Lezione 6 Perdita di energia

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1 Abbiamo introdotto la perdita di energia per collisioni, che avviene tramite scattering coulombiani sugli elettroni del materiale. Questo è alla base di molti apparati usati per rivelare particelle cariche. Andremo ora un po più in dettaglio: de/dx Range Risalita relativistica (b min /b max ) e saturazione Fluttuazioni della perdita di energia Energia critica Rivelatori di Particelle 1

2 Per una singola collisione a parametro d impatto b: DEb energia persa o z De ( b) b v m trasferita z carica particella incidente m massa particella bersaglio La perdita di energia non dipende dalla massa della particella incidente Dipende dalla carica e dalla velocità della particella incidente Dipende dall inverso della massa del bersaglio favorito il trasferimento di energia agli elettroni atomici Va come 1/b grandi De per piccoli b Indichiamo con De il trasferimento di energia per un singolo urto e con DE la perdita di energia totale. Rivelatori di Particelle

3 Una particella veloce che attraversa la materia vede elettroni a varie distanze dal suo percorso. Se abbiamo N atomi per unità di volume con Z elettroni per atomo, il numero di elettroni dn che si hanno fra b e b+db in uno spessore dx di materia sarà: dn NZbdbdx se vogliamo la perdita di energia de/dx dovremo integrare su tutti i possibili parametri d impatto, ovvero: de dx 4NZ z mv b b max min 1 bdb b 4NZ z mv ln b b max min Nell ipotesi che ho un parametro d impatto minimo e massimo. Rivelatori di Particelle 3

4 Introducendo il numero di Avogadro N 0 : de d N0 z b 4 Z ln max x A mv bmin Osserviamo che la perdita di energia dipende solo dalla carica (z ) e dalla velocità 1/v del proiettile, non dalla sua massa M. Vediamo ora di ricavare i valori minimo e massimo del parametro d impatto b. Rivelatori di Particelle 4

5 b min >0 in quanto DE max non può divergere. Per collisioni frontali ho parametro d impatto minimo e massimo di energia trasferita: z e DE max =T max =(b g )mc ma: DE z b b c z gb mc zr b g e b min m Rivelatori di Particelle 5

6 Per ricavare b max osserviamo che l elettrone è in realtà legato ad un atomo per poterlo considerare libero il tempo di collisione deve essere minore del tempo di rivoluzione, ma t coll ~b/vg b max gv w dove con w si intende la frequenza di rivoluzione dell elettrone. Rivelatori di Particelle 6

7 Osserviamo: Lezione 6 Un trattamento, sempre classico, ma più corretto (Bohr) considera gli elettroni come degli oscillatori armonici b max. Il risultato è comunque praticamente lo stesso: de dx 4 NoZ A z mc 1 b g ln b mc Iz b Il termine di Bohr (-b /) è una piccola correzione; I = energia media di eccitazione della targhetta. Questa formula ottenuta classicamente è valida per particelle incidenti pesanti ( o nuclei), per particelle più leggere dobbiamo usare una trattazione quantistica. Rivelatori di Particelle 7

8 La formula di de/dx ricavata classicamente è comunque perfettamente adeguata per alcune osservazioni: 1. Picco di Bragg: la maggioranza della perdita di energia si ha verso la fine del percorso dove la velocità della particella è più piccola cura del cancro. de/dx x Rivelatori di Particelle 8

9 . Range: le particelle perdono energia e poi si fermano Dato un fascio monocromatico la profondità alla quale le particelle iniziali sono ridotte alla metà si chiama range medio. R E 0 E 1 de de dx Il range rappresenta la distanza attraversata dalla particella ed è diversa dallo spessore attraversato a causa dello scattering multiplo. È misurato in g/cm o in cm. (vedi Rivelatori di Particelle 9

10 Rivelatori di Particelle 10

11 Legge di scala (Range). R E M de dx R Lezione 6 Supponiamo di conoscere il range di 1 protone come f(e/m) il range di una particella con energia E è : R z z M h z E M f v 1 z g M ge M E con h funzione universale di M E M M M p Le relazioni range energia sono spesso espresse R(E)=(E/E o ) n. e.g. il range in metri di protoni di bassa energia nell aria puo essere approssimato con n=1.8 e E o =9.3 MeV. E M de M z z p R p con E M f e g funzioni Rivelatori di Particelle 11

12 Cenni sulla trattazione quantistica di de/dx. Abbiamo trascurato: 1. Gli scambi di energia sono discreti modifica di b max. Il risultato classico di scambi di energia possibili su un continuo è sbagliato, ma, in media, viene praticamente corretto.. Natura ondulatoria delle particelle e principio d indeterminazione modifica di b min. L analogo quantistico di b min è b min ~ħ/p. Bethe ricavò: de dx Z 1 1 mc b g T max 4N 0re mc z ln b A b I Dove T max è la massima energia incidente trasferibile in una singola collisione ed I il potenziale di ionizzazione medio. Rivelatori di Particelle 1

