Dispense del corso di Modelli di Sistemi di Produzione 1. A cura di Massimiliano Caramia

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1 Dispense del corso di Modelli di Sistemi di Produzione 1 A cura di Massimiliano Caramia Versione preliminare aggiornata al 14 ottobre 2000

2 Chapter 1 Introduzione 1.1 Descrizione dei principali sistemi produttivi I sistemi manifatturieri esistono per creare prodotti che possano essere acquistati da potenziali compratori nel mercato. In particolare, si può senza dubbio affermare che il principale obiettivo di una azienda di produzione sia quello di creare valore, sia per i customer che incontreranno una propria utilità nell acquisizione di quel bene, sia per se stessa, che otterrà un profitto monetario dalla vendita dei suoi prodotti. I sistemi manifatturieri possono essere classificati in base a diverse caratteristiche. Tra queste, quella riferita al flusso dei materiali è senza dubbio una delle più efficaci. Infatti, possiamo così distinguere quattro differenti sistemi produttivi: sistemi a posizioni fisse, sistemi orientati al prodotto, sistemi orientati al processo e tecnologie di gruppo. Un sistema a posizioni fisse si realizza in caso di prodotti, quali una nave, un palazzo, un aeroplano, che a causa della loro elevata dimensione rendono impraticabile (spesso impossibile come nel caso di un edificio) lo spostamento del prodotto tra le operazioni da processare. Tutte le parti e i processi sono portati verso il prodotto. Dei quattro sistemi manifatturieri elencati, questo è il solo a prevedere questo tipo di gestione, in quanto negli altri tre (sistemi orientati al prodotto, al processo e tecnologie di gruppo) è il prodotto a muoversi nel processo. I sistemi orientati al prodotto sono progettati attorno al prodotto. Essi sono noti come linee di produzione dato che il prodotto, una volta entrato nel processo, subisce le operazioni in modo sequenziale, senza mai tornare 1

3 2 CHAPTER 1. INTRODUZIONE su macchine che hanno già effettato lavorazioni sul prodotto. Quindi i materiali entrano nella linea e procedono nello stesso verso fino all uscita del sistema. Indubbiamente, le linee di produzione sono i più efficienti ed i più efficaci layout produttivi quando si ha a che fare con elevati volumi produttivi. Formare una disposizione delle macchine e delle risorse orientata al prodotto significa rendere dedicati i processi richiesti da quest ultimo e quindi non è economicamente ammissibile a meno che il prodotto abbia un sufficiente volume da assorbire il costo per riarrangiare le varie facility in una linea e il costo dovuto al deprezzamento dell equipaggiamento mentre la linea è in essere. Spesso però molti prodotti non hanno una domanda sufficiente per giustificare una linea. Infatti, le macchine scelte per un processo in linea non sono facilmente adattabili per altri prodotti. La risposta a necessità diverse, dove si può avere a che fare con prodotti a domanda bassa o che richiedono variazioni sostanziali in tempi decisamente brevi, è data dall uso di job shop o dei così chiamati sistemi produttivi orientati al processo. In questo tipo di layout i reparti o centri di lavoro sono composti da macchine con caratteri simili tali da poter eseguire operazioni simili. In un processo di questo tipo un reparto può essere formato da torni, un altro da presse ed un altro ancora da macchinari per test termici. Parti di un prodotto assegnate ad uno stesso centro di lavoro possono richiedere lo stesso tipo di lavorazione con attrezzaggi diversi e tempi di set-up diversi. Sistemi produttivi di tipo tecnologie di gruppo possono essere utilizzati per convertire sistemi orientati al processo in sistemi preudo orientati al prodotto. Parti simili di un prodotto, ovvero parti che richiedono processi lavorativi simili, sono raggruppati insieme in quantità sufficienti da giustificare le loro macchine personali. Tale raggruppamento forma una cella di lavorazione che è atta a produrre esclusivamente questo insieme di parti. 1.2 Elementi costituenti un processo produttivo Un processo produttivo è caratterizzato da un insieme di operazioni. Ciascuna di queste operazioni richiede per il proprio processamento un insieme di risorse. L acquisizione delle risorse da parte dell azienda è un momento importante del processo produttivo dato che ad ogni risorsa

4 1.3. L USO DI MODELLI NEI SISTEMI DI PRODUZIONE 3 è associato un costo. Inoltre, la scelta di una risorsa tecnologicamente più avanzata di un altra può voler significare una maggior rapidità di esecuzione e precisione del processo a cui essa viene associata. 1.3 L uso di modelli nei sistemi di produzione I modelli matematici sono sviluppati per descrivere sistemi reali e risolvere problemi ad essi associati. E bene mettere in chiaro che un modello matematico non ha e non deve avere la funzione di sostituire il decisore, ma deve invece supportare quest ultimo fornendogli indicazioni utili, possibilmente in tempi veloci (almeno rispetto alla capacità di elaborazione umana), al fine di migliorare la qualità delle sue decisioni. Possiamo distinguere i modelli matematici in descrittivi o prescrittivi. I modelli di simulazione sono rappresentativi della classe dei modelli descrittivi, mentre modelli di programmazione matematica sono modelli di tipo prescrittivo. In generale i modelli descrittivi tendono ad essere molto utili laddove si vogliano costruire modelli molto realistici. Molto probabilmente potremmo dire la stessa cosa per i modelli prescrittivi, anche se essi tendono a diventare molto complessi all aumentare dei dettagli da incomporare e delle dimensioni dei problemi, perdendo la linearità e diventando molto complicati da risolvere all ottimo. Comunque, in generale, non sempre un modello matematico viene utilizzato per la ricerca della soluzione ottima, considerando che spesso le realtà sono complesse al punto che non permettono una loro completa rappresentazione. Piuttosto, essi sono usati per la ricerca di stime di questo valore ottimo, e per cercare di ottenere informazioni utili sul problema che si vuole risolvere.

