Compattezza in spazi di Banach, in spazi di funzioni e in spazi Lp, debole compattezza e Spazi riflessivi

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1 Compattezza in spazi di Banach, in spazi di funzioni e in spazi Lp, debole compattezza e Spazi riflessivi Lucia Miggiano,Emanuela Miggiano,Davide Cera April 5, Compattezza in Spazi di Banach 1.1 Lemma di Riesz Sia E uno spazio vettoriale normato e sia M E un sottospazio chiuso tale che M E. Allora ɛ > 0 u E tale che u = 1 e dist(u, M) 1 ɛ Dimostrazione Sia v E con v / M. Poiché M è chiuso, allora d = dist(v, M) > 0. Scegliamo m 0 M tale che Allora d v m 0 u = v m 0 v m 0 d 1 ɛ soddisfa la condizione. Infatti se m M, si ha u m = v m 0 v m 0 m 1 ɛ in quanto. m 0 + v m 0 m M 1

2 1.2 Teorema (Riesz) Sia E uno spazio vettoriale normato tale che B E sia compatto. Allora E ha dimensione finita Dimostrazione Ragioniamo per assurdo. Se E ha dimensione infinita, esiste una successione (E n ) di sottospazi di dimensione finita tali che E n 1 E n. Grazie al lemma 1.1 si puó costruire una successione (u n ) con u n E n, u n = 1 e dist(u n, E n 1 ) 1 2. In particolare u n u m 1 2 per m<n. Dunque la successione (u n) non ammette alcuna sottosuccesione convergente e ciò è in contrasto con l ipotesi B E è compatto. 2 Compattezza in Spazi di Funzioni 2.1 Lemma (Trucco diagonale di Cantor). Sia {a (i) j } i,j N tale che sup i,j a (i) j <. Allora {n } tale che {a (j) n } N converge j N Dimostrazione { } Poiché {a (1) n } n è limitata, esistono indici n (1) tali che a (1) converge. Essendo poi a (2) limitata, n (2) n (1) n { } { } { } { } (1) n (1) t.c. a (2) converge. Iterando n { } (2) il procedimento, troviamo degli indici n (i) tali che { } { } - n i+1 n (i) i { } - a (i) converge i [1, j] N n (j) { } Ponendo n := n (), abbiamo che a i n converge per ogni i 2.2 Teorema di Ascoli-Arzelà Siano f n C([a, b]). Supponiamo che (i) (equilimitatezza) M > 0 : sup x [a,b] f n (x) M n N (ii) (equiuniforme continuitá) ɛ, δ ɛ tale che: x y δ f n (x) f n (y) ɛ, n N Allora n : f n converge uniformemente in [a,b]. 2

3 NOTA La equiuniforme continuitá è certamente verificata se f n C 1 ([a, b]) ed esiste M tale che sup x [a,b] f n(x) M n N. Infatti le f n sono (Teorema del valor medio) Lipschitziane di costante M Schema di dimostrazione (nell ipotesi in NOTA) (i) (diagonalizzazione di Cantor) Sia D:={ x j : j N } denso in [a,b]. Allora α j R, n < n +1 : f n (x j ) + α j j Infatti f n (x 1 ) M α 1, φ 1 : N N strettamente crescente tale che f φ1()(x 1 ) α 1 1. Ugualmente, φ 2, α 2 : f φ1(φ 2())(x 2 ) α 2 1. Notiamo che si ha anche f φ1(φ 2())(x 1 ) α 1 1 φ 1 2(). Iterando, troviamo al passo j: φ j, α j : f φ1... φ j()(x i ) α i 1, i j Basta ora prendere n = (φ 1... φ )() (ii) Sia f(x j ) = lim + f n (x j ). Si ha che f(x i ) f(x j ) M x i x j i, j e quindi f si prolunga ad una f Lipschitziana (di costante M ) in tutto [a,b]. Infatti f(x i ) f(x j ) f(x i ) f n (x i ) + f n (x i ) f n (x j ) + f n (x j ) f(x j ) M x i x j + f(x i ) f n (x i ) + f n (x j ) f(x j ), i, j Basta ora mandare all infinito. (iii) f n + f uniformemente in [a,b]. Infatti, fissato ɛ > 0, siano N b a ɛ, I j := [a + (j 1) b a N, a + j b a N ], j=1,...,n. Se x [a, b], allora x I j per qualche j. Sia x j D I j. Si ha f n (x) f(x) f n (x) f n (x j ) + f n (x j ) f(x j ) + f(x j ) f(x) 2M b a N + f n (x j ) f(x j ) e quindi, da ɛ,x1,...,x N f n (x j ) f(x j ) ɛ, segue f n (x) f(x) 2ɛ. 2.3 Formula integrale di Cauchy Sia f una funzione olomorfa in un aperto U contenente un disco chiuso D. sia γ la frontiera di D percorsa in senso antiorario. Allora z 0 D si ha: f(z 0 ) = 1 f(z) dz 2πi z z Definizione Una famiglia F di funzioni continue in una regione R C è detta normale, se ogni successione {f n } di funzioni di F contiene una sottosuccesione uniformemente convergente sui compatti di R. γ 2.5 Teorema Una famiglia F di funzioni analitiche è normale rispetto a C se e solo se le funzioni di F sono uniformemente limitate su ogni insieme compatto. 3

