Analisi matematica Esercizi di Algebra Lineare: Parte I.

Transcript

1 Analisi matematica Esercizi di Algebra Lineare Parte I. March,. Calcolo vettoriale in R. Dati u v z calcolare u + v v u z u+ v+ z (u z) uv zu zuv juj ju jv. Calcolo vettoriale in R. Dati u v vj zj vers (u) vers ( v) vers ( z + u) z

2 calcolare u + v v u z u+ v+ z (u z) uv zu zuv jzj j ju ju zj zj. Calcolo vettoriale in R. Dati u v z calcolare u + v v u z zj u+ v+ z (u z) uv zu zuv j (u. Veri care, usando la de nizione, se (a) i vettori sono linearmente indipendenti (in caso contrario esprimere uno di essi come combinazione lineare dei restanti). (b) i vettori sono linearmente indipendenti (in caso contrario esprimere uno di essi come combinazione lineare dei restanti). z)j

3 (c) i vettori sono linearmente indipendenti (in caso contrario esprimere uno di essi come combinazione lineare dei restanti). (d) i vettori sono linearmente indipendenti (in caso contrario esprimere uno di essi come combinazione lineare dei restanti). (e) i vettori sono linearmente indipendenti (in caso contrario esprimere uno di essi come combinazione lineare dei restanti). (f) i vettori sono linearmente indipendenti (in caso contrario esprimere uno di essi come combinazione lineare dei restanti). (g) i vettori sono linearmente indipendenti (in caso contrario esprimere uno di essi come combinazione lineare dei restanti).. Per ogni insime di vettori B i, i, che segue, individuare il più grande sottoinsieme composto esclusivamente da vettori linearmente

4 indipendenti B B B B B B B B B > > > > B > > > >. Esprimere, dove possibile, il vettore u come combinazione lineare dei vettori in B (qualora non fosse possibile, spiegarne il perché e darne evienza

5 gra ca) u > B u > B u > B u > B u > B u > B u > B u > B u > B u > B u > B > > > > u > B > > > >. Si determinino, se esistono,

6 (a) i coe cienti c, c, c R tali che il vettore possa essere scritto come come combinazione lineare dei vettori e, e, e (Vettori della base canonica) (b) i coe cienti c, c, c R tali che il vettore possa essere scritto come come combinazione lineare dei vettori e, e +e, e +e (dove e, e, e sono i vettori della base canonica) (c) i coe cienti c, c, c R tali che il vettore scritto come come combinazione lineare dei vettori (d) i coe cienti c, c, c R tali che il vettore scritto come come combinazione lineare dei vettori possa essere possa essere. Si dica se (a) il vettore può essere scritto come combinazione lineare dei vettori e (Motivare tramite rappresentazione gra ca). (b) il vettore può essere scritto come combinazione lineare dei vettori e (Motivare tramite rappresentazione gra ca). (c) il vettore può essere scritto come combinazione lineare dei vettori e (Motivare tramite rappresentazione gra ca).

7 . Indicare se x y z, dove x, y, z R e x + y + z costituisce un sottospazio vettoriale di R, indicare una base di tale sottospazio e speci carne la dimensione.. Indicare se x y, dove x, y, z R e z x + y + z costituisce un sottospazio vettoriale di R, indicare una base di tale sottospazio e speci carne la dimensione. x. Indicare se, dove x, y R e y x + y costituisce un sottospazio vettoriale di R, indicare una base di tale sottospazio e speci carne la dimensione. x. Indicare se, dove x, y R e y x + y costituisce un sottospazio vettoriale di R, indicare una base di tale sottospazio e speci carne la dimensione.. Si dica, giusti cando la risposta, se (a) i vettori u e v costituiscono una base in R (b) i vettori u e v costituiscono una base in R

8 . Dopo aver veri cato, in base alla de nizione, che i tre vettori u v w sono linearmente indipendenti, si esprima il vettore y combinazione lineare dei vettori u, v, w. come. Assegnati i vettori u a e b tali che e v, si determinino due numeri au+bv e +e, e, e sono i vettori della base canonica (vettori fondamentali) di R. Assegnati i vettori u valori dei parametri reali a e b (a) u è proporzionale a v (b) u è ortogonale a v ed v a b si determini, per quali. Assegnate le matrici A e B si calcolino, se possibile AB, BA, AB T, A + B.. Date le matrici A e B si determini per quali valori di a e b risulta AB T I (I è la matrice identità ).. Assegnato il vettore u [ ], (a) si calcoli il vettore v u a a a a, a R

9 (b) si determini, per quale valore del parametro reale a, v è otogonale ad u.. Individuare lo spazio (o sottospazio) vettoriale generato dai vettori colonna di ciascuna delle seguenti matrici A A A A