Limiti e continuità. Hynek Kovarik. Analisi A. Università di Brescia. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 1 / 68

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1 Limiti e continuità Hynek Kovarik Università di Brescia Analisi A Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 1 / 68

2 Cenni di topologia La nozione di intorno Sia x 0 R e r > 0. Consideriamo I r (x 0 ) = {x R : x x 0 < r} l intorno sferico aperto di centro x 0. = {x R : x 0 r < x < x 0 + r}, Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 2 / 68

3 Definizione Sia E R. 1 Diciamo che p R è interno a E se: esiste r > 0 tale che I r (p) E. 2 Diciamo che p R è d accumulazione per E se per ogni r > 0 si ha (E \ {p}) I r (p) ; 3 Diciamo che p R è punto isolato di E se esiste r > 0 tale che E I r (p) = {p}. 4 Diciamo che p R è aderente ad E se p è d accumulazione per E oppure p è un punto isolato di E. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 3 / 68

4 Esempio Sia E =] 1, 1] {2} Allora Ogni punto p di [ 1, 1] è di accumulazione per E: in ogni intorno di p ci sono punti di E, diversi da p stesso. 2 è un punto isolato di E. Infatti, non è vero che in ogni suo intorno ci sono punti dell insieme diversi da 2: si prenda, per esempio, come intorno ] 3 2, 5 2[. 1 E, ma è punto di accumulazione. A = [ 1, 1] {2} è l insieme dei punti aderenti di E. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 4 / 68

5 Esempio Sia E = { 1 } n : n N, n 0 Allora 0 E è l unico punto di accumulazione per E. E è costituito solo di punti isolati. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 5 / 68

6 Definizione di limite Definizione Sia A R e sia f : A R una funzione reale definita in A. Sia x 0 un punto di accumulazione di A. Diremo che la funzione f tende al numero L R per x x 0 se ε > 0 δ ε > 0 : x A, 0 < x x 0 δ ε f (x) L ε. Il numero L si dice il limite di f per x x 0, e si scrive lim f (x) = L. x x 0 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 6 / 68

7 Osservazione: Non si richiede che la disuguaglianza f (x) L ε sia soddisfatta per x = x 0. Infatti, si impone x x 0 perché non vogliamo che il valore di f in x 0 influenzi il limite. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 7 / 68

8 Perché si deve richiedere che x 0 sia un punto di accumulazione? Nella definizione di lim x x0 f (x) = L ε > 0 δ ε > 0 : x A, 0 < x x 0 δ ε f (x) L ε. è essenziale potersi avvicinare indefinitamente al punto x 0 rimanendo sempre in A. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 8 / 68

9 Esempi 1 Sia NON ha senso calcolare lim f (x) = x 0 x 2 (x 2) avvicinare a x = 0, rimanendo nel domf. x 2 (x 2), poichè non ci si può 2 Poiché N è costituito da soli punti isolati, (quindi nessun n 0 N è di accumulazione per N), Quindi NON HA SENSO considerare limiti di una successione al finito lim n n 0 a n Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 9 / 68

10 Estenzioni della definizione i limite Abbiamo visto la definizione di lim x x0 f (x) = L nel caso x 0, L R. Vogliamo estendere questa definizione ai seguenti casi: Caso 1 : x 0 reale, L infinito Caso 2 : x 0 infinito, L reale Caso 3 : x 0 infinito, L infinito Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 10 / 68

11 Caso 1(a): x 0 R & L = + Definizione lim f (x) = + x x 0 N > 0 δ N > 0 : x A, 0 < x x 0 δ N f (x) N. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 11 / 68

12 Caso 1(b): x 0 R & L = Definizione lim f (x) = x x 0 N > 0 δ N > 0 x A, 0 < x x 0 δ N f (x) N. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 12 / 68

13 Caso 2(a): x 0 = + & L R Definizione lim f (x) = L x + ε > 0 M ε > 0 : x A, x M ε f (x) L ε. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 13 / 68