5 4 CHAPTER 1. INTRODUZIONE

6 Chapter 2 La linea di produzione Come detto nel capitolo precedente una linea di produzione è un sistema produttivo caratterizzato dalla sequenzialità delle operazioni che si svolgono per la realizzazione delle unità finite. Nella sezione successiva daremo le definizioni dei parametri di base che giocano un ruolo determinante nella valutazione delle prestazioni di tali sistemi. Nella Sezione 2.2 introdurremo il dimensionamento di una linea di produzione come problematica fondamentale nella scelta del numero di stazioni di lavoro in cui la linea deve essere suddivisa. La trattazione prevederà l introduzione di vincoli che risulteranno caratteristici di un processo produttivo in linea e delle variabili decisionali che gestiscono tale problematica. Questi due ingredienti daranno origine alla formulazione matematica del problema del minimo numero di stazioni lavorative. Nella Sezione 2.3 si affronterà un problema successivo a quello della scelta delle stazioni lavorative, ovvero il bilanciamento dei carichi di lavoro delle stazioni di una linea, che porterà alla definizioni di coefficienti quali l inattività della linea e l efficienza della linea stessa. A partire da questo problema, dedicheremo nella sezione successiva spazio a come si possa passare da un formato di un problema decisionale ad un altro, cosa che nei sistemi manifatturieri ed in generale nei problemi reali trova molta applicabilità. 2.1 Il carico lavorativo, il tasso di produzione, le relazioni di incompatibilità Una linea di produzione è formata da una sequenza di stazioni lavorative all interno delle quali si svolgono le operazioni necessarie per la 5

7 6 CHAPTER 2. LA LINEA DI PRODUZIONE realizzazione fisica del prodotto. Definiamo come carico di lavoro di una stazione il tempo in cui essa è in lavorazione durante un ciclo, ovvero per la realizzazione di una unità di prodotto. Una volta che abbiamo associato ad ogni stazione un carico, possiamo individuare la stazione più lenta del processo produttivo come la stazione a cui corrisponde il carico massimo. L importanza di quest ultimo parametro sta nella definizione del tasso di produzione (o production rate) della linea, dato proprio dal reciproco di tale valore. Per esempio se il carico massimo è pari a 10 ore per pezzo il tasso di produzione è pari banalmente a 1 pezzo ogni 10 ore. Infine definiamo una relazione di precedenza tra due operazioni (k, k )d e indichiamo con k k il vincolo che non consente di cominciare il processamento di k se prima non sia terminato quello di k. 2.2 Dimensionamento di una linea di produzione Il problema del dimensionamento di una linea di produzione è fondamentalmente lagato alla ricerca del numero minimo di stazioni lavorative da attivare in linea. Il problema è il seguente: Dati un insieme di lavorazioni che la linea è incaricata di effettuare per la realizzazione di una unità di prodotto finito; i rispettivi tempi di processamento delle suddette operazioni; le specifiche di produzione; un insieme A di coppie di operazioni legate da relazioni di precedenza. Trova un assegnamento delle operazioni a stazioni di lavoro. Tale che siano verificate le specifiche di produzione, i vincoli di incompatibilità tra operazioni siano rispettati, e sia minimo il numero di stazioni attivate. Introduciamo una variabile decisionale binaria x ij che assume valore 1 se l operazione i viene assegnata alla stazione j e assume valore 0 altrimenti, e analizziamo vincoli ed obiettivi. La natura di una linea suggerisce una prima osservazione e cioè che ogni operazione deve essere assegnata ad una unica stazione lavorativa. Questo vincolo si può tradurre in termini di programmazione matematica

8 2.2. DIMENSIONAMENTO DI UNA LINEA DI PRODUZIONE 7 come segue: (1) T j=1 x ij = 1 i T, ovvero, fissata un operazione i, la variabile x ij deve valere 1 (e quindi i deve essere assegnata) in corrispondenza di una ed una sola stazione lavotativa j. Il lettore può notare la scelta fatta di considerare per ipotesi che esistano al più T stazioni lavorative da attivare, una per ognuna delle operazioni. Questa scelta è fatta (come si può intuire dalla lettura dei vincoli) per dare un limite alla valutazione delle sommatorie e al numero di vincoli che si riferiscono alle stazioni stesse. Avendo definito il carico di una stazione lavorativa j come il tempo che j impiega ad eseguire le operazioni che le sono state assegnate, si può scrivere un secondo vincolo di assegnamento come segue: (2) T i=1 x ij d i = C j j = 1,..., T, ovvero la somma delle durate delle operazione associate a j eguaglia il suo carico (notate come in questo caso sia cambiato l indice della sommatoria da j ad i). Dopo aver delineato i vincoli di assegnamento, possiamo definire i vincoli sulle specifiche si produzione. Indichiamo con il termine di c.m.t., carico massimo teorico, il parametro che definisce il tempo limite massimo che la stazione più lenta (ovvero quella più carica) può aver associato affinchè siano verificate le specifiche di produzione. Facciamo un esempio: immaginiamo che uno studio della domanda sul nostro prodotto indichi che il mercato è in grado di assorbire una produzione di circa 1000 unità all anno. Tale valore viene trasferito allo stabilimento di produzione dove i progettisti stanno realizzando la linea. Il parametro c.m.t. è ottenibile facilmente dalla trasformazione delle specifiche di produzione (1000 unità l anno) come segue: 356 giorni anno 1000 pezzi anno = 8 ore pezzi. Una volta calcolato c.m.t. si può facilmente scrivere il vincolo sul rispetto delle specifiche di produzione: (3) C j c.m.t. j = 1,..., T,

9 8 CHAPTER 2. LA LINEA DI PRODUZIONE ovvero il carico C j assegnato ad ogni stazione j deve essere non superiore al carico massimo teorico c.m.t.. Passiamo ora ai vincoli di precedenza tra operazioni. Come detto nella definizione del problema in esame, sia A l insieme delle coppie di operazioni legate da vincoli di precedenza, ovvero: A := {(k, k ) : k k, k, k T }. Per ogni coppia (k, k ) A si deve scrivere una relazione secondo cui l operazione k deve essere assegnata ad una stazione che non sia a monte di quella a cui è stata assegnata k. La relazione che cerchiamo è la seguente: (4) j x k j x kj j = 1,..., T, (k, k ) A. j =1 Analizziamo la correttezza del vincolo, con l ausilio della Figura in3inex1.wmf Sia (k, k ) A. Se l operazione k è stata assegnata alla stazione 3 (x k 3 = 1), affinchè sia verificato il vincolo di precedenza tra (k, k ) deve necessariamente verificarsi che l operazione k sia stata assegnata ad una qualunque delle stazioni precedenti o al limite alla stazione 3 stessa. Dato il vincolo (1) questo corrisponde alla scrittura di un or ovvero al verificarsi della seguente situazione: o k è assegnato alla stazione 1, o k è assegnato alla stazione 2, o k è assegnato alla stazione 3. Questo si traduce in 3 j =1 x kj = 1. Si può facilmente verificare che la relazione (4) soddisfa tale requisito: infatti, se il termine di sinistra della disuguaglianza vale 1, necessariamente anche il termine a destra dovrà valere 1 (1 non può essere minore od uguale a zero). Nel caso in cui il primo termine sia uguale a zero, ovvero nel caso in cui k non sia stata assegnata alla stazione j, allora il termine di destra potrà (come prevede la disuguaglianza) valere sia 0 che 1, ovvero l operazione k potrà o meno essere stata assegnata nelle stazione a monte di j. Definiti anche i vincoli sulle relazioni di precedenza, possiamo passare alla definizione della funzione obiettivo. Come specificato, il nostro goal sta nella minimizzazione del numero di stazioni da attivare. Introduciamo all uopo una variabile decisionale y j che assume valore 1 se la stazione j viene attivata e assume valore zero altrimenti. La funzione obiettivo si può facilmente scrivere come segue: T Min y j j=1

