Istituzioni di Matematiche (V): Seconda Prova Parziale, 13 Gennaio 2015 (versione 1)

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1 Istituzioni di Matematiche (V): Seconda Prova Parziale, 13 Gennaio 015 (versione 1) Nome e Cognome: Numero di matricola: Esercizio 1 Esercizio Esercizio 3 Esercizio 4 Esercizio 5 Totale Tutte le risposte vanno motivate Esercizio 1 [punti: 1,1,1,1] Per ciascuno dei seguenti quattro casi calcolare il quoziente q e il resto r della divisione di a per b, e la parte intera p di a/b: a =, b = 3, a =, b = 3, a =, b = 3, a =, b = 3. Soluzione: Si noti che = e 0 10 < 3. Quindi il quoziente ed il resto della divisione di per 3 sono 3 e 10, rispettivamente. Inoltre, da = , si ottiene = , da cui la parte intera di é Si noti che = ( 4) e 0 13 < 3. Quindi il quoziente ed il resto della divisione di per 3 sono 4 e 13, rispettivamente. Inoltre, da = ( 4) , si ottiene 13 = 4 +, da cui la parte intera di é Si noti che = ( 3) ( 3) + 10 e 0 10 < 3. Quindi il quoziente ed il resto della divisione di per 3 sono 3 e 10, rispettivamente. Inoltre, da = ( 3) ( 3) + 10, si ottiene 10 = 3, da cui la parte intera di é 4 (come si era giá fatto osservare nel paragrafo precedente). Si noti che = 4 ( 3) + 13 e 0 13 < 3. Quindi il quoziente ed il resto della divisione di per 3 sono 4 e 13, rispettivamente. Inoltre, da = 4 ( 3)+13, si ottiene 13 = 4, 3 3 da cui la parte intera di é 3 (come avevamo fatto notare nel primo paragrafo). 3 Esercizio [punti: 3,3] (a): Dire se il numero 437 è primo. (b): Usando l algoritmo di Euclide calcolare il massimo comune divisore tra 67 e 135. Soluzione: Si noti che 0 = 400 < 437 e che 1 = 441 e dunque, dal crivello di Eratostene, per verificare se 437 é primo basta verificare non sia divisibile per nessun primo compreso tra 1 e 0. I primi tra 1 e 0 sono:, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. Si noti che 437 = = = = = = = = Le prime sette divisioni dimostrano che 437 non é divisibile per, 3, 5, 7, 11, 13, 17. Mentre l ultima dimostra che 437 é divisibile per 19, e dunque 437 é primo. Passiamo ora a risolvere il punto (b): 135 = = =

2 Da questo si vede che il massimo comune divisore tra 67 e 135 é 19. Esercizio 3 [punti: 3,3] Si consideri la congruenza modulo 11. (a): Quale resto, nella divisione per 11, deve avere n Z affinchè 5n 4 abbia resto 10. (b): A quale classe resto appartiene Soluzione: Iniziamo a vedere che resto ha 5n 4 quando n é compreso tra 0 e 10: Se n = 0, 5n 4 = 4 ha resto 7 Se n = 1, 5n 4 = 1 ha resto 1 Se n =, 5n 4 = 6 ha resto 6 Se n = 3, 5n 4 = 11 ha resto 0 Se n = 4, 5n 4 = 16 ha resto 5 Se n = 5, 5n 4 = 1 ha resto 10 Se n = 6, 5n 4 = 6 ha resto 4 Se n = 7, 5n 4 = 31 ha resto 9 Se n = 8, 5n 4 = 36 ha resto 3 Se n = 9, 5n 4 = 41 ha resto 8 Se n = 10, 5n 4 = 46 ha resto. Questo dimostra che n = 5 é l unico numero naturale compreso tra 0 e 10 che ha resto 10 nella divisione per 11. Passiamo ora a trattare il caso generale: sia n un numero intero e scrivi n = 11 q + r dove q e r sono il quoziente ed il resto della divisione di n per 11. Ora 5n 4 = 5 (11q + r) 4 = 11 (5q) + 5r 4. Quindi 5n 4 ha resto 10 nella divisione per 11 soltanto quando 5r 4 ha resto 10 nella divisione per 11. Visto che r {0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} e visto che abbiamo giá trattato il caso di numeri naturali compresi tra 0 e 10, deduciamo che 5n 4 ha resto 10 nella divisione per 11 soltanto quando r = 5: ossia quando n ha resto 5. Passiamo ora a risolvere il punto (b). Si noti che 1 1 mod 11. Dunque mod 11, ossia mod 11. Ora 9 8 = 7 e 7 = ( 7) Quindi 7 5 mod 11. Per cui mod 11 e ha resto 5 nella divisione per 11. Esercizio 4 [punti: (,,),] (a): Per ogni r e s come sotto, dire se r < s, determinare un numero razionale z compreso tra r e s. a1)r = 7 8, s = 15 17, a)r = 3, s = 6 10, e a3)r = 7, s = (b): Scrivi 3/8 in base 4. Soluzione: Dato che 7 17 = 119 < 10 = 8 15 si vede che 7 < 15. Il punto medio é = ed é compreso tra i due. Dato che 10 = 0 > 18 = 3 16 si vede che > 6. Il punto medio é 3 10 ed é compreso tra i due =