14 Caso 2(b): x 0 = & L R Definizione lim f (x) = L x ε > 0 M ε > 0 : x A, x M ε f (x) L ε. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 14 / 68

15 Caso 3(a): x 0 = + & L = + Definizione lim f (x) = + x + N > 0 M N > 0 : x A, x M N f (x) N. Caso 3(b): x 0 = + & L = Definizione lim f (x) = x + N > 0 M N > 0 : x A, x M N f (x) N. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 15 / 68

16 Caso 3(c): x 0 = & L = + Definizione lim f (x) = + x N > 0 M N > 0 : x A, x M N f (x) N. Caso 3(d): x 0 = & L = Definizione lim f (x) = x N > 0 M N > 0 : x A, x M N f (x) N. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 16 / 68

17 Limiti e successioni Teorema Sia A R, f (x) una funzione definita in A e x 0 R un punto di accumulazione per A. Si ha lim f (x) = L R, x x 0 se e solo se, per ogni successione {x n } a valori in A \ {x 0 } e convergente a x 0, risulta lim n + f (x n) = L. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 17 / 68

18 Dimostrazione Ci limitiamo al caso L R (I) Supponiamo per ipotesi che lim x x0 f (x) = L e sia {x n } una qualsiasi successione a valori in A \ {x 0 } e convergente a x 0. Da lim x x0 f (x) = L, otteniamo che ε > 0, δ > 0 : x A, 0 < x x 0 δ f (x) L ε. Da x n x 0, otteniamo ε > 0 m > 0 : n m 0 < x n x 0 ε. Allora per ε = δ, otteniamo che m > 0 : n m 0 < x n x 0 δ. Quindi f (x n ) L ε, ossia lim n + f (x n ) = L Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 18 / 68

19 (II) Supponiamo ora che lim n + f (x n ) = L per ogni successione {x n } a valori in A \ {x 0 } e convergente a x 0. Dimostriamo che lim x x0 f (x) = L. Se per assurdo non fosse lim x x0 f (x) = L, allora ε > 0 δ > 0 x A : 0 < x x 0 δ f (x) L > ε. Preso δ = 1 n con n N \ {0}, si trova così un punto x n A \ {x 0 } tale che x n x 0 1 n e f (x n) L > ε. Quindi la successione {x n } converge a x 0, ma lim n + f (x n) L. Assurdo. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 19 / 68

20 Il teorema sopra scritto può essere usato per dimostrare che una funzione non ha limite per x che tende a x 0 : basterà determinare due successioni {x n } e {y n } ambedue convergenti a x 0 e tali che lim n + f (x n) = L 1 lim f (y n) = L 2, L 1 L 2. n + Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 20 / 68

21 L algebra dei limiti Si ha (con x 0 R) lim x x0 (f (x) + g(x)) = lim x x0 f (x) + lim x x0 g(x), lim x x0 λf (x) = λ lim x x0 f (x) λ R, lim x x0 f (x)g(x) = lim x x0 f (x) lim x x0 g(x), lim x x0 f (x) g(x) = limx x 0 f (x) lim x x0 g(x), non appena esistono i limiti a secondo membro e in assenza di forme indeterminate, 0,, 0 0 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 21 / 68

22 I risultati sui limiti di successioni si estendono ai limiti di funzioni. Teorema del confronto Sia A R e siano f, g : A R e sia x 0 R un punto di accumulazione di A. Supponiamo che f e g ammettano limite per x x 0 e che f (x) g(x) per ogni x A \ {x 0 }. Allora lim f (x) lim g(x). x x 0 x x0 Teorema di permanenza del segno Sia x 0 R. Se lim x x0 f (x) = L > 0, allora esiste U intorno di x 0 tale che f (x) > 0 x U \ {x 0 } dom f. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 22 / 68

23 Teorema dei due carabinieri Sia A R e siano f, g, h : A R e sia x 0 R un punto di accumulazione di A. Supponiamo che per ogni x A \ {x 0 } si abbia h(x) f (x) g(x). Se lim x x0 h(x) = lim x x0 g(x) = L, allora anche f ammette limite per x x 0 e si ha lim x x0 f (x) = L. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 23 / 68

