Esercizi sui numeri complessi per il dodicesimo foglio di esercizi

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1 Esercizi sui umeri complessi per il dodicesimo foglio di esercizi 6 dicembre Numeri complessi radici ed equazioi Ricordiamo iazitutto che dato u umero complesso z = x + iy, il suo coiugato, idicato co z è il umero complesso z = x iy. Risulta allora che z 2 = zz, e che z 1 = z/ z 2. Ricordiamo ache che, se z = x + iy, il umero reale x si chiama la parte reale di z, i simboli, Rz = x, metre il umero reale y si chiama parte immagiaria di z, i simboli Iz = y. Ricordiamo ifie che ogi umero complesso può essere espresso ella forma z = ρ(cos θ + i si θ), dove ρ = z è la distaza di z dall origie e θ (determiato a meo della aggiuta di u multiplo itero di 2π) è l agolo (espresso i radiati) che il vettore di compoeti Rz e Iz forma co l asse delle x. Esercizio 1 Calcolare il modulo dei segueti umeri complessi: 1 2i, 1 2i i 2, i 2i 3, i(1 + i i)2, i i 2 i 1, i (i + 1)(2i 1) Nell ambito dello studio delle fuzioi di variabile reale abbiamo defiito, per ogi itero positivo, la fuzioe, defiita per valori o egativi di x, f(x) = x 1/ = x, come il umero o egativo f(x) tale che (f(x)) = x. Questa fuzioe risulta defiita per tutti i valori o egativi di x ed assume solo valori o egativi. Queste restrizioi soo state adottate perché eravamo iteressati a defiire e studiare ua fuzioe e o a trovare tutti i umeri t tali che t = x (ache perché sapevamo che il problema di trovare tutti i umeri t tali che t = x o avrebbe avuto ua soluzioe completa ei umeri reali, i quato, ad esempio l equazioe t 2 = 1 o ha soluzioi reali.) 1

2 Ua volta itrodotti i umeri complessi vale ivece la pea di porci il problema di trovare tutti i umeri (complessi) z che soddisfao all equazioe: z = w, (1) dove è acora ua volta u itero positivo e w è u umero complesso assegato. Per risolvere questo problema dobbiamo ricordare la formula che ci forisce la forma trigoometrica di z a partire dalla forma trigoometrica di z. Ricordiamo cioè che se allora z = ρ(cosθ + i si θ), z = ρ (cos θ + i si θ). (2) Questa formula è ua cosegueza delle formule di addizioe di si θ e cos θ, che ci permettoo di dire che (cos(α + β) + i si(α + β)) = (cos α + i si α)(cos β + i si β). Ua volta itrodotta la otazioe (cosiddetta formula di Eulero) e iθ = cos θ + i si θ, la stessa formula può essere vista come ua cosegueza della proprietà dell espoeziale di trasformare le somme i prodotti, e cioè come ua cosegueza della formula e i(α+β) = e iα e iβ. I ogi caso, teuto coto della (2) e posto w = R(cos φ + i si φ), la (1) diviee ρ (cos θ + i si θ) = R(cos φ + i si φ), (3) dalla quale si ricava ρ = R, θ = φ + 2kπ. I altre parole le soluzioi della (1) o equivaletemete della (3) soo tutti i umeri z esprimibili come z = R(cos θ + i si θ), dove θ = φ + 2kπ, 2

