Dimensionamento strutturale effettuato con le norme CE 94/25 e confronto attraverso il metodo degli elementi finiti

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1 Università degli Studi Federico II di Napoli Facoltà di Ingegneria Dottorato di ricerca in Ingegnera Industriale - XXII ciclo Tesi di Dottorato: Diensionaento strutturale eettuato con le nore CE 94/25 e conronto attraverso il etodo degli eleenti initi Tutor Ch.o pro Toaso COPPOLA Coordinatore Ch.o pro Antonio MOCCIA Dottorando Ing. Vittorio BOCCOLINI pag 1

2 Indice Indice...2 Introduzione I ateriali copositi Introduzione Caratterizzazione Fibre Resine Tecnologie produttive Controllo dei lainati Meccanica dei copositi Meccanica Teoria della lainazione classica Caratterizzazione della atrice di rigidezza per alcuni lainati tipici Lainati sietrici Lainati ortotropi Lainati disaccoppiati Lainati quasi ortotropi Calcolo dei oduli di elasticità Regola delle iscele Forule sperientali per rinorzi a ibre orientate Calcolo delle caratteristiche a rottura Rottura dei lainati Rottura di una laina a trazione Rottura di una laina a copressone Rottura di un lainato Criteri di resistenza Criterio assia tensione Criterio assia deorazione...42 pag 2

3 2.6.3 Criterio di Tsai-Hill Criterio di Tsai-Wu Analisi agli eleenti initi Introduzione Scheatizzazione del odello Idealizzazione Discretizzazione Caratteristiche degli eleenti Gli eleenti dei codici agli eleenti initi Diagraa di lusso per un processo di siulazione Diensionaento traite norativa CE Introduzione Analisi dei carichi Analisi dei lainati Diensionaento dei pannelli Diensionaento delle strutture Innovazione per le edizioni successive Progettazione di un pannello del ondo e delle strutture Deinizione delle geoetrie Diensionaento dei pannelli Diensionaento delle strutture Modulo di elasticità assiilato ad unidirezionali Modulo di elasticità pesato Deinizione dei vincoli e del carico Inseriento dei ateriali Proprietà degli eleenti Run dei ile Analisi dei risultati per pannelli seplici Test con odulo di elasticità assiilato ad unidirezionali Modello 750_15_ pag 3

4 6.1.2 Modello 750_20_ Modello 1000_10_ Modello 1000_20_ Modello 2000_10_ Modello 2000_20_ Test con odulo di elasticità pesato Modello 750_15_ Modello 750_20_ Modello 1000_10_ Modello 1000_20_ Modello 2000_10_ Modello 2000_20_ Analisi dei risultati Analisi dei risultati per pannelli ultipli Deinizione del odello di test Run del ile Analisi dei risultati Analisi dei risultati per ondo a V Deinizione del odello di test Run del ile Z Z Analisi dei risultati Analisi delle criticità Considerazioni inali Bibliograia Ringraziaenti pag 4

5 Introduzione Nel corso della ia breve carriera proessionale ho avuto la possibilità di lavorare in uno studio di progettazione di ibarcazioni da diporto. Ho lavorato ed ho avuto odo di accostari a progetti di ibarcazioni da diporto di varie isure e dierente coplessità riuscendo, grazie al rapporto di lavoro instaurato con i colleghi, ad avere sepre un occhio in tutte le asi progettuali. Ore ed ore di lavoro spese per ainare le linee di stile, gli interni, la distribuzione dei volui, per rendere la barca bella ed appetibile al target di clientela individuato dal Cantiere. Per la parte tecnica invece, inio sorzo con assio risultato. Il conronto con il Cantiere nelle vesti ora di operai, ora di tecnici, ora del Manageent era poco stiolante. L idea di ottiizzare i processi produttivi al ine di rendere una serie, seppur piccola, eiciente in terini di tepi di realizzazione è spesso lontana dal odi di lavorare degli operai e non sepre i tecnici riescono ad iporre questo tipo di cultura: spesso si vive alla giornata. I tecnici sono noralente sovraccaricati di lavoro in quanto in aanno da sotto organico e poco stiolati ad essere eicaci. Il Manageent si interessa di vendere le barche e di arle costare poco il coe, spesso, non interessa. La presente Tesi di Dottorato nasce dall idea e dal desiderio di veriicare coe possa essere possibile igliorare il processo progettuale e produttivo delle parti strutturali di una ibarcazione. Ritengo inatti che allo stato quello delle strutture sia ancora un settore nel quale ci sia posto per iglioraenti e progressi. Noi ingegneri navali abbiao una conoscenza supericiale delle costruzioni in plastica rinorzata ed ancor eno sappiao riguardo ai prograi di calcolo agli eleenti initi. Viceversa negli altri settori industriali autootive ed aeronautico il processo progettuale strutturale vede sepre più l ipiego di ateriali copositi ed il calcolo strutturale agli eleenti initi è oraai prassi consolidata da parecchi anni: basti pensare che i prograi FEM sono nati e pag 5

6 sviluppati in abito aeronautico e che il nuovo Boeing è realizzato interaente in ateriali copositi con ibra di carbonio. La ia ricerca, orse audace ed abiziosa, ha la pretesa di diostrare che anche nel capo navale è possibile investire nel settore strutture al ine di ottenere un prodotto inale che possa essere più sicuro, più leggero, più resistente e che possa avere un costo ineriore rispetto a quelli che sono gli standard attuali. pag 6

7 1 I ateriali copositi 1.1 Introduzione Un ateriale coposito è una cobinazione di due o più ateriali dierenti acroscopicaente per ora e/o coposizione. I costituenti, detti asi, antengono all interno del ateriale coposito la loro identità, vale a dire che non si dissolvono copletaente l una nell altra, coe succede per esepio in alcune leghe etalliche, a allo stesso tepo agiscono strutturalente insiee. Sezionando il ateriale coposito le asi possono essere isicaente identiicate e ostrano una chiara interaccia di separazione tra loro. Esepi di questa categoria di ateriali sono il ceento arato e il legno truciolato. Nel settore navale, i ateriali copositi che hanno trovato grande spazio sono i ateriali plastici rinorzati con ibre, chiaati con l acronio FRP derivante dall inglese iber reinorced plastic, e, più in particolare nel settore del diporto, la vetroresina, ateriale plastico rinorzato con ibre di vetro o GRP glass reinorced plastic. L apio uso dei copositi a ibre si è sviluppato in questo settore nel corso degli anni 60 quando si abbandonò l uso del legno a avore di un ateriale più leggero e di più acile lavorazione e che consentisse allo stesso tepo costruzioni in serie più veloci. Attualente sono costruiti scai e coperte in vetroresina di lunghezza superiore ai 50 etri. In più nell ultio decennio l uso di ibre ad elevato carico di rottura, coe il kevlar o il carbonio, un tepo destinate esclusivaente al ondo delle copetizioni o a costruzione one-o, ha peresso di costruire ibarcazioni più leggere e più resistenti e pezzi e particolari coe alberi per barche a vela lunghi ino ad 100 etri con caratteristiche eccaniche elevatissie. pag 7

