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2 Se ad esempio ε = 00 allora ε = [ ]. Quidi > 0 abbiamo 00 < a < + 00 Limiti di successioi e Teorema del cofroto Esercizio.. Si verifichi che 3 = Soluzioe. Per dimostrare la tesi procediamo el seguete modo: cerchiamo di scrivere sia il umeratore che il deomiatore come prodotto di due fattori 3 ( ) = ( ) 3 = 3 Per otteere la tesi dobbiamo calcolare il ite del rapporto di due successioi e per farlo calcoliamo il ite del umeratore e del deomiatore. Per cooscere tali iti dobbiamo prima dimostrare che Per calcolare tale ite utilizziamo il Teorema del cofroto o dei carabiieri. Questo Teorema ci dice che: Teorema (Teorema del cofroto o dei carabiieri). Date tre successioi a, b, c tali che da u certo i poi si abbia a b c. Se a e c soo covergeti (divergeti) e ammettoo lo stesso ite allora ache b è covergete (divergete) e ha lo stesso ite, cioé b = a = c Osserviamo che N {0} N {0} 0

3 Prediamo come successioe a e come successioe c =. La prima è la successioe costate ulla e la secoda è ua successioe covergete a 0, quidi per il Teorema del cofroto Dimostrato ciò, possiamo dire che i iti del umeratore e del deomiatore soo etrambi soo pari a e quidi il ite del rapporto è pari al rapporto dei iti, cioé. Osservazioe. Utilizzado il Teorema del cofroto si può dimostrare che per d >. Esercizio.. Calcolare il ite d si() + Soluzioe. Per calcolare tale ite utilizzeremo il Teorema del cofroto. Sappiamo che si(), quidi si() + si() Cosideriamo il ite della successioe che determia la prima maggiorazioe (3): + = ( + ) = ( + ) Il umeratore è dato dalla successioe costate e il deomiatore da ua successioe che diverge e quidi + Passiamo ora al ite della successioe della miorazioe (4): + = ( + ) = ( + ) 3 () ()

4 Il umeratore è dato dalla successioe costate - e il deomiatore da ua successioe che diverge e quidi + + Allora la successioe è compresa tra due successioi a = +, b = covergeti allo stessso ite e quidi la successioe coverge e coverge allo stesso ite a cui covergoo a, b cioé: Esercizio.3. Si calcoli il ite Soluzioe. Procediamo così: si() + 4 A questo puto possiamo dire che 4 ( ) = ( 4 ) ( ) ( 4 ) = 4 Ma per + il umeratore tede a + metre il deomiatore tede a allora il rapporto tede a e quidi 4 Esercizio.4. Si calcoli il ite Soluzioe. Procediamo così: = ( 3 = ) ( + ) Abbiamo scritto umeratore e deomiatore come prodotto di due fattori e vale che per + il umeratore tede a metre il deomiatore tede a + allora il rapporto tede a 0 e quidi 3 + 4

5 3 Limiti di a + b, a b, a b, a /b Negli esempi fatti i precedeza abbiamo utilizzato alcue regole sui iti delle successioi. Vediamole. I geerale date due successioi a, b rimagoo defiite le successioi a + b a b a b a /b e possiamo calcolare i loro iti cooscedo i iti di a, b. Ifatti abbiamo: a b a + b l l l + l + l + l ? a b a b l l l l + l > l < 0 l > 0 l < ± 0? a b 0 a /b l l 0 l /l l > 0 b 0 + l < 0 b 0 + l > l < 0 l > 0 l < 0 + ± ±? a 0 b 0? dove il? sta ad idicare dei casi i cui la successioe deve essere aalizzata attetamete e i cui ogi ite deve essere calcolato i modo particolare a secodo della successioe che si preseta. 5

6 Esercizio 3.. Si calcoli il ite + Soluzioe. Siamo di frote ad u caso particolare i cui + + Per eiare questa situazioe di icertezza moltiplichiamo la succesioe + per dove = allora quello che si ottiee è che il ite diveta + = ( ) + + ( + )( + + ) = + + = = ( + + ) Poiché il umeratore è dato dalla successioe costate, coverge a e poiché il deomiatore è dato da ua successioe divergete allora + Esercizio 3.. Si calcoli il ite Soluzioe. Siamo di frote ad u caso particolare i cui + Per eiare questa situazioe di icertezza moltiplichiamo la succesioe per dove = + + 6

7 allora quello che si ottiee è che il ite diveta = ( ) ( + ) + ( )( + ) = + ( ) = + ( ) = ( + ) ( ) = ( + ) Poiché il umeratore è dato dalla successioe che per + diverge a +, e poiché il deomiatore è dato da ua successioe covergete a allora Esercizio 3.3. Calcolare i iti = + (3) Soluzioe. Cosideriamo il ite (3). La successioe di cui si deve calcolare il ite è data dal rapporto di due successioi ed etrambe covergoo a zero. Allora ci troviamo di frote ad u caso particolare. Vale però: = = = + Cosideriamo il ite (4). La successioe di cui si deve calcolare il ite è data dal rapporto di due successioi govergeti a zero. Allora ci troviamo di frote ad u caso particolare. Vale però: = = (4) 7

8 4 Esercizi Esercizio 4.. Verificare co la defiizioe di ite che: (3 + ) = + Esercizio 4.. Verificare co la defiizioe di ite che: + = Esercizio 4.3. Calcolare il ite + Esercizio 4.4. Calcolare il ite Esercizio 4.5. Calcolare il ite cos()

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