Controllo Statistico della Qualità

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Ilaria Cavaliere
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1 Controllo Statistico della Qualità Dispense distribuite in classe a.a. 2006/2007 Luca Scrucca Dipartimento di Economia, Finanza e Statistica Sezione di Statistica Università degli Studi di Perugia luca@stat.unipg.it Ultima modifica: 4 ottobre 2006

Finanza e Statistica Sezione di Statistica Università degli

2 Esempio: viscosità inchiostro Un responsabile di produzione tiene sotto osservazione la viscosità dell inchiostro prodotto da un processo chimico. La viscosità è misurata con un viscosimetro e l unità di misura è il cetipoide. > x = c(40,50,43,70,60,65,78,52,35,73,72,30,79,63,80,45,42,56,33,32) > n = length(x) 20 > summary(x) Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max > sd(x) [1] > sd(x)/abs(mean(x)) [1] > b = c(20,30,40,50,60,70,80) > xc = cut(x, breaks=b) > tab = table(xc) > tab = cbind("freq" = tab, "Freq Cum" = cumsum(tab), "Freq Rel" = tab/sum(tab), "Freq Rel Cum" = cumsum(tab)/sum(tab)) > print(tab) Freq Freq Cum Freq Rel Freq Rel Cum (20,30] (30,40] (40,50] (50,60] (60,70] (70,80] > hist(x, breaks=c(20,30,40,50,60,70,80), xlab="viscosità", main="istogramma: classi uguale ampiezza") > h = hist(x, breaks=c(20,35,50,60,80), xlab="viscosità", main="istogramma: classi diversa ampiezza") > str(h) List of 7 $ breaks : num [1:5] $ counts : int [1:4] $ intensities: num [1:4] $ density : num [1:4] $ mids : num [1:4] $ xname : chr "x" $ equidist : logi FALSE - attr(*, "class")= chr "histogram" > diff(h$breaks) * h$density * n [1]

Median Mean 3rd Qu. Max. 30.0 41.5 54.0 54.9 70.5 80.0 > sd(x) [1] 16.96405 > sd(x)/abs(mean(x)) [1] 0.

3 Istogramma: classi uguale ampiezza Istogramma: classi diversa ampiezza Frequency Density viscosità viscosità Esempio: percentuale acetone (Messina, 1991, pag ) Il responsabile di produzione di un impianto di produzione chimica per valutare la produzione di acetone tiene sotto controllo la variabile chiave del processo, la percentuale di acetone. I dati sono raccolti misurando la percentuale di acetone per i lotti prodotti durante una settimana. > x = c(6, 24, 12, 11, 34, 32, 28, 19, 31, 22, 29, 58, 15, 5, 17, 25) > summary(x) Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max > bxp <- boxplot(x, ylab="percentuale di acetone", main="boxplot") > axis(2, at=seq(0,60,by=5)) > text(1,bxp$out,paste("x(",which(x==bxp$out),") = ",bxp$out,sep=""), pos=4, offset=1) Esempio: spessore di una lamina Un processo produttivo genera lamine in acciaio su due linee di produzione. Si è interessati a valutare se le due linee di produzione funzionano allo stesso modo. A tal fine si ottengono 50 misurazioni per ciascuna linea e si pongono a confronto. > set.seed(1234) # "seme" di partenza per dati simulati > x1 = round(rnorm(50, 10, 1/2), 1) > x2 = round(9+rchisq(50, 2), 1) > summary(cbind(x1,x2)) x1 x2 Min. : Min. : st Qu.: st Qu.: 9.50 Median : Median :10.25 Mean : Mean : rd Qu.: rd Qu.:11.25 Max. : Max. :18.80 > boxplot(list(x1,x2), main="side-by-side Boxplot", ylab="spessore lamina (mm)", xlab="linea di produzione") > mean(x1) [1] > sd(x1) [1] > mean(x2) 2

47 48) Il responsabile di produzione di un impianto di produzione chimica per valutare la produzione di acetone tiene sotto controllo la variabile chiave del processo, la percentuale di acetone.

