I numeri indici. Classificazione dei numeri indici. Simbologia per gli indici elementari. Numeri indice elementari

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1 I umeri idici Classificazioe dei umeri idici E' ua categoria di rapporti statistici molto diffusa perché agevola il cofroto di valori i occasioi diverse L'itegrazioe plaetaria delle relazioi ecoomiche rede ecessaria la corretta comparazioe del PIL, del livello dei prezzi, della qualità della vita (cocateameto) Fi dalla sua origie la Statistica (allora Aritmetica Politica) è stata usata per valutare le risorse di uo Stato, la sua capacità di produzioe, la leva militare. Acora oggi uo dei compiti fodametali dell'istat ha al cetro la defiizioe del livello geerale dei prezzi Detti ache idici complessi Numeri idice elemetari I umeri idici elemetari soo il rapporto percetuale tra i dati osservati i ua serie di occasioi, co il dato già osservato i ua occasioe di riferimeto Simbologia per gli idici elemetari Idicheremo i umeri idici elemetari co la seguete otazioe: che si legge: umero idice base x per l occasioe t. "Occasioe" sigifica che la rilevazioe è stata effettuata secodo u preciso ordiameto: spaziale, temporale o altro Esempio: cofroto del prezzo di listio per la Audi E Il umero idice a base fissa esprime la variazioe percetuale tra il dato correte ("t") ed il dato di riferimeto ("x") I umeri idici a base mobile (o cocateati) a partire dalla itesità "t" sarao idicati co i simboli: Il umero idice a base mobile esprime la variazioe percetuale tra il dato correte ("t") ed il dato dell'occasioe precedete ("t-1")

2 Esempio per gli idici elemetari Si abbia la serie (Y1=7, Y2=9, Y3=11, Y4=15, Y5=8) e si voglia calcolare la serie dei umeri idice base fissa 3 e a base mobile. Esempio I dati i tabella riguardao il cosumo medio auo di vio i Italia. Calcolare gli idici elemetari a base fissa '84 e gli idici a base mobile a partire dal Da otare che i umeri idici a base mobile possoo iiziare solo u periodo dopo l'avvio della serie Talvolta il primo dato della base mobile si poe uguale a 100 L'idice a base fissa ha atura di statica comparata ed evidezia u etto declio che o è ivece apparete ell idice a base mobile che ha atura diamica I feomei a decadeza leta (espoeziale) si ritrovao spesso i questo tipo di grafico Numeri idici e variazioi relative No esiste differeza logica tra umeri idici e variazioi relative x I t!100 = x I t! x I x = " # = ( )* Y t! Y x Y x Y t Y x +,- *100 % " ' *100! Y x% ' *100 = # Se il umero idice è i u occasioe t ed è i u altra s lo scarto assoluto sarà =8.9 vuol dire che l icremeto subito dalla variabile è pari all 8.9% del valore che aveva ell occasioe base x Y x Il primo è u calcolo più rapido perché evita la sottrazioe, ma la secoda dà ua iformazioe più diretta Numeri idici e variazioi relative/2 Che cosa misura la variazioe percetuale (o relativa) dell idice? " Y t! Y s % " " xi t! x I s % Y # x I ' *100 = x Y ' x t Y ' *100 = t ' # Y x # Y t! Y s Y x Y t Y x % ' " ' *100 = Y t! Y s % ' *100 ' # Y t Misura la variazioe relativa ei valori origiali (3.93% ). " x I t! x I s = Y t! Y s % " ' *100 = Y t! Y s % ' *100 # Y x Y x # Y x La variazioe relativa del umero idice a base fissa coicide co la variazioe relativa della variabile origiaria.

3 Proprietà dei umeri idici elemetari I umeri idice elemetari godoo di varie proprietà Ivariaza rispetto ai cambiameti di scala Ivariaza per le modifiche di scala Scaturisce dalla atura di rapporti dei umeri idici: se si moltiplica ogi itesità per la medesima costate, la serie dei umeri idici rimae ivariata. Cosideriamo due serie i rapporto di proporzioalità La serie degli idici calcolata sulle "Y" e la stessa di quella calcolata sulle "X" Reversibilità delle basi Circolarità Positività (perché si applicao a valori positivi) Esempio: adameto della spesa saitaria Spesa N.I Spesa N.I Ai I miliardi 1984=100 I milioi 1984= La serie dei umeri idici è idetica sia che la spesa sia i miliardi che i milioi. L'ivariaza si applica sia a quelli a base fissa che a base mobile ESEMPIO Utilità grafica Trattadosi di umeri puri (rispetto a trasformazioi moltiplicative), i umeri idici permettoo di rappresetare isieme valori espressi i uità molto eterogeee I tabella si riportao le serie storiche riguardati la raccolta lorda (i miliardi di dollari) ed il umero di fodi moetari egli USA Trasformazioe i umero idice Serie storiche molto diverse possoo codividere lo stesso grafico se trasformate i umero idice Matrimoi!!!!!!!!!!! Separazioi " " " " " " " " " " " # # # # Divorzi # # # # # # # " " " Div # # # # # # # # Sep " # " "!" #!" "! "! "!!!!!!! Mat Le due serie, umericamete diverse, coesistoo i uo stesso grafico basato sui umeri idici. Questo puto si perde Le scale perdoo i valori aturali Le etichette (o label) soo state abbreviate