10 2.2. DIMENSIONAMENTO DI UNA LINEA DI PRODUZIONE 9 A questo punto, nonostante abbiamo terminato la scrittura del vincoli richiesti e della funzione obiettivo, dobbiamo terminare il nostro programma con una relazione che leghi la variabile decisionale x ij con la y j. Infatti, se non lo facessimo, la soluzione ottima sarebbe zero, in quanto tutte le y j si disporrebbero a zero senza violare nessun vincolo. Per poter definire tale relazione è sufficiente imporre che, qualora venga assegnata alla stazione j una qualunque operazione i, la stazione j debba essere attivata, ovvero y j = 1. In termini matematici: (5) x ij y j i T, j = 1,..., T. Infatti, se x ij vale 1 in corrispondenza di una certa operazione i e stazione j, y j varrà necessariamente 1, non potendo essere 1 0. Nel caso in cui x ij = 0, si può verificare che y j = 1 (un altra operazione attiverà j) o y j = 0 (nessuna altra operazione attiverà j). s.t. T j=1 x ij = 1 T y j j=1 Min i T T i=1 x ij d i = C j j = 1,..., T C j c.m.t. j x k j x kj j =1 j T j = 1,..., T, (k, k ) A x ij y j i T, j = 1,..., T x ij {0, 1} i T, j = 1,..., T y j {0, 1} j = 1,..., T Stime sul numero minimo di stazioni In un problema di minimizzazione possiamo trovare una sovrastima al problema, semplicemente calcolando una soluzione ammissibile. In altre parole, se utilizziamo una tecnica euristica otteniamo un valore che è

11 10 CHAPTER 2. LA LINEA DI PRODUZIONE maggiore od al limite uguale alla soluzione ottima (che indichiamo con N ) data dal modello di programmazione lineare a numeri interi presentato nella precedente sezione. Una sottostima invece, può essere calcolata rilassando uno o più vincoli nel modello e calcolando poi la soluzione ottima della funzione obiettivo sui vincoli rimanenti. Di seguito diamo due sottostime di N. Sia T O = T i=1 d i il tempo delle operazioni, ovvero la somma delle durate di tutte le operazione che costituiscono il processo. Una sottostima sul numero minimo di stazioni produttive è data dal seguente valore LB1 N : LB1 N = T O c.m.t.. In sostanza è come se cercassimo di saturare ogni stazione con il carico massimo teorico consentito c.m.t., essendo T O il tempo complessivo da distribuire. La parte intera superiore è conseguenza del fatto che anche una frazione di c.m.t. implica l apertura di una stazione lavorativa. Se volessimo ricondurre tale valore alla soluzione ottima di un rilassamento del programmi precedente, otterremmo il seguente rilassamento: T y j j=1 Min s.t. T j=1 x ij = 1 i T T i=1 x ij d i = C j j = 1,..., T C j c.m.t. j T x ij y j i T, j = 1,..., T x ij [0,..., 1] i T, j = 1,..., T y j {0, 1} j = 1,..., T Come si può notare sono stati rilassati due vincoli. Il primo, quello sulle relazioni di precedenza, è stato completamente eliminato, mentre il secondo, ovvero quello sull interezza della variabile x ij, è stato sostituito da una relazione più debole data da x ij [0,..., 1]. Infatti, la sottostima LB N ammette che un operazione i possa essere assegnata in

12 2.2. DIMENSIONAMENTO DI UNA LINEA DI PRODUZIONE 11 più stazioni come quota del suo ammontare d i, essendo tale quota proprio x ij d i. Così il vincolo T j=1 x ij = 1 assumerà un diverso significato rispetto a prima: le somme delle quote di i che sono assegnate a stazioni diverse dovono essere pari ad uno, ovvero la somma dei suoi contributi deve restituire il totale ammontare d i. Esempio. Si vuole progettare una nuova linea per l assemblaggio di computer. Questo lavoro richiede l esecuzione di 14 operazioni legate tra loro da vincoli di precedenza. Le durate delle operazioni e i vincoli di precedenza tra essi sono: Operazione Tempo richiesto (sec) Operazioni precedenti A 55 - B 30 A C 50 A D 42 A E 20 - F 25 - G 45 A,E,F H 60 B,C,D,G I 36 H J 42 H K 30 H L 40 J M 36 J N 40 I,K,L,M La linea di assemblaggio deve produrre 300 computer al giorno, ed è operante per 420 minuti ogni giorno. 420min 60sec Il c.m.t. è di 84 secondi. Infatti, dà il massimo tempo 300computer che si può impiegare per assemblare un prodotto. Dunque, non più di 84 secondi di lavorazione devono essere impiegati da ogni stazione di lavoro. Poichè, inoltre, T O = 551 secondi, il numero teorico di stazioni di lavorazione necessarie è dato da 551 = 6, 56 = Questo risultato rappresenta un lower bound, cioè un limite inferiore, sul numero di stazioni necessarie per realizzare la linea. Un metodo per trovare una soluzione ammissibile al problema è quello di rappresentare i vincoli di precedenza mediante un grafo orientato, e partendo dalle radici della foresta così ottenuta, assegnare ad ogni stazione di lavorazione richiesta il massimo lavoro possibile. L idea è alla base dell algoritmo euristico RPWT (Ranked Positional Weight Technique). L euristica procede nella seguente maniera:

13 12 CHAPTER 2. LA LINEA DI PRODUZIONE Step 1. Si costruisce il grafo delle precedenze tra i operazioni. Step 2. Per ogni operazione si calcola il peso posizionale, dato dalla somma dei tempi di quella operazione e di quelle che la seguono, direttamente o indirettamente. Step 3. Si sceglie l operazione con il peso posizionale più alto e lo si assegna alla prima stazione di lavoro. Step 4. Si sceglie l operazione con il successivo peso più alto e lo si assegna alla prima stazione di lavoro ammissibile (quella per cui la somma dei tempi delle operazioni ad essa assegnati non superi la sua capacità C max ); se tale stazione non esiste, bisogna crearne una nuova. Step 5. Si ripete lo Step 4 fino a che tutti le operazioni siano state assegnate. Dal calcolo dei pesi posizionali si hanno i valori in tabella. Si sceglie Operazione Tempo richiesto Peso posizionale A B C D E F G H I J K L M N prima l operazione A avente il peso posizionale maggiore, e lo si assegna alla stazione 1; si sceglie poi l operazione F avente il successivo peso posizionale maggiore, e lo si assegna alla stazione 1. La successiva operazione da scegliere è E, e lo si assegna alla stazione 2, in quanto la somma dei tempi di A, F, E è maggiore della capacitè di 1. Continuando il procedimento, si ottiene l assegnamento riportato in tabella. La soluzione trovata richiede l impiego di 8 stazioni di lavoro. Il collo di bottiglia della linea è rappresentato dalla stazione più carica, ossia 6, e quindi il tempo di ciclo del sistema è dato dal tempo impiegato su questa stazione, vale a dire 82 sec....bin packing