8 1.2 Caratterizzazione In generale un coposito tipicaente usato in capo navale è costituito da tessuti di ibre iersi in una resina. Le caratteristiche di resistenza, l anisotropia e più in generale il coportaento eccanico e lo spessore del ateriale sono caratteristiche deinibili in ase progettuale e dipendono in pria battuta da: tipo di ibra tipo di resina tipo di tecnologia produttiva In più la successione di tessuti, la disposizione delle ibre, il nuero di strati e la quantità di resina rappresentano ulteriori paraetri progettuali che intervengono in una successiva ase del progetto del lainato all atto del progetto esecutivo e di dettaglio. Tutti questi paraetri possono essere cobinati in aniera dierente al ine di ottenere le caratteristiche progettuali desiderate. 1.3 Fibre Le ibre anno variare la caratteristiche del coposito in base al tipo di ateriale e sia per la odalità di tessitura del tessuto. Esainiao in pria battuta le tipologie di tessitura. Le ibre possono essere usate da sole o in ilati aggregati. Il tipo di aggregazione e la scelta dello stesso per la costruzione derivano sia alle caratteristiche eccaniche che si vogliono ornire al coposito sia al tipo di costruzione che andranno a orare. Chopped strand at pag 8

9 Il at, usualente in vetro, e' un tessuto costituito da ibre spezzettatte disposte casualente ed aggregate ediante pressatura ed apprettatura. Le caratteristiche eccaniche del lainato in at sono olto basse a hanno la peculiarità di essere isotrope. A vantaggio del at c è sicuraente una acilità di lavorazione anche per tessuti piuttosto pesanti. Woven roving Il woven roving è tessuto tipo stuoia coposto da traa ed ordito. Le caratteristiche eccaniche del coposito rinorzato con stuoia sono superiori a quelle della stesso coposito rinorzato con solo at, a le direzioni di assia sollecitazione della laina sono quelle di traa ed ordito. Pertanto il coposito avrà caratteristiche eccaniche anisotrope. Nell abito del tipo di ilato le stuoie possono avere traa ed ordito intrecciate oppure sovrapposte e cucite (cloth) Unidirezionali Sono asci di ibre continue in una sola direzione. Sono usati per il rinorzo di strutture onodiensionali al ine di ottiizzare le caratteristiche eccaniche lungo una sola direzione. Relativaente ai ateriali ipiegati nel capo navale: Vetro E Il vetro E è il più usato nel settore navale grazie all ottio rapporto prezzo/caratteristiche eccaniche. Inoltre, in quanto ateriale isotropo, ogni ibra ha lo stesso odulo elastico a trazione ed a copressione. Kevlar E il noe coerciale della più nota delle ibre araidiche, ossia dei poliaidi aroatici. E una ibra dalla alta resistenza speciica a trazione e dalla bassa densità. E usata nei lainati per increentare le caratteristiche di resistenza ad ipatto. Carbonio pag 9

10 Il carbonio è la ibra con più alte caratteristiche eccaniche a anche con elevati costi. Viene usata principalente per prototipi o nelle zone di rinorzo delle produzioni di serie. A titolo di esepio si riportano le caratteristiche eccaniche delle ibre Tab Caratteristiche eccaniche delle ibre più utilizzate nel capo navale 1.4 Resine La resina è la ase che attraverso il processo di induriento da la ora inale al pezzo e che trasette i carichi nel caso di carichi non diretti lungo la direzione delle ibre. Tra le due asi è quella che ha inori caratteristiche eccaniche a è quella che tiene coese le ibre ed ha un iportanza rilevante ai ini delle caratteristiche eccaniche del coposito. Le caratteristiche eccaniche della resina dipendono sia dalle caratteristiche intrinseche sia dalle odalità attraverso le quali si realizza la catalisi e la polierizzazione della stessa. In capo navale si usano prevalenteente le resine teroindurenti, ossia resine che passano dallo stato liquido allo stato solido attraverso un processo esoterico di catalizzazione. Possono essere distinte in tre aiglie: Resina poliestere pag 10

11 Sono resine econoiche e acili da lavorare e per questo olto diuse. Di contro hanno proprietà eccaniche ineriori rispetto alle altre e scarsa resistenza osotica. Nell abito delle resine poliesteri la tipologia ortotalica ha inori caratteristiche in coplesso ineriori rispetto alle isotaliche Resina vinilestere Sono chiicaente siili alle epossdiche e perciò resistono bene all ososi. Di contro hanno caratteristiche eccaniche paragonabili alle poliestere. Resina epossidica Sono le resine dalle caratteristiche eccaniche aggiori ed hanno anche il inor ritiro dopo l induriento. Per accrescere le caratteristiche eccaniche la catalizzazione viene realizzata a teperature controllate e spesso viene postcurato il lainato per polierizzare tutta la resina in aniera corretta. 1.5 Tecnologie produttive Il coposito si realizza traite l aggregazione (lainazione) di successivi strati (laine) di ibre di rinorzo e atrice. Le caratteristiche del coposito così realizzato, detto anche lainato, dipendono in aniera signiicativa dalla coesione tra i successivi strati e dall assenza di aria all interno del lainato. Queste due caratteristiche isiche dei lainati a strati sono strettaente connesse. Inatti qualunque bolla d aria presente nel lainato costituisce una discontinuità nell adesione tra strati successivi e, in più, è un punto di possibile innesco di delainazione o cricche. I processi di produzione dei lainati sono: Lainazione anuale Gli strati vengono disposti l uno dopo l altro anualente bagnando le ibre anualente attraverso appositi attrezzi e provvedendo a riuovere quella in eccesso. E la tecnologia produttiva più diusa a ha il liite è dovuto alla pag 11

12 capacità dell operatore di realizzare un lainato coerente con le speciiche progettuali. Inusione sotto vuoto Il procediento di lainazione ad inusione consiste nello stendere nello stapo tutti i tessuti secchi. Successivaente si ricoprono i tessuti e lo stapo con un telo a tenuta e si crea una depressione togliendo l aria. Attraverso dei canali si a aluire la giusta quantità di resina che si distribuirà in aniera uniore in tutte le zone creando un lainato oogeneo. Pre-ipregnazione I preipregnati sono tessuti già bagnati di resina che devono essere solo stesi nello stapo. La catalizzazione deve avvenire sotto vuoto e traite post cura cioè con soinistrazione di calore al ine di ottiizzare le caratteristiche del lainato. I tessuti devono essere conservati a basse teperature ed hanno una scadenza liitata nel tepo. Nonostante l uso di questi tessuti peretta di ottenere lainati di ottia qualità, i costi elevati di produzione e conservazione ne liitano l utilizzo ad applicazioni particolari. 1.6 Controllo dei lainati Il coposito a strati si realizza traite la lainazione di successivi strati di ibre di rinorzo e atrice. Le caratteristiche del coposito così realizzato, detto anche lainato, dipendono in aniera signiicativa dal progetto (resina, ibre, tesstuti, ecc.) e dalla coesione tra i successivi strati e dall assenza di aria all interno del lainato. Queste due caratteristiche isiche dei lainati a strati sono strettaente connesse. Inatti qualunque bolla d aria presente nel lainato costituisce una discontinuità nell adesione tra strati successivi e, in più, è un punto di possibile innesco di delainazione o cricche. Tuttavia la presenza di bolle, anche se orteente liitata con tecniche di lainazione in vuoto, è dovuta anche alla catalizzazione della resina e pag 12

