Y557 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO

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1 Pag. / Sessione ordinaria 008 Seconda prova scritta Y557 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE Indirizzo: PIANO INTERNAZIONALE INFORMATICA Tema di: MATEMATICA Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 dei 0 quesiti del questionario. PROBLEMA Nel piano riferito a coordinate cartesiane, ortogonali e monometriche, si considerino i triangoli ABC con A(, 0), B(, 0) e C variabile sulla retta d equazione =. 6. Si provi che i punti (, ) e ; corrispondono alle due sole posizioni di C per cui è ACB = A P 0 B P 0 Sia P ( P; P ) retta AB mpa = = = mpb = = = Con la formula 6 + = ± ) ) = = 4 A P ( ) ( ) m m' tanα = ± tan ( )( ) = ± = ± + mm ' 4 + ( )( ) + 4 ( )( ) = ± = = 0 N.S. 4 ± 6 5 = = ± 4 4 ± = = 5 B 5 P

2 . Si determini l equazione del luogo geometrico descritto, al variare di C, dall ortocentro del triangolo ABC. Si tracci. ( ; ) C k Dato che k l ortocentro lo determino Come intersezione dell altezza CH a AK m CB B C k = = k B C k la retta AK è k = ( k) k k 0 = ( ) O k = k k = ( k ) O k = k k k + = O = k 4 k 4 + = = + ' = (min) = = + Ma = = + ' = Asintoto = + = 0

3 . Si calcoli l area della parte di piano delimitata da e dalle tangenti a nei punti A e B. Tangente in A (,0) Tangente in B(,0) ' = = 0 = + ( ) = 9 ' = = 0 = ( ) = + 8 = = + = + = + 4 = 6 D D D D D = = = = = = Area = Area( ABD) d + d ln ln 4 ln ln 0,5 + = + + = + = = 4 4 Area = + ln = (ln ) 4. Verificato che è Ω = (ln ) si illustri una procedura numerica per il calcolo approssimato Ω = (ln ) Una procedura numerica potrebbe il metodo dei rettangoli 4 + = f() a= 0 b=,5 0,75 n= 8,5 0,5 delta 0,5,75 0,6786 0,5,5 0,08,5 0,5 s=,8074,75 0,07955 S= -, I=,8074

4 PROBLEMA Siano f e g le funzioni definite, per ogni reale, da ( ) f = e g( ) =. Si traccino i grafici di f e di g e si indichi con A la loro intersezione di ascissa negativa.. Si calcoli, con uno dei metodi di approssimazione numerica studiati, l ascissa di A con due cifre decimali esatte. Punto A Usiamo il metodo delle tangenti Per 0 = 0 f ( ) = f '( ) = ln f ( 0 ) = f ( ) 0 f '( ) = f ( ) = f '( ) f '( ) 0 Metodo di newton f() f'() Passo - -0,5, ,7869-0,0967, , ,0005,9405-0, ,7E-08,940744

5 Punto A A = 0,76 Altri punti di intersezione Sono B = C = 4. Quanti e quali sono gli zeri della funzione h( ) =? Si tracci il grafico di h. Dal grafico delle due funzioni le intersezioni sono. C.E. h( ) = 0 A( 0, 76;0) B(;0) C(4;0) h (0) = D (0;) h( ) 0 lim + 0 = + 0, 76 4 lim h '( ) = ln 0 = =,88 ln Due soluzioni = 0,48 =,6 (massimo) =, (min) =-,05 (Si possono calcolare con il metodo delle tangenti) Come vediamo le soluzioni sono due anche qui dovremmo calcolare con il calcolo approssimato. ln h '( ) = (ln ) 0 ln ln =,05 Flesso ln 4. Si calcoli l area racchiusa tra il grafico di h e l asse sull intervallo [, 4] ( ) d = + = ln ln ln ( ) d = ln