14 2.3. BILANCIAMENTO DEI CARICHI IN UNA LINEA DI PRODUZIONE13 Operazione Stazione di lavoro assegnata A 1 F 1 E 2 C 2 G 3 D 4 B 4 H 5 J 6 L 6 I 7 M 7 K 8 N Bilanciamento dei carichi in una linea di produzione Una volta stabilito il numero di stazioni lavorative relative al processo produttivo in linea, ci poniamo un problema immediatamente successivo in termini di importanza, ovvero il problema del bilanciamento dei carichi delle stazioni di una linea di produzione. Sia N N il numero di stazioni attivate, che soddisfi comunque i vincoli di cui nella Sezione 2.2. Definiamo carico medio µ di una linea di produzione come segue: µ = T O N = Nj=1 C j N, ovvero la media matematica sul numero di stazioni attivate del parametro T O. Definiamo inoltre il concetto di sbilanciamento SB j di una stazione j come lo scostamento del suo carico C j dal suo valore medio, ovvero: SB j = C j µ. Analogamente si definisce sbilanciamento di una linea: N SB linea = SB j, j=1 ovvero la somma degli sbilanciamenti delle singole stazioni. A questo punto si può parlare di bilanciamento di una linea come una ripartizione

15 14 CHAPTER 2. LA LINEA DI PRODUZIONE dei carichi di lavoro più omogenea possibile, al limite (se questo è possibile) esattamente uguali gli agli altri, ovvero: C j = µ j = 1,..., N. In quest ultimo caso particolare parleremo di bilanciamento perfetto. In questa sezione ci occuperemo di formulare il problema del bilanciamento dei carichi in una linea di produzione. In questo caso, la funzione obiettivo sarà immediatamente ottenibile dalle definizioni sopra date, e cioè: N Min C j µ = SB linea. j=1 Nel caso in cui esistesse un bilanciamento perfetto avremo un minimo pari a zero. Il modello matematico nella definizione dei vincoli rimane a questo punto molto simile a quello visto nella Sezione 2.2, semplifiato dal fatto che abbiamo una sola variabile decisionale. Ovvero: s.t. N Min C j µ = SB linea j=1 N x ij = 1 i T j=1 T i=1 x ij d i = C j j x k j x kj j =1 x ij {0, 1} j = 1,..., N j = 1,..., N, (k, k ) A i T, j = 1,..., N Si può notare che la funzione obiettivo è non lineare dato che contiene un modulo. Possiamo ovviare a questo problema, utilizzando una variabile decisionale di supporto. Infatti, definendo z j = C j µ, l obiettivo diventa: N N Min C j µ = z j. j=1 j=1

16 2.3. BILANCIAMENTO DEI CARICHI IN UNA LINEA DI PRODUZIONE15 Ora dobbiamo legare la nuova variabile ai vincoli. Per fare questo, sfuttiamo un passaggio intermedio e supponiamo che: z j C j µ. Questo vincolo è facilmente linearizzabile da questa coppia di vincoli: z j C j µ, z j µ C j. A questo punto, facendo attenzione al fatto che stiamo minizzando z j, andremo sempre a prendere il valore per cui z j = C j µ. Quindi i due vincoli sopra riportati con l obiettivo modificato sono esattamente gli oggetti che cercavamo, vale a dire quelli che rendono in forma lineare la funzione Min N j=1 C j µ. Si può notare come non abbiamo volutamente inserito il vincolo sul soddisfacimento delle specifiche di produzione. Infatti la funzione obiettivo del problema garantisce l implicito soddisfacimento di tale vincolo. Infatti, bilanciare i carichi delle stazioni lavorative implica in qualche modo che si spostino delle operazioni da stazioni più cariche verso stazioni meno cariche, nel tentativo di ridistribuire i tempi di lavorazione. Questo tentativo implica a sua volta in modo implicito la riduzione del carico massimo di lavorazione della linea. Risulta chiaro allora che così non rischieremo mai di superare il c.m.t., visto che stiamo muovendo le soluzioni in senso esattamente opposto. La formulazione di cui sopra può allora anche essere riscritta in questi altri termini: s.t. MinC max C max C j N x ij = 1 j=1 T i=1 x ij d i = C j j = 1,..., N i T j = 1,..., N

17 16 CHAPTER 2. LA LINEA DI PRODUZIONE j x k j x kj j =1 x ij {0, 1} j = 1,..., N, (k, k ) A i T, j = 1,..., N La differenza sostanziale tra l utilizzo della prima e di quest ultima formulazione consiste esclusivamente nel fatto che, se esiste un bilanciamento perfetto della linea, ambedue le formulazioni troveranno questa soluzione; viceversa, potrebbero restituire soluzioni non perfettamente identiche, anche se mai eccessivamente discordanti Trade-off tra dimensionamento e bilanciamento L obiettivo di dimensionamento di una linea di produzione non è in generale ottenibile utilizzando un obiettivo di minimizzazione del carico massimo su di un numero T di stazione lavorative. Questo è intuibile dal fatto che più stazioni si hanno a disposizione e più ne verranno utilizzate dato che questo comporta un minor carico di lavoro per le stazioni e quindi un conseguente riduzione del carico massimo. Il caso limite delle T stazioni è quello a cui corrisponde il minor carico possibile per stazioni attivate, dato che il carico massimo coinderebbe con la massima durata delle operazioni e non può essere più piccolo di questo valore. Dall altra parte meno sono le stazioni lavorative attivate e più queste saranno cariche, fino ad arrivare al caso limite di avere un unica stazione che rappresenta il massimo carico assuluto che si può avere, e che corrisponde al tempo delle operazioni T O. 2.4 Rappresentazione e soluzione di un problema di bilanciamento Un problema di bilanciamento può essere rappresentato e risolto come segue. Supponiamo di avere tre operazioni di durata rispettivamente 4in3inex8.wmf d 1 = 2, d 2 = 3 e d 3 = 5, da assegnare a due stazioni lavorative, e supponiamo che il grafo delle precedenze sia una catena (1 precede 2, 2 precede 3). Si costruisce un grafo avente due livelli, uno per ogni stazioni lavorativa, e ciascun livello è formato da un numero di nodi pari al numero di sottoinsiemi ammissibili (che rispettano le precedenze) dell insieme delle

