Note su energie e forze del campo elettromagnetico

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1 A. Maffucc: oe su Energe e Forze e campo eeromagneco ver.. /4. Energe e forze n un ssema eerosaco.. Energa n funzone carche e poenza. conser ssema n fgura, uo a conuor ne vuoo o n mezzo eerco omogeneo, neare e soropo escro a una ane eerca ε. nchamo con k e V k rspevamene a carca eerca e poenzae eerco e k-mo conuore.,v, V,V Unversà eg u Cassno e e Lazo Meronae k, V k Fg.. sema conuor carch, ne vuoo o n un mezzo eerco omogeneo, neare e soropo. oe su energe e forze e campo eeromagneco prof. Anono Maffucc maffucc@uncas. Conseramo apprma un sngoo conuore soao, oao carca nfnesma : per efnzone avoro nfnesmo necessaro per porare ae carca a poenzae a vaore a una generco vaore v è ao a: L v () e è uguae, esseno ssema soao, aa varazone energa nerna (energa eerosaca, ne caso n esame). Perano, energa eerosaca assocaa a una carca a poenzae V s può esprmere come: V V V W E v vcv C vv CV V, () C aveno uzzao a reazone che ega carca a poenzae araverso a capacà eerca: CV. (3) L energa assocaa a ssema carche n fgura sarà qun aa aa sommaora: W E k V k, (4) k ove V k è poenzae eerosaco ne puno occupao aa carca k, cacoao n assenza k. e a carca è srbua n moo connuo con ensà ρ n un voume, a (4) vena: W E Vρ. (5) Ver.. - cembre 4

2 A. Maffucc: oe su Energe e Forze e campo eeromagneco ver.. /4 A. Maffucc: oe su Energe e Forze e campo eeromagneco ver.. /4. Energa n funzone e camp eerc n aernava ae espresson (), (4) e (5), è possbe esprmere energa assocaa a un ssema eerosaco a parre aa conoscenza ea srbuzone e campo eerco. ee poes ae su eerco, camp eerc saranno ega aa reazone: D εe. (6) conser a srbuzone campo n fgura, e s conser un voumeo eemenare assocao a un rao ubo fusso per campo. Fg.. Voumeo eemenare un ubo fusso e campo eerco Teneno cono ea (), energa eerosaca assocaa a voumeo eemenare è aa a: W E V. (7) Appcano a Legge Gauss per campo eerco e a efnzone ensone eerca s ha: D, V E, (8) e qun energa s oene negrano a (7) nea regone spazo occupaa a camp eerc: W E DE. (9) L espressone (9) consene nrourre a ensà voumca energa eerosaca (espressa ne.. n Joue/m 3 ), aa a una ee seguen espresson: w E D w E DE εe. () ε n generae, se s rmuovono e poes su eerco, ae ensà sarà aa a: E, D w E D E. () rsua oenu consenono affermare che e regon occupae a camp eerc sono e regon n cu rsee energa assocaa a un ssema eerosaco. 3.3 Cacoo ea capacà un conensaore pano a parre a energa. conser conensaore pano n fgura, rascurano g effe boro e qun assumeno che campo eerco sa uo conenuo ra e ue armaure. campo eerco è ane e unforme e suo mouo vae: E, ε E - qun per a () a ensà energa vae: ε w E εe. Fg. 3. Conensaore pano ε L energa assocaa a conensaore è qun aa negrano a ensà ne voume : W E w E. ε ε ε ε Confronano uma espressone con a (), s oene a capacà ae conensaore: C ε..4 Esempo: cacoo ea capacà un cavo coassae a parre a energa. conser cavo coassae n fgura, rascurano g effe boro e qun assumeno che campo eerco sa uo conenuo a nerno. Fg. 4. Cavo coassae (conensaore cnrco) voume occupao a campo è nercapene ra ue conuor, per cu energa è aa a: W E w E εe. 4π r ε voume eemenare e nercapene è esprmbe come πr r, qun s avrà: W E ε R e R e R π. n. 4 4 π ε π ε π ε e r Re r r r R r R r πε R Confronano uma espressone con a (), s oene a capacà ae conensaore: πε C R n R R E - C πε C'. R n R r E( r) π rε 4