4 2.5.1 Dimostrazione Per dimostrare la sufficienza proviamo l equicontinuitá. Sia C il bordo di un disco chiuso in Ω, di raggio r. Se z,z 0 sono in C, dal teorema integrale di Cauchy si ottiene f(z) f(z 0 ) = 1 2πi C ( 1 ζ z 1 ζ z 0 ) f(ζ)dζ = z z0 2πi C f(ζ)dζ (ζ z)(ζ z 0) Se f M su C, e se restringiamo z e z 0 al disco minore concentrico di raggio r/2, ne consegue che (*) f(z) f(z 0 ) 4M z z 0 r Questo dimostra l equicontinuitá sul disco piú piccolo. Sia E un insieme compatto in Ω. Ogni punto di E è il centro di un disco di raggio r, come sopra. I dischi aperti di raggio r/4 formano un ricoprimento aperto di E. Selezioniamo un sottoricoprimento finito e denotiamo i corrispettivi centri, raggi e limiti con ζ, r,m ; sia r il piú piccolo dei r e M il piú grande dei M K. Per un dato ɛ > 0 sia δ minore di r/4 e ɛr/4m. Se z z 0 < δ e z 0 ζ < r /4 segue che z ζ < δ + r /4 r /2. (*) è quindi applicabile e si trova f(z) f(z 0 4M δ/r 4Mδ/r ɛ come desiderato. 3 Compattezza in Spazi L p Poniamo (τ h f)(x) = f(x + h), x R N, h R N. 3.1 Teorema di Frechet-Kolmogorov. Sia F un insieme limitato in L p (R N )con 1 p <. Supponiamo che (*) lim h 0 τ h f f p = 0 uniformemente in f F cioè ɛ > 0 δ > 0 tale che τ h f f p < ɛ, h R N con h < δ, f F. Allora F Ω ha chiusura compatta in L p (Ω) per ogni insieme misurabile Ω R N di misura finita. 3.2 Corollario Sia F un insieme limitato di L p (R N ) con 1 p <. Supponiamo che valga la (*) e inoltre che: ( ) ɛ > 0 Ω R N limitato e misurabile, tale che f L p (R N Ω) < ɛ f F Allora F ha chiusura compatta in L p (R N ) Dimostrazione Dato ɛ > 0, sia Ω un insieme limitato e misurabile tale che valga la ( ). Per il teorama di Frechet-Kolmogorov sappiamo che F Ω ha chiusura compatta in 4

5 L p (Ω). Perciò possiamo ricoprire F Ω con un numero finito di sfere di raggio ɛ in L p (Ω), cioè F Ω i B(g i, ɛ), con g i L p (Ω). Posto g i (x) = { g i(x) in Ω 0 in R N /Ω evidentemente F è ricoperto dalle sfere B(g i, 2ɛ) in L p (R N ). 3.3 Corollario Sia G una funzione di L 1 (R N ) e sia F = G B ove B è un insieme limitato di L p (R N ). Allora F Ω ha chiusura compatta in L p (Ω) per ogni insieme misurabile Ω di misura finita Dimostrazione Evidentemente F è limitato in L p (R N ). D altra parte, se poniamo f = G u con u B, si ha e si conclude mediante il τ h f f p = (τ h G G) u p C τ h G G Lemma Sia G L q (R N ) con 1 q. Allora lim h 0 τ hg G q = 0. 4 Debole Compattezza 4.1 Definizione Uno spazio metrico E è separabile se esiste un sottoinsieme D E numerabile denso. 5

6 Convergenza debole* in L. Siano f n L. f n fin L f n h fh h L Teorema di Banach-Alaoglu Siano µ σ-finita ed L 1 (µ) separabile. Allora sup f n < + n, f L : f n f n Dimostrazione sup n f n h (sup n f n ) h 1 h L 1 (procedimento diagonale di Cantor!) n : l(h) := lim fn h esiste finito h D L 1 numerabile e denso; l si prolunga in modo lineare e continuo a tutto L 1 e quindi g L : lim f n h = l(h) = gh h D e quindi(in modo standard) lim f n h = gh h L 1. 5 Topologie Deboli 5.1 Richiamo Sia E uno spazio vettoriale topologico. Lo spazio duale topologico E su E è lo spazio dei funzionali lineari e continui su E. 5.2 Richiamo Sia H un iperpiano di equazione [f = α] e siano A, B E. H separa in senso stretto A e B se ε > 0 tale che f(x) α ε x A e f(x) α + ε x B 5.3 Definizione Uno spazio separato o spazio di Hausdorff X é uno spazio topologico che verifica l assioma di separazione di tipo T 2 : (x, y) X U, V aperti x U, y V e U V = 6