18 2.4. RAPPRESENTAZIONE E SOLUZIONE DI UN PROBLEMA DI BILANCIAMENTO17 operazioni. Nel nostro caso sono sei: {1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, {2}, {2, 3}, {3}, e sono rispettivamente rappresetati dai nodi riportati in figura. Si introducono poi due nodi fittizi (una supersorgente e un superpozzo). La supersorgente è legata a tutti i nodi che hanno come operazione più piccola 1, e il superpozzo è raggiunto da tutti i nodi dell ultimo livello che hanno come operazione più grande 3 (ovvero l ultima della catena). A questo punto esiste un arco tra un nodo di un livello i e un livello i+1 se e solo se, chiamata h l operazione più grande del nodo nel livello i, il nodo nel livello i + 1 ha come operazione più piccola h + 1. Ogni arco viene pesato con un valore pari a C j µ, dove C j si riferisce al carico della stazione a cui appartiene il nodo puntato dall arco ed è ottenuto dalla somma delle operazioni rappresentate da quel nodo. Nel caso in esame, l arco che parte dalla supersorgente e punta vetrso il nodo del primo livello più in alto, ha un peso pari a 2 5 = 3, dove 10 è la somma dei tempi associati alle operazioni rappresentate dal nodo puntato e cioè 2 (d 1 = 2), mente 5 è il carico medio (µ = = 5). Inoltre, ogni arco 2 che parte da un nodo nell ultimo livello verso il superpozzo ha peso nullo. Sul grafo così costruito è sufficiente calcolare il cammino minimo dalla supersorgente al superpozzo in quando esso minimizzerà N j=1 C j µ. I nodi appartenenti al cammino minimo in corrispondenza ad ogni livello indicheranno le operazioni da assegnare alle stazioni corrispondenti. Nell esempio in esame il cammino minimo avente come sorgente la supersorgente, passa per il nodo del primo livello corrispondente all insieme {1, 2}, per il nodo del secondo livello corrispondente all insieme {3}, e termina nel superpozzo. Tale soluzione è un bilanciamento perfetto Trasformazione di formati Un primo tipo di trasformazione che presentiamo è quella legata alla risoluzione di un problema di cammino minimo con un risolutore di modelli di assegnamento. Questo può essere utile nei casi in cui il solver che utilizziamo sia dedicato a questa classe di problemi piuttosto che a problemi di cammino su reti. Supponiamo allora di voler trasformare il problema esaminato nella precedente sezione in un problema di assegnamento a minimo costo. Dopo aver numerato topologicamente i nodi dei grafo originario, costruiamo un nuovo grafo bipartito così fatto: Si può notare che l insieme dei nodi dell insieme V 1 dei nodi di sinistra contiene i nodi del grafo originario dal numero 1 al numero n 1, e

19 18 CHAPTER 2. LA LINEA DI PRODUZIONE l insieme V 2 dei nodi di destra contiene i nodi dal numero 2 al numero n. Esiste un arco tra coppie di nodi da V 1 a V 2 se e solo se esiteva nel grafo origiario e inoltre si aggiungono n 2 archi fittizi a costo zero, rispettivamente da 2 verso 2, da 3 verso 3,..., da n 1 a n 1. Si verifica facilmente che un assegnamento a costo minimo su tale grafo è un cammino minimo sul grafo precedente. Infatti, dall assegnamento ottimo ottenuto rimuovendo gli archi fittizi a costo zero (che non danno nessun contributo alla funzione obiettivo), rimangono degli archi che formano una catena rappresentante proprio il cammmino cercato. Così il problema originario di bilanciamento può essere riformulato come segue: V 1 V 2 Min c ij x ij i=1 i=j s.t. V 1 x ij = 1 j V 2 i=1 V 2 x ij = 1 i V 1 j=1 x ij {0, 1} i V 1, j V 2 Un altra interessante trasformazione di formati è quella relativa all equivalenza tra variabili decisionali. Sia x ij la variabile di assegnamento usata fino ad ora, e sia y kk una variabile che assume valore 1 se l operazione k viene eseguita prima di k e, assume valore zero altrimenti. Ora definiamo il vincolo di precedenza tra due operazioni utilizzando ambedue le variabili. Nel caso di una variabile di assegnamento si avrà: j j x kj x k j j = 1,..., N, (k, k ) A, j=1 j=1 mentre nel caso di una variabile di tipo y kk la relazione è più immediata: y kk = 1 (k, k ) A Esaminiamo il primo vincolo per una coppia (k, k ) di operazioni incompatibili (ovvero non eseguibili simultaneamente ma non è stabilito a

20 2.4. RAPPRESENTAZIONE E SOLUZIONE DI UN PROBLEMA DI BILANCIAMENTO19 priori se sia k a dover essere eseguita prima o dopo di k ) supponendo che k k : j j x kj x k j j=1 j=1 j = 1,..., N Portando a sinistra il secondo termine di ha: j j x kj x k j 0 j=1 j=1 j = 1,..., N Inoltre sommando tutti i vincoli si ha N j j ( x kj x k j) 0 j =1 j=1 j=1 A questo punto esplodiamo le somme come segue: j = 1 x k1 x k 1 j = 2 x k1 + x k2 x k 1 x k 2... j = N x k x kn x k 1... x k N Sommando i valori si ottiene: N(x k1 x k 1) + (N 1)(x k2 x k 2) (x kn x k N) 0 Definiamo α kk pari alla quantità N(x k1 x k 1)+(N 1)(x k2 x k 2)+...+ (x kn x k N). Poichè sia x kj che x k j possono valere 1 in corrispondenza di una sola j allora si avrà che 0 α kk (N 1). Quenso ci porta a stabilire che: y kk = 1 α kk 0 che equivale a: α kk (y kk 1)(N 1), e y kk = 0(y k k = 1) α kk 0 che equivale a: α kk (1 y k k)(n 1)

21 20 CHAPTER 2. LA LINEA DI PRODUZIONE 2.5 Ulteriori vincoli in fase progettuale Talvolta può accadere che a causa di problemi di sicurezza, di richiesta di particolari equipaggiamenti o di skill di operatori, si vogliano assegnare coppie di operazioni a stesse stazioni di lavoro. Dall altra parte certe coppie di operazioni non devono essere assegnate alla stessa stazione di lavoro. Si può considerare, ad esempio, un prodotto che necessita di alcune operazioni su un lato e di altre operazioni sul lato opposto. Indichiamo con SS e con SD rispettivamente l insieme delle coppie di operazioni che devono essere eseguite nella stessa stazione e delle coppie che invece devono essere eseguite in stazioni diverse. Siamo interessati adesso alla determinazione di vincoli che regolino i suddetti insiemi. Nel caso di coppie (k, k ) di operazioni in SS si deve verificare che un assegnamento dell operazione k alla stazione j deve f orzare l assegnamento di k a j e viceversa. Mentre il non assegnamento di k a j deve forzare il non assegnamento di k a j e viceversa. Quindi sarà sufficiente imporre che le variabili di assegnamento associate alle operazioni k e k assumano gli stessi valori (o entrambe 1 o entrambe 0), vale a dire: x kj = x k j j = 1,..., N, (k, k ) SS. La formulazione del vincolo sulle coppie DS non è più complicata. Basterà infatti scrivere un vincolo di or esclusivo sulle variabili di assegnamento legate alle coppie (k, k ) DS su ognuna delle stazioni, ottenendo: x kj + x k j 1 j = 1,..., N, (k, k ) DS, cioè x kj e x k j non possono valere contemporaneamente 1. Un ultima osservazione ci porterà ad introdurre la prossima sezione. Nel caso di SS avremmo potuto utilizzare anche un espressione equivalente del tipo: N x kj x k j = 1 j=1 (k, k ) SS, In questa riscrittura del vincolo si può notare come sia scomparso j = 1,..., N, essendo questo incorporato nella sommatoria. Nonostante questo si traduca in un minor numero di vincoli, il lettore si può facilmente accorgere della presenza di una non linearità, ed in particolare di come il vincolo sia diventato quadratico. Questa apparente difficoltà può essere superata linearizzando i vincoli al prezzo di introdurre ulteriori variabili (vedi anche quanto fatto nella Sezione 2.3).