3 A. Maffucc: oe su Energe e Forze e campo eeromagneco ver.. /4 A. Maffucc: oe su Energe e Forze e campo eeromagneco ver.. /4.5 Forza assocaa a un ssema eerosaco. conser ssema eerosaco n Fgura 5, nee sesse conzon cu aa Fgura, assumeno che possa essere rasao rgamene ungo un asse. Fg. 5. Trasazone rga un ssema conuor ungo un asse. upponamo che una forza eserna oper una rasazone, assumeno che ssema sa soao e che qun e carche sano an. n ae conzone, avoro necessaro aa varazone eemenare poszone sarà uguae aa varazone nfnesma energa nerna norno aa poszone equbro k, k. W L W E E. e supponamo che processo evova araverso sa equbro, sane per sane a rsuane ee forze eerche agen su k-mo conuore è equbraa ae forze eserne responsab ea rasformazone, perano a forza eerca agene su conuore k-mo è esprmbe come: W F E,V, V,V k, V k,,,k, e conuor vengono rasa n una rezone arbrara, nee () e (3) compaono e ervae parza rspeo a ae rezone. Assumeno, nvece, che a rasazone avvene a poenza an, ne banco energeco () occorre conserare che a eserno occorre fornre anche energa WG e generaor che consenranno varare a carca k ea quanà k necessara a manenere poenza an, a varare ee poszon e conuor. W L W E G WE. V Esseno WG V V C, s ha n efnva: () (3) (4).6 Esempo: forza ra e armaure un conensaore pano. conser conensaore pano n fgura, assumeno ncremenare un rao a sanza ra e ue armaure. ea poszone generca, a capacà è aa a: ε C( ), e energa può essere espressa, secono a (), come: W E ( ) C( ) V. C( ) Assumeno carca ane, s avrà aa (3): Fg.6. Conensaore pano W F E. C( ) ε ε Lo sesso rsuao s può oenere assumeno V ane, usano a (6): W F E V C( ) V V ε V ε V. V ε segno negavo ea forza nca che e armaura s araggono, coerenemene co fao che su esse sono srbue carche segno opposo. ( V C) CV, F W E W G (5) CV V V V W qun F E. V (6) 5 6

4 A. Maffucc: oe su Energe e Forze e campo eeromagneco ver.. /4 A. Maffucc: oe su Energe e Forze e campo eeromagneco ver.. /4. Energe e forze n un ssema magneosaco.. Energa n funzone corren e fuss. conser ssema n fgura, uo a crcu eerc ne vuoo o n mezzo magneco omogeneo, neare e soropo escro a una permeabà magneca. Cascuno e crcu eerc è amenao a una forza eeromorce ek, è percorso a una correne k e è assocao a un fusso campo magneco concaenao Φk. Φ Φ e e e k Φ k e k Φ ove W M Φk k, (3) k Φ k è fusso magneco concaenao co crcuo k-mo, cacoao n assenza k.. Energa n funzone e camp magnec n aernava ae espresson () e (3), è possbe esprmere energa assocaa a un ssema magneosaco a parre aa conoscenza ea srbuzone e campo magneco. ee poes ae su mezzo maerae, camp magnec saranno ega aa reazone: B H. (4) Anaogamene a quano fao nea sezone., s conser a srbuzone campo n Fgura 8, e s conser un voumeo eemenare un rao ubo fusso per campo. Fg. 7. sema crcu eerc ne vuoo o n un mezzo magneco omogeneo, neare e soropo. Una varazone e fusso concaenao co k-mo crcuo fa nascere una f.e.m. ne k-mo crcuo: Φ v k k. (7) ncaa con Rk a ressenza assocaa a crcuo k-mo, banco enson mpone che: Φ v k k ek ek Rk k. (8) Mopcano m.a.m. a (8) per k s oene banco poenza eerca: Φ e R k k k k k k. (9) banco energa ne nervao emporae nfnesmo è qun ao a: ek k Rk k y k Φk. () prmo membro ae banco è energa eerca erogaa a generaore f.e.m. e k-mo crcuo: ae energa vene n pare uzzaa a ressore Rk e n pare mmagazznaa sooforma energa nerna assocaa a campo magneco. Teneno cono queso rsuao, energa magneca necessara per porare un crcuo a generco veo correne è par a: Φ W M Φ L L vv L Φ, () L aveno uzzao a reazone che ega fusso e campo magneco aa correne eerca: Φ L. () L energa assocaa a ssema corren n Fgura 7 sarà qun aa aa sommaora: 7 Fg. 8. Voumeo eemenare un ubo fusso e campo magneco Teneno cono ea (), energa magneosaca assocaa a voumeo eemenare è aa a: W M Φ. (5) Appcano a efnzone fusso magneco e a egge Ampère per campo magneco s ha: Φ B, H, (6) e qun energa s oene negrano a (5) nea regone spazo occupaa a camp magnec: W M BH. (7) L espressone (7) consene nrourre a ensà voumca energa magneosaca w M (espressa ne.. n Joue/m 3 ), aa a una ee seguen espresson: B, H B w M BH H. (8) n generae, se s rmuovono e poes su mezzo magneco, ae ensà sarà aa a: w M B H. (9) rsua oenu consenono affermare che e regon occupae a camp magnec sono e regon n cu rsee energa assocaa a un ssema magneosaco. 8