24 Teorema di unicità Sia x 0 di accumulazione per dom f. Se f (x) L e f (x) L per x x 0, allora L = L. Dimostrazione: Consideriamo per semplicità il caso x 0, L, L R. Per assurdo sia L L. Allora per ogni ε > 0 δ > 0 : x 0 x dom f, x x 0 δ f (x) L ε, δ > 0 : x 0 x dom f x x 0 δ f (x) L ε. Quindi ponendo ε = L L /2 per x x 0 e x 0 x min{δ, δ } si ha Assurdo. L L L f (x) + f (x) L 2ε < L L. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 24 / 68

25 Definizione Sia A R e sia f : A R una funzione. Diciamo che f è limitata in A se M > 0 : f (x) M x A. Teorema di limitatezza locale Sia x 0 R. Supponiamo che lim x x0 f (x) = L R. Allora esiste un intorno U di x 0 tale che f è limitata in U dom f. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 25 / 68

26 Limiti destro e sinistro Definizione Sia f : A R e x 0 R. Si supponga che x 0 sia di accumulazione per l insieme A ]x 0, + [. Se esiste il limite per x x 0 della restrizione di f a A ]x 0, + [, allora tale valore è detto limite destro di f in x 0, denotato lim x x + 0 f (x). Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 26 / 68

27 Definizione con i quantificatori lim x x + 0 f (x) = L ε > 0 δ > 0 : x ]x 0, x 0 + δ[ domf f (x) L ε. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 27 / 68

28 Definizione Sia f : A R e x 0 R. Si supponga che x 0 sia di accumulazione per l insieme A ], x 0 [. Il limite sinistro di f in x 0, denotato lim x x 0 f (x), è il limite per x x 0 della restrizione di f a A ], x 0 [. Definizione con i quantificatori: lim x x 0 f (x) = L ε > 0 δ > 0 : x ]x 0 δ, x 0 [ domf f (x) L ε. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 28 / 68

29 Legame fra il limite e limiti destro e sinistro Proposizione Sia x 0 un punto di accumulazione per dom f. Si ha (I ) lim x x0 f (x) = L (II ) lim x x + 0 f (x) = L e lim x x 0 f (x) = L. In particolare, se almeno uno fra lim x x + 0 f (x) o lim x x 0 lim x x + 0 f (x) e lim x x 0 allora il limite lim x x0 f (x) NON esiste. f (x) non esiste, o f (x) esistono, ma sono diversi Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 29 / 68

30 Funzioni monotone Definizione Una funzione f : dom f R si dice (i) monotona crescente se x, y dom f : x y f (x) f (y); (ii) monotona decrescente se x, y dom f : x y f (x) f (y); (iii) strettamente crescente se x, y dom f : x < y f (x) < f (y); (iv) strettamente decrescente se x, y dom f : x < y f (x) > f (y); Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 30 / 68

31 Teorema (limiti di funzioni monotone) Sia f : dom f R una funzione crescente e sia x 0 R un punto di accumulazione per dom f. Allora lim x x + 0 f (x), lim x x 0 f (x) e si ha lim x x 0 lim x x + 0 f (x) = sup{f (x) : x dom f, x < x 0 } f (x) = inf{f (x) : x dom f, x > x 0 }. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 31 / 68

32 Funzioni continue Definizione Siano f : dom f R e x 0 dom f. Diciamo che f è CONTINUA in x 0 dom f se ε > 0 δ > 0 : x ]x 0 δ, x 0 + δ[ dom f f (x) f (x 0 ) ε. Diciamo che f : dom f R è CONTINUA su dom f se f è continua in ogni punto di dom f. Interpretazine geometrica: a piccole variazioni di x, vicino a x 0, corrispondono piccole variazioni del valore f (x) (che rimane vicino a f (x 0 ).) Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 32 / 68

33 Esempi 1 La funzione f : x 1 x è continua su dom f = R \ {0} 2 La funzione f : x sin ( ) 1 è continua su dom f = R \ {0} x Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 33 / 68