13 Osserviamo che de/dx: Lezione 6 de dx Z 1 1 mc b g T max 4N 0re mc z ln b A b I i. Dipende dalla carica della particella incidente (z ). (interazione Coulombiana). ii. iii. Per b crescente decresce come 1/b raggiungendo un minimo per bg ~3 4 e poi risale in quanto log(b g ) domina. (risalita relativistica). Dipende dal potenziale di ionizzazione medio del materiale. ( I dipende da Z, per Z 0 I/Z~10 ev. (Per una lista delle proprietà elettromagnetiche degli elementi vedi Fernow pag. 39 e figura prossima diapositiva) Rivelatori di Particelle 13

14 Rivelatori di Particelle 14

15 Rivelatori di Particelle 15

16 Effetto densità. La salita relativistica satura crescendo g plateau di Fermi. In materiali densi la polarizzazione del dielettrico del materiale altera i campi della particella incidente dai valori nello spazio vuoto a quelli caratteristici di campi macroscopici in un dielettrico. La polarizzazione del mezzo agisce da schermo e modifica il massimo parametro d impatto. Questo fenomeno è chiamato effetto densità in quanto dipende dalla densità del mezzo. Più denso è il mezzo tanto prima si raggiunge il plateau di Fermi la salita relativistica è più importante nei gas che nei liquidi e nei solidi. La formula di Bethe Block diventa: de dx Kz E funziona fino al % per particelle fino al nucleo di per b Per basse velocità (b~0.05) non è più valida in quanto non sono più valide molte delle assunzioni di Bethe Block. Z 1 b g mc b g ln A b I Rivelatori di Particelle 16

17 de/dx per composti e miscugli. Lezione 6 Una buona approssimazione della perdita di energia per composti e miscugli è data dalla regola di Bragg (vedi range) 1 de dx w1 de dx Dove w 1, w. Sono le frazioni in peso 1,.del composto: a Possiamo definire dei valori efficaci come segue: ln I E riscrivere la de/dx in termini dei valori efficaci. Z eff w eff i i 1 Ai A M a Z i i eff 1 aizi ln I Z i w de dx A M i ai Ai A eff eff a i A i aizi i Z eff Rivelatori di Particelle 17

18 Particelle della stessa velocità hanno praticamente la stessa de/dx in materiali diversi, se escludiamo l idrogeno. È presente una piccola diminuzione della perdita di energia all aumentare di Z. In pratica, la maggioranza delle particelle relativistiche hanno una perdita di energia simile a quella del minimo MIP (minimum ionizing particle). La perdita di energia è normalmente espressa in termini della densità di area ds=dx e le particelle ionizzanti al minimo perdono in media 1.94 MeV/(gr/cm ) in He, 1.08 in Uranio e ~4 MeV/(gr/cm ) in H. Rivelatori di Particelle 18

19 Fluttuazioni della perdita di energia. Lezione 6 Ricordiamo che la perdita di energia de/dx (Bethe Block) è un valore medio. de dx Kz Z 1 b g mc b g ln A b I La reale perdita di energia per una particella che attraversa del materiale fluttua a causa della natura statistica delle sue interazioni con i singoli atomi del materiale. Rivelatori di Particelle 19

20 Gli apparati sperimentali (granularità limitata) non misurano <de/dx>, ma l energia DE depositata in uno strato di spessore finito x. DE è il risultato di un certo numero i di collisioni con trasferimenti di energia E i e sezioni d urto ds/de. ds/dw~1/w tendo a trasferire piccole quantità di energia Gli eventi in cui ho una grossa perdita di energia sono associati alla produzione di e di rinculo ad alta energia ( rays ) la distribuzione della perdita di energia è tendenzialmente asimmetrica con una coda verso le alte energie. Rivelatori di Particelle 0

21 Fluttuazioni della perdita di energia. Lezione 6 Assorbitori spessi teorema del limite centrale distribuzione Gaussiana Assorbitori sottili Landau se molto sottili, Vavilov se poco sottili. Straggling functions in silicon for 500 MeV pions, normalized to unity at the most probable value Dp/x. The width w is the FWHM. Bibliografia Fernow (Introduction to experimental particle physics) Rivelatori di Particelle 1

22 Fluttuazioni di de/dx Assorbitori spessi: limite gaussiano. Per assorbitori relativamente spessi la distribuzione della perdita di energia è gaussiana. Ciò deriva direttamente dal teorema del limite centrale: la somma di N variabili casuali, ciascuna che segue la stessa distribuzione statistica diventa distribuita gaussianamente nel limite di N. Se consideriamo come variabile casuale la E, cioè l energia persa in una collisione singola ed assumiamo che in ogni collisione la velocità b del proiettile non è cambiata (in maniera apprezzabile) in modo che s(p) è costante l energia totale persa è la somma di tutte le E, tutte con la stessa distribuzione. Rivelatori di Particelle

