La gravitazione. Matteo Gallone 26 giugno 2011

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1 La gavitazione Matteo Gallone 26 giugno Il agionamento di Newton Pe icavae la legge di gavitazione univesale Newton si ispiò alle ossevazioni speimentali di Kepleo. Ripoto qui pe bevità le te leggi di Kepleo che sono il iassunto di quanto aveva ossevato. La pima legge di Kepleo dice che i pianeti pecoono obite ellittiche e il sole occupa uno dei due fuochi di questa ellisse; la seconda legge di Kepleo dice che il aggio vettoe (ovveo il vettoe distanza ta il Sole e il pianeta) spazza aee uguali in tempi uguali; la teza legge di Kepleo dice che il quadato del peiodo di ivoluzione è diettamente popozionale al cubo dell asse maggioe dell ellisse. Poiché l obita è ellittica e l ellisse è una figua piana alloa ciò significa che i vettoi v e stanno sullo stesso piano. Il momento angolae, quindi, poichè è definito come L = m v avà diezione costante pependicolae al piano dell ellisse. Dalla seconda legge di Kepleo invece icaviamo la costanza del modulo del momento angolae. Scitta in maniea più fomale la seconda legge di Kepleo assume la foma da = cost dove da è l aea infinitesima spazzata dal vettoe e è l intevallo infinitesimo di tempo. Calcoliamo quindi il valoe di da. Sappiamo dalla geometia che, dati due vettoi v e u, la noma del loo podotto vettoiale (che indichiamo con v u ) appesenta l aea del paallelogamma avente come basi il vettoe v e come diagonali il vettoe u. Sempe la geometia ci insegna che l aea del paalleogammo è il doppio dell aea del tiangolo avente come lati una base del paallelogamma, un lato obliquo e una delle due diagonali. Il caso che dobbiamo consideae è il seguente: 1

2 L aea che dobbiamo consideae è ottimamente appossimabile con un tiangolo di lati e v. Pe quanto detto sopa quindi abbiamo che da = 1 2 v = 1 2 v Da sopa si icava quindi: da = 1 2 v moltiplicando ambedue i membi pe la massa del pianeta m si ha che m da = 1 2 mv = 1 2 L Eguagliando il pimo e il tezo membo si è dimostato che il momento angolae è costante. Il pianeta si muove quindi nell obita subendo una foza centale. Semplifichiamo oa il agionamento e supponiamo che le obite dei pianeti siano cicolai. In questo caso se L è costante alloa anche v è costante e l unica foza che agisce sul pianeta di massa m è una foza centipeta F = mω 2 dove con ω si indica la velocità angolae ω =. Pe le elazione ta i paameti del moto cicolae unifome si ha che ω = 2π T, e quindi l espessione del modulo della foza assume la foma: ( ) 2 2π F = m = 4π2 T T 2 m La teza legge di Kepleo, poi, ci dice che T 2 = k 3. L espessione del modulo della foza assume quindi la foma: F = 4π2 4π2 m m = k3 k 2 Consideiamo oa il sistema Sole-pianeta. Pe il pincipio di azione e eazione abbiamo che la foza che il Sole esecita sul pianeta F SP è uguale in modulo ma opposta in veso alla foza che il pianeta esecita sul Sole F P S. Scivo quindi l espessione del modulo di queste due foze: F SP = 4π2 m p k SP 2 F P S = 4π2 m s k P S 2 Poiché le due foze sono eguali in modulo pe il pincipio di azione e eazione alloa possiamo scivee: 4π 2 m p k SP 2 = 4π2 m s k P S 2 Semplifichiamo 2 pechè la distanza ta il sole e il pianeta è uguale alla distanza ta il pianeta il sole; dividiamo ambedue i membi pe il temine m s m p. Otteniamo un temine costante che chiameemo γ: γ = 4π2 k SP m s = 2 4π2 k P S m p