34 Caratterizzazione della continuità tramite il limite Teorema Dati f : dom f R e x 0 dom f, supponiamo che x 0 sia un punto di accumulazione per dom f. Allora f è continua in x 0 lim x x0 f (x) = f (x 0 ). Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 34 / 68

35 Caratterizzazione della continuità tramite le successioni Teorema: Sia f : dom(f ) R. Allora f è continua in x 0 {x n } domf con x n x 0 si ha lim n f (x n) = f (x 0 ). Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 35 / 68

36 Esempio Usiamo questo teorema precedente per dimostrare che la funzione ( ) 1 f (x) = cos, x R \ {0} x non ammette limite per x 0. Basta trovare due successioni {a n } e {b n } infinitesime e tali che Scegliamo, ad esempio, lim f (a n) lim f (b n). n n Si ha a n = lim f (a n) = 0, n 1 π 2 + 2πn, b n = 1 2πn. lim f (b n) = 1. n Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 36 / 68

37 Continuità e operazioni algebriche su funzioni Siano f, g : A R due funzioni continue e sia x 0 A. Allora, 1 le funzioni f + g, f g, f g sono continue in x 0. 2 Se allora I intorno di x 0 tale che g(x) 0 x I, f g è continua in x 0. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 37 / 68

38 Conseguenza: - i polinomi; P(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 sono funzioni continue in R. - le funzioni razionali; f (x) = P(x) Q(x), P, Q polinomi sono continue in ogni punto del loro dominio. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 38 / 68

39 Teorema Siano A, B R, f : A B, g : B R e x 0 A. Se f è continua in x 0 e g è continua in f (x 0 ) B allora g f è continua in x 0. Conseguenza: Se f : A R è continua su A, sin f (x), cos f (x), f (x), a f (x), log a f (x)(f (x) > 0), sono anch esse continue in A. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 39 / 68

40 Punti di discontinuità Classifichiamo i punti di discontinuità di una funzione f in queste 4 categorie: 1 punti di discontinuità eliminabile; 2 punti di infinito; 3 punti di discontinuità di tipo salto; 4 punti di discontinuità di seconda specie. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 40 / 68

41 1 Se lim x x0 f (x) = L R con L f (x 0 ), allora si dice che la funzione f presenta una DISCONTINUITÀ ELIMINABILE in x 0. N.B.: se f ha in x 0 un punto di discontinuità eliminabile, la funzione { f (x) se x domf, x x 0 h(x) = L se x = x 0. è continua in x 0. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 41 / 68

42 Esempio f : R R f (x) = { 0 se x 0 1 se x = 0 ha in x 0 = 0 una discontinuità eliminabile. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 42 / 68

43 2 Se lim x x0 f (x) =, oppure se esistono i limiti destro e sinistro e (almeno) uno di questi è infinito (= + oppure = ), allora si dice che x 0 è PUNTO DI INFINITO. 3 Se i limiti destro e sinistro esistono in R ma sono differenti si dice che x 0 è PUNTO DI SALTO. 4 Se (almeno) uno dei due limiti destro o sinistro non esiste, allora si dice che x 0 presenta una DISCONTINUITÀ DI SECONDA SPECIE. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 43 / 68

44 Proprietà delle funzioni continue Teorema di Bolzano o degli zeri Sia f : [a, b] R una funzione continua in [a, b] tale che f (a)f (b) < 0. Allora esiste almeno un punto c ]a, b[ tale che f (c) = 0. Chiamiamo il punto c zero della funzione f. Osservazione: Il teorema assicura che f ammette almeno uno zero c, non ci dice nulla sull unicità di c. In generale, c non è unico! Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 44 / 68

45 Definizione Sia I = [a, b] e sia f : I R. Chiamiamo 1 estremo superiore di f, l estremo superiore dell insieme immagine di f, ossia sup f = sup{f (x) : x I }. I 2 massimo di f, il massimo di im(f ) max f = max{f (x) : x I }. I 3 Un punto x 0 in cui f (x 0 ) = max I f si dice punto di massimo per f e quindi vale f (x) f (x 0 ) x I. Attenzione!!!!! non confondere - punto di massimo per f - massimo di f (si dice anche valore di massimo di f ) Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 45 / 68