4 La reversibilità delle basi Noto il umero idice base x per t sia da questo ricostruibile il umero idice base t per x. Esempio per la reversibilità Per passare dalla base fissa a alla base mobile basterà dividere ciascu termie della serie a base fissa per il precedete xi t * t I x = '! Y t * '! Y )# *100,* x * )# *100, = Y t * Y x *100 2 = x I t = 1002 (" Y x % + (" Y t % + Y x Y t t I x Tale proprietà cosete di passare da ua serie di umeri idici a base fissa ad ua corrispodete serie a base mobile. aerea. Data la serie '83-'88 dei viaggiatori (sbarcati) i avigazioe t!1i t = Y t Y t!1 *100 = ( " Y t % + * ' *100 - * # Y x - *" Y t!1 % - ' *100 ) *# Y x, - *100 = x I t x I *100 t!1 I pratica si passa dalla serie a base fissa quella i base mobile costruedo gli idici i base mobile della serie degli idici i base fissa Circolarità Cosete di otteere u idice passado attraverso tutti gli altri Permette ioltre di passare da ua serie a base mobile ad ua a base fissa. t!1 " ji j+1 j=x 100 t!x!1 = x I x +1 * x+1 I x+2 * * t!2 I t!1 * t!1 I t 100 t!x!1 # Y x+1 # % ( *100 Y x+2 # % ( *100* * Y t!1 # Y % ( *100 * t % ( Y = x ' Y x+1 ' Y t!2 ' Y t!1 ' 100 t!x!1 = # Y t % ( *100 t!x Y = x ' # 100 t!x!1 = Y t % ( *100 = Y x I t x ' Circolarità/2 Se il periodo correte "t" è precedete a quello base "x" lo schema o cambia, ma si articolerà i due passi: 1. Si calcola prima: xi t = 1002 t I x x!t+1 = x!1 = " j I x!1 j+1 " j I j+1 j=t j=t 100 x!t!1 2. Si sfrutta la reversibilità delle basi per calcolare: Serie 1983-'87 delle importazioi di cacao (i migliaia di quitali). Dalla Base Mobile si passa alla Base Fissa 1984 Formula ovviamete valida per t>x.

5 Esempio per la circolarità Costruzioe della serie i umeri idici a base mobile ed otteimeto della serie a base fissa '84. Cambiameto di base La reversibilità cosete il cambiameto della base co grade facilità Partiamo dalla serie i base fissa ell'occasioe "x" il problema si risolve facilmete se si moltiplicao i termii della serie i vecchia base per la quatità Tale rapporto è talvoltca cooscibile i via diretta Lo schema è perciò Cambiameto di base/2 Esempio Da base 82 a base 85 i Lo stesso risultato si poteva otteere utilizzado l'idice base '82 dell'85 No sempre soo oti i valori origiali e bisoga arragiarsi co i umeri idice

6 Raccordo di serie i basi diverse Dispoedo di serie a base fissa diversa si deve costruire ua serie i base uica. La procedura è simile al cambiameto di base. Bollettio Mesile di Statistica ISTAT ESEMPIO. Raccordare le due serie i ua serie uica base '83 3 Poiché è richiesto il raccordo a base '83 occorre cambiare quella a base '75. Si ha quidi bisogo del coefficiete Y75/Y83 che però o è oto direttamete. Si può ricavare dalla relazioe c( 75,83) = I 83 Tutti i valori della prima coloa, fio al 76, devoo essere moltiplicati per 100/ Numeri Idici Sitetici Esempio sui titoli di borsa I feomei che si presetao i pratica soo i geere troppo complessi perchè basti l'aalisi di ua solo variabile. A questi idici è dedicato poi uo studio separato Perchè la loro atura è itrisecamete multivariata Il livello dei prezzi La produzioe idustriale La crimialità L adameto della borsa Per avere ua idea del tred di questo gruppo di titoli si potrebbe calcolare ua media per ogi chiusura e su queste costruire u umero idice Perchè si possoo osservare solo idirettamete o solo a mezzo dell'accostameto di idicatori eterogeei Capacità impreditoriale Dispoibilità all'automazioe I tali occasioi è possibile studiare il feomeo attraverso u idice sitetico Questa scelta ha lo svataggio di assegare ad ogi azioe lo stesso peso (1/) e o sempre questo è realistico