3 3 Dato che ( ) 11 = < 1 = ( 3) 7 si vede che < 3. Il punto medio é = ed é compreso tra i due. Passiamo ora al punto (b). Ora 3/8 < 1 e quindi scritto in forma decimale in base 4 la frazione 3/8 é 0,???. Si noti ora che < 3 8 < 1 4. Quindi la prima cifra dopo la virgola é uno, ossia per ora abbiamo 0, 1???. Ora = 1 8. Inoltre 1 8 = ( ) 1 4 per cui la seconda cifra dopo la virgola é ed il processo si ferma (non avendo resto ). Quindi 3/8 in forma decimale scritto in base 4 é 0, 1. Esercizio 5 [punti:,,] Lanciando due dadi, calcolare la probabilitá di avere: (a): due numeri pari, (b): due numeri la cui somma è un numero primo o un numero multiplo di 5, (c): due numeri uguali. Soluzione: Punto (a). Si noti che abbiamo 3 possibilitá su 6 che lanciando un dado esca un numero pari. Quindi, visto nel lancio di due dadi gli eventi sono indipendenti, si ha che la probabilitá che escano due numeri pari é = 1 4. Punto (b). Per risolvere questo mi vado a considerare tutte le coppie possibili (a, b) con a e b compresi tra 1 e 6 e segno in grassetto quelle coppie in cui a + 5 é primo o un multiplo di 5 (che sono quelle richeste nel punto ()). (1, 1) (1, ) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) (, 1) (, ) (, 3) (, 4) (, 5) (, 6) (3, 1) (3, ) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6) (4, 1) (4, ) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6) (5, 1) (5, ) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6) (6, 1) (6, ) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6) Da questo vediamo che ci sono 18 coppie in grassetto, ossia 18 casi favorevoli. Dato che i casi totali sono 6 6 = 38 otteniamo che la probabilitá cercata é = 1. Punto (c). I casi totali sono 6 6 = 36, ossia tutte le coppie (a, b) di numeri compresi tra 1 e 6. I casi favorevoli sono (1, 1), (, ), (3, 3), (4, 4), (5, 5) e (6, 6): che sono sei in tutto. Quindi la probabilitá cercata é 6 36 = 1 6.

4 4 Istituzioni di Matematiche (V): Appello del 13 Gennaio 015 (versione 1) Nome e Cognome: Numero di matricola: Esercizio 1 Esercizio Esercizio 3 Esercizio 4 Esercizio 5 Totale Tutte le risposte vanno motivate Esercizio 1 [punti: 1,(1,1,1)] (a): Sia A = {1,, 3}. Elencare tutti gli elementi dell insieme delle parti P(A). (b): Siano A = {a N n pari e n 14} e B = {n N n divisore di 18}. Determinare A B, A B, A \ B e B \ A. Determinare il numero di elementi di (A B) \ ((A B) B). Dire se esistono (e in tal caso dare almeno un esempio) funzioni suriettive da A in B, e da B in A? Soluzione: Dato che A ha tre elementi, l insieme P(A) ha 3 = 8 elementi e infatti Passiamo ora al punto (b). Abbiamo P(A) = {, {1}, {}, {3}, {1, }, {1, 3}, {, 3}, {1,, 3}}. A = {0,, 4, 6, 8, 10, 1, 14} B = {1,, 3, 6, 9, 18} A B = {, 6} A B = {0, 1,, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 1, 14, 18} A \ B = {0, 4, 8, 10, 1, 14} B \ A = {1, 3, 9, 18}. Visto che A ha 8 elementi e B ha 6 elementi, il prodotto cartesiano A B ha 8 6 = 48 elementi. Visto che A B ha elementi, il prodotto cartesiano (A B) B ha 6 = 1 elementi. Quindi la differenza A B \ ((A B) B) ha 48 1 = 36 elementi. Certo che esistono funzioni suriettive da A in B. Un esempio é dato dalla funzione f : A B definita da No, non esistono funzioni suriettive f : B A perché B ha 6 elementi e A ha 1 elementi, e non possiamo avere funzioni suriettive da un dominio che ha meno elementi del codominio. Esercizio [punti:,] (a): Dire se il numero 437 è primo.

