V Tutorato 6 Novembre 2014

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1 1. Data la successioe V Tutorato 6 Novembre 01 determiare il lim b. Data la successioe b = a = se 0 se < 0 scrivere i termii a 0, a 1, a, a 0 e determiare lim a. Data la successioe b = provare che esiste u umero aturale N tale che b > 0 se N. Data la successioe calcolare il lim a. Data la successioe a = si + ( ) + 10 ( ) + calcolare il lim a 6. Data la successioe a = ( ) + si() ) + ( calcolare il lim a a = 7 + cos cos + 7. Provare che, comuque dati isiemi A, B e C, si ha A (B C) = (A B) (A C). 1

2 Soluzioi 1. Si mettoo i evideza, al umeratore e al deomiatore, i termii che vao all ifiito più velocemete, ovvero ( ) b = 8 6 ( ( ) 18 18) Posto u = ( ) ( 1 e v 8 6 = 18) 76 si ottiee ) 1 + u b = ( v dove si ha che u, v 0. Che la successioe u tede a 0 è ovvio, + ( ) metre per v basta osservare che 76 = Si ricorda, ifatti, il limite otevole b a 0 quado a > 1. + Se si poe α = 1 + u 1 + v si ha che tale successioe tede a 1 (per + ) e allora perché tede a 0. Osservazioe b = α + 0 I ogi somma si mette i evideza il termie più grade. A umeratore la situazioe è chiara. L uica cosa da otare è che i u prodotto l adameto o è dato dal più grade dei fattori ma dal prodotto degli stessi. Ad esempio se si avesse la successioe a = beché e siao più piccoli di 6, il loro prodotto è più grade, quidi ci si aspetta che la successioe teda a +, perché è tipo 7 6 =.

3 Per formalizzare questa idea si mette i evideza a umeratore = 7, che è la parte che e determia l adameto. Aalogamete el caso i esame, si è messo i evideza a umeratore 8 6. Metre, a deomiatore, si è messo i evideza 18 e o 80 perché ci si aspetta che il primo termie prevalga i quato è più grade la parte espoeziale (18 ) che è la parte che e determia l adameto asitotico. Qualora o fosse chiaro a vista quale possa essere il termie domiate ella somma, si prova tra due pezzi quale è quello più grade facedo il rapporto dei due e vededo se tede a 0 o a. I questo caso, cofrotado i due termii si ha che 80 tede a 0, quidi il 18 deomiatore è più grade, ossia da mettere i evideza. Si osserva ioltre che, come el caso di questo esercizio, se si ha ua forma imdetermiata del tipo b a, o essedo u limite otevole, lo si può ricodurre ( ad ) ua forma ota, facedolo divetare u quoziete; ad esempio = (, che tede a 0 dato che ) > 1.. I umeri 0, 1, soo miori si 0, per cui, per determiare i termii corrispodeti della successioe occorre far riferimeto alla legge a = + 1, da cui a 0 = 0, a 1 = = e a = + 1 =. Per = 0 occorre guardare la legge a = a 0 = = da cui si ha Per il limite bisoga cosiderare solo la parte per 0 (tato cota solo che cosa fa la successioe per grade) e quidi: lim a = lim + 1 = 1.. Ci si chiede se esistoo per i quali la successioe b sia positiva. Poiché il umeratore è positivo per ogi, basta limitarsi a studiare se il deomiatore lo è. Si osserva che è sufficiete mostrare 1870 > 0 per u opportuo, poiché se questo umero è positivo, lo sarà a maggior ragioe se vi si aggiuge. Si studia quidi se per u certo

4 vale > 1870 ovvero ( ) > 1870 Si osserva che per che tede ad ifiito di limite, questo sigifica che ( ) diverge, per defiizioe M R N N : ( ) > M, > N. Tale ( ) defiizioe garatisce che da u certo idice i poi la successioe è più grade di ogi umero M, i particolare di M = Si può ache ragioare i u modo leggermete diverso, che adrebbe bee ache se a deomiatore ci fosse 1870, metre il ragioameto fatto qui o sarebbe più valido. Basta otare che, metre il umeratore è sempre positivo, il deomiatore, come si verifica facilmete, tede a +, e quidi sarà positivo per ogi maggiore di u certo idice. Se è maggiore di tale idice, allora la frazioe sarà positiva, dato che sarao positivi sia il umeratore sia il deomiatore. Si osserva, ioltre, che la successioe b tede a 0, e da questa iformazioe o è possibile dedurre ulla sul suo sego (la successioe potrebbe tedere a 0 sia essedo positiva, sia essedo egativa), e per questo coviee studiare separatamete umeratore e deomiatore.. Per determiare l adameto asitotico della successioe a = si + si osserva che si 1 + per ogi N, allora si + 1. È possibile capovolgere perché i umeri i questioe soo etrambi positivi. Allora si ottiee 10 si + 10 =

5 La successioe è maggiorata da a = Mettedo i evideza le successioi espoeziali a umeratore e deomiatore si ottiee ) ( a 18 7 ( ) = 18 ( ) 6 u 7 ) ( ove si è posto u = ( ), co u + 0, allora la successioe a è maggiore di 0 per ogi e maggiorata da ua successioe che tede a 0, per il Teorema dei Carabiieri si puó cocludere che a Si cosideri la successioe ( ) + 10 ( ) + a = ( ) + si() ) + Se la differeza o da luogo ad ua forma idetermiata, si possoo cosiderare i limiti dei due termii e poi fare la differeza. Mettedo i evideza i termii che divergoo, occorre otare che ( el ) secodo termie, beché compaia ua successioe espoeziale,, questa tede a 0, quidi o è il termie da metter i evideza, cioè si ha ( ) ( ) 1 + ( 10 ) + 1 a = ( ) ( ) 1 + ( si() ) + 1 (

6 ( ) ( ) + 1 Se si poe u = 1 + ( si() e v = ( ) ) + 1 la successioe si riscrive come ( a = ) ( ) u v = u v dove u, v tedoo ad 1. ( ) Cosiderado che 0 si ha + a = La successioe si riscrive ella forma a = 7 + cos cos + a = 7 + ( cos ) + = 7 + ( cos ) + 1 completado il quadrato. Alla luce di ciò si osserva che ( cos ) 0 per cui la successioe è i particolare più grade di 7 per ogi N, ovvero per cui a stessa diverge. a

7 7. Si dimostrao separatamete le iclusioi dei due isiemi, per cocludere che questi coicidoo, ovvero si mostra che tutti gli elemeti di A (B C) soo elemeti di (A B) (A C) e viceversa. Si prede z A (B C) e si vuole provare che z (A B) (A C). Se z A (B C), allora z A e z B C; i ogi caso z A. Ioltre o z B o z C; el primo caso si ha z A e z B quidi z (A B), el secodo caso si ha z A e z C quidi z (A C). I tutti i casi z (A B) (A C). Viceversa, si prede z (A B) (A C) e si vuole provare che z A (B C). Se z (A B) (A C), o z (A B), quidi z A e z B o z (A C), quidi z A e z C. I tutti i casi z A; ioltre z B oppure z C, quidi z (B C) da cui z A (B C). 7

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