3 Riscivendo le fomule del modulo della foza utilizzando questa nuova costante (che veà chiamata costante di gavitazione univesale) si ottiene: F SP = F P S = γ m pm s 2 La fomula così ottenuta è semplice e simmetica pe i due copi. Newton ipotizzò che si tattasse di una legge geneale, la legge di gavitazione univesale: due copi di massa m 1 e m 2 esecitano ta di loo una foza attattiva che è popozionale al podotto delle masse e invesamente popozionale al quadato della distanza. 2 La foma delle obite Pendendo come buona la fomula della foza gavitazionale ci vogliamo icavae la foma delle obite. Pe studiae il moto di un punto nel piano si può scompoe il vettoe velocità nelle sue componenti tangente v T e nomale v N e altettanto si può fae pe le acceleazioni (in questo caso chiameemo a T la componente tangenziale dell acceleazione e a N la componente nomale). Calcoliamoci in via del tutto geneale le fomule in coodinate polai pe tali vettoi. Pe definizione di velocità si ha che v = d e, pe definizione, = u dove con u si indica il vesoe nella diezione adiale. Calcoliamo quindi la velocità 1 : E quindi l acceleazione: v = d = d( u ) = d u + d u a = d v = d = d2 2 u + d d u = d2 2 u + d = d 2 2 ( d u + u θ ( + d u θ + d ) ] 2 u + ) = d u + u θ u θ + d2 θ 2 u θ + u θ + d2 θ 2 u θ 2 d + d2 θ 2 ] u θ d u θ ) 2 u ( Il pimo dei due addendi appesenta l acceleazione adiale a mente il secondo l acceleazione nomale a quella adiale a θ. Lavoiamo su a θ : a θ = 2 d + d2 θ 2 ] u θ = 1 2 d ] + 2 d2 θ 2 u θ = 1 ( d 2 )] u θ Ma 2 = v e v = L m. Inolte sappiamo dalle deduzioni fatte sopa pe la seconda legge di Kepleo che L è costante. Sappiamo poi che la deivata di una costante è nulla e da ciò segue immediatamente che a θ = 0 1 Si icodi che d u θ = u e d u = u θ. 3

4 Quindi, il pianeta subisce come acceleazione a. Eliminamo la dipendenza dal tempo nell espessione di a. Pe falo dobbiamo innanzitutto calcolae. Il modo più semplice di falo è icavalo dalla elazione tovata pima pe la seconda legge di Kepleo pe cui da = L 2m = 1 2 2v = 2. Eguagliando il pimo e il quato temine si ottiene: L 2m = 2 2 Risciviamo l espessione di a : a = Dobbiamo quindi calcolae d = L m 2 d 2 ( ) ] 2 2 u in funzione solo di θ: d = d = L d m 2 = L m E calcoliamo alloa d2 in funzione di θ: d 2 2 = d ( ) d = d ( ) d = d L d m Sostituendo oa e d2 nell espessione a 2 : a = L2 m 2 2 d 2 2 ( 1 ) d ( ) 1 ( )] 1 L m 2 = L2 d 2 m ( ) ] 2 L m 2 u Svolgendo i calcoli si aiva ad ottenee la fomula di Binet: ( ) a = L2 d 2 1 m ] u ( ) 1 Consideiamo oa il caso di un sistema di due masse m e M che esecitano ecipocamente la foza gavitazionale. In un sistema di ifeimento ineziale F = m a m e F = m a M. La foza è la stessa in modulo ma opposta in veso pe il tezo pincipio della dinamica. Se pendiamo oa la massa M come cento del nosto ifeimento saemo in un sistema di ifeimento non ineziale (in quanto la massa M viene acceleata dalla massa m). L acceleazione di m ispetto a M assume la foma: ( 1 a = a m a M = m + 1 ) F M che, intoducendo la massa idotta del sistema µ = come: a = 1 F µ mm m+m possiamo scivee Oa, sostituendo ad a l espessione pe l acceleazione tovata pima (icodando che in questo caso stiamo consideando la massa idotta del sistema) e a F l espessione della foza gavitazionale abbiamo: γ 1 µ mm 2 u = L2 µ d 2 2 ( 1 ) + 1 ] u