46 Definizione Sia I = [a, b] e sia f : I R. Chiamiamo 1 estremo inferiore di f, l estremo inferiore dell insieme immagine di f, ossia inf I f = inf{f (x) : x I }. 2 minimo di f (o valore di minimo di f ), il minimo dell insieme immagine di f, ossia min I f = min{f (x) : x I } 3 Un punto x 0 in cui f (x 0 ) = min f si dice punto di minimo per f e quindi vale f (x 0 ) f (x) x I. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 46 / 68

47 Teorema di Weierstrass Sia f : [a, b] R continua su [a, b] intervallo chiuso e limitato. Allora f ammette almeno un punto di massimo e almeno un punto di minimo in [a, b], cioè x m, x M [a, b] : x [a, b] f (x m ) f (x) f (x M ). Dimostrazione: supponiamo per semplicità che sup [a,b] f <. dimostreremo che x M [a, b] punto di massimo per f, Cioè che max f = sup f [a,b] [a,b] Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 47 / 68

48 Passo 1: Costruiamo una successione massimizzante per f su [a, b], cioè tale che f (x n ) sup f. [a,b] Per ogni n N scegliamo x n [a, b] tale che f (x n ) sup f 1 [a,b] n. Questo è possibile grazie alla caratterizzazione di estremo superiore. Quindi sup [a,b] f 1 n f (x n) sup f [a,b] e per il teorema dei due carabinieri si ha lim f (x n) = sup f. n [a,b] Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 48 / 68

49 Passo 2: {x n } [a, b] è limitata, quindi per il teorema di Bolzano Weiestrass una sottosuccessione {x nk } k N, x M R : lim x n k = x M. k Notare che a x nk b a x M b. Passo 3: Usiamo che f è continua: lim f (x n k ) = f (x M ) k Siccome f (x nk ) è una sottosuccessione della successione convergente f (x n ), si ha f (x M ) = lim f (x n k ) = lim f (x n) = sup k n [a,b] f Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 49 / 68

50 Tutte le ipotesi del teorema sono fondamentali: se una di esse non è soddisfatta, la tesi è falsa: 1. Siano I = [0, 1[, f (x) = 2x + 1. f è continua su I, I è limitato ma non è chiuso. Notiamo che f ammette minimo su I : è x = 0, min I f = 1, f non ammette massimo: si ha sup I f = 3, che non viene assunto in alcun punto di I. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 50 / 68

51 2. Siano I = R, f (x) = arctan(x). I è illimitato, f non ha né punti di massimo, né punti di minimo su I. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 51 / 68

52 3. Siano I = [ 1, 1] e f : [ 1, 1] R data da { x 2 per x [ 1, 1] \ {0}, f (x) = 2 se x = 0. f non ha minimo, e inf f = 0. max f = 2 e 0 è l unico punto di massimo. In questo caso I = [ 1, 1] è chiuso e limitato, ma f non è continua. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 52 / 68

53 Corollario al teorema di Weierstrass Sia f : [a, b] R continua in [a, b]. Allora f è limitata. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 53 / 68

54 Una conseguenza del teorema degli zeri Teorema (dei valori intermedi) Sia f : [a, b] R una funzione continua in [a, b]. Allora, f assume tutti i valori compresi tra min x [a,b] f (x) e max x [a,b] f (x). Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 54 / 68

55 Dimostrazione: Dobbiamo mostrare che se y 1, y 2 f ([a, b]) e y 1 < z < y 2, allora z f ([a, b]). Siano c, d [a, b] tali che f (c) = y 1, f (d) = y 2. Allora possiamo considerare la funzione g(x) = f (x) z sull intervallo [α, β] = [min{c, d}, max{c, d}]. Si ha allora g(α)g(β) < 0 e g è continua. Per il teorema di Bolzano esiste x ]α, β[ tale che g(x) = 0, ovvero f (x) = z. Ma [a, b] è un intervallo, quindi x [a, b] z f ([a, b]) Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 55 / 68