13 quindi è un dietto non annullabile. Nel settore navale, il orte utilizzo di lainazioni anuali, rende questa tipologia di dietto largaente presente nei lainati coerciali. Pertanto qualunque tipo di analisi deve tenere in considerazione questa probleatica. Per un lainato il controllo della qualità della produzione è di ondaentale iportanza ai ini della coerenza tra il progetto ed il prodotto. Inatti a dierenza dei etalli, oltre alle bolle intrappolate all interno o a cricche, i copositi sono soggetti ad altri dietti di abbricazione delainazione, debonding, variazioni di percentuale di resina - che decrescono le caratteristiche eccaniche. Distinguiao due categorie di indagine, una atta durante il processo produttivo, l altra a posteriori. Nella pria categoria l indagine viene condotta visivaente durante la lainazione e ira ad evidenziare eventuali non uniorità nel rapporto atrice/ibra, discontinuità o errori nella lainazione e dietti. I controlli eseguiti dopo la costruzione irano a cercare rotture della atrice, scollaenti e delainazione. I controlli avvengono traite tecniche di indagine non distruttive che sruttano gli ultrasuoni o i raggi X. Tuttavia questo genere di controlli può essere condotta solo puntualente con apparecchiature elettroniche spesso olto costose. pag 13

14 2 Meccanica dei copositi 2.1 Meccanica La eccanica dei copositi è studiata attraverso l analisi icroeccanica - di una singola laina costituente che successivaente coopererà con le altre ornendo il proprio contributo alle caratteristiche eccaniche del lainato. Proprio la coesione di strati con caratteristiche eccaniche dierenti sarà studiata secondo la teoria della lainazione classica Classical Laination Theory CLT. Lo studio di una singola laina si onda sulle seguenti ipotesi: Incollaggio peretto tra resina e ibre Spessore trascurabile rispetto alle altre diensioni Ortotropicità ed oogenetià del singolo strato Validità dell ipotesi di Kirko (perpendicolarità delle sezioni inlesse) Deorazioni nulle nel piano verticale ε z =0, γ xz =0 e γ yz =0 pag 14

15 pag 15 Figura Deorazione di un concio eleentare di trave Richiaando la teoria di scienza delle costruzioni, la generica deorazione, ostrata in Figura 2.1.1, di un punto B può essere scritta: x w z u u B 0 B δ δ = [2.1] y w z v v B 0 B δ δ = [2.2] Richiaando la deinizione di deorazione lineare è possibile scrivere χ χ χ + γ ε ε = γ ε ε xy y x B 0 xy 0 y 0 x B xy y x z [2.3] Stante la relazione di equilibrio elastico valida per ogni strato k { } [ ] { } k k k Q ε = σ per ogni punto B la relazione di equilibrio tensione-deorazione diventa: χ χ χ + γ ε ε = τ σ σ xy y x B 0 xy 0 y 0 x B B xy y x z Q Q Q Q Q Q [2.4]

16 Coponendo i vari strati, vediao coe un lainato reagisce ai carichi esterni: Figura Reazione di un lainato ai carichi esterni Figura Reazione di un lainato ai oenti esterni pag 16

17 pag 17 dz dz N N N N 1 k z z xy y x 2 t 2 t xy y x xy y x k 1 k = τ σ σ = τ σ σ = [2.6] z dz z dz M M M N 1 k z z xy y x 2 t 2 t xy y x xy y x k 1 k = τ σ σ = τ σ σ = [2.7] Le seconde parti delle espressioni sono scritte per la netta separazione tra gli strati k- esii di un lainato. In questo odo in un lainato coposto da n strati, ogni singolo k-esio strato contribuisce in aniera proporzionale alla sua σ. χ χ χ + γ ε ε = = z dz dz Q Q Q Q Q Q Q Q Q N N N k 1 k k 1 k z z xy y x z z 0 xy 0 y 0 x k n 1 k xy y x [2.8] χ χ χ + γ ε ε = = dz z dz z Q Q Q Q Q Q Q Q Q M M M 2 z z xy y x z z 0 xy 0 y 0 x k n 1 k xy y x k 1 k k 1 k [2.9] Ponendo: ( ) ( ) = = n 1 k 1 k k k ij ij z z Q A, ( ) ( ) = = n 1 k 2 1 k 2 k k ij ij z z Q 2 1 B e ( ) ( ) = = n 1 k 3 1 k 3 k k ij ij z z Q 3 1 D, dove: - A corrisponde alla atrice di rigidezza estensionale che regola il dualiso tra sorzo norale ed allungaento ε, - B atrice di accoppiaento che regola lo sorzo norale a χ e il oento lettente a ε e - D atrice di rigidezza lessionale che regola il oento a χ sviluppando gli integrali e sostituendo le suddette espressioni si ha:

18 la [2.8] e la [2.9] possono essere così riscritte: N N N x y xy A = 11 A A A A A ε ε γ 0 x 0 y 0 xy B + 11 B B B B B χ χ χ x y xy [2.10] M M M x y xy B = 11 B B B B B ε ε γ 0 x 0 y 0 xy D + 11 D D D D D χ χ χ x y xy [2.11] La igura successiva ostra coe i terini della atrice B ed i terini uori diagonale della atrice D regolino le tensioni derivanti dal coportaento proprio di un lainato e che saranno successivaente analizzate nel paragrao 2.3. pag 18

19 Figura Caratterizzazione degli eleenti della atrice di rigidezza rispetto ai carichi esterni o alle distorsioni pag 19

20 2.2 Teoria della lainazione classica Si prenda un concio di ateriale tale che la direzione 1 sia quella delle ibre e si ponga: σ 1 tensioni lungo la direzione X=1, ε 1 ed ε 2 deorazioni rispettivaente lungo la direzione X=1 e perpendicolare alla stessa. Caricando il concio lungo la direzione 1 con una orza F 1t di trazione o F 1c di copressione si avrà: pag 20