7 Impraticabilità della media semplice I pesi uguali o possoo essere applicati se i prodotti soo eterogeei i quato sarebbero le varie uità di misura a stabilire l importaza dei prodotti Basterebbe alterare le scale di misurazioe per otteere risultati diversi. ESEMPIO Co i dati della tabella seguete calcolare il umero idice 1979=100, delle quatità trattate di ao i ao L'idice è domiato dalle misure solo umericamete più importati Ao Care Uova Acqua Vio Stoffe Totale Num. Kg Dozzie Bottiglie Litri Mtq Quatità Idice Totale delle valutazioi Suppoiamo di aver rilevato, i ogi ao il prezzo uitario di alcue merci (espresso i eurolire) di ua quatità fissa e di ua tipologia comparabile: Merce Care Uova Acqua Mier. Vio Stoffe Totale Prezzo Numero Ao Misura Kg Dozzie Bottiglie Litri m 2 Prezzi Medio idice xi t =! P it! P it *100 = *100 =! P ix! P ix " 1 %! ' P # it *100 " 1 %! ' P # ix L idice basato sulla media aritmetica semplice dei prezzi è domiato dai cambiameti ei prodotti umericamete (i prezzo) più importati: le stoffe e la care e questo è illogico perché igora l importaza relativa ell ambito del mercato. Media o poderata degli idici I alterativa si potrebbero calcolare i umeri idici per ciascu prodotto e solo successivamee calcolare ua media, ovvero costruire u INDICE SINTETICO NON PONDERATO U! 1 xi t = # i ' " % x I t Ao Care Uova Acqua Mier. Vio Stoffe N.I Problemi co l idice o poderato Il umero idice sitetico co pesi uguali risolve il problema della comparabilità. Ha però ha il difetto di dare la stessa importaza alle variazioi di tutti i soggetti dell idice. U! 1 xi t = # " % x I i ' t Gioro SELM SELM Risp. Tecomasio Media Ar. 15/ / / / / o fa distizioe tra le Selm ordiarie e le Selm a risparmio oostate l eorme differeza di importaza el volume degli scambi; I due procedimeti hao portato a risultati simili, ma tra loro c'è ua grade differeza: il primo è u rapporto di medie l'altro è ua media di rapporti L adameto dell idice sitetico è determiato dalle Selm a risparmio le cui maggiori oscillazioi più si riflettoo ella media aritmetica.

8 Livello geerale delle valutazioi E ua variabile multidimesioale o osservabile e o misurabile direttamete. Occorre dare ua defiizioe perché si possa propore poi la misura i modo idiretto. Desiderata di L(w,P) IDENTITA. Se i due diverse occasioi: la x e la t si riscotrao le stesse valutazioi: P ix = P it! "i", allora L( P x,w ) = L( P t,w ) Valutazioi delle etità Cocetto o deve cambiare il livello geerale. w i! 0, " w i = 1 P 1t P 2t... P t Pesi delle etità w 1 w 2... w L( p 1,p 2,,p ;w 1,w 2,,w ):( R + )! [ 0,1] " R + L(P,W) t Livello geerale delle valutazioi Defiizioe operativa OMOGENEITA LINEARE. Se si cambia l uità di coto delle valutazioi, il livello geerale cambia allo stesso modo: P * it = apit! "i" co a > 0 allora L P * t,w ( ) = al P t,w ( ) se le valutazioi soo espresse ad esempio i euro ivece che i lire, il livello geerale sia pure espresso i euro. Desiderata di L(w,P)/2 MONOTONICITA. Se da ua occasioe x si passa ad ua occasioe t i cui almeo ua valutazioe è aumetata e le altre rimaste uguali, il livello geerale deve aumetare: Formule per gli idici sitetici Gli INDICI SINTETICI si costruiscoo come media poderata di idici elemetari P ix < P it per almeo u "i" allora L( P x,w ) < L( P t,w ) Ogi aumeto del livello geerale avvertirà che uo o più delle valutazioi sigole si soo icremetate. Tra tutte le possibili fuzioi rispodeti alle tre codizioi precedeti si cosidera la formula che segue: ( ) = P r! itwi L P t,w,r " # dove r è u itero positivo. Di solito si ha r=1 (media aritmetica) oppure r tedete a zero (media geometrica) 1 % r ' Il sistema dei pesi riporta proporzioatamete le variazioi iterveute i tutti i prodotti cosiderati Poichè l'idice sitetico è ua combiazioe lieare degli idici elemetari, il peso W i idica di quato varierà l'idice sitetico se l'idice elemetare aumeta di ua uità (fermi restado gli altri idici elemetari)!l P t,w ( )! x I t i = w i Il caso della media semplice degli idici elemetari ricade ella formula geerale co pesi W / per,2,...,

