Navigazione tramite numeri e divertimento

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1 60 Chapter 6 Navigazioe tramite umeri e divertimeto Vladimir Georgiev Itroduzioe La ovità pricipale el ostro approccio e l avviciameto del lavoro dei ostri Lab ai problemi della vita reale tramite la parte problem posig ella prima fase delle loro attività. Più precisamete, ogi squadra (Lab matematico) poteva proporre u problema matematico e tutte le squadre erao state ivitate a presetare u problema della vita reale. Il ostro iteresse era particolarmete orietato verso i campi di avigazioe e astroomia. Ua delle difficoltà tipiche veiva dal fatto che era complicato defiire la codizioe di valida proposta del problema o richiedere uicità della soluzioe. La flessibilità delle regole i questa fase permetteva di proporre bellissimi problemi o di trattare situazioi complicate seza sapere a priori se la soluzioe si poteva trovare. Ogi squadra era composta da 5-7 studeti e professore. Questo Lab specifico doveva ivetare ua situazioe iteressate della vita reale e di proporre u problema matematico collegato alla situazioe. U altro gruppo di 6-7 professori di Matematica dell Uiversità costituiva la Commissioe della gara e il compito pricipale della Commissioe ella prima fase era di modificare il testo dei quesiti dove le spiegazioi o erao chiare. Coteuto del programma svolto i questa uità Teoria dei umeri Aalisi: proprietà delle successioi Combiatoria Compiti e problemi Mostreremo u esempio di u problema presetato i ua maiera attrattiva. L oggetto pricipale del problema era ua successioe particolare, descritta purtroppo i modo o be chiaro. Formalmete, il problema o è collegato direttamete co l argometo pricipale Navigazioe e Astroomia. Questo fatto implica che è difficile proporre problemi matematici su u argometo cocreto della vita reale. Noostate quello, il Lab della squadra è partito da u problema della teoria di umeri e poi è riuscita a iterpretarlo come ua piccola bellissima favola. All iizio presetiamo il problema proposto ella forma origiale e dopo vedremo le modifiche effettuate dalla Commissioe.. Problema I: Come si trova il tesoro? Il famosissimo pirata capita Secate fù costretto, dopo ua violeta tempesta, ad approdare su u isola iesplorata. Metre i suoi mariai provvedevao a riparare la ave, decise di esplorare l etroterra, e esattamete al cetro dell atollo trovò u grossissimo forziere, chiuso da u pesate lucchetto a combiazioe, che recava ua targa d ottoe:

2 Brigig Mathematics to Earth... usig may laguages 6 Fig. vedi [] Più i basso il pirata legge i segueti umeri: Capita Secate, più oto per le sue scorribade che per la sua itelligeza, decifra a malapea l iscrizioe, per provare subito ad iserire ua combiazioe a caso. Viee fermato appea i tempo dalle parole del suo ostromo, che gli dice aspetti capitao! Forse sò che combiazioe dobbiamo iserire. Posso aiutarla, ma a patto che spartiremo il bottio equamete. Su u fiaco del forziere il capitao legge Questo scrigo cotiee moete d oro i umero pari a 009!. Il pirata, che o coosce il sigificato del puto esclamativo, rispode Molto bee, ci divideremo il bottio, tuttavia, siccome io soo il capitao voglio almeo 500 moete d oro! Il ostromo, molto più matematico del malvagio corsaro, accosete ridedo sotto i baffi, e facedo due coti sulla sabbia i pochi miuti trova le ultime tre cifre del 009!-esimo elemeto della serie, e apre il forziere. Che combiazioe ha immesso il ostromo? E ua bellissima favola dove si cerca il codice del forziere. Sembra, che prima esisteva il problema matematico e poi la squadra ha ivetato la favola. La difficoltà restava el fatto che la successioe o era defiita rigorosamete. La Commissioe ha modificato la versioe iglese, dove la seguete defiizioe precisa della successioe a i si usa.