21 σ ε 1 = E1 1 2 = ν12 1 Modulo di elasticità longitudinale [2.12] ε Modulo priario di Poisson [2.13] ε Caricando lo stesso concio lungo la direzione 2 σ ε ε ε 2 = E2 2 1 = ν21 2 Modulo di elasticità trasversale [2.14] Modulo secondario di Poisson [2.15] Applicando uno sorzo di taglio F6 = ax τ12 [2.16] τ γ 12 = G12 12 Modulo di taglio planare [2.17] Applicando gli stessi sorzi sia lungo la direzione 2 che lungo la direzione 3 e soando le espressioni ottenute si giunge ai seguenti valori: σ σ σ ε 1 = ν21 ν31, E1 E2 E3 τ γ =, G 23 τ γ =, G13 σ σ σ ε 2 = ν12 + ν32, E1 E2 E3 γ = τ, G12 che scritta in ora vettoriale diventa: ε ε ε γ γ γ E1 ν 12 E ν 13 = E ν E 1 E 2 ν 23 E ν 31 E ν 32 E 1 E G 0 0 γ = τ, 4 4 G G 0 13 σ σ σ ε 3 = ν13 ν23 +, E1 E2 E3 τ γ = e γ 5 5 G G 12 σ σ σ τ τ τ τ = 6 6 G12. [2.18] pag 21

22 ε ε ε γ γ γ 3 ossia = [ ] σ1 σ2 σ 3 S [2.19] τ13 τ 23 τ12 La atrice [S] è detta atrice di conorità Per i ridotti spessori che hanno i copositi, le tensioni nella direzione 3 sono nulle o trascurabili e pertanto lo stato tensionale può essere considerato piano. In queste ipotesi la atrice [S] è copletaente deinita noti i valori delle quattro costanti elastiche: E x, E y, υ xy, G xy. 2.3 Caratterizzazione della atrice di rigidezza per alcuni lainati tipici Lainati sietrici Una particolare classe di lainati è costituita da quelli in cui l accoppiaento tra lessione e sorzo norale è eliinata. In questi lainati l applicazione di uno sorzo norale non produce lessione del piano edio, né l applicazione di un oento lettente produce deorazioni (estensione/contrazione) del piano edio. Tale caratteristica è olto iportante al ine di evitare che l applicazione di sollecitazioni nel piano del lainato produca deorazioni uori dal piano (ingobbienti) Tenendo conto delle equazioni costitutive del 2.2, è possibile osservare che un tale coportaento del lainato corrisponde alla condizione per cui la atrice di accoppiaento [B] risulta identicaente nulla. Tenendo conto che il generico terine della atrice [B] è dato dalla soatoria - estesa alle laine - degli oologhi terini della atrice [E] oltiplicati per lo spessore della laina e per la distanza edia dal pag 22

23 piano edio, si ha che tali terini possono essere resi nulli se ad ogni laina posta al di sopra (al di sotto) del piano edio corrisponde una laina eguale e con identico orientaento disposta sietricaente rispetto al piano edio. Un tale lainato dicesi perciò sietrico. In letteratura un lainato sietrico è indicato con un codice che riporta sinteticaente entro parentesi quadre l orientaento delle laine di età lainato nella eettiva sequenza di ipacchettaento, con il pedice S (sietrico) uori parentesi. L orientaento delle laine è indicato per seplicità oettendo il sibolo di gradi ( ). Nel caso di laine consecutive aventi lo stesso orientaento, il nuero di laine è indicato con un pedice. Per esepio il lainato sietrico costituito coplessivaente da 8 laine così orientate: 0 \0 \+45 \-45 \-45 \+45 \0 \0 è sinteticaente indicato con il codice: [0 2 /±45 ]s. Nel caso in cui il lainato è ottenuto ripetendo volte una sequenza di n laine, allora la sua indicazione può essere sepliicata indicando tra parentesi tonde la sequenza e ettendo coe pedice. Per esepio un lainato sietrico costituito dalla sequenza di 5 laine così deinita [0 \0 \+45 \-45 \90 ] e ripetuta 20 volte si indica sinteticaente con: [(0 2 /±45 /90 )10]s Lainati ortotropi Un altra classe di lainati iportante è quella che presenta disaccoppiaento tra sorzo norale e scorrienti ovvero tra taglio e deorazioni norali. Considerando l equazione costitutiva è acile osservare che tale condizione si realizza se i terini A 13 ed A 23 della atrice [A] risultano nulli. Tenendo conto che tali terini risultano dalla soatoria - estesa alle laine - dei terini oologhi della atrice [E] per lo spessore della laina (costante per laine uguali), e considerando che i terini 13 e pag 23

24 23 sono unzioni dispari, si ha che i terini A 13 ed A 23 della atrice [A] possono essere annullati se e solo se il lainato è costituito in odo che ad una laina con orientaento θ corrisponda, indipendenteente dalla sequenza di ipacchettaento una laina con orientaento opposto - θ. Ovviaente è possibile costruire un lainato che presenta disaccoppiaento tra sorzo norale e scorriento e sia al tepo stesso sietrico (disaccoppiaento tra sorzi norali o taglio e curvature). Basta a tal ine disporre le laine in odo tale che la età superiore (ineriore) del lainato sia costituita da laine che soddisano da sole la condizione A 13 =A 23 =0, cioè ad una laina con orientaento θ corrisponda una laina con orientaento -θ, e che la parte del piano ineriore (superiore) del lainato sia sietrica di quella superiore (ineriore) rispetto al piano edio. È iportante osservare che, siilente a quanto succede in una laina ortotropa, il disaccoppiaento tra deorazioni norali e scorrienti (A 13 =A 23 =0) dipende dalla direzione di applicazione del carico, cioè dal rieriento considerato. Così coe per la laina unidirezionale,per la quale il disaccoppiaento si veriica solo se il carico agisce lungo gli assi principali, per il lainato ciò si veriica solo se il carico agisce lungo gli assi x-y per cui risulta A 13 =A 23 =0. In altre parole gli assi x-y per cui risulta A 13 =A 23 =0 costituiscono in pratica gli assi principali del lainato. A titolo di esepio il lainato sietrico citato al punto precedente costituito da 8 laine tutte uguali orientate secondo lo schea [0 /±45 ] s è un lainato per cui risulta anche A 13 =A 23 =0. Lainati sietrici con A 13 =A 23 =0 sono detti couneente lainati ortotropi in quanto aettono, coe la laina ortotropa, tre piani (x-y-z) di sietria utaente ortogonali Lainati disaccoppiati Un altra classe di lainati notevoli è quella che realizza il disaccoppiaento tra sollecitazioni lettenti e curvatura torsionale e viceversa tra oento torcente e curvature lessionali. In tali lainati un oento lettente produce solo una curvatura pag 24