9 Esempio di costruzioe Schema di aggregazioe A partire dalle rilevazioi segueti CITTA' Prodotti Como Padova Latia Tarato Palermo Te Caffè Calcolare u idice dei prezzi Latia=100 secodo i segueti schemi: a) Idice elemetare basato sulla media aritmetica dei prezzi; b) Idice sitetico costruito dado pesi uguali ai due prodotti; c) Idice sitetico costruito dado peso 0.7 al caffè. Città T C M a I Ma I T I C (I T+I C)/2 0.3I T+0.7I C Como Padova Latia Tarato Palermo il sistema dei pesi può derivare da ua sequeza gerarchica di sottosistemi di poderazioe legati a composizioe merceologica, suddivisioe territoriale, etc. Ogi sottosistema ha somma uitaria. Il peso effettivo di ogi bee o servizio deriva dal prodotto dei pesi ai vari livelli gerachici che lo iteressao Cosiderazioi sugli idici di prezzo L approccio aggregato atteua diverse obiezioi e riserve sugli idici sitetici La tipologia di cofezioe Luogo d acquisto Metodo di pagameto Prossimità alla scadeza della data di cosumazioe Scoti e promozioi Tipo di acquirete P it Q it Simbologia Valutazioi umerarie del prodotto i apparteete ad u paiere di altri prodotti, realizzatesi ell occasioe t Le quatità del prodotto i scambiate ella medesima occasioe t I umeri idici dei prezzi NON possoo stabilire che i prezzi siao... Più alti a Milao che a Coseza, Nei capoluoghi di provicia più che ei comui motai Per i ricchi meo che per i poveri Per i lavoratori dipedeti più che per quelli autoomi Per i disoccupati diversamete che per gli occupati, Per gli aziai che o per i giovai V t =!!P it*q it Valore complessivo dello scambio relativo agli prodotti trattati ell occasioe t L uso dei prezzi 8valori umerari) rede comparabili quatità e servizi che altrimeti o potrebbero essere coivolti i uo stesso calcolo Quello che si può ragioevolmete richiedere è che dicao se il livello dei prezzi varia di più o di meo per qualcua delle categorie idicate Il umero idice sitetico potrebbe allora essere istituito tra i termii della serie dei valori poiché questa è relativa ad uico "prodotto"

10 ! P it Q it Base fissa : x I V t = *100! P ix Q ix Formula del valore Il valore ell occasioe x è cotrapposto ad valore di riferimeto " P it Q it Base mobile: t!1 I V t = *100 " P i,t!1 Q i,t!1 Variazioe relativa del valore complessivo di scambio tra due distite occasioi Formula del valore/2 Il valore ell occasioe x è cotrapposto ad valore di riferimeto "! P it Q P ix % (" it! ' P x I V t = # P *100 = ix it Q it! ) * # *100 =! P ix Q ix! P ix Q ix " =! # P it P ix P ix P ix % + ' *100, - P itq it! P ix Q ix E ua media poderata, ma la somma dei pesi o è ecessariamete uo. Potrebbe essere u difetto: o è garatita l iteralità della media. ( + % ' 100 P it Q " it = P it % ' * P 100 it Q it -! P ix Q # P ix * ix! P ix Q - = i!! x I twi ix ), Risolve il problema della comparazioe per le maifestazioi di u feomeo complesso quale il livello geerale delle valutazioi Il livello geerale o sarà sempre compreso tra l idice più piccolo e più grade il cofroto è di scarso aiuto visto che le variazioi potrebbero essere dovute sia a cambiameti elle quatità che a cambiameti elle valutazioi Esempio Date le iformazioi coteute ella tabella Bei Qit Pit Qit Pit Qit Pit Zucchero Faria Latte Uova calcolare il umero idice sitetico co la formula del valore co base 1981 Valori reali e virtuali Oltre ai valori effettivi scambiati elle occasioi a cofroto, ci soo due valori figurativi che soo di estremo iteresse Quatità "x" "t" Valutazioi " x" P ix Q ix P ix Q it "t" P it Q ix P it Q it Reali Ai Calcolo Valore Idice *10+80*15+20*7+27* *12+75*16+15*10+25* *14+70*18+14*12+22* Noostate i difetti trova Comuque impiego i alcui idici di borsa! P ix Q it Virtuali Valore complessivo delle etità all occasioe t se fossero i vigore le valutazioi dell occasioe x Il cofroto diretto dei sigoli bei o era iformativo. L azioe uificate dei prezzi permette di stabilire che il livello dei 4 bei è più alto el 1981 che el 1982.! P it Q ix Valore complessivo delle etità all occasioe t se co le valutazioi di questa si fossero trattate le quatità della x

11 Formula di Laspeyres La formula di Laspeyres cofrota il valore di u aggregato di prodotti rilevato ell'occasioe base co il valore che lo stesso aggregato avrebbe avuto se le quatità "x" fossero valutate co le quotazioi "t" Esempio Date le iformazioi coteute ella tabella Bei Qit Pit Qit Pit Qit Pit Arace Limoi Madarii Calcolare il umero idice sitetico co la formula di Laspeyres co base La formula di Laspeyres ricade ella classe degli idici sitetici: Ai Calco lo Serie Idice * * *125 = * * *115 = * * *103 = i pesi, determiati ell'occasioe base, soo pari al rapporto tra la valutazioe del prodotto i-esimo e la valutazioe complessiva degli "" prodotti coivolti ell'idice. Iterpretazioe statistica Vogliamo stimare la media b del rapporto dei prezzi P is /P ir ipotizzado: p ir p is = b + e i Formula di Paasche Cofrota il valore di u aggregato di prodotti rilevato ell'occasioe "t" co il valore che lo stesso aggregato avrebbe avuto se le quatità della "t" fossero state valutate co le quotazioi della "x" Ioltre, si ritiee che: E( e i ) = 0; Var( e i ) =!2 w ix Lo stimatore ai miimi quadrati (co errori eteroschedastici) è: ˆ b = "! # ( ) w ix w ix P it Pix! ( ) 2 w ix % ' = Laspeyres Lo stesso ragioameto si potrà sviluppare per l idice delle quatità Ache la formula di Paasche è ricoducibile alla espressioe degli idici sitetici: P i x I t =! wix ( x I t ), w ix = p ixq it! p ix q it N.B. I pesi ella Laspeyres soo fissi. Nella Paasche variao di occasioe i occasioe