7 5.4 Teorema di Hahn-Banach nella Seconda Forma Geometrica Siano A E e B E due insiemi convessi, non vuoti e disgiunti. Si supponga che A sia chiuso e B sia compatto. Allora esiste un iperpiano H chiuso che separa A e B in senso stretto 5.5 Definizione Sia X un insieme e sia (Y i ) i I una famiglia di spazi topologici. i I si consideri un applicazione ϕ i : X Y i Sia T una topologia. Essa si definisce meno fine se ha il minimo di aperti che rende continue tutte le (ϕ i ) i I 5.6 Proposizione Sia (x n ) una successione di X.Allora x n x ϕ i (x n ) ϕ i (x) i I Dimostrazione Se x n x allora ϕ i (x n ) ϕ(x) i, giacché ciascuna ϕ i é continua. Viceversa, sia U un intorno di x. Sia U = i J ϕ i 1 (V i ), J I finito. Per ogni i in J esiste un intero N i tale che ϕ i (x n ) V i per n N i. Sia N = max i {N i }. Allora si ha x n U per n N 5.7 Proposizione Sia Z uno spazio topologico e sia ψ : Z X. Allora ψ é continua ϕ i ψ é continua di Z in Y i per ogni i I Dimostrazione Se ψ è continua, allora anche ϕ i ψ é continua, per ogni i I Viceversa, sia U un aperto di X; dimostriamo che ψ 1 (U) é un aperto di Z. Sappiamo che U è della forma ϕ 1 i (W i ) con W i aperto di Y i. Di conseguenza A = ψ 1 (U) = qualunque finita qualunque finita ψ[ϕ i 1 (W i )] = qualunque finita e A un aperto di Z perché ogni applicazione ϕ i ψ é continua 5.8 Definizione (ϕ i ψ) 1 (W i ) La topologia σ(e, E ) è la topologia meno fine su E che rende continue tutte le applicazioni (ϕ f ) f E 5.9 Proposizione La topologia σ(e, E ) è separata 7

8 5.9.1 Dimostrazione Siano x 1, x 2 E con x 1 x 2. Si cercano due aperti O 1 e O 2 per la topologia debole σ(e, E ) tali che x 1 O 1, x 2 O 2 e O 1 O 2 =. Per il Teorema di Hahn- Banach nella Seconda Forma Geometrica esiste un iperpiano chiuso che separa {x 1 } e {x 2 } in senso stretto. Dunque esistono f E e α R tali che Poniamo < f, x 1 >< α << f, x 2 > O 1 = {x E; < f, x >< α} = ϕ f 1 (], α[) O 2 = {x E; < f, x >> α} = ϕ f 1 (]α, + [) O 1 e O 2 sono aperti per σ(e, E ) e verificano x 1 O 1, x 2 O 2 e O 1 O 2 = 5.10 Definizione Gli intorni di zero in σ(e, E ) sono intersezioni finite di 5.11 Nota U x,ε = {x E < x, x > < ε} Se E ha dimensione infinita, la topologia σ(e, E ) non é metrizzabile, cioé non esiste alcuna metrica definita su E che induca su E la topologia σ(e, E ) 5.12 Definizione Sia E uno spazio di Banach, sia E il suo duale munito della norma duale: f = sup x E < f, x > e sia E il suo biduale, cioé il duale di E, munito x 1 della norma: ξ = sup f E f 1 < ξ, f > Si ha un iniezione J : E E definita: sia x E fissato, l applicazione l : f < f, x > di E in R costituisce una forma lineare continua su E, cioé un elemento di E denotato con Jx. Si ha dunque, < Jx, f > E,E =< f, x > E,E x E, f E. E evidente che J è lineare e che è un isometria, cioé Jx E = x E per ogni x E;infatti 5.13 Definizione Jx = sup < Jx, f > = sup < f, x > = x f 1 f 1 La topologia o σ(e, E) è la topologia meno fine su E che rende continue tutte le applicazioni (ϕ x ) x E 5.14 Proposizione La topologia debole σ(e, E ) è separata 8