25 del lainato nel proprio piano essendo nulla quella nel piano ortogonale. Si vede che tale condizione si realizza se e solo se risulta D 13 = D 23 =0. Tenendo conto che i terini della atrice [D] sono legati al prodotto dei terini della atrice [E] per la dierenza dei cubi delle distanze degli estrei della laina dal piano edio, e che in particolare coe già osservato i terini 13 ed 23 sono unzioni dispari di θ, si ha anzitutto che per un lainato sietrico certaente non risulta soddisatta la condizione D 13 = D 23 =0. In questo caso inatti per una coppia di laine sietriche i terini 13 ed 23 sono uguali ed uguali sono anche le dierenze dei cubi delle distanze degli estrei delle laine rispetto al piano edio. Per annullare tali terini è necessario invece disporre sopra e sotto il piano edio laine con orientaento opposto. Ma tale situazione non è vantaggiosa essendo il disaccoppiaento tra sorzo norale e lessione sepre desiderato (lainati sietrici). Si osserva counque che se si dispongono le laine successive con orientaento opposto, si ottiene una atrice con eleenti D 13 e D 23 olto piccoli (essendo opposti gli oologhi terini della atrice di rigidezza e pressoché eguali i coeicienti legati ai cubi delle distanze), cosicché lessione e torsione sono pressoché disaccoppiati. Coe per il caso precedente, e per gli stessi otivi, la condizione di disaccoppiaento è strettaente legata all orientaento. Tenuto conto di quanto visto ai due paragrai precedenti, si ha che un lainato sietrico ottenuto ipacchettando coppie di laine successive con orientaento opposto è un lainato che realizza il disaccoppiaento tra sorzo norale e lessione ([B]=0), il disaccoppiaento tra sorzo norale e scorriento (A 13 =A 23 =0) nonché il disaccoppiaento tra oento lettente e curvatura uori dal piano di sollecitazione (torsione). A titolo d esepio il lainato di cui al paragrao precedente [0 /±45 ] s realizza in pratica tutte e tre le condizioni. Tale è pure il lainato [0 /±45 /90 ] s Lainati quasi ortotropi pag 25

26 Una quarta classe di lainati particolari è costituita dai cosiddetti lainati quasi isotropi. Un lainato si dice quasi isotropo se in pratica la sua rigidezza estensionale è indipendente dal particolare orientaento considerato, in altre parole la atrice [A] risulta isotropa. Tenendo conto che i terini della atrice [A] sono dati dalla soatoria - estesa alle laine - del prodotto dei terini oologhi delle atrici [E k] per lo spessore delle laine, se le laine hanno eguale spessore, ainché ciò si veriichi è necessario che la soatoria dei terini oologhi sia invariante rispetto ad una rotazione del rieriento. In altri terini devono essere veriicate le seguenti condizioni: 1. il nuero totale n di laine sia aggiore o uguale a 3; 2. le laine abbiano stessa costituzione e spessore; 3. l angolo θ tra due laine sia costante, cioè θ=360 /n (laine angolarente equispaziate); La denoinazione di lainato quasi isotropo non è legata al atto che tali lainati possono avere piccole (trascurabili) variazioni della rigidezza estensionale con la direzione, a piuttosto al atto che essi hanno coportaento isotropo solo rispetto alla trazione-copressione e non rispetto a lessione e torsione essendo in generale le altre atrici [B] e [D] non isotrope. Con opportuno orientaento delle laine si può ottenere un lainato sietrico quasi isotropo che rispetti pure le condizioni di disaccoppiaento viste ai capitoli precedenti. Per esepio è tale un lainato sietrico costituito da 12 laine disposte secondo lo schea [(±30 /±90 /±30 )6] s. La età del lainato è inatti costituita da 6 laine angolarente equispaziate di 60 ed inoltre le laine adiacenti hanno -a coppia- orientaento opposto cosicché soddisano anche le altre sopra esposte condizioni di disaccoppiaento (A 13 =A 23 =0, D 13 =D 23 =0). Lainati [0 /±60 ] e [0 /±45 /90 ] sono lainati anche essi quasi isotropi; il prio non è sietrico entre il secondo lo è a non rispetta le altre condizioni di disaccoppiaento. Nella pratica costruttiva i lainati quasi isotropi non sono olto utilizzati in quanto, coe più volte osservato, lo sruttaento ottiale dei copositi si basa proprio sullo sruttaento della anisotropia di questi che consente di orientare opportunaente le laine in odo da avere la assia resistenza nella pag 26

27 direzione delle assie sollecitazioni. Il concetto di lainato quasi isotropo è counque utile per la previsione delle proprietà caratteristiche (rigidezza e resistenza) di copositi a ibra corta con orientaento rando (es. at). Le proprietà di tali copositi possono per esepio essere bene approssiate considerando il seplice lainato [0 /±60 ]. Di seguito sono riportate in Figura ed in Figura uno schea che riassue le caratteristiche dei lainati descritti in 2.3 ed un iagine che ne ostra la sequenza di lainazione. Figura Caratteristiche di alcune lainati particolari pag 27

28 Figura Sequenza di lainazione di alcuni lainati particolari 2.4 Calcolo dei oduli di elasticità Il odulo di elasticità di un lainato è, in generale, calcolato per ezzo di prove al vero condotte su provini. Inatti per le diicoltà produttive esposte nel capitolo precedente, per le interazioni presenti tra ibra e atrice, per la possibile presenza di vuoti e per la non linearità di un coposito il coportaento di un lainato non segue un andaento lineare descritto dalla teoria delle iscele. Tuttavia un prio valore esplicitato con questa teoria o valori ricavati per ezzo di orule approssiate o statistiche sono counque utili, se non altro in una pria ase del progetto, per avere un calcolo rapido e veloce o una pria ipotesi di lavoro Regola delle iscele pag 28

29 pag 29 Consideriao un eleento eleentare di laina caricato in direzione l delle ibre. Fibra e atrice saranno sollecitate secondo le leggi E ε = σ e E ε = σ. Il odulo di elasticità del lainato può essere scritto coe rapporto tra σ l ed ε l del lainato. Esplicitando i terini e tenendo conto che il rapporto tra le aree è uguale al rapporto tra le percentuali in volue si ha: ( ) l l l E E E V V E V E A A E A A E E + = + = + = ε σ = Appare subito chiaro che il odulo di elasticità parallelo alle ibre dipende linearente dalla percentuale in volue di ibra all interno del lainato. Per quanto riguarda il odulo in direzione perpendicolare alle ibre t, la deorazione a cui sono soggette sia la atrice e sia la ibra sono rispettivaente: t E σ = ε e t E σ = ε. Poiché la diensione trasversale su cui agisce la ε t è per approssiazione proporzionale al prodotto tra lo spessore del pezzo e la percentuale in volue di ibra e di resina, si ha t V V ε + ε = ε dove sostituendo le precedenti espressioni si ottiene t t t E V E V σ + σ = ε. Esplicitando il valore di E t all interno dell espressione t t t E ε = σ e sostituendo si ha: ( ) t t t t t t E E E V E E E V V E E E E V E V E + = + = σ σ + σ =