12 Esempio Date le iformazioi coteute ella tabella Bei Q it P it Q it P it Q it P it Zico Rame Piombo Calcolare il umero idice sitetico co la formula di Paasche co base 1978 Ai Calcolo Serie Idice * * *61 = * * *61 = * * *68 = * * *61 = * * *70 = * * *61 = ! P ix Q ix! P it Q it x I L x = *100 = 1*100 =100; t I L t = *100 =1*100 = 100;! P ix Q ix! P it Q it! P ix Q ix! P it Q it x I P x = *100 = 1*100 = 100; ti P t = *100 = 1*100 =100;! P ix Q ix! P it Q it Proprietà dell idetità Si riflette el fatto che il umero idice sitetico deve essere uguale a 100 se, el passare dall occasioe x alla t (o viceversa), le valutazioi o subiscoo essua modifica. Sia la formula di Laspeyres che quella di Paasche verificao tale codizioe. Ifatti: Proprietà della omogeeità Sia la formula di Laspeyres che quella di Paasche verificao tale codizioe. Ifatti: '! P ix Q ix x I t L = *100 =! P ix Q ix '! P it Qix! ap ix Q ix! P ix Q ix *100 = a L *100 =a x I t! P ix Q ix! P ix Q ix Le due formule portao allo stesso risultato se tutte le valutazioe subiscoo ua modifica moltiplicativa rispetto alla valutazioe base Se tutti gli idici elemetari aumetao del 2% ache quello sitetico aumeta del 2% U aumeto del 2% el sitetico o dà alcua idicazioe su quello che succede egli elemetari se o che è prevalso l aumeto.! ap it Q it! P it Q it x I t P = *100 = *100 = a P *100 =a x I t! P it Q ix! P it Q ix! P it Q ix Proprietà della mootoicità Trattadosi di medie aritmetiche poderate verificao certamete la proprietà di mootoicità. Ifatti: ( L)!L( t I x ) i = P ix Q ix > 0! x I t " P ix Q ix ( P)!L( t I x ) i = P ix Q it > 0! x I t " P ix Q it Nella formula di Laspeyres l effetto è prevedibile a priori i quato il peso è prefissato; Nella formula di Paasche dipede dal livello raggiuto dalle quatità dell occasioe correte. No può essere prestabilito, ma va appurato di volta i volta.

13 Cofroto Paasche - Laspeyres (valutazioi) Esempio Formula di Laspeyres La struttura dei pesi è fissa (stabilità) ( L)!L( t I x ) i = P ix Q ix! x I t " P ix Q ix Si aggiora rilevado solo i uovi prezzi Formula di Paasche La struttura dei pesi varia (diamicità) ( P)!L( t I x ) i = P ixq it! x I t " P ix Q it Si aggiora rilevado i uovi prezzi e le uove quatità Bei Occasioe 1 Occasioe 2 Quatità Prezzo Quatità Prezzo A B C D Sviluppiamo le due formule per l occasioe 1 i base occasioe 2. E' poco sigificativo per occasioi lotae dalla base ( a meo di cambiare base) Produce valori più alti i fase di aumeto dei prezzi e valori più bassi i fase di calo dei prezzi Tede a sovrastimare gli aumeti di prezzo (tedeziosità positiva) Il cambiameto della base produce risultati approssimativi Produce valori più bassi i fase di aumeto dei prezzi e valori più alti i fase di calo dei prezzi Tede a sottostimare gli aumeti di prezzo (tedeziosità egativa)! P i1 Q i1 = 2685;! P i 2 Q i 2 = 2770; 2 I 1 L = ! P i 2 Q i1 = 3040;! P i1 Q i2 = 2455; 2 I 1 P = Nel passare dalla 2 alla 1 si ha ua dimiuzioe del valore complessivo (da a 2 685) che è dovuta soprattutto ad ua dimiuzioe dei prezzi (le quatità all occasioe 2 soo costate co i prezzi correti co u costo di se fossero state acquistate ai prezzi della 1 ). Formula di Laspeyres per le quatità La formula di Laspeyres è altrettato utile quado si cofigura come ua media aritmetica poderata degli idici elemetari di quatità Formula di Paasche per la quatità La formula di Paasche è altrettato utile quado si cofigura come ua media aritmetica poderata delgi idici elemetari di quatità t I ( x L* ) =! Q it ' # * P " Q it Q ix ' P ix Q it ix % = ' P ix Q ix ' P ix Q ix L uica differeza è el umeratore che ora moltiplica le quatità correti per i prezzi della base: Valore del paiere di oggi se fosse valutato ai prezzi di allora rapportato al valore complessivo di allora. Serve per costruire idici della produzioe, del fatturato, della crimialità, etc. t I ( x P* ) =! P it Q it! P it Q it = " Q ix %! ' * P # Q it Q it! P it Q ix it La sola differeza è el deomiatore che ora moltiplica le quatità base per i prezzi correti ivece delle quatità correti per i prezzi base. Valore del paiere di oggi se fosse rapportato al valore del paiere composto co le quatità base, ma valutate ai prezzi attuali