5 (b): Usando l algoritmo di Euclide calcolare il massimo comune divisore tra 67 e 135. Soluzione: Vedi la prova parziale. Esercizio 3 [punti:,] Si consideri la congruenza modulo 11. (a): Quale resto, nella divisione per 11, deve avere n Z affinchè 5n 4 abbia resto 10. (b): A quale classe resto appartiene Soluzione: Vedi la prova parziale. Esercizio 4 [punti: 1,,] Nell insieme dei razionali Q si definisca la relazione arb se a b Z. (a): Dare due esempi di coppie (a, b) (con a b) per cui arb e a Rb. (a): Dimostrare che R è una relazione di equivalenza. (b): Verificare che la classe di equivalenza di 0 è {b/ b Z}. Soluzione: Parte (a). Si noti che 0R = perché 0 0 = 0 Z. Si noti che (1/3) R0 perché (1/3) 0 = /3 / Z. Parte (b). Iniziamo a dimostrare la proprietá riflessiva. Sia a Q, ora a a = 0 Z e quindi arb. Da cui R é riflessiva. Passiamo a dimostrare la proprietá simmetrica. Siano a, b Q con arb. Quindi a b Z. Da cui b a = (a b) Z, e la definizione di R ci dice che bra. Per cui R é simmetrica. Passiamo a dimostrare la proprietá transitiva. Siano a, b, c Q con arb e brc. Quindi a b Z e b c Z. Da cui a c = (a b) + (b c) Z, e la definizione di R ci dice che R é transitiva. Parte (c). La classe di equivalenza di 0 é per definizione l insieme [0] = {x Q xr0} = {x Q x 0 Z} = {x Q x Z}. Questo ci dice che gli elementi di [0] sono le frazioni x per cui x é un numero intero: chiamiamo b questo numero intero. Quindi x = b e x = b/. Da cui [0] = {b/ b Z}. Esercizio 5 [punti:,,1] Lanciando due dadi, calcolare la probabilitá di avere: (a): due numeri pari, (b): due numeri la cui somma è un numero primo o un numero multiplo di 5, (c): due numeri uguali. Soluzione: Vedi la prova parziale. Esercizio 6 [punti: 1,,1] Si consideri la disugualianza ( ) n 1 n. (a): Si calcoli il membro di sinistra e di destra di ( ) per n = 6 e si dica se ( ) è soddisfatta. (b): Dimostrare per induzione su n che per ogni naturale n 7 l uguanza in ( ) è vera. (c): Dimostrare che ( ) è soddisfatta soltanto se n 7 o n = 1. Soluzione: Parte (a). Per n = 6 il membro di sinistra é 6 1 = 5 = 3 e il membro di destra é 6 = 36. Dato che 3 < 36, la disugualianza ( ) non é soddisfatta per n = 6. Parte (b). Come sopra, sostituendo n = 7 a sinistra e destra di ( ) troviamo 7 1 = 6 = 64 e 7 = 49. Visto che 64 > 49, abbiamo che ( ) é vera quando n = 7. Ora supponiamo che n 7 e che ( ) sia vera per n. Cerchiamo di dimostrare che ( ) é vera per n + 1. Si noti che, per n + 1, i membri di sinistra e destra di ( ) sono rispettivamente (n+1) 1 = n e (n + 1) = n + n + 1. Quindi dobbiamo (usando il caso n) riuscire a dimostrare che n n + n + 1. Si noti che n = n 1 n (dove la prima ugualianza é ovvia, mentre nella seconda disugualianza abbiamo utilizzato l ipotesi induttiva). Ora io dico che n n + 1 (questo é facile da vedere, ad esempio n n = n(n ). 5

6 6 Visto che n 7, si ha n(n ) 7(7 ) = 35 e dato che 35 > 1 abbiamo verificato che n(n ) > 1). Riassumendo n n = n + n n + n + 1, che era quello che volevamo. Parte (c). Dalla parte (b) abbiamo che n n per ogni n 7 e dalla parte (a) abbiamo che n < n per n = 6. Rimane da decidere i casi n = 0, 1,, 3, 4, 5. Per questi valori il membro di sinistra di ( ) é 1/, 1,, 4, 8, 16, rispettivamente. Per questi stessi valori il membro di destra di ( ) é 0, 1, 4, 9, 16, 5. Quindi per i valori di n compresi tra 0 e 5, l unico caso in cui ( ) é vera é per n = 1. Esercizio 7 [punti:,] (a): Calcolare, in base 10 il valore di (( ) ) 7. (b): Trovare, se esiste, una base x per cui 3 = 1, 1 x. Soluzione: Punto (a). Si noti che 16 7 = = 13, 0 7 = = 14, 1 7 = = 15 e 7 =. Ora = 18. Quindi (13 14) + 15 = = 197. Per cui il numero cercato é 197 = 394. Punto (b). Dobbiamo avere 3 = 1 x0 + 1 x 1 = e quindi (moltiplicando per x e per x ambo i membri) 3x = x +. Quindi x =.