Soluzione verifica scritta dell 8/10/2013

Dimensione: px

Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Soluzione verifica scritta dell 8/10/2013"

Carmela Aurora Lolli
5 anni fa
Visualizzazioni

1 Soluzione verifica scritta dell 8/10/013 * * * Problema n. 1 a) Determinare l equazione della parabola con asse parallelo all asse y, avente il vertice nel punto V ; ) e passante per l origine degli assi cartesiani. Dopo aver scritto l equazione generale della parabola con asse parallelo all asse y, ossia y ax + bx + c, è necessario individuare tre condizioni che consentano di determinare i tre parametri incogniti a, b e c. 1. poiché la parabola passa per l origine degli assi cartesiani, ne consegue immediatamente c 0 si verifica facilmente sostituendo le coordinate dell origine O0; 0) nell equazione generale della parabola);. l appartenenza del vertice V alla parabola, tenendo conto dell osservazione 1, fornisce l equazione a + b, semplificabile in a + b ; 3. la nota relazione x V b che fornisce l equazione dell asse verticale), ovvero a l ascissa del vertice della parabola, applicata al caso in esame, fornisce l equazione b ovvero. a. si potrebbe anche utilizzare la relazione y V che fornisce l ordinata del a vertice, ma sarebbe una scelta poco felice in quanto porterebbe ad un equazione di secondo grado che complicherebbe inutilmente la risoluzione del problema. Ponendo a sistema le equazioni [] e [3] si ottiene: { a + b { a a { a { a 1 b 1) L equazione della parabola risulta dunque y x + x. Osservazione: anche se può sembrare superfluo, in realtà è necessario precisare, nel testo, che si considera una parabola con asse parallelo all asse y. Sono infatti infinite, senza questa precisazione, le parabole che soddisfano i requisiti precisati, ossia vertice dato e passaggio per un punto dato. La figura seguente dovrebbe evidenziare questo aspetto: 1

2 b) Determinare poi l equazione della retta t tangente alla parabola nel suo punto di ascissa 3. Detto P il punto di tangenza, si ha x P 3 dato del problema) e sostituendo tale valore nell equazione della parabola si ottiene y P x P + x P A questo punto si considera il fascio di rette di centro P, avente equazione y y P mx x P ) y 3 mx 3) y mx + 3 3m e, ponendola a sistema con l equazione della parabola, si impone la condizione 0 sull equazione risolvente del sistema stesso. { y x + x x + x mx + 3 3m x + m )x + 3 3m 0 y mx + 3 3m 0 m ) 3 3m) 0 m 8m m 0 m + m + 0 m + ) 0 m Sostituendo il valore di m così trovato nell equazione del fascio di rette, si trova infine l equazione della retta t cercata, che risulta quindi y x ) ovvero y x + 9. c) Determinare l equazione della retta s perpendicolare a t nel punto di tangenza. La nota relazione di perpendicolarità fornisce immediatamente m s 1 m t 1. Scrivendo l equazione del fascio di rette di centro P punto di tangenza) e sostituendo il valore di m s appena trovato, si ottiene immediatamente l equazione della retta s cercata: y y P m s x x P ) y 3 1 x 3) y 1 x + 3 d) Determinare, infine, l area del quadrilatero delimitato dalle rette t e s e dagli assi cartesiani. Rappresentiamo a questo punto il problema sul piano cartesiano:

3 Appare evidente che l area del quadrilatero OBP A si può calcolare come somma delle area del trapezio OHP A che indicheremo con A 1 ) e del triangolo rettangolo HBP A ), essendo H3; 0) il piede della perpendicolare condotta da P all asse x. Per determinare tali aree occorre preventivamente determinare le coordinate dei punti A e B d intersezione, rispettivamente, di s con l asse y e di t con l asse x. Risulta immediatamente y A 3 nell equazione della retta s, il termine noto rappresenta, come si sa, l ordinata del punto d intersezione della retta stessa con l asse y). Per determinare x B basta porre y 0 nell equazione di t, ottenendo 0 x B + 9 e quindi x B 9. Si ha ora, per le note relazioni di geometria elementare: e infine A 1 OA + HP ) OH A HB HP y A + y P ) x H x B x H ) y P ) A OBP A A 1 + A * * * Problema n. ) a) Determinare l equazione della circonferenza Γ passante per i punti A; 1), B6; 1) e C; ). Si propongono tre diversi metodi di soluzione per questo quesito. Primo metodo I punti A, B e C individuano un triangolo rettangolo che, per un noto teorema di geometria elementare, risulta inscrittibile in una semicirconferenza. L ipotenusa BC del triangolo stesso risulta pertanto il diametro della circonferenza cercata, ed il centro della 3