14 Relazioe tra Laspeyres e Paasche E dovuta a vo Bortkiewicz ( P) ti x ti ( L ) = ti ( P* ) x ( L* ) x ti = x! P it Q it! P it Q ix! P it Q it! P ix Q ix = * =! P ix Q it! P it Q ix! P ix Q it! P ix Q ix = 1+ " * # p ( L) ti * # q ( L* ) x ti x Quidi la formula di Paasche dà u valore superiore o iferiore a quella di Laspeyres secodo che la correlazioe tra prezzi e quatità sia positiva o egativa. Coicidoo se!=0. dove! è il coefficiete di correlazioe tra gli idici semplici dei prezzi e gli idici semplici delle quatità. " p è lo scarto quadratico medio dei primi e " q quello dei secodi. Formule miste Le formule di Laspeyres e Paasche geerao a loro volta due altri schemi che soo però molto meo usati: Fisher : x I t F = x I t P x I t L ; Edgeworth! Marshall! Bowley : S Sidgwick : x I t = x I t P L + x I t ; 2 L L x I t * " Pix Q ix + x I t " P ix Q it Tutte queste formule soo delle medie (geometrica, aritmetica e poderata) di Paashe e Laspeyres per cui da esse ci si attedoo dei valori itermedi (proprietà della iteralità delle medie) tra i due idici. " P ix Q ix + " P ix Q it Settimaa borsistica L idice di Fisher fu defiito ideale perché verifica la reversibilità delle basi e compesa le opposte tedeziosità. Tuttavia, a causa delle difficoltà di aggiorameto, o ha avuto applicazioi estesive. L idice EMB (Marshall-Edgeworth-Bowley) tiee coto delle quatità del periodo base e del periodo correte e ciò è utile se i cambiameti soo drastici. Metodo dell'occasioe tipica (Lowe) Ivece di poderare le valutazioi co le quatità vase (Laspeyres) o co quelle correti (Paasche) si podera co delle quatità fittizie o stadard.! P it Q is ( ) = t I S x! P it Q is Epoca Vt=!PitQit!PixQit!PitQix Laspeyres Paasche Fisher E.M.B ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' dove le Q is soo le quatità fittizie. Ad esempio la media aritmetica t Q ij! j=x Q is = t " x +1 No esistoo differeze apprezzabili tra le varie formule e questo è u sego della stabilità dello scambio el periodo studiato. L idice MEB è u caso particolare della formula dsi Lowe: le quatità stadard soo otteute come semisomma delle quatità bae e di quelle correti.

15 Esempio Di seguito si riporta la tabella su prezzi e quatità di alcui cereali i tre periodi sigificativi. Ao 1986 Ao 1987 Ao 1988 Cereali Prezzi Quatità Prezzi Quatità Prezzi Quatità Grao Orzo Riso Avea Sorgo Scelta del paiere Ci si può limitare ad ua selezioe di prodotti più rappresetativi, cioè scelti tra quelli le cui variazioi di dao ua chiara idicazioe sul seso e sulla gradezza delle variazioi subite da prodotti dello stesso geere (prodotti leader). Occorre ioltre che i prodotti scelti siao facilmete idividuabili e che presetio caratteristiche merceologiche e commerciali uiformi el tempo e ello spazio. Calcoliamo il umero idice dei prezzi - metodo dell occasioe tipica baase adottado per quatità le medie aritmetiche delle quatità sui tre ai Quatità Cereali Prezzi Prezzi Prezzi stadard Grao = Orzo = 3 28 Riso = 3 52 Avea = 3 37 Sorgo = 228 Il progresso tecico che elimia dal mercato prodotti obsoleti e e itroduce di uovi porta spesso a rivedere la composizioe del paiere. Tali variazioi soo idispesabili per teere dietro all evolversi, sempre più rapido, dei gusti e quidi dei cosumi. però le scelte o soo seza cosegueze e vao chiarite e motivate. Esempio Esempio: cotiua