6 Y557 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE Indirizzo: PIANO INTERNAZIONALE INFORMATICA Tema di: MATEMATICA QUESTIONARIO. Siano dati un cono equilatero e la sfera in esso inscritta. Si scelga a caso un punto all interno del cono. Si determini la probabilità che tale punto risulti esterno alla sfera. Raggio della sfera inscritta l VolCono = l = l 4 4 VolSfera = l l = 6 54 l A 4 R = l P = l = 6 Vol l sfera probilità = = = = = Volcono l 4. Ricordando che il lato del decagono regolare inscritto in un cerchio è sezione aurea del raggio, si 5 provi che sin = 0 4 L angolo alla circonferenza di un lato del dodecagono è il lato l = Rsin da cui 5 0 sin l R l = dato che la sezione aurea è = R lr = l l + l R + R = 0 0 R l R l R ± R + 4R R ± 5R l = = da cui 5 R 5 Quindi sin = = 0 R 4 l = 5 R

7 . Un solido ha per base un cerchio di raggio. Ogni sezione del solido ottenuta con un piano perpendicolare ad un prefissato diametro è un triangolo equilatero. Si calcoli il volume del solido. Fig. fig. Il Volume del solido lo costruisco a partire dalla figura sezione fig. Tagliando il solido con piani perpendicolare all asse, si ottengono corde AB. Con A( ; ) B ( ; ) da cui AB = = Sommando tutti i prismi di base il triangolo equilatero (di lato ) e di altezza d ottengo il volume richiesto. Ricordando che l area di un triangolo equilatero è A( ) = l = ( ) = 4 = ( ) il Volume è dv = Ad = ( ) d Quindi ( ) ( ) ( ) 4 V = d = = + = 4. Si esponga la regola del marchese de L Hôpital (66 704) e la si applichi per dimostrare che è: 008 lim (Per la prima parte vedi teoria) + Le due funzioni sono continue e derivabili per qualsiasi. Derivando successivamente, otteniamo funzioni derivabili ! lim = lim = lim =... lim = ln + (ln ) + (ln )

8 5. Nel piano riferito a coordinate cartesiane (, ) si dica qual è l insieme dei punti per i quali risulta: > 0 Disequazione sempre vera per <0 Per > 0 < > = 0 = = ± Studiando le due curve abbiamo che = = C.E. 0 Non ha asintoti. ' = = 0 sempre positiva e nulla Per =0 ' = = > 0 sempre I lati di un parallelepipedo rettangolo misurano 8, 9 e cm. Si calcoli, in gradi e primi sessagesimali, l ampiezza dell angolo che la diagonale mandata da un vertice fa con ciascuno dei tre spigoli concorrenti al vertice. d = = 7 8 cosα = 7 9 cos β = 7 cosγ = 7 8 α = arccos = 6 55'9 ' 7 9 β = arccos = 58 0'0 ' γ = arccos = 45 05'55 ' 7 7

9 7. Perché è geometria non euclidea? Che cosa e come viene negato della geometria euclidea? Si illustri la questione con gli esempi che si ritengono più adeguati. Viene negato il quinto postulato 8. Sia f la funzione definita da f ( ) =. Si precisi il dominio di f e si stabilisca il segno delle sue derivate, prima e seconda, nel punto =. C.E. >0 ln f ( ) = = e f '( ) = ln e = ln f ln '( ) = ln = (ln ) > 0 f '( ) = (ln ) e ( ) = (ln ) ( ) f ln '( ) = (ln ) ( ) = (ln ) ( ) = ((ln ) + ) 9. In una classe composta da maschi e 8 femmine, viene scelto a caso un gruppo di 8 studenti. Qual è la probabilità che, in tale gruppo, vi siano esattamente 4 studentesse? p = = = = 0, Qual è l equazione della curva simmetrica rispetto all origine di = e? Quale quella della curva simmetrica rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante? ' = = ' t t e = ln = ln = = ln = ln ' = = ' Durata massima della prova: 6 ore. È consentito soltanto l uso di calcolatrici non programmabili. Non è consentito lasciare l Istituto prima che siano trascorse ore dalla dettatura del tema.