22 2.6. FORMULAZIONI DI VINCOLI LOGICI Formulazioni di vincoli logici Prendiamo le mosse dal problema sollevato nella sezione precedente, ovvero della linearizzazione del vincolo N j=1 x kj x k j = 1, (k, k ) SS. Facendo attenzione al suo significato ci accorgiamo che esso altro non è che un vincolo and. Vogliamo sostituire il vincolo N j=1 x kj x k j = 1, (k, k ) SS con N j=1 z j kk = 1, (k, k ) SS. Per rendere la trattazione più semplice faremo uso di tabelle di verità. La tabella si legge x kj x k j z j kk per riga: i primi due valori sono i possibili valori assegnabili a x kj e x k j ed il terzo valore nella colonna è quello che deve assumere z j kk nella conversione. Ovviamente solo quando x kj = 1 e x k j = 1, z j kk varrà 1. Possiamo scrivere i seguenti due vicoli: z j kk x kj + x k j 2 z j kk x kj + x k j 1. Il primo vincolo verifica le prime tre righe ed è indifferente alla quarta, mentre il secondo vincolo verifica la quarta riga ed è indifferente alle prime tre. Passiamo ora alla formulazione di una relazione che abbiamo già incotrato nella Sezione 2.3 quando abbiamo legato le due variabili x ij e y j : l implicazione. La relazione di implicazione tra due variabili (ad esempio x ij e y j ) ha la seguente tabella di verità: x ij y j Ricordandoci di quanto detto nella sezione di cui sopra, il vincolo lineare che soddisfa l implicazione si può quindi scrivere: x ij y j.

23 22 CHAPTER 2. LA LINEA DI PRODUZIONE In Figura 2 è riportata la rappresentazione geometrica della relazione and, dove i punti in neretto indicano le soluzioni ammissibili. 4.5in3inex3.wmf Di seguito consideriamo la tabella di verità dell or tra due variabili x e y: x y z Le relazioni sono: z x + y z x + y. 2 La prima soddisfa la prima riga e non inflenza le altre tre, mentre la seconda soddisfa le seconde tre righe senza violare la prima riga. Passiamo ora alla tabella di verità dell or esclusivo tra x e y: x y z Le relazioni sono: z x + y z y x z x y z 2 x y. In quest ultimo caso abbiamo usato quattro iperpiani per tagliare via le soluzioni non ammissibili. Ciascuno verifica una relazione della tabella di verità (il primo la prima, il secondo la seconda, e cosìvia) senza violare le altre.

24 2.7. ALCUNI CASI DI STUDIO Alcuni casi di studio Questa sezione contiene tre problemi ciascuno dei quali richiede sia l uso di informazioni già esaminate che l elaborazione di nuove. Può essere un buon esercizio quello di risolvere tali problemi. A valle è presente una discussione sulle soluzioni dei tre casi di studio Problema 1 Un azienda produce componentistica elettronica. Il processo produttivo prevede l esecuzione di un certo numero di operazioni in linea O = {op 1, op 2,..., op m } parzialmente preordinato. Viene definito quindi un insieme P O che identifica coppie di operazioni ordinate. P O={(i, j): l operazione i deve precedere l operazione j}. Per poter eseguire le suddette operazioni O, sono disponibili K stazioni di lavoro. Per problemi di richiesta di particolari attrezzaggi, coppie di operazioni devono essere eseguite necessariamente nella stessa stazione di lavoro; tali coppie di operazioni vengono indicate con SS: SS={(i, j): le operazioni i e j devono essere eseguite nella stessa stazione di lavoro}. Per problemi relativi al particolare processamento di alcuni operazioni, coppie di queste devono essere eseguite su differenti stazioni di lavoro: indichiamo con DS le coppie di operazioni sottoposte a tali vincoli: DS={(i, j): l operazione i e l operazione j devono essere eseguite su due differenti stazioni}. 1) Formulare il problema di dimensionamento dell impianto al numero minimo di stazioni lavorative; 2) Supponendo che l assegnamento di una operazione i ad una stazione di lavoro k comporti un costo c ik formulare il problema della minimizzazione del costo totale (somma dei costi di assegnamento) dove alle stazioni k = 1,..., K non è consentito superare un certo carico di lavoro C. 3) Dare una rappresentazione del problema su grafo, motivando successivamente una possibile soluzione del problema Problema 2 In una linea di produzione con 4 centri di lavoro [CL1, CL2, CL3, CL4] deve essere prodotto un tipo di componente che richiede, per ogni unità prodotta, una sequenza di 10 operazioni che possono essere eseguite su uno o più CL. (Vedi il grafo di compatibilità in figura, con le durate

25 24 CHAPTER 2. LA LINEA DI PRODUZIONE in minuti delle operazioni, supposte indipendenti dal CL cui sono state eseguite). Il production rate richiesto è tale da saturare la linea: 1 com- 4.5in3inex2.wmf ponente ogni 12 minuti. Il problema è quello di assegnare le operazioni ai CL in modo da perseguire i seguenti obiettivi: 1) Bilanciamento dei carichi di lavoro, 2) Minimizzazione del work in progress. 3) Motivare gli obiettivi scelti. 4) Individuare le possibili soluzioni e confrontarle Problema 3 Un azienda produce macchine da giardinaggio. Il processo produttivo prevede l esecuzione di un certo numero di operazioni in linea O = {op 1, op 2,..., op m } preordinato in modo tale che ogni operazione op i O precede l operazione immediatamente successiva op i + 1. Le suddette operazioni devono essere eseguite da una linea di produzione avente n stazioni di lavoro. Il numero di operazioni m è maggiore del numero di stazioni di lavoro della linea. Sono assegnati i tempi di processamento di ogni operazione t i. 1) Formulare il problema di dimensionamento della linea al numero minimo di stazioni lavorative attivate con il vincolo di non superare un certo carico massimo C max per ognuna delle stazioni e considerando che le operazioni op i e op i + 1 devono essere eseguite necessariamente nella stessa stazione lavorativa. 2) Supponete che esista un insieme S O di operazioni tale che viene generato un costo c se un operazione i S venga assegnata ad una stazione di lavoro come ultima operazione da processare. Formulare il problema di bilanciamento della linea con il vincolo di non superare un costo fissato B Analisi di alcuni aspetti dei problemi proposti Un analisi particolare viene risolvata al punto 2 del problema 3. In questo contesto vogliamo bilanciare i carichi di lavoro di una linea dove il grafo delle precedenze tra le operazioni è una catena, con un vincolo particolare di costo: viene generato un costo c qualora un operazione i S (dove S O) venga assegnata ad una stazione di lavoro come ultima