4 medesima che indicheremo con P ) coincide pertanto con il punto medio del segmento BC stesso. Applicando le note formule, si ottiene dunque: BC x B x C ) + y B y C ) 6 ) ) e pertanto il raggio r della circonferenza cercata vale BC 5. Il centro P della circonferenza, come si è detto, è il punto medio di BC e risulta pertanto x P x B + x C 6 + y P y B + y C 1 1 Considerando l equazione generale della circonferenza x x P ) + y y P ) r e sostituendovi i valori trovati si ottiene infine: x ) + y + ) 1 ) 5 x 8x+16+y +y+ 1 5 x +y 8x+y+10 0 Secondo metodo I segmenti AB e AC sono corde della circonferenza cercata, e pertanto per un noto teorema di geometria elementare i rispettivi assi ossia le rette ad essi perpendicolari e passanti per il punto medio) passano per il centro della circonferenza. È immediato ricavare le equazioni di tali rette, in quanto i segmenti sono paralleli agli assi cartesiani. Risulta immediatamente: asse del segmento corda) AB: asse del segmento corda) AC: x x A + x B y y A + y C e quindi il centro della circonferenza cercata ha coordinate P ) ; 1 ). 1 Poiché il centro è equidistante da ciascun punto della circonferenza, la misura del raggio r può essere indifferentemente calcolata come distanza di P da ciascuno dei tre punti assegnati. Scegliendo ad esempio A, risulta: r x P x A ) + y P y A ) ) ) Si sono così ritrovati il centro ed il raggio della circonferenza, che consentono di costruirne l equazione come già fatto in precedenza. Terzo metodo Senza sfruttare le particolarità geometriche del caso in esame, possiamo applicare direttamente la condizione di appartenenza dei tre punti dati alla circonferenza da determinare. Sostituendo le coordinate dei punti stessi nell equazione generale della circonferenza x +y +ax+by+c 0 si ottengono tre equazioni che, poste a sistema, consentono di determinare i parametri incogniti a, b e c e quindi l equazione della circonferenza cercata a + b + c 0 a + b + c a + b + c 0 6a + b + c 37 + ) + a b + c 0 a b + c 8

5 Sottraendo la prima equazione dalla seconda si ottiene: 6a + b + c) a + b + c) 37 5) a 3 a 8 Sottraendo la terza equazione dalla prima si ottiene: a + b + c) a b + c) 5 8) 3b 3 b 1 Sostituendo i valori di a e b così trovati in una qualsiasi delle tre equazioni, ad esempio la prima, si ottiene infine: 8) c c 5 c 10 e si ritrova l equazione già ricavata in precedenza per altra strada. b) Determinare l equazione della circonferenza Γ 1 concentrica alla precedente e tangente all asse x. Poiché la circonferenza Γ 1 deve essere tangente all asse x, il suo raggio r 1 deve essere uguale alla distanza del centro P coincidente col centro della circonferenza del quesito precedente) dall asse x stesso, ossia 1. l equazione di Γ 1 : x ) + y + 1 ) ) 1 x 8x+16+y +y+ 1 1 Si può dunque scrivere immediatamente x +y 8x+y+16 0 c) Determinare l equazione della circonferenza Γ concentrica alle precedenti e tangente alla bisettrice del primo e terzo quadrante. Analogamente al caso precedente, il raggio della circonferenza Γ è uguale alla distanza di P dalla bisettrice del primo e terzo quadrante, che si può calcolare mediante la nota formula d ax P + by P + c, avendo cura di scrivere l equazione della retta nella forma a + b implicita ax + by + c 0 nel nostro caso, x y 0). Si ha dunque: r ) 1 + 1) ) e infine x ) + y + 1 ) 9 ) x 8x+16+y +y x +y 8x+y d) Determinare, infine, la lunghezza della corda intercettata sulla circonferenza Γ da ciascuna delle due tangenti alla circonferenza Γ parallele all asse x. Poiché, come si sa, la retta tangente a una circonferenza è perpendicolare al raggio nel punto di tangenza, il triangolo IF P risulta rettangolo, con P I r e P F r rispettivamente raggi di Γ e Γ calcolati in precedenza). Il teorema di Pitagora consente immediatamente di ricavare IF e quindi risulta EF IF r r 9 ) 5 )

Documenti analoghi

Problemi sulla circonferenza verso l esame di stato

Problemi sulla circonferenza verso l esame di stato * * * n. 0 pag. 06 a) Scrivi l equazione della circonferenza γ 1 di centro P ; ) e passante per il punto A0; 1). b) Scrivi l equazione della circonferenza