3 per qualche itero k. Apparetemete al variare di k sui umeri iteri si presetao ifiite soluzioi perché soo ifiiti i possibili valori di θ. Tuttavia è facile covicersi che se k varia su valori cosecutivi, ad esempio k = 0, 1,... 1 si esauriscoo i valori di θ che dao luogo a valori diversi di cos θ + i si θ. Possiamo quidi idetificare soluzioi diverse della (1) e precisamete, per k = 0,..., 1, z k = R(cos φ + 2kπ + i si φ + 2kπ ). I particolare, se = 2, se cioè siamo iteressati alle radici quadrate del umero w = R(cos φ + i si φ), avremo le due soluzioi z 1 = R(cos φ/2 + i si φ/2), e z 2 = R(cos(φ/2 + π) + i(si(φ/2 + π)). Si può osservare a questo puto che z 1 = z 2, i quato e iφ/2+π = e iφ/2 e iπ = e iφ/2. Esercizio 2 Trovare tutte le soluzioi delle segueti equazioi: z 2 = i, z 3 = 1, z 2 = 2 2i, z 4 = 1 + i 3, z 2 = 1 z 3 = 1, z 4 = 1, z 8 = 1. L esisteza di radici -esime di ogi umero complesso diverso da zero si applica aturalmete ache alle radici quadrate. Questo ci permette di verificare che la formula risolutiva per le equazioi di secodo grado cotiua a valere ache quado si tratta di u equazioe a coefficieti complessi. I altre parole possiamo cosiderare l equazioe z 2 + βz + γ = 0, (4) dove β e γ soo umeri complessi, e verificare che le soluzioi soo forite dalla formula z = β + β 2 4γ. (5) 2 Si parla di due soluzioi perché le radici quadrate di u umero complesso, diverso da zero soo due, ua opposta dell altra. Pertato, se β 2 4γ 0 l espressioe β 2 4γ corrispode a due valori distiti. (Ricordiamo che el caso di equazioi a coeffieti reali questi due valori erao idicati esplicitamete co il simbolo ±, perché i ambito reale il simbolo. viee usato per idicare la radice quadrata o egativa di u umero o egativo) 3

4 Esercizio 3 Trovare le soluzioi delle segueti equazioi z 2 + 3iz + 4 = 0, z 2 + 2z + 1 i = 0, z 2 + (1 + i)z + i = 0. Esercizio 4 Dimostrare che se il poliomio p(z) = z + a 1 z a 0, ha coefficieti reali, ed il umero complesso α è ua radice del poliomioo (cioè p(α) = 0) allora ache il umero coiugato α è ua radice dello stesso poliomio. 2 Ua giustificazioe sommaria della formula di Eulero La formula di Eulero e it = cos t + i si t, può essere cosiderata come ua forma suggestiva per idicare l espressioe cos t + i si t, giustificabile solo dal fatto che le formule di addizioe di si t e di cos t dimostrao che e it e is = (cos t + i si t)(cos s + i si s) = cos(s + t) + i si(s + t) = e i(s+t). Nelle righe che seguoo seza alcua pretesa di completezza cercheremo di dare ua giustificazioe diretta della formula di Eulero. Partiamo dalle espressioi di si t e cos t come serie di poteze, cioè come limiti dei corrispodeti poliomi di Taylor di puto iiziale 0. Queste soo: e cos t = si t = (2k)!, Cosideriamo ora i umeri complessi (2k + 1)! z = (it) k, 4

5 e osserviamo che i k assume solo quattro valori: il valore 1 quado k è u multiplo di 4, il valore 1 quado k è pari, ma o è u multiplo di 4, il valore i quado k è otteuto da u multiplo di 4 aggiugedo uo, ed ifie il valore i quado k è otteuto da u multiplo di 4 aggiugedo 3. Ne segue che (it) k = i k t k assume valori reali ±t k quado k è pari e valori immagiari ±it k quado k è dispari, pertato raccogliedo i termii reali ed i termii immagiari possiamo scrivere z 2 = 1 (2k)! + i (2k + 1)!. Questo sigifica che la parte reale di z 2 è il poliomio di Taylor di ordie 2 di cos t e la parte immagiaria di z 2 è il poliomio di Taylor di ordie 2 1 di si t. Poiché l espressioe del resto ella forma di Lagrage ci assicura che per ogi t reale i poliomi di Taylor di cos t e si t covergoo alle rispettive fuzioi, possiamo cocludere che la parte reale di z 2 coverge a cos t e la parte immagiaria di z 2 coverge a si t. Questo ci autorizza a dire che la successioe di umeri complessi z 2 coverge al umero complesso cos t+i si t. No è difficile covicersi che lo stesso ragioameto vale per la successioe z, idipedetemete dalla parità di. Ua otazioe coerete per il lim z è la serie (it) k = e it. A questo puto possiamo scrivere: (it) k = (2k)! + i (2k + 1)! Ne segue la formula di Eulero se, come è aturale, attribuiamo il valore e it al primo membro di questa uguagliaza. 5