26 2.8. COEFFICIENTI DI INATTIVITÀ E DI EFFICIENZA 25 operazione da processare. Prima di capire come tale vincolo possa essere formulato, diamo un esempio in quale contesto questa situazione può verificarsi. Uno scenario possibile può essere quello in cui ci sia la necessità di dover mantenere il pezzo in lavorazione tra l operazione op i e op i + 1 ad una elevata temperatura, mentre durante il trasporto da una stazione ad un altra la sua temperatura potrebbe abbassarsi, con il conseguente bisogno di innalzare la sua temperatura (e quindi un costo di lavorazione maggiore). Paghiamo un costo c quando x ij = 1 e x (i+1)(j+1) = 1, ovvero quando assegnamo i S ad una stazione j e i + 1 alla stazione successiva j + 1. Infatti, poichè i e i + 1 sono strettamente sequenziali, aver assegnato i a j e i + 1 a j + 1 implica che i è l ultima operazione in j e i + 1 è la prima in j + 1. Sommando tutte le occorrenze di questo and sulle stazioni da 1 fino a N 1 pesandole ogni volta con c si ottiene il costo totale come segue (vedi anche Figura 4): N 1 c j=1 x ij x (i+1)(j+1). 4.5in3inex4.wmf Il vincolo di costo è quindi il seguente: N 1 (c x ij x (i+1)(j+1) ) B. i S j=1 Si può pensare ad una linearizzazione di tipo and, come esposto nella Sezione Coefficienti di inattività e di efficienza Definiamo coefficiente di inattività di una stazione: I j = C max C j C max, e analogamente il coefficiente di inattività di una linea: I linea = Nj=1 I j N,

27 26 CHAPTER 2. LA LINEA DI PRODUZIONE ovvero la media dei coefficienti di inattività delle singole stazioni. Da qui si definisce l efficienza della linea: ν = 1 1 I linea. E rilevante notare che nel caso in cui la linea sia perfettamente bilanciata, ν = 1 ovvero l efficienza è massima dato che I linea = Work in process e tempo di attraversamento Definiamo tempo di attraversamento T A di un pezzo in una linea di produzione come la differenza tra il suo tempo di uscita dalla linea e il suo tempo di ingresso. Una sua sottostima è chiaramente data da T O dato che ogni pezzo deve subire tutte le operazioni. Ovviamente, questa rimane una sottostima a causa dei tempi di attesa che il pezzo può avere sulla linea dovuti alla presenza di collo di bottiglia a valle della sua attuale posizione di lavorazione. In generale vale la seguente relazione: T A = p C max + N j=p+1 dove p rappresenta la posizione della stazione a cui corrisponde il carico massimo C max. Da questa relazione si deduce che, se la stazione più carica si trova a valle, si avrà un tempo di attraversamento più svantaggioso (più alto) e al limite pari a N C max, mentre se si trova a monte si avrà un T A vantaggioso (più basso) al limite pari proprio a T O. A partire dal tasso di produzione e dal tempo di attraversamento è possibile stabilire una delle più importanti relazioni che regolano i sistemi manifatturieri, nota come legge di Little dal suo autore (Little 1961): work in process=(tempo di attraversamento)*(tasso di produzione). C j, 2.10 Vincoli temporali sulla linea. Linee push e pull Siano dati m pezzi da lavorare su di una linea di produzione, e siano assagnati i tempi d ij di lavorazione di ogni pezzo in ogni stazione.

28 2.11. SEQUENZIAMENTO IN UNA LINEA DI PRODUZIONE 27 Introduciamo le variabili w ij e h ij con il seguente significato: w ij tempo di ingresso del pezzo i nella stazione j, e h ij tempo di uscita del pezzo i dalla stazione j. Possiamo scrivere l equazione che gestisce i tempi di ingresso e uscita dalle stazioni per il generico pezzo. Sia m,..., 1 la sequenza dei pezzi in input sulla linea. Si ha che: w ij = max{h i(j 1), h (i 1)j } ovvero il tempo di ingresso del pezzo i nella stazione j è pari al massimo tra il tempo di uscita di i dalla stazione precedente j 1 (quando la stazione j è libera) e il tempo di uscita del pezzo (i 1), ovvero il pezzo che lo precede, dalla stazione j (quando la stazione j è occupata dal pezzo (i 1). A partire da queste variabili si possono caratterizzare due tipologie di linee: la linea push e la linea pull. La linea push ha una autonomia decisionale decentralizzata, ovvero ogni stazione lavora i pezzi appena possibile e li invia alla stazione successiva. Questo prevede l utilizzazione di buffer intermedi dove immagazzinare i pezzi che non possono accedere alle stazioni successive. Le linee pull invece sono caratterizzate da una maggiore automazione essendo gestite in modo centralizzato: ogni stazione ha un ben preciso tempo di inizio lavorazione di un pezzo e un ben preciso tempo i fine lavorazione di un pezzo, che potrebbero permettere di operare senza scorte interoperazionali. I tempi sono calcolti a partire dai tempi di consegna, confidando sui tempi di lavorazione e sui tempi di disponibilità dei pezzi. Quindi la linea push è può essere associata al vincolo temporale: mentre la linea pull al vincolo: h ij = w ij + d ij h ij w ij + d ij Nella sezione successiva viene esaminato come definire una sequenza di input dei pezzi per la minimizzazione del tempo di completamento Sequenziamento in una linea di produzione Il problema di sequenziamento tipico in un flow shop è il seguente. Siano dati n pezzi da lavorare e k macchine; ogni pezzo richiede un tempo di