4 [1] > sd(x2) [1] > t.test(x1, x2, alternative = "two.sided", # "less", "greater" mu = 0, var.equal = TRUE, conf.level = 0.95) Two Sample t-test data: x1 and x2 t = , df = 98, p-value = alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval: sample estimates: mean of x mean of y > t.test(x1, x2, alternative = "two.sided", # "less", "greater" mu = 0, var.equal = FALSE, conf.level = 0.95) Welch Two Sample t-test data: x1 and x2 t = , df = , p-value = alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval: sample estimates: mean of x mean of y Boxplot Side by side Boxplot Percentuale di acetone X(12) = 58 Spessore lamina (mm) linea di produzione 3

774 10.766 > t.test(x1, x2, alternative = "two.sided", # "less", "greater" mu = 0, var.equal = FALSE, conf.level = 0.95) Welch Two Sample t-test data: x1 and x2 t = -3.6802, df = 54.615, p-value = 0.

5 Esempio: saldatura ad onda (Messina, 1991, pag , 35 38) Si consideri un processo di saldatura ad onda in cui si voglia migliorare la qualità di una linea di produzione. Nel corso di una settimana in cui sono stati fabbricati 2000 circuiti stampati PCB, 800 di questi presentano difetti così distribuiti: > difetti = as.table(c(440, 120, 80, 64, 56, 40)) > names(difetti) = c("saldante insuff.", "Bolle d aria", "Non deossidanti", "Non saldanti", "Punte di spillo", "Cortocircuiti") > difetti Saldante insuff. Bolle d aria Non deossidanti Non saldanti Punte di spillo Cortocircuiti > library(qcc) > pareto.chart(difetti, ylab = "Frequenze assolute difetti", ylim=c(0,820)) Pareto Chart analysis for difetti Frequency Cum.Freq. Percentage Cum.Percent. Saldante insuff Bolle d aria Non deossidanti Non saldanti Punte di spillo Cortocircuiti > mtext("(prima del cambiamento di processo)", side=3, line=0.5) > difetti2 = as.table(c(180, 40, 35, 25, 15, 5)) > names(difetti2) = names(difetti) > difetti2 Saldante insuff. Bolle d aria Non deossidanti Non saldanti Punte di spillo Cortocircuiti 15 5 > pareto.chart(difetti2, ylab = "Frequenze assolute difetti", ylim=c(0,820)) Pareto Chart analysis for difetti2 Frequency Cum.Freq. Percentage Cum.Percent. Saldante insuff Bolle d aria Non deossidanti Non saldanti Punte di spillo Cortocircuiti > mtext("(dopo il cambiamento di processo)", side=3, line=0.5) 4

table(c(440, 120, 80, 64, 56, 40)) > names(difetti) = c("saldante insuff.", "Bolle d aria", "Non deossidanti", "Non saldanti", "Punte di spillo", "Cortocircuiti") > difetti Saldante insuff.

6 Frequenze assolute difetti Pareto Chart for difetti (prima del cambiamento di processo) 0% 25% 50% 75% 100% Saldante insuff. Bolle d'aria Non deossidanti Cumulative Percentage Non saldanti Punte di spillo Frequenze assolute difetti Cortocircuiti Pareto Chart for difetti2 (dopo il cambiamento di processo) Saldante insuff. Bolle d'aria Non deossidanti Non saldanti Punte di spillo Cortocircuiti 0% 50% 100% Cumulative Percentage Esempio: saldatura a bagno d onda (continua) Durante un operazione di saldatura a bagno d onda che interviene in fase di fabbricazione di una piastra di circuito stampato, il numero di gocce di saldante viene tenuto sotto osservazione. Il corrispondente diagramma di causa ed effetto è il seguente: > library(qcc) > cause = list(macchina=c("velocità nastro", "Manutenzione"), Saldante=c("Temperatura", "Altezza dell onda", "Onda noin nota", "Fludità", "Tempo di contatto"), Flusso=c("Quantitativo", "Gravità specifica"), Componenti=c("Orientazione", "Saldabilità", "Connettori sporchi"), Preriscaldamento=c("Tempo", "Temperatura")) > cause.and.effect(cause, effect=paste("gocce di saldante"), title = "Diagramma di causa ed effetto") 5