30 Figura Andaento del odulo di elasticità perpendicolare alle ibre rispetto percentuale in volue delle ibre E evidente - Figura che il valore del odulo di elasticità perpendicolare alle ibre è unzione quadratica della percentuale in volue delle ibre presenti nel coposito. Con un procediento del tutto analogo si ricavano i valori del odulo di Poisson e del odulo di Coulob 12 = ν G 12 = G ν ν V + (1- V ) ; G G V + G (1- V ) Forule sperientali per rinorzi a ibre orientate pag 30

31 Le orule sperientali di più largo per copositi con ibre allineate sono: 1. Forule di Halpin-Tsai E 1+ ξ η E E 1 = E V + E V ; E 2 = E 1- ηev 1+ ξ ξ E = 2 ; E /E -1 η E = ; ξ G = 1 ; E /E + ξe η V η V G G /G -1 = G /G + ξ G 2. orule proposta da Tsai con attore di continuità variabile tra 0 e 1 e attore di allineaento K= 1; E 1 = E - (E - E) V ; E ν G K G ( ν - ν E = 2(1+ ν ) ) ; ; K G G G ν 12 = ν V + ν (1- V ) G12 = G 1- ηgv K ( 2K + G ) - G (K - K )V (1- C) (2K + G ) + 2(K - K )V )V ] K (2K + G ) + G (K - K )V + C 2K + G 2(K - K )V = 2[1- ν K ν (2K + G )(1- V ) + K ν (2K + G ) V = (1- C) + K (2K + G ) - G (K - K )V K ν (2K + G )V + K ν (2K + G )V + C K (2K + G ) + G (K - K )V 2G - (G - G )V (G + G ) - (G - G )V = (1- C)G + CG 2G + (G - G )V (G + G ) + (G - G )V E = 2(1- ν E = 2(1- ν E = 2(1+ ν ) ) ;. + pag 31

32 dove C è il attore di congruità variabile tra 0 e 1 e K il attore di allineaento posto pari a 1 3. Forule del R.I.Na da Rules or the Classiication o Yachts per copositi a ibre unidirezionali E1 = E V + E (1- V ) ; 2 E V E2 = ν (1- V ) + V (E/(E (1- ν ))) ν ν V + (1- V ) ; 12 = ν 0.5 (1+ 0.6V ) G 12 = G ; 1.25 (1- V ) + (E /E ) V G E = 2(1+ ν ). 4. Forule di Whitney per copositi a rinorzi allineati E ; E 2 1 )E yz 1 2 ν12 ν G 12 = ν - E 2 1 = E (1- V ) + E V 2k (1- ν = E + 4k 2E ( ν -ν )(1- ν )(1- V L V + (L (1- V ) + (1+ ν 2G 2G - (G - G )V ) ))E + CG (G + G (G + G ) - (G 12 + (G - G )V V ) + (G - G ) E k =,; 2L E k = ; 2L (k + G )k k = (k + G - G )V = (1- C)G - G (k - k )(1- V ) ) - (k - k )(1- V ) ν = ν (1- V ) + ν V ; yz L = ν ν ; L = 1- ν - 2 ν 2 5. Forule del R.I.Na da Rules or the Classiication o Yachts per copositi a ibre unidirezionali valori inii pag 32

33 Le seguenti orule orniscono il valore dei oduli di elasticità in unzione del solo paraentro G c, ossia della percentuale di resina nel lainato. Il range di variazione di G c indicato dal registro è: G c = 0,25 0,34 circa nel caso di rinorzi in solo at G c = 0,30 0,50 circa, nel caso di rinorzi accoppiati at+stuoia o at+tessuti E = odulo di elasticità a ( ) 3 37G c E c = odulo di elasticità a copressione ( ) 3 40Gc E = odulo di elasticità a lessione ( ) 33,4G c 2, G = odulo di elasticità a taglio ( 1,7G 2,24) c Calcolo delle caratteristiche a rottura Il calcolo delle caratteristiche eccaniche a rottura è retta da regole eno coplesse di quelle relative ai oduli elastici a patto che la resistenza a trazione della atrice corrisponda ad deorazione pari a quella della ibra. In questo abito la teoria lineare è valida e per copositi a ibre orientate si ha: σ = σ V + σ ( 1 V ) La orula sopra descritta è valida se la percentuale di rinorzo è V ( σ σ ) ( σ σ ) > ; in caso contrario è prevedibile che le ibre non siano suicienti a controllare la deorazione della atrice e quindi la resistenza a trazione dipenderà dalla atrice e sarà ovviaente quella della atrice detratta della percentuale della ibra: σ = σ ( 1 ) V Le orule sopra riportate sono valide sotto l ipotesi di uniorità e continuità delle ibre. Tenendo invece presente che le ibre sono ilati costituiti da aggloerati di ibre, pag 33

34 bisogna tenere in considerazione la lunghezza critica della ibra valutabile con la orula r σ l = c dove r è il raggio della ibra e τ è il valore dello sorzo τ interacciale. Il paraetro che quindi regola in aniera pesante la resistenza di un lainato è il contenuto di ibra. Per quanto riguarda le caratteristiche eccaniche nelle altre direzioni o quelle di resistenza dell interaccia tra i vari ply, le interazioni tra ibra e atrice e le caratteristiche eccaniche della atrice stessa hanno un peso più iportante. Per questi otivi le orule epiriche disponibili in letteratura e le orule suggerite dai registri orniscono valori dispersi e spesso le variabili da cui dipendono le orule sono diverse. 1. Forle di Eckold Carico di rottura longitudinale a trazione bl = V σ σ dove: Carico di rottura longitudinale a copressione: σ b e il carico di rottura della ibra. σ σ σ bc = V σ c bc = τ12 2, 5 bc 10 σ = G [ 1 V ( 1 G G )] Carico a rottura di trazione trasversale 12 copressione delle ibre per sollecitazione di taglio per icrobuckling σ bt = V V 1 σ E 2 Carico a rottura di copressi. trasversale E Taglio σ btc = V V 1 σ E 2 E E 1 τ = V V 1 E2 τ pag 34

35 Taglio interlainare E 1 τ = V V 1 E2 τ 2. Forule del R.I.Na da Rules or the Classiication o Yachts per copositi a ibre unidirezionali valori inii Forule che orniscono il valore della assia σ a rottura in unzione del tipo di resina e della geoetria del lainato: [ EI] [ ] ( ) µ 0 I σ con k=17 per lainatoi in resina poliestere br = k 10 con k=25 per lainatoi in resina poliestere Le seguenti orule orniscono il valore dei oduli di elasticità in unzione del solo paraentro G c, ossia della percentuale di resina nel lainato. Il range di variazione di G c indicato dal registro è: G c = 0,25 0,34, circa nel caso di rinorzi in solo at G c = 0,30 0,50 circa, nel caso di rinorzi accoppiati at+stuoia o at+tessuti R carico di rottura a trazione 1278G c 510G c R c carico di rottura a copressione 150G c R carico di rottura a lessione 502G 2 c + 106, 8 R t carico di rottura a taglio 80G c + 38 R ti carico di rottura al taglio interlainare 22,5 17,5G c Rottura dei lainati pag 35

