemidiequazionidifferenzialiordinarie Iproblemistiff Esercizi Approssimazione di problemi ai limiti Unproblemamodello Ilmetododelledifferenzefinite Analisi di stabilità con il metodo dell energia Analisidiconvergenza Le differenze finite per problemi ai limiti a coefficientivariabili IlmetododiGalerkin Formulazionedebolediproblemiailimiti...442

..380 10.3 Analisideimetodiadunpasso...382 10.3.1 La zero-stabilità...383 10.3.2 Analisidiconvergenza...385 10.3.3 L assoluta stabilità...388 10.4 Leequazionialledifferenze...391 10.

7 Indice XVII Unabreveintroduzionealledistribuzioni Proprietà delmetododigalerkin AnalisidelmetododiGalerkin Ilmetododeglielementifiniti Aspettiimplementativi Problemi di diffusione-trasporto a trasporto dominante Esercizi Problemi ai valori iniziali e ai limiti di tipo parabolico e iperbolico L equazionedelcalore Approssimazione a differenze finite dell equazione del calore Approssimazione ad elementi finiti dell equazione del calore Analisi di stabilità perilθ-metodo Metodi a elementi finiti spazio-temporali per l equazione delcalore Equazioni iperboliche: un problema di trasporto scalare Sistemidiequazioniiperbolichelineari L equazionedelleonde Il metodo delle differenze finite per equazioni iperboliche Discretizzazione dell equazione scalare Analisideimetodialledifferenzefinite Consistenza Stabilità LacondizioneCFL Analisi di stabilità allavonneumann Dissipazioneedispersione Approssimazione ad elementi finiti di equazioni iperboliche Discretizzazione spaziale con elementi finiti continui ediscontinui Discretizzazionetemporale Esercizi Riferimenti bibliografici 511 Indice dei programmi MATLAB 519 Indice analitico 523

..465 12.2 Approssimazione a differenze finite dell equazione del calore 468 12.3 Approssimazione ad elementi finiti dell equazione del calore 470 12.3.1 Analisi di stabilità perilθ-metodo...472 12.

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