7 Diagramma di causa ed effetto Macchina Saldante Flusso Velocità nastro Manutenzione Temperatura Quantitativo Altezza dell'onda Gravità specifica Onda noin nota Fludità Tempo di contatto Gocce di saldante Connettori sporchi Saldabilità Temperatura Orientazione Tempo Componenti Preriscaldamento Esempio: carico di rottura di una fibra sintetica Si consideri le seguenti misurazioni ottenute da un campione casuale inerenti il carico di rottura a trazione di una fibra sintetica: > x = c(48.99, 52.07, 49.29, 51.66, 52.16, 49.72, 48, 49.96, 49.2, 48.1, 47.9, 46.94, 51.76, 50.75, 49.86, 51.57) > mean(x) [1] > var(x) [1] > length(x) [1] 16 > t.test(x, alternative="two.sided", mu=50) One Sample t-test data: x t = , df = 15, p-value = alternative hypothesis: true mean is not equal to percent confidence interval: sample estimates: mean of x > (mean(x)-50)/sqrt(var(x)/length(x)) [1] > qt(0.975, df=15) # livello critico del test α = 0.05 [1] > pt( , df=15)*2 # p-value [1] Esempio: durata di un catalizzatore in una reazione chimica: Si consideri la durata in minuti di un catalizzatore impiegato 6

un campione casuale inerenti il carico di rottura a trazione di una fibra sintetica: > x = c(48.99, 52.07, 49.29, 51.66, 52.16, 49.72, 48, 49.96, 49.2, 48.1, 47.9, 46.94, 51.76, 50.75, 49.86, 51.

8 > x = c(1176, 1191, 1214, 1220, 1205, 1192, 1201, 1190, 1183, 1185) > qqnorm(x) > qqline(x) > shapiro.test(x) Shapiro-Wilk normality test data: x W = , p-value = Normal Q Q Plot Sample Quantiles Theoretical Quantiles Esempio: tempo di trasporto del metallo fuso Il metallo fuso è trasportato su rotaia dall altoforno all acciaieria. Il tempo di trasporto (in minuti) è stato misurato per 31 colate consecutive: > x = c(10, 14, 15, 16, 19, 20, 16, 18, 23, 20, 24, 21, 19, 21, 19, 22, 34, 27, 16, 25, 34, 32, 36, 38, 43, 55, 56, 58, 52, 51, 77) > par(mfrow=c(2,2)) > hist(x) > qqnorm(x); qqline(x) > boxcox(lm(x~1), lambda=seq(-2,2,by=0.1)) > x1 = 1/x > qqnorm(x1); qqline(x1) > shapiro.test(x) Shapiro-Wilk normality test data: x W = , p-value = > shapiro.test(x1) Shapiro-Wilk normality test data: x1 W = , p-value =

Il tempo di trasporto (in minuti) è stato misurato per 31 colate consecutive: > x = c(10, 14, 15, 16, 19, 20, 16, 18, 23, 20, 24, 21, 19, 21, 19, 22, 34, 27, 16, 25, 34, 32, 36, 38, 43, 55, 56, 58,

9 Esempio: calcolo di una curva della caratteristica operativa d <- seq(0,5,by=0.1) prob.errorii <- function(d,n) pnorm(1.96-d*sqrt(n))-pnorm(-1.96-d*sqrt(n)) plot(d, prob.errorii(d,1), type="l", ylim=c(0,1), xaxs="i", xlab=expression(paste("d = ", abs( delta )/sigma)), ylab=expression(beta), main="curve della caratteristica operativa") lines(d, prob.errorii(d,2), lty=2, col=2) lines(d, prob.errorii(d,3), lty=3, col=3) lines(d, prob.errorii(d,5), lty=4, col=4) lines(d, prob.errorii(d,10), lty=5, col=5) lines(d, prob.errorii(d,20), lty=6, col=6) legend(3,1, c("n=1", "n=2", "n=3", "n=5", "n=10", "n=20"), lty=1:6, col=1:6) 8

errorii(d,1), type="l", ylim=c(0,1), xaxs="i", xlab=expression(paste("d = ", abs( delta )/sigma)), ylab=expression(beta), main="curve della caratteristica

10 Curve della caratteristica operativa β n=1 n=2 n=3 n=5 n=10 n= d = δ σ 9

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