5 Con oppotune semplificazioni si aiva alla elazione ta scalai: γµ mm ( ) L 2 = d Questa equazione diffeenziale ha come soluzione geneale 1 = A cos(θ) + γµmm L 2 L equazione geneale di una conica in coodinate polai è 1 = 1 εd + 1 d cos(θ) con ε eccenticità, e d paameto della conica (che appesenta la distanza del fuoco dalla diettice). Quindi l obita è una conica. Il tipo di conica dipende dall enegia del sistema. 3 Enegia potenziale gavitazionale Pe definie un enegia potenziale gavitazionale dobbiamo innanzitutto dimostae che la foza gavitazionale è consevativa. Calcoliamo quindi il lavoo compiuto dalla foza gavitazionale pe potae una massa m attatta gavitazionalmente da una massa M. Il lavoo compiuto dalla foza gavitazionale nello spostamento vale dw = F u d s Il podotto scalae u d s è la poiezione di d s su, e quindi vale d. Quindi il lavoo vale: dw = F d Integando si ottiene: W = B A γ mm 2 d = γ mm A γ mm ] = U A U B B Il lavoo non dipende dal pecoso ma solo dalla posizione A e dalla posizione B, quindi la foza è consevativa e, inolte abbiamo definito l enegia potenziale nei punti A e B. In un geneico punto vale: U = γ mm 4 Campo Gavitazionale L espessione matematica della foza gavitazionale ci pemette di scivee ( F = γ M ) 2 u m ovveo è pai al podotto della massa m e di un vettoe il cui modulo dipende solo dalla massa M. Il vettoe ta paentesi pende il nome di campo gavitazionale e si indica con la lettea G. Il campo geneato da una massa m vale: G = γ m 2 u 5

6 Flusso del campo gavitazionale. Definiamo oa il flusso del campo gavitazionale. Sia d una supeficie infinitesima e sia u N il vesone nomale a tale supefice. Si definisce il flusso infinitesimo del campo gavitazionale attaveso la supeficie d la quantità scalae: dφ = G u N d Il flusso attaveso una supeficie finita si calcola come l integale su tutta la supeficie della quantità infinitesima espessa qui sopa, ovveo: Φ = G u N d È tuttavia molto semplice calcolae il valoe del flusso attaveso le supefici chiuse, ovveo: Φ = G u N d Infatti, sostituendo a G la sua espessione si ha: ( Φ = γ m ) 2 u u N d Il calcolo dell integale si semplifica potando fuoi m e γ che sono costanti e vedendo che il podotto u u N d non è alto che la poiezione della supeficie d su un piano pependicolae a u. A questo punto chiamiamo dσ = u u N. La scittua dell integale con queste semplificazioni diventa: Φ = γm 1 2 dσ Ma la gandezza dσ è l angolo solido infinitesimo dω indipendentemente dalla 2 distanza di dσ dal cento. Quindi la scittua si semplifica ulteiomente: Φ = γm dω Ricodando che Ω dω = 4π si ottiene che il flusso del vettoe G attaveso qualsiasi supeficie chiusa vale: Ω Φ = 4πγm Questo isultato è il teoema di Gauss pe il campo gavitazionale. Campo gavitazionale di un copo sfeico. Consideiamo una massa M distibuita su una sfea di aggio R. Calcoliamo il valoe del campo gavitazionale all esteno della sfea. Pe il teoema di Gauss si ha che il flusso del campo gavitazionale vale: Φ = 4πγM Eguagliando le due espessioni del flusso si tova il valoe di G() all esteno della sfea: 4πγM = 4π 2 G() G() = γ M 2 6

7 Ovveo all esteno della sfea si ha lo stesso campo gavitazionale che si avebbe se tutta la massa della sfea fosse concentata nel suo cento. Calcoliamo oa quanto vale il campo gavitazionale all inteno della sfea. In questo caso supponiamo che la densità sia costante. Calcoliamo quindi il valoe della massa contenuta nella supeficie sfeica di aggio < R. La massa saà uguale alla densità della sfea pe il volume contenuto nella sfea, ovveo: ovveo, icodando che ρ = m() = ρv = ρ 4 3 π3 M 4 3 πr3, si ottiene: m() = M πr3 3 π3 = M 3 R 3 Calcoliamo quindi il flusso con il teoema di Gauss: Φ = 4πγM 3 R 3 E calcoliamo il flusso attaveso la supeficie sfeica di aggio : Φ = 4π 2 G() Eguagliando le due espessioni del flusso si ottiene: 4π 2 G() = 4πγM 3 R 3 G() = γ M R 3 Quindi all inteno di una sfea omogenea il campo gavitazionale aumenta lineamente con la distanza dal cento. 7