3 6 Chapter 6 Capita Secate, più oto per le sue scorribade che per la sua itelligeza, decifra a malapea l iscrizioe, per provare subito ad iserire ua combiazioe a caso. Viee fermato appea i tempo dalle parole del suo ostromo, che gli dice Aspetti capitao! Forse so che combiazioe dobbiamo iserire. Posso aiutarla, ma a patto che poi spartiremo il bottio equamete. Su u fiaco del forziere il capitao legge Questo scrigo cotiee moete d oro i umero pari a 009!. Il pirata, che o coosce il sigificato del puto esclamativo, rispode Molto bee, ci divideremo il bottio, tuttavia, siccome io soo il capitao voglio almeo 500 moete d oro! Il ostromo, molto più matematico del malvagio corsaro, accosete ridedo sotto i baffi, e facedo due coti sulla sabbia i pochi miuti trova la formula della successioe a i, dove a i per i pari e ua somma di ua progressioe aritmetica co differeza ± e ua successioe geometrica di ratio 5 e poi trova le ultime tre cifre del 009!- esimo elemeto della serie, e apre il forziere. Che combiazioe ha immesso il ostromo? Per far capire il testo i iglese per tutte le squadre (bulgare, russe, italiae ) la Commissioe ha aggiuto refereze e lik i Iteret. Presetiamo sotto alcue soluzioi. Soluzioi. Soluzioe del problema presetato della squadra Acutagoli (Livoro) Si ota facilmete che: = 5 = 5 proseguedo co questo ragioameto coviee scrivere: 5 = = 5 da queste cosiderazioi si desume che la successioe è: + f ( ) = 5 per = k f ( ) = 5 per = k co k umero aturale. Poichè la sequeza comicia co = 0 e il valore di aumeta ogi volta di u uità, il 009!-esimo elemeto della sequeza avrà = 009!. Poichè ioltre 009! è dispari, dato che il fattoriale di ogi umero maggiore di è multiplo di, la f ( ) da cosiderare è: f ( ) 5 = Sappiamo che 5 =000t+65, ovvero termia co 65, co α pari e maggiore di (vedi ota); per oi α = = (009! ) = 009!, che è proprio pari e maggiore di : quidi 5 = 000m Ioltre, dato che 009! è certamete multiplo di 000, allora 009! termia certamete co le cifre 999, quidi può essere scritto come Possiamo cocludere che il 009!-esimo elemeto della sequeza è uguale a: (009! ) 009! 5 = 5 (009! ) = 5 (009! ) = 000m + 65 ( ) da cui: 000( m ) = 000( m ) 7 = 000( m ) = 000( m ) + 66 Possiamo cocludere che le ultime tre cifre del 009!-esimo elemeto della sequeza soo 66, essedo u umero positivo (ifatti è ovvio che m>+). NOTA: Si può arrivare a tale coclusioe per iduzioe. Sapedo che 5 =65, dimostriamo che se 5 termia per 65 lo farà ache 5 (+), co >. Essedo 5 =000t+65, si ha che: 5 (+) = 5 + =5 5 =(000t+65) 5=5000t+565=(5000t+5000)+65.

4 Brigig Mathematics to Earth... usig may laguages 6. Soluzioe del problema presetato dalla squadra di Brescia Prima parte: La successioe richiesta è la seguete: a = Ifatti sostituedo ad opportui valori, si troverà facilmete: a = 0, a =, a =. Ioltre a + è determiato da ua ( ) somma algebrica di ua serie geometrica di ragioe 5 e primo termie 5 ed ua successioe aritmetica di ragioe e primo termie. Il 009! esimo termie della successioe sarà ( 009! ) 009! + 009! a 009! 5 009! 5 009! = = + di cui soo richieste le ultime tre cifre: La combiazioe è ! 009! 5 009! mod La stessa squadra ha affrotato ache il problema origiale iseredo alcui osservazioi ella secoda parte della soluzioe. Secoda parte: Nel caso i cui o siao date iformazioi sulla forma della successioe, e esistoo diverse co le sole segueti limitazioi: a = 0, a mod 000 tali che si arrivi a diversi valori per successioi ella forma: 009! a =, a = + ( ), ai e quidi a diverse combiazioi: ad esempio le a = f +, dove f ( + ) è ua fuzioe che soddisfa f = f ( ) = f ( ) = f ( ) = 0, f ( + ), ( 009! ) 0 mod ( 000) f. Ci si limiterà ora a dimostrare che esiste almeo ua fuzioe i questa forma. Si defiisca ( x )( x )( x )( x ) f x = α dove α è u aturale pari. f ( x) è la somma algebrica tra ua quatità certamete maggiore o uguale x, f ( x). Per x =, x =, x =, x = si avrà f ( x ) = 0, quidi si verifica ad e, quidi l ipotesi f = f ( ) = f ( ) = f ( ) = 0, a = 0, Resta da dimostrare che esiste almeo u α tale che f ( 009! ) 0 mod ( 000). Se per assurdo: allora α ( 009! )( 009! )( 009! )( 009! ) α ( 009! )( 009! )( 009! )( 009! ) 0 mod 000, mod 000 a =, a =. che è impossibile i quato il primo membro è certamete u umero pari perchè umero pari elevato ad espoete aturale, ed il secodo membro è u umero dispari. È stato dimostrato quidi che

5 6 Chapter 6 esistoo più successioi, che rispettao le ipotesi e foriscoo diversi risultati fiali, quidi portado quidi a diverse possibili combiazioi. NOTA: L esempio mostra la ecessità d iterazioe tra le due fasi: problem posig e problem solvig. Alcue osservazioi durate la soluzioe del problema possoo migliorare il testo del quesito. 5 Possibili ulteriori compiti Compito. Uo può provare a trovare le ultime quattro cifre del 009!-esimo elemeto della serie? Compito. E iteressate e difficile da defiire i modo attraete, ma rigoroso, altri tipi di successioi, per esempio la successioe di Fiboacci e trattare u problema simile. Compito. Si possao chiedere ai partecipati del corso di ivetare altri problemi simili. Testi di riferimeto (Cosigli per ulteriori letture): [] site of the Galilei competitio [] problems proposed by Math Labs

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