16 Supercosumi Scelta della base Coviee assumere come occasioe base quella i cui il feomeo studiato preseti ua itesità "ormale" cioè o u valore di picco é u valore di valle. No sempre è possibile seguire questo suggerimeto: se la serie cosiderata è iserita i u gruppo di altre serie, la comodità di disporle su di ua base comue potrebbe portare ad ua scelta iadatta per qualcua di esse. La base o può essere mateuta troppo a lugo: occorre talvolta teere coto di eveti eccezioali esteri, oppure di esasperazioi itere che possoo modificare profodamete le codizioi di rilevazioe: iperiflazioe, catastrofi aturali, turboleze gravi sui mercati valutari, etc. Picco Liea di tedeza Valle Cambiameto della base-idici sitetici La modifica della base comporta la revisioe del sistema di pesi su cui si basao gli idici sitetici. Ifatti il passaggio Si effettua applicado ad ogi umero idice elemetare uo specifico coefficiete di raccordo c L,i ( x, y) = p yi q yi,,,, c p yi q P,i ( x, y) = p xi = 100 i xi p yi x I, i = 1,, y Moltiplicado poi l itero idice per il rapporto tra i valori fittizi delle due basi " % " %! p ix q ix! p ix q ' it ' K L ( x, y) = K P ( x, y) =! p iy q ' iy! p iy q ' it # # Da otare che se i pesi rimaessero costati si potrebbe effettuare il cambiameto di base operado sui soli idici elemetari Cambiameto della base idici sitetici/2 Nella formula di Laspeyres implica ua radicale revisioe dei pesi y I ( t L) = K L x, y ( ) i ( )! c L,i ( x, y) x I t questo vale ache per l idice di Paasche, ache se le cosegueze soo meo rilevati poiché i pesi già cambiao da periodo a periodo ( P) y I t = KP x,y Verificate la cosiderazioe sui segueti dati scegliedo come prima base l occasioe 1 per poi passare alla base 2 Bei Occasioe 1 Occasioe 2 Occasioe 3 Q. P. Q. P. Q. P. A B C ( ) i ( )! c P,i ( x, y) x I t

17 Tavola Istat coefficieti di raccordo Gli idici dei prezzi al cosumo il procedimeto di costruzioe è complesso: parte da ua scelta ragioata di bei e servizi che rimae fissa per u certo tempo. Su questi si rilevao prezzi e quatità vigeti su ua scelta di puti vedita per ua selezioe di comui e provice. L'aggregazioe degli idici semplici di prezzo per area, merce, cosumatori forisce il valore fiale dell'idice sitetico L'avverteza geerale è che co tali idici o si misura l'adameto del costo della vita, ma solo ua sua grossolaa approssimazioe. Il costo della vita dipede da molti ed importati fattori che o sempre appaioo i forma di merci e di prezzi ovvero i ua struttura fissa di cosumi Gli idici dei prezzi al cosumo Riferimeto Tra gli idici più importati che l'istat è teuto a calcolare vi soo: L'idice dei prezzi al cosumo per l'itera collettività azioale L'idice dei prezzi al cosumo per le famiglie di operai ed impiegati L'idice del costo della vita (scala mobile) La differeza tra i primi due è che dal secodo soo esclusi i lavoratori dipedeti o agricoli. Ioltre il primo è rilevato i tutti i capoluoghi di provicia metre il secodo solo i 20. Il terzo idice è la base per aggiorare prestiti, adeguare salari e stipedi, etc. E ormai i disuso

18 Riferimeto/2 Notizie sull idice dei prezzi Sui media le otizie sull iflazioe riguardao quasi sempre l idice mesile dei prezzi al cosumo per l itera collettività azioale Variazioe percetuale rispetto al mese precedete #! t = % I x t ( L) I "1 ( L) x t"1 ( *100 ' Esempio: Mese Idice Var.perc.Var.Ass. Geaio 102,31 Febbraio 102,76 0,44 0,45 Marzo 102,92 0,16 0,16 Aprile 103,34 0,41 0,42 Maggio 103,79 0,44 0,45 I molti casi la cotroversia se applicare la variazioe percetuale o quella assoluta dell idice è stata risolta i tribuale Notizie sull idice dei prezzi/2 Tasso tedeziale di iflazioe #! t = % I x t ( L) I ( L) "1 x t "12 ( *100 ' Variazioe percetuale dell idice rispetto al corrispodete mese dell ao precedete. Notizie sull idice dei prezzi/3 Tasso medio di iflazioe ( L) x I! t = t k ( L) # x I t "13+i % 12 ' ) "1) *100 ) ( Variazioe percetuale rispetto al valor medio dell idice calcolato per i 12 mesi (a volte 24) precedeti quello i corso ANNO Mese Idice 1994 Mese Var.perc.Var.Ass Geaio 102,31 Geaio 106,66 Febbraio 102,76 Febbraio 107,03 4,16 4,27 Marzo 102,92 Marzo 107,28 4,24 4,36 Aprile 103,34 Aprile 107,55 4,07 4,21 Maggio 103,79 Maggio 107,93 3,99 4,14 Il tasso tedeziale risete molto degli effetti stagioali e di shock cotigeti che possoo variare otevolmete da u mese all altro Mese Var.perc.Var.Ass. Geaio 106,66 1,18 1,24 Febbraio 107,03 1,53 1,61 Marzo 107,28 1,76 1,86 Aprile 107,55 2,02 2,13 Maggio 107,93 2,38 2,51 Media '93 105,42 Il tasso medio, basato su di ua media auale (o bieale) è poco sesibile a fattori stagioali e cogiuturali. E più affidabile, ma meo diretto