29 28 CHAPTER 2. LA LINEA DI PRODUZIONE lavorazione su ogni macchina: ad esempio per il pezzo i: (t 1 i, t 2 i,..., t k i ). Trovare il sequenziomento dei lavori che minimizza il tempo di fine. Il problema è NP -completo, a meno che k = 2. In tal caso esistono delle condizioni di ottimalità che ci consentono di risolvere il problema in tempo polinomiale (teorema di Johnson). Supponiamo che i e j siano i primi due pezzi da lavorare (si suppone che tutti i pezzi siano disponibili in qualsiasi momento), e indichiamo con α i e β i rispettivamente il tempo di lavorazione di i sulla macchina 1 e 2. Se i j, ovvero se i viene processato prima di j si ha (vedi figura): 4.5in3inex5.wmf 4.5in3inex6.wmf se j i si ha invece: α i + max{β i, α j } + β j, α j + max{β j, α i } + β i. Mi conviene quindi eseguire i prima di j se: α i + max{β i, α j } + β j α j + max{β j, α i } + β i = α i + β j max{β j, α i } α j + β i max{β i, α j } = min{α i, β j } min{α j, β i }. Passiamo alla formulazione del problema. Sia F j il tempo di fine di lavorazione dell unità in posizione j sulla macchina 1, e sia G j il tempo di fine di lavorazione dell unità in posizione j sulla macchina 2. Sia inoltre x ik uguale a 1 se l unità i è assegnata alla posizione k, ed uguale a zero altrimenti. Poichè vogliamo stabilire un assegnamento di unità a posizioni, scriveremo subito i seguenti vincoli: n x ik = 1 i=1 n x ik = 1 k=1 i k.

30 2.11. SEQUENZIAMENTO IN UNA LINEA DI PRODUZIONE 29 Inoltre, in base alle considerazioni fatte all prima di passare alle formulazione si ha che: e n F j = F j 1 + x ij α i (F 0 = 0), i=1 ovvero: n n G j = max{g j 1 + x ij β i, F j + x ij β i } (G 0 = 0), i=1 i=1 n G j G j 1 + x ij β i, i=1 n G j F j + x ij β i. i=1 L obiettivo sarà quello di minimizzare il tempo di fine del pezzo in ultima posizione, ovvero: MinG n Esempio. Un azienda lavora su una commessa relativa ad un prototipo di un nuovo acceleratore di particelle. Tale prodotto si compone di cinque componenti A, B, C, D, E prodotti da altrettante ditte subcommittenti. Si tratta di componenti estremamente ingombranti e delicati, che richiedono, per il trasporto, particolare cura. Un TIR dell azienda verrà utilizzato per ritirare ciascuno dei cinque componenti dalle rispettive ditte che li hanno prodotti. A causa della delicatezza e dell ingombro, viene dedicato un viaggio diverso al ritiro di ogni componente. Una volta portato ciascun componente in azienda, questo deve essere collaudato da un macchinario apposito. Quando tutti i componenti sono stati collaudati, è possibile finalmente effettuare la fase finale di assiematura. Dati i tempi necessari per prelevare A, B, C, D, E che sono rispettivamente 2, 3, 4, 5 e 7 giorni; i tempi di collaudo che sono rispettivamente 6, 6, 5, 3 e 5 giorni; inoltre la fase finale di assiematura e la consegna richiedono, complessivamente, un altro giorno. L azienda dispone di un solo TIR.

31 30 CHAPTER 2. LA LINEA DI PRODUZIONE Trova il minimo tempo di consegna del prodotto finito. Il ritiro e il collaudo di ciascun componente sono assimilabili a due operazioni da effettuarsi in sequenza su ogni componente, e dunque a un flow shop costituito da due macchine. Il problema può essere risolto applicando l algoritmo di Johnson (French, 1982). Dato un flow shop con due macchine, sia J l insieme di n lavori che devono essere effettuati. Per ogni lavoro j, si indichi con a j e b j il tempo di lavorazione di j sulla prima macchina e sulla seconda macchina rispettivamente. L algoritmo di Johnson trova la sequenza che minimizza il tempo di completamento, e può essere schematizzato come segue: Step 1. k = 1, l = n. Step 2. Sia S la lista di lavori non ancora assegnati alla sequenza. Step 3. Trova, in S, il più piccolo valore dei tempi a j e b j. Step 4. Se a j è il più piccolo: - Assegna il lavoro J i corrispondente alla k-esima posizione della sequenza. - Elimina J i da S. - Poni k = k Vai allo Step 6. Step 5. Se b j è il più piccolo: - Assegna il lavoro J i corrispondente alla l-esima posizione della sequenza. - Elimina J i da S. - Poni l = l 1. Step 6. Se l insieme S non è vuoto vai allo Step 3, altrimenti stop. La sequenza di Johnson si costruisce dagli estremi verso il centro. Il tempo più basso in assoluto è quello del ritiro di A (2 giorni), che dunque verrà posto all inizio della sequenza: A Quindi, abbiamo il ritiro di B e il collaudo di D che durano ambedue 3 giorni. Possiamo quindi porre B subito dopo A e D in fondo alla sequenza: A B D Il tempo più basso è ora il ritiro di C (4 giorni), che viene dunque posto in coda a B. Si ottiene perciò:

32 2.12. GESTIONE DEI TEMPI DI SET UP 31 A B C E D Il tempo di completamento è pari a Gestione dei tempi di set up Nelle due sezioni precedenti si è supposto che i tempi di processamento dei pezzi nelle stazioni comprendessero anche i tempi di set up, ovvero i tempi di preparazione delle stazioni per le lavorazioni sul pezzo successivo. Ci sono molte situazioni in cui i tempi di set up diventano invece rilevanti, e in questi casi si vuole trovare il sequenziamento dei pezzi che minimizza il tempo di completamento totale. Si può ricondurre il problema ad un problema di Travelling Salesman Problem (TSP): un commesso viaggiatore deve visitare un insieme di città, passando per ogni città una sola volta, tornando alla città di partenza con l obiettivo di minimizzare la distanza percorsa. È importante notare che stiamo considerando i tempi di lavorazione come un costo fisso che deve essere necessariamente sostenuto qualunque sia l ordine di visita prescelto. Risolvere il nostro problema equivale, quindi, a minimizzare la somma dei tempi di set up. Sia G il grafo ottenuto considerando le stazioni (o le macchine) come i nodi da visitare e i tempi di set up come le distanze da percorrere fra un nodo e l altro. L unica differenza rispetto al problema del TSP è che, in questo caso, non è previsto il ritorno al nodo iniziale. A ciò si può ovviare facilmente aggiungendo un nodo 0 e per ogni nodo j = 1,..., n un arco di ritorno con costo c j0 = 0. Il problema è, quindi, quello di trovare, sul grafo G, un ciclo hamiltoniano (un cammino che passi per tutti i nodi di G una ed una sola volta) di costo complessivo minimo. Una formulazione del problema è ottenibile definendo le variabili intere x ij pari ad 1 se l operazione j viene effettuata subito dopo l operazione i, e 0 altrimenti. Sia Γ(i) l insieme dei successori (diretti) di un nodo i e sia Γ 1 (i) l insieme dei predecessori (diretti) di i. Ogni nodo i deve avere un ed un solo succesore, ed un ed un solo precedessore. Valgono allora i seguenti vincoli: j Γ(i) j Γ 1 (i) x ij = 1 x ji = 1 i = 0,..., n i = 0,..., n