Alcuni complementi sulle successioni

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1 Alcuni complementi sulle successioni 1 (Teorema del confronto) Siano {a n } e {b n } due successioni regolari tali che si abbia a n b n n N. (1) Allora: a n b n. (2) Dim. Sia L = a n ed L = b n. Se L = non c è niente da dimostrare. Supponiamo L = +. Dato comunque un k > 0, esiste un ν k tale che n > ν k a n > k, e quindi, per la (1) ossia L = +. Supponiamo ora n > ν k b n > k, < L < +. (3) Se L = + allora la (2) è ovvia. D altra parte non può essere L =. Infatti, se così fosse, dato che, per la (1), b n a n e che b n = +, per quanto già dimostrato dovrebbe essere a n = +, ossia L =. E ciò è assurdo (per la (3)). Sia quindi < L < +. Dobbiamo dimostrare che L L. Dato un ε > 0, esistono due interi ν ε, ν ε tali che: n > ν ε L ε < a n < L + ε n > νε L ε < b n < L + ε. Allora, per ogni n > max{ν ε,ν ε }, si ha L ε < a n b n < L + ε, ossia: L < L + 2ε. Per l arbitrariet di ε segue L L. Il teorema è così completamente dimostrato. 1

2 Osservazione 1 Se {a n } è una successione divergente positivamente e {b n } è una successione tale che vale la (1), allora necessariamente la {b n } è regolare e diverge anch essa. Ciò è evidente dalla dimostrazione stessa del teorema. Osservazione 2 Se la (1) è sostituita dalla condizione non è vero, in generale, che a n < b n n N, a n < b n. Basta considerare l esempio a n = 0, b n = 1/n. Osservazione 3 Il teorema 1 è ancora vero se la (1) sussiste solo definitivamente. 2 (Teorema della permanenza del segno) Sia {a n } una successione regolare tale che a n = a > 0 (a < 0). Allora si ha definitivamente a n > 0 (a n < 0). Dim. Sia 0 < a < + e sia ε tale che a ε > 0. Per ipotesi esiste un ν ε tale che n > ν ε = a ε < a n < a + ε da cui la tesi. Lasciamo al lettore la verifica nel caso a = +. In modo analogo si ragiona se a < 0. 3 Siano {a n } e {b n } due successioni tali che a n +, b n m, n N, essendo m una costante reale. Allora: a n + b n +. Dim. Per ipotesi, si ha: a n +b n a n +m. Poiché si constata immediatamente che la successione {a n +m} diverge positivamente, la tesi segue dal Teorema 1 e dall Osservazione 1. In modo perfettamente analogo si prova: 2

3 4 Siano {a n } e {b n } due successioni tali che a n, b n m, n N, essendo m una costante reale. Allora: a n + b n. Come applicazione di questi lemmi si possono studiare i seguenti iti (n2 + ( 1) n ) ; ( (n) n + sen n). Tenendo presente che le successioni convergenti sono itate, che le successioni divergenti positivamente sono itate inferiormente e che quelle divergenti negativamente sono itate superiormente, si ottengono le seguenti regole + + = + ; + + L = + ; = ; + L = (1). Non abbiamo considerato il caso +, ossia il caso di una successione del tipo {a n + b n }, dove {a n } diverge positivamente e {b n } diverge negativamente. In effetti, in generale, non si può dire nulla, nel senso che la successione {a n + b n } può convergere, divergere o essere indeterminata. Quando si presenta una situazione di questo tipo, si dice che abbiamo una forma indeterminata. A tale proposito si studino le successioni seguenti: ( n n); (a > 0). [(n + 1) 2 (n a + 2n)]; {[n + ( 1) n ] n a } 5 Siano {a n } e {b n } due successioni tali che a n +, b n m > 0 definitivamente. Allora: a n b n +. Se inoltre {a n b n } risulta definitivamente positiva (negativa), allora a n b n + (a n b n ). Dim. Per ipotesi si ha: a n b n a n m definitivamente. Essendo m > 0, si ha che { a n m} diverge positivamente. Dal Teorema 1 e dalle Osservazioni 1 e 3 segue che a n b n +. Il resto della tesi è ovvio. (1) Scrivendo + +L = + intendiamo questo: se a n +, b n L, allora a n +b n +. Analogo significato hanno le altre relazioni. 3

4 Dai Teoremi 5 e 2 seguono le seguenti regole: (+ ) (+ ) = + ; ( ) ( ) = + ; { = + se L > 0, (+ ) ( ) = ; (+ ) L = se L < 0 Anche per il prodotto si può presentare una forma indeterminata: (+ ) 0. A tale proposito proponiamo di studiare i seguenti iti (n + 1)( 1)n ; n a ( n n n) (a > 0). Per lo studio delle successioni prodotto può essere di qualche utilità anche il seguente lemma: 6 Siano {a n } e {b n } due successioni tali che Allora a n b n 0. a n 0, b n m, n N. Dim. Poiché: 0 a n b n m a n, per il Teorema dei Carabinieri si ha che a n b n 0, ossia che a n b n 0. Utilizzando questo lemma si trova subito che i seguenti iti sono tutti nulli: ( sen n n ; (senn) sen 1 ) ; e n2 tanhn. n Dal lemma 6 si trae il seguente, relativo alle successioni quoziente 7 Siano {a n } e {b n } due successioni tali che a n 0, b n m, n N. Allora si ha a n b n 0. 4

5 8 Siano {a n } e {b n } due successioni tali che Allora si ha a n +, 0 < b n m, n N. a n +. b n Dim. Basta applicare il lemma 7 alle successioni {1/a n } (si osservi che risulta a n > 0 definitivamente) e {1/b n }. Questi ultimi due lemmi dimostrano le seguenti regole: se < L < + si ha ± L = +, L ± = 0, mentre, se L < 0 oppure 0 < L +, 0 L = 0, L 0 = +. Per questo tipo di successione si presentano le seguenti forme indeterminate: e 0. Proponiamo di studiare i iti delle seguenti successioni al 0 variare dei parametri reali che vi compaiono: n + 1 n n2 + 1 n ; an + b cn + d ; (n + 1) a n[2 + ( 1) n ]. 9 Siano {a n } e {b n } due successioni convergenti e siano a e b i rispettivi iti. Supponiamo inoltre che a n > 0, n. Se a > 0 oppure se a = 0 e b > 0, si ha: abn n = a b. Dim. Per ottenere la tesi basta osservare che a bn n = e bn log an. (4) Dalla formula (4) seguono anche le seguenti regole (da interpretare sempre nel senso della nota (1) ): 5

6 L + { = + se 1 < L + = 0 se 0 L < 1 ; L { = 0 se 1 < L +, = + se 0 L < 1. Le forme indeterminate relative a questo tipo di successione sono le seguenti: 1, 0 0, 0. Ad esempio, la successione il cui ite è il numero di Nepero e: {( ) n } n è una forma indeterminata del tipo 1. Proponiamo di studiare anche i due iti seguenti: ( ) n 2 ( ; ) n. n n 2 6

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