36 2.5.1 Rottura di una laina a trazione E possibile suddividere in quattro asi il diagraa tensione-deorazione di una laina con ibre unidirezionali soggetta a carico di trazione lungo le ibre. Nella pria sia le ibre che la atrice si deorano elasticaente (in odo proporzionale). Nella seconda ase solo la ibra continua a coportarsi elasticaente, entre la atrice si coporta plasticaente. Nella terza entrabe si coportano plasticaente. All inizio della quarta si rope la ibra, seguita dalla rottura della laina. Figura Diagraa tensione-deorazione di una laina con ibre unidirezionali E possibile valutare coe la percentuale di rinorzo inluisca sul coportaento a rottura di un lainato. La espressione di V cr, può essere deterinata, con l assunzione che gli allungaenti della atrice e delle ibre durante la trazione siano eguali.. In tal caso è possibile deterinare σ εax, la tensione norale nella atrice corrispondente all allungaentoε ax. Si può pertanto scrivere la seguente relazione σaxr = σ axv + σε ax ( 1 V ) pag 36

37 Ponendo nella precedente relazione σ ax = σ ax, dove σ ax è la tensione norale di rottura della atrice ed esplicitando rispetto a V, si ottiene che V cr = [ σ ax σ ε ax ] [ σ σ ] ax ε ax ove evidenteente il valore di V, che soddisa la relazione è proprio la V cr. Si osservi ora che se V è tanto basso che le ibre, nella ipotesi olto iprobabile che si ropano tutte insiee, cedono iediataente la rottura della laina avverrà per σ cax = σ ax (1 - V ) Eguagliando la precedente espressione alla pia ed esplicitando rispetto a V si ottiene V iniu = [ σ ax - σ εax ] / [ σ ax +σ ax - σ εax ] Figura Coportaento di una laina soggetta a trazione al variare di V Nella Fig viene illustrato la copleta storia del coportaento di una laina con ibre unidirezionali, con tensione di rottura eguale per tutte le ibre, al variare della razione V. pag 37

38 Per quanto concerne la eettiva possibilità che le ibre si coportino in aniera diversa, cioè che si possano ropere in tepi diversi al crescere del carico sono state ipostate teorie statistiche, che hanno diostrato un coportaento rispetto alla rottura a trazione, risultando la rottura della laina calcolata per eguale coportaento delle ibre essere conservativa Rottura di una laina a copressone Il cediento delle laine copresse avviene per carico di punta delle ibre. La dierenza tra la trave caricata di punta e la ibra copressa nell abito della atrice, consiste nell evenienza che la pria non possiede vincoli allo spostaento laterale, entre la ibra è costretta nella atrice e pertanto il odello euleriano non è applicabile. Figura Possibili odi di deorazione delle ibre in crisi di carico di punta Nella Fig vengono illustrati i due possibili odi di deorazione delle ibre a carico di punta. Il prio che a allungare la atrice secondo la direzione trasversale, y, si può chiaare di allungaento, il secondo che deora a taglio la atrice è detto di taglio. pag 38

39 Per deterinare la deorazione critica si ricorre alla osservazione che essa è antenuta quando l energia di deorazione eguaglia il lavoro delle orze esterne.. U + U = W Il prio terine del prio ebro rappresenta l energia di deorazione delle ibre, il secondo terine l energia di deorazione della atrice, entre a secondo ebro è riportato il lavoro delle orze esterne. Tralasciando la teoria ed i calcoli che portano alle seguenti orule, la tensione di crisi nel coposito che collassa per allungaento di atrice può approssiativaente essere espressa da: σ cax = V σ cr = 2V V EE 3(1 V ) E, tenendo in conto anche il contributo della atrice σ cax E = 2 V + (1 V ) E V EE 3(1 V ) Nel caso in cui il coposito collassa per taglio della atrice: σ cax G = 1 V ε cr 1.. = V (1 V G. ) E Rottura di un lainato Il criterio di rottura che dovrebbe essere usato, in analogia a quanto avviene con i etalli, è che alla rottura del prio strato si considera rottura del lainato; questo criterio è detto First Ply Failure FPF. Tuttavia anche in caso di cediento di uno strato, dierenteente da quanto avviene nei etalli, vi è una degradazione delle caratteristiche eccaniche, coe evidenziato pag 39

40 dalla igura , da parte del lainato che tuttavia consente ancora l uso del ateriale. Figura resistenza residua dei lainati Teoricaente è possibile iaginare che il lainato conservi le caratteristiche eccaniche dello stato integro dedotte quelle dello strato rotto e quindi bisogna considerare che con la rottura del prio strato non si ha la rottura dell intero lainato criterio di Last Ply Failure (LPF). Pertanto in ase di progettazione occorre stabilire se si intende progettare considerando coe liite ultio i valori di FPF o di LPF, in questo caso andranno calcolate le caratteristiche eccaniche del coposito degradato per veriicare il nuovo lainato. 2.6 Criteri di resistenza) pag 40

41 La veriica della resistenza di un ateriale ortotropo dipende da attori propri del ateriale e da attori indipendenti dal ateriale quali, ad esepio, la direzione del carico. Pertanto i criteri che devono essere adottati devono tenere conto di queste peculiarità. I valori di resistenza che entrano in gioco per un coposito sono 5: le due resistenze a trazione lungo le due direzioni principali del coposito, le due resistenze a copressione lungo le due direzioni principali del coposito e la resistenza a taglio. I criteri di resistenza aggiorente in uso sono: il criterio di assia tensione, il criterio di assia deorazione, il criterio di assio lavoro o di Tsai-Hill ed il criterio di Tsai-Wu Criterio di assia tensione La teoria delle tensioni assie aera che se 1 e 2 sono le direzioni principali del coposito e θ l angolo tra direzione del carico e assi del lainato, si ha rottura se è veriicata aleno una delle seguenti disuguaglianze: σ 1 X [2.20] σ 2 Y [2.21] τ 12 S [2.22] Lo stato tensionale considerato è evidenteente piano. Supponendo un carico unico diretto lungo X e dopo aver posto = cosθ ed n = senθ nel caso di struttura ortotropa le espressioni [2.20], [2.21] e [2.22] possono essere scritte: σ σ τ = n n n 2 2 n 2 2n σx 2 2n 0 = n σ 2 2 n 0 n x [2.23] Il criterio di resistenza stabilisce quindi che, in condizioni di sicurezza, deve essere: pag 41