23 Assorbitori spessi Se il materiale è spesso (ma non troppo) o denso N è grande quindi vale il teorema del limite centrale e la perdita totale di energia W è distribuita secondo una gaussiana f ( x, W ) exp W W s Essendo x lo spessore del materiale, W la perdita di energia nell assorbitore, la perdita di energia media, e s la deviazione standard. W Rivelatori di Particelle 3

24 Assorbitori spessi Bohr ha calcolato la deviazione standard s 0 per particelle non relativistiche: Dove N è il numero di Avogadro, la densità, A il peso atomico e Z il numero atomico del materiale. Estesa a particelle relativistiche diventa: Attenzione: Z s x e ) A s MeV 4Nr ( mc x s 0 Abbiamo assunto che la perdita di energia W è piccola rispetto ad E (energia iniziale) in modo che la velocità del proiettile non cambia se il materiale è molto spesso questo non è più vero e quanto detto sopra non vale. 1 1 b 1 b Z A Rivelatori di Particelle 4

25 Assorbitori sottili Assorbitori sottili. Nel caso di assorbitori sottili (o poco densi) N non è così grande da far valere il teorema del limite centrale. Il calcolo diventa estremamente complicato a causa di trasferimenti di grosse quantità di energia (raggi delta) in una singola collisione avrò una distribuzione di perdite di energia con una coda verso le alte energie, cioè asimmetrica. Rivelatori di Particelle 5

26 Assorbitori sottili La probabilità che una particella incidente di energia E perda energia compresa fra W e W+dW attraversando un dx infinitesimo è: Dove n a =N 0 /A= numero di atomi per unità di volume, ds/dw= sezione d urto differenziale per la particella incidente di perdere energia W in una singola collisione con un atomo. La probabilità totale di una collisione di perdere qualunque W nell infinitesimo dx sarà: q si chiama rate di ionizzazione primaria. W dwdx n a ds W dwdx dw d qdx na dw dx s dw Rivelatori di Particelle 6

27 Assorbitori sottili Semplice se dx è infinitesimo, ma complicato per dx finito. Consideriamo un fascio di N particelle di energia E. Sia (W,x) la probabilità che una particella perda un energia fra W e W+dW dopo avere attraversato uno spessore x. La forma di può essere determinata considerando come varia quando le particelle attraversano un ulteriore spessore dx. Il numero di particelle con perdita di energia fra W e W+dW cresce perché qualcuna che ad x aveva perso meno energia di W colliderà e perderà un energia fra W e W+dW in dx. Il numero di particelle con perdita fra W e W+dW diminuisce perché alcune particelle che avevano già perso l energia giusta prima del tratto dx ne perderanno ancora e quindi ne perdono di più di W+dW. Rivelatori di Particelle 7

28 Assorbitori sottili Se assumiamo che le collisioni che avvengono successivamente sono statisticamente indipendenti, che il mezzo assorbitore è omogeneo e che la perdita totale di energia è piccola rispetto all energia della particella incidente: Cioè: N W 0 W, x dxdw NW, x W e, xdxe dwdxde NW, xdwqdx W, x x W 0 Equazione integro-differenziale molto difficile da risolvere. Le differenze nelle soluzioni derivano essenzialmente dalle assunzioni fatte sulla probabilità (W) cioè dal trasferimento di energia per collisione singola. Ciascuno dei calcoli teorici ha un suo limite di validità ed una particolare zona di applicabilità a seconda del valore di un parametro k=/e max ( rappresenta l energia al di sopra della quale avrò almeno un raggio delta =kz (Z/A)(1/b )x essendo x lo spessore attraversato). dw e W e, xde qw, x Rivelatori di Particelle 8

29 Teoria di Landau Valida per /E max <0.01 Assunzioni: Lezione 6 Assorbitori sottili piccola rispetto al massimo possibile in una singola collisione (/E max piccolo) grande se paragonata all energia di legame degli elettroni (elettrone libero). Si trascurano quindi le piccole perdite di energia dovute alle collisioni lontane. Rivelatori di Particelle 9

30 Teoria di Landau Con queste assunzioni può essere fattorizzata come segue: con W, x f 1 W 1 ln 1 c e' ; 1 b I ln e' ln b ; mv c (costantedi Eulero) E L E e è il taglio sulla minima energia persa. Rivelatori di Particelle 30

31 Teoria di Landau La funzione universale f L () può essere espressa come segue: f L 1 0 ulnu e sin udu Valutando f L () si ottiene per il valore più probabile per la perdita di energia: W mp ln e ' = correzione per effetto densità e FWHM=4.0 Rivelatori di Particelle 31

32 Teoria di Vavilov Valida per 0.01<k<1. Lezione 6 Assorbitori sottili Caratterizzata da code un po meno asimmetriche. Osserviamo: Anche se il limite gaussiano si ha per k 10 già per k 1 la distribuzione assomiglia ad una gaussiana. Vavilov landau per k 0 ed ad una gaussiana per k. Rivelatori di Particelle 3

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