19 Deflazioe delle serie moetarie Serve per seguire l'evoluzioe del valore di u prodotto riferedosi solo alle quatità fisiche e o ai cambiameti del prezzo: Formule per la deflazioe Data la serie umeraria a "prezzi correti" SERIE A PREZZI COSTANTI ovvero le SERIE DEFLAZIONATE o IN TERMINI REALI espressa cioè ei prezzi del periodo "t". per fare questo occorre usare sempre lo stesso prezzo Ao Quatità Prezzo Paio Icasso P.Cor. N.I.P. 1985=100 Icasso P.Cos ,900, ,900, ,610, ,740, ,300, ,650,000 Per passare alla serie co valutazioi costati, "x", occorre moltiplicare per il deflattore (reciproco dell'idice dei prezzi x 100) Dove FOR SALE 400, , ,000 Gli icassi omiali tra l'85 ed il '95 soo quasi triplicati, ma i prezzi correti soo raddoppiati. Quata parte dell'icasso è u aumeto effettivo? Dobbiamo elimiare l'iflueza del cambiameto dei prezzi ovvero uiformare la valutazioe delle quatità el corso del tempo. Serie Serie deflazioata Deflattore Cooscedo l'idice dei prezzi si possoo riportare tutte le valutazioi ad ua stessa epoca Esempio il direttore dell'ufficio vedite ha richiesto la serie del valore veduto depurata da effetti iflazioistici. L'ufficio addetto dispoe delle iformazioi segueti: Ao Vedite Costo Vedite Pre. Cor. della vita Pre. Cos I calcoli o soo complessi e si realizzao co il foglio elettroico. Ache il grafico può essere così otteuto il grafico mostra che l'iflazioe ha ascosto l aumeto dell'83 ed il tred decrescete dopo tale data. Se si ripredoo le corrette ragioi di scambio l'adameto reale delle vedite è subito evidete Deflazioe di serie aggregate Se D t è il valore di u aggregato a prezzi x e V t è il valore a prezzi t si ha: D t = V t L ( x J t ) V x I t "! ( ) = # P itq it P ix Q )! it P ix Q )! ix ( + ( + % (! P ix Q ' ix + (! P * it Q ' it + =! P ixq it * il deflattore corrispode al Laspeyres delle quatità diviso per l idice del valore. Se fosse oto il Paasche per i prezzi la deflazioe sarebbe facile: D t = V t x I P t "! ( ) = # P it Q it No è ecessario cooscere le quatità correti:bastao quelle dell epoca base. Questo schema si può usare co la formula di Laspeyres qualora i due idici fossero riteuti molto prossimi. P ix Q )! it ( + % (! P it Q ' it + =! P ix Q it *

20 Rivalutazioe di prestiti U uso importate dei umeri idici è la rivalutazioe moetaria che talvolta viee richiesta a tutti coloro che soo debitori di somme di dearo per evitare ai creditori il dao dovuto al dimiuito potere d'acquisto. Rivalutazioe dei prestiti/2 Esempio il 2/86 si è chiesto u prestito di 5 milioi da restituire el 9/92 a potere d'acquisto ivariato (seza iteressi). Per stimare l'importo occorre cooscere il umero idice dei prezzi al cosumo per l itera collettività azioale. il deflattore derivato dall'idice dei prezzi al cosumo (famiglie di operai e impiegati) è ache oto come "Potere di acquisto della lira" Se tale idice fosse dispoibile i base '86 il calcolo sarebbe immediato. 86I 92 = ! D = * = Ua lira del 1992 vale quasi 19 lire del 1952 ovvero ua lira del 1952 varrebbe 19 lire el 1992 Tali valutazioi o soo esatte, ma dao u'idea abbastaza corretta delle modifiche egli stili di vita B B B B B Ao Lira B B B B B Rivalutazioe dei prestiti/3 Si suppoga che, el 2003, si debba adeguare all aumeto del costo della vita u caoe di 210 euro dell agosto Per otteere il uovo caoe bisoga recuperare gli idici per i due ai e suppoiamo che siao dispoibili i base I 03 PC = 112.2; 00 I 01 PC = Per costruire l idice base 2000 per il 2001, ecessario per deflazioare, si deve effettuare il cambio di base 03 I PC PC " ! 00 I 01 # 00 I 03 PC % =112.2 * " 100 % ' # = Il potere di acquisto tra il 2001 e il 2003 si è ridotto del 4.71%. La legge dell equo caoe ricoosce il diritto a recuperare fio al 75% cioè per ua percetuale o superiore a 0.75*0.0471=3.75%. Se si opta per la quota massima cosetita, l affitto sarà: *210= euro.