42 σ x ( X / cos2θ ) σ x ( Y / sen2θ ) σ x ( S / sen θ cos θ ) Riportando il ragionaento lungo le altre direzioni si avrà: σ 1 = 2 σ x + n 2 σ y + 2n τ xy X σ 2 = n 2 σ x + 2 σ y - 2n τ xy Y τ 12 = n(σ y -σ x ) + ( 2 n 2 ) τ xy S Il discorso atto vale sia che si stia parlando di sorzo di trazione che di copressione Criterio di assia deorazione Analogaente alla precedente teoria si suppone che un lainato resista se: ε 1 ( X / E 1 ) ε 2 ( Y / E 2 ) γ 12 (S / G 12 ) Nel caso di trazione onodirezionale diretta lungo X 1 ε 1 = ( σ1 ν12σ E 1 1 ε 2 = ( σ2 ν21σ1) E γ 12 2 τ = G ) pag 42

43 Espriendo le precedenti espressioni in unzione delle orule di trasorazione degli assi si ha: ε ε γ 1 = 2 ν E 1 12 n 2 σ 2 2 n ν21 2 =. E2 12 n = σ G e quindi σ σ x x n σ S x. n X ν Y ν x n 2 2 x σ. x Nel caso di sorzo di copressione vanno sostituiti in caso di copressione i valori X ed Y ad X ed Y ottenendo dierenti valori liite. E da osservare che le due teorie inora presentate portano a risultati diversi raorzando quanto detto all inizio del paragrao: i paraetri di controllo della rottura di un lainato devono essere presi in considerazione conteporaneaente in quanto hanno una utua interazione Criterio di Tsai-Hill Le ipotesi alla base di questo criterio sono che allo snervaento le distorsioni e le dilatazioni non possono essere separate e quindi, in analogia al criterio di Von Mises, si ipotizza che valga l equazione: pag 43

44 = Aσ + Bσ + Cσ σ + Dτ 1 [2.24] I coeicienti A, B, C e D sono costanti e vanno calcolati sperientalente; inoltre, dato il coportaento discontinuo di un lainato a copressione ed a trazione, le suddette costanti vanno calcolati per entrabe le condizioni ed assueranno, in generale, valori diversi. Per il calcolo dei coeicienti occorre preparare delle prove al vero su provini. Supponendo un carico onoassiale F 1t di trazione a rottura si ha: Aσ 2 1 = 1 e σ = t quindi A = 1 2. F 1t Ripetendo le prove si hanno i seguenti valori: 1 2 se σ1 > 0 F1t A =, 1 2 F se σ < 0 1c 1 2 se σ2 > 0 F2t B =, 1 2 F se σ < 0 2c 1 2 se σ1 > 0 F1t C =, 1 2 F se σ < 0 D = 1 2 S 1c F 1 Questa orulazione include le interazioni tra le σ nelle diverse direzioni e sepliica il lainato a risultati isotropici; di contro il risultato non è una unzione continua in un piano σ-ε. ; e Criterio di Tsai-Wu Il polinoio di veriica della teoria di Tsai-Wu è il seguente: pag 44

45 i= 1,2,6 Fi σi + Fij σij = 1 i= 1,..,6 j= 1,2, 6 che sepliicato e scritto in ora estesa si riduce a: F 11 σ F 12 σ 1 σ 2 + F 22 σ F 66 σ F 1 σ 1 + F 2 σ 2 = 1 [2.25] I terini lineari perettono la distinzione, attraverso il segno, degli sorzi di copressione da quelli di trazione. Inoltre dato che gli eetti di σ 6 sono uguali a quelli di -σ 6 i terini F 6, F 16 e F 26 sono nulli. Per trovare i coeicienti del polinoio occorre condurre degli esperienti al vero su provini. Considerando un provino di lainato unidirezionale soggetto pria ad un carico di trazione F 1t e poi ad un carico di copressione F 1c si ha un sistea di equazioni a due incognite F 1 e F 11 : 2 F1 F1t + F11 F1t = 1 F 2 ( F ) + F ( F ) 1 1 1c 11 1c = che risolto ornisce: F1 = e F 11 = F F F F 1t 1c 1t 1c Procedendo analogaente per la direzione ortogonale e per il taglio si ha: F =, F F 2t 2c 1 F = 1 F 22 = e 66 2 F2t F2c S Il calcolo del coeiciente F 12 risulta essere il più coplesso da deterinare sperientalente. Inatti prove condotte con carichi biassiali hanno ornito risultati poco aidabili, probabilente a causa del atto che un inio disallineaento delle ibre rispetto al carico coporta dati alsati. In ogni caso è possibile utilizzare la seguente orula : F = F11 F22 pag 45

46 La orula [2.25] può essere perciò esplicitata coe segue: F = σ F F σ σ + F σ + F σ + F σ + F σ 1. L equazione rappresenta un ellisse nel piano σ 1 σ 2 che varia la grandezza in unzione di τ, così coe ostrato nella igura : Figura Diagraa di resistenza di un lainato pag 46

47 3. Analisi agli eleenti initi 3.1 Introduzione Il etodo degli eleenti initi, detto FEM - acronio di Finite eleent ethod -, è una etodologia di calcolo conosciuta in dagli anni '50 che ha trovato diusione solo in tepi più recenti. Il suo sviluppo è dovuto principalente alla capacità dei calcolatori elettronici ed è diventato uno dei etodi di calcolo più usati in tutte le branche dell'ingegneria, principalente nel settore dell'analisi strutturale. Occorre distinguere tra la etodologia di calcolo FEM, e l analisi agli eleenti initi, detta FEA - Finite eleent analysis. Spesso accade di usare indierenteente l uno o l altro acronio, a in realtà l analisi è la ase operativa e coputazionale della etodologia di calcolo. Il etodo degli eleenti initi è usato per risolvere in aniera approssiata problei descritti da equazioni dierenziali alle derivate parziali riducendo queste ultie ad un sistea di equazioni algebriche. La caratteristica principale del etodo è la discretizzazione del doinio continuo di partenza in un doinio discreto (esh) ediante l'uso di eleenti priitivi (eleenti initi) di seplice ora (triangoli e quadrilateri per doini bidiensionali, esaedri e tetraedri per doini tridiensionali). Su ciascun eleento caratterizzato da questa ora eleentare, la soluzione del problea è assunta essere espressa dalla cobinazione lineare di unzioni dette unzioni di base o unzioni di ora (shape unctions). E da notare che la unzione viene approssiata, e non necessariaente i valori esatti della unzione saranno quelli calcolati nei punti, a saranno i valori che orniranno il inor errore su tutta la soluzione. L'esepio tipico è quello che a rieriento a unzioni polinoiali, dove la soluzione coplessiva del problea viene approssiata con una unzione polinoiale a pezzi. Il nuero di coeicienti che identiica la pag 47

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