9 Dimostrazione Siano f 1 e f 2 in E, con f 1 f 2. Esiste dunque x E tale che < f 1, x > < f 2, x >. Si supponga, senza perdita di generalità < f 1, x ><< f 2, x >. Sia α tale che < f 1, x >< α << f 2, x > Siano P 1 = {f E ; < f, x >< α} = ϕ x 1 (], α[) P 2 = {f E ; < f, x >> α} = ϕ x 1 (]α, [) P 1 e P 2 sono aperti, per σ(e, E), e verificano f 1 P 1, f 2 P 2 e P 1 P 2 = 5.15 Teorema di Banach-Alaoglu-Bourbai L insieme B E = {f E f 1} è compatto per la topologia debole σ(e, E) 6 Spazi Riflessivi 6.1 Definizione Sia E uno spazio di Banach e sia J : E E l immersione canonica. riflessivo se J(E) = E E é 6.2 Teorema di Kautani Sia E uno spazio di Banach. Allora E è riflessivo B E = {x E x 1} é compatto per la topologia σ(e, E ) 6.3 Proposizione sul Sottospazio Vettoriale Riflessivo Sia E uno spazio di Banach e sia M E sottospazio vettoriale chiuso. Allora M, munito dalla norma indotta da E é riflessivo 6.4 Corollario Sia E uno spazio di Banach. Allora E é riflessivo E é riflessivo 6.5 Corollario Sia E uno spazio di Banach riflessivo. Sia K E un sottoinsieme convesso, chiuso e limitato. Allora K è compatto per per la topologia σ(e, E ) 7 Spazi Separabili 7.1 Teorema (E Separabile E Separabile) Sia E uno spazio di Banach tale che E sia separabile. Allora E é separabile 9

10 7.1.1 Dimostrazione Sia (f n ) n 1 una successione numerabile densa in E. Poiché esiste x n E tale che f n = sup < f n, x > x E x 1 x = 1 e < f n, x n > 1 2 fn Sia L 0 lo spazio generato su Q = {x = (x, x N ) R N 1 R : x < 1, x N < 1} generato dalle (x n ) n 1, cioé L 0 é l insieme delle combinazioni lineari finite a coefficienti in Q di elementi di (x n ) n 1. Si noti che L 0 é numerabile, infatti per ogni n, Λ n = spazio vettoriale su Q da [x 1,..., x n ] é in corrispondenza con un sottoinsieme di Q n e L 0 = n 1 Λ n Sia L lo spazio vettoriale su R. L 0 é denso in L. Sia f E < f, x >= 0 x L. Dato ε > 0, n tale che f f n < ε si ha 1 2 f n < f n, x n >=< f n f, x n > + < f, x > ε Dunque f f f n + f n 3ε f = Corollario (Banach Separabile e Riflessivo Duale Separabile e Riflessivo) Sia E uno spazio di Banach. Allora E riflessivo e separabile E riflessivo e separabile 7.3 Definizione Uno spazio topologico (X, m) é metrizzabile se esiste su X una metrica d tale che la topologia indotta da d é proprio m 7.4 Teorema (Metrizzabilità di B E ) Sia E uno spazio di Banach. E é separabile B E é metrizzabile per la topologia σ(e, E). 7.5 Corollario sulle Sottosuccessioni Debolmente Convergenti in uno Spazio Separabile Sia E uno spazio di Banach separabile e sia (f n ) una successione limitata in E. Allora esiste una sottosuccessione (f n ) che converge per la topologia σ(e, E) Dimostrazione Si supponga, senza perdita di generalità che f n 1 n. Per il Teorema sulla Metrizzabilità di B E e il Teorema di Banach-Alaoglu-Bourbai l insieme B E é compatto e metrizzabile per la topologia σ(e, E). Da qui la conclusione. 10

11 7.6 Teorema sulle Sottosuccessioni Debolmente Convergenti in uno Spazio Riflessivo Sia E uno spazio di Banach riflessivo e sia x n una successione limitata in E. Allora esiste una sottosuccessione (x n ) che converge per la topologia σ(e, E ) Dimostrazione Sia M 0 lo spazio vettoriale generato da (x n ) e sia M = M 0. M è separabile, per il Teorema sulla separabilità di E. M inoltre é riflessivo per la Proposizione SVR.Risulta quindi che B M é un insieme metrizzabile e compatto per la topologia σ(m, M ). Infatti M é separabile per il Corollario BRSDRS e allora B M (= B M ) é metrizzabile per σ(m, M )(= σ(m, M )) per il Teorema sulla metrizzabilità di B E. Si può quindi estrarre una sottosuccessione (x n ) che converge per la topologia σ(m, M ). Quindi per restrizione a M delle forme lineari continue su E si deduce che (x n ) converge anche per la topologia σ(e, E ) 7.7 Teorema (Eberlein-Smulian) Sia E uno spazio di Banach tale che ogni successione limitata (x n ) abbia un estratta (x n ) convergente per la topologia σ(e, E ). Allora E é riflessivo 11