5 A. Maffucc: oe su Energe e Forze e campo eeromagneco ver.. /4 A. Maffucc: oe su Energe e Forze e campo eeromagneco ver.. /4.3 Esempo: cacoo e nuanza un cavo coassae a parre a energa. conser cavo coassae n fgura, assumeno conuor eerc perfe e rascurano g effe boro e qun assumeno che campo magneco sa uo conenuo a nerno. Fg. 9. Cavo coassae voume occupao a campo è nercapene ra ue conuor, per cu energa è aa a: B W M w M. 4π r voume eemenare e nercapene è esprmbe come πr r, qun s avrà: W M R e R π. n. 4 4 π π π e r R r r e r R r R r π R Confronano uma espressone con a (), s oene nuanza ae cavo: R L n π R.4 Forza assocaa a un ssema magneosaco. L' L R n. π R conser ssema eerosaco n Fgura 5, nee sesse conzon cu aa Fgura, assumeno che possa essere rasao rgamene ungo un asse. Φ Φ Fg.. Trasazone rga un ssema conuor ungo un asse. Ragonano come ne caso eerosaco, a forza che agsce ra e corren sarà esprmbe come ervaa e energa magneca norno aa poszone equbro k, k : W F M W M. Φ r πr R R e B e e Φ e Φ k e k k,,,k, B( r) (3) 9.5 Esempo: energa e forza n un eeromagnee conser eeromagnee escro n Fgura (a), supponeno che a permeabà magneca e ra n ferro possa essere renua nfna, rspeo a quea e raferr n ara. crcuo magneco n esame rappresena conceuamene un nerruore fferenzae: quano mouo ea correne supera un eermnao vaore eo sensbà, a forza arazone ra ue pezz e crcuo magneco è n grao ararre a barrea n basso, nerrompeno un conao eerco (non segnao neo schema). (a) (b) Fg.. Eeromagnee (a); crcuo equvaene (b).. Rsoveno crcuo equvaene Fgura (b) s può cacoare fusso concaenao co crcuo magneco e a sua nuanza magneca: Φ R Φ L. L energa magneca assocaa a eeromagnee s può aora cacoare aa () come: W M L. 4 n aernava, s può negrare a ensà energa magneca Φ B w M, che rsua essere nua ne ra n ferro, aveno assuno n a ra. Perano voume negrazone s ma a ue raferr, voume.. Esseno campo B Φ /, s avrà: B Φ Φ W M w M Usano a (3), a forza arazone (forza porane) è aora aa a: W F M Lo sesso rsuao s oene usano ara espressone ea (3), assumeno Φ ane. Φ R R R

6 A. Maffucc: oe su Energe e Forze e campo eeromagneco ver.. /4 A. Maffucc: oe su Energe e Forze e campo eeromagneco ver.. /4.5 Esempo: forza un nuceo un soenoe reneo conser soenoe reneo n Fgura, assumeno che a sua unghezza sa ae a poer rascurare g effe boro. e soenoe vene nsero fno a una cera unghezza un nuceo maerae ferromagneco permeabà reava r. nchamo con rao per cu nuceo rsua nsero ne soenoe. Rcorano a (3), a forza ungo ae ascssa e energa magneca s ha: W F M esseno L nuanza oae e soenoe. L( ). soenoe può essere vso come composo a ue soeno, uno avvoo norno a nuceo, unghezza, aro n ara, unghezza. Le nuanza e ue soeno s possono cacoare come:, r, L r,, ( ) L ( ) ue soeno sono percors aa sessa correne, coè sono n sere, qun L L L, per cu energa assocaa a ssema nea generca poszone arà aa a: Perano a forza sarà aa a: W M ( L L ) ( ( ) ). r W F M ( ) L ( ). r e esseno ne nuceo ferromagneco r > s ha F > : nuceo sarà rsucchao a nerno. A correne ane, energa assumerà vaore massmo quano uo nuceo sarà rsucchao a nerno, coè. n ae suazone s avrà: W M, ma r. Fg.. oenoe con nuceo parzamene nsero.6 Esempo: forza e energa n una nea bfare conser a nea bfare escra nea Fgura 3, conserano rspevamene una confgurazone fferenzae corren (corren verso opposo) e carca (carche oppose). assumano ue conuor eerc perfe, mmers n un mezzo maerae omogeneo, neare e soropo escro a paramer an ε e. a (a) (b) Fg. 3. Lnea bfare: confgurazone fferenzae ee corren (a) e ee carche (b). La capacà eerca e nuanza magneca per unà unghezza sono ae a: C ' πε a a n, L' n, a π a per cu e energe assocae rspevamene a camp eerc e magnec sono ae, per un rao unghezza, a: a n a C' v E C' πε a W, W M L' n. π a Conseramo ora una rasazone nea rezone orogonae a asse ea sruura, come ncao n fgura. Con rfermeno aa confgurazone carche, a forza ra ue conuor sarà aa aa (): W F E C( ) a n a πε segno e rsuao nca che ae forza enerà a ararre ue conuor.. πε Con rfermeno aa confgurazone corren, a forza ra ue conuor sarà aa aa (3): W F M a L( ) n. π a π segno e rsuao nca che a forza ra ue corren verso opposo è po repusvo. ues umo rsuao è aa base ea efnzone operava Ampère, come vaore e nensà correne ane che, scorreno con verso opposo n ue conuor parae e nfn pos ne vuoo a sanza m, prourrebbe su cascuno ess una forza per unà 7 unghezza par a / π /m.. a -