56 Corollario Sia I intervallo e f : I R continua in I. Allora im(f ) è un intervallo. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 56 / 68

57 Funzioni continue invertibili Sia f : A R continua in A e iniettiva. Allora f è invertibile, con funzione inversa f 1 : im(f ) R. f 1 è continua in im(f )? Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 57 / 68

58 Esempio sia A = [0, 1] (2, 3] (unione di due intervalli) e sia f : A R data da { x se x [0, 1] f (x) = x 1 se x (2, 3]. Allora f è continua in A ma la sua inversa { f 1 : [0, 2] R, f 1 x se x [0, 1] (x) = x + 1 se x (1, 2]. è però una funzione discontinua in x = 1. Notiamo che A non è un intervallo, ma è l unione di due intervalli. Se invece A = I è un intervallo, la situazione cambia. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 58 / 68

59 Teorema: caratterizzazione delle funzioni continue invertibili Sia I un intervallo e sia f : I R una funzione continua su I. Allora f è invertibile f è strettamente monotona. Se f è strettamente monotona, allora la funzione inversa f 1 : im(f ) R è ancora monotona, con una monotonia dello stesso tipo di f. Domanda: essa è anche continua? Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 59 / 68

60 Teorema Siano I intervallo f : I R continua su I f : I R invertibile Allora f 1 : im(f ) R è continua. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 60 / 68

61 Infinitesimi Definizione Siano f : dom(f ) R e x R punto di accumulazione per dom(f ). Se lim f (x) = 0, x x si dice che f è infinitesima per x x. Notazione: si scrive f (x) = o(1) per x x. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 61 / 68

62 Definizione: confronto fra infinitesimi Siano x R e f, g : I R - f e g infinitesime per x x - con g(x) 0 x I \ {x } Diciamo che f è un infinitesimo di ordine superiore a g (o f è trascurabile rispetto a g) per x x, se f (x) lim x x g(x) = 0; e scriviamo f (x) = o(g(x)) per x x. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 62 / 68

63 Esempi x 4 = o(x 2 ) per x 0, x 3 = o(x 2 ) per x 0, Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 63 / 68

64 Inoltre, α > 0 ε > 0 x α = o(e εx ) per x + α > 0 ε > 0 e εx = o( x α ) per x Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 64 / 68

65 α > 0 ε > 0 (ln(x)) α = o(x ε ) per x + α > 0 ε > 0 ln(x) α = o(x ε ) per x 0 + Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 65 / 68

66 Algebra degli o piccolo ko(f ) = o(f ) per x x o(f ) + o(f ) = o(f ) per x x o(o(f )) = o(f ) per x x o(f + o(f )) = o(f ) per x x f o(g) = o(fg) per x x o(f ) o(g) = o(fg) per x x f = o(g) o(f ) ( ) f = o per x x. g g Interpretazione dell algebra degli o piccolo. Bisogna leggere queste identitità come delle implicazioni da sinistra a destra. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 66 / 68

67 Per esempio o(f ) + o(f ) = o(f ) per x x significa se sommo due funzioni trascurabili rispetto a f, ottengo una funzione trascurabile rispetto a f, per esempio x 4 + x 3 = o(x 2 ) + o(x 2 ) = o(x 2 ) per x 0. N.B.: non vale la proprietà transitiva dell uguaglianza: f = o(g) & h = o(g) per x x NON IMPLICA f = h Per esempio: x 5 = o(x 3 ) e x 7 = o(x 3 ) per x 0, ma x 5 x 7!! Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 67 / 68

68 Definizione Siano x R e f, g : I R - f e g infinitesime per x x - con g(x) 0 x I \ {x } Diciamo che che f è un infinitesimo dello stesso ordine di g per x x, se e scriviamo f g per x x. f (x) lim x x g(x) = c R \ {0}. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 68 / 68