PROBLEMI DEL RMT SUL CONCETTO DI ANGOLO

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1 ACTES/ATTI BOURG-EN-BRESSE 2004-ARCO DI TRENTO 2005 PROBLEMI DEL RMT SUL CONCETTO DI ANGOLO Gruppo di lavoro n 3 1 Animatori: Elena Cosser (Sezione di Trento), Graziella Telatin (Sezione della Valle d Aosta) Résumé Dans cet article, on veut mettre en évidence les difficultés que les enfants rencontrent quand ils approchent le concept d'angle : difficultés à percevoir cette nouvelle grandeur, l'ampleur, dans une figure qui se présente fermée d'un côté et ouverte de l'autre ; difficultés à considérer l ampleur de l'angle indépendamment de la longueur des côtés ; difficultés à comprendre, au contraire, que le sommet n est pas indépendant des côtés, n'est pas défini à priori, mais qu il est issu de la rencontre de deux droites ; difficultés dans l emploi du rapporteur comme instrument de mesure de l'ampleur, liées non seulement à sa complexité technique, mais aussi à la compréhension du concept ; difficultés à associer efficacement le concept d'angle à celui de portion infinie de plan. Avec les problèmes du rallye «La tarte», «Le pays de bois» et «Balle au rebond» on a cherché à porter l'accent sur ces thématiques. L analyse des réponses a mis en évidence, que, parfois, les solutions évitent l enjeu du problème ; révèlent aussi parfois un écart considérable entre l'âge et le développement cognitif des élèves et les difficultés proposées. Ceci conduit à des réflexions importantes. 1. Il faut que, entre l'activité de classe et les problèmes du rallye, il y ait un lien très étroit. Dans la pratique didactique, les difficultés rencontrées par les élèves sont évidentes ; les instituteurs peuvent, à partir de celles-ci, construire des problèmes pour le rallye qui aident à viser les concepts envisagés, ou à renforcer une connaissance ; ou bien, c est un problème du RMT qui est proposé en classe et qui permet d'affronter et de commencer à discuter sur les différents sujets. 2. Il ne suffit pas que, dans le problème proposé, l adulte voie apparaître le concept visé pour que les enfants le prennent en charge ; il peut arriver que les stratégies mises en place «contournent» l enjeu, tout en permettant de trouver une solution acceptable. Si le but du maître est celui de proposer un problème qui permette à l élève de prendre en charge une nouvelle connaissance ou de renforcer un parcours déjà accompli, il faut qu on revienne sur les problèmes proposés pour les rendre le plus proche possible du concept visé. 1 Mari CULTRERA (Milano), Vittoria CALIARI (Riva del Garda), Maria Pia TOBALDI (Riva del Garda), Anna BAMBI (Siena), Claudia MAZZONI (Parma), Annamaria PISSERI (Parma), Angela SIVO (Rozzano), Luciana BERTO (Udine), Silvana CHEMOLLI (Riva del Garda), Antonia AMIGONI (Rozzano).

2 ACTES/ATTI BOURG-EN-BRESSE 2004-ARCO DI TRENTO Si le travail de classe permet de mettre en évidence les difficultés rencontrées, le RMT, en impliquant un grand nombre de classes et d'élèves, aide à faire comprendre à quel âge les différentes difficultés peuvent être dépassées. 4. Le travail sur la construction d un bon problème est toujours en évolution et permet aux enseignants, dans une recherche continue, de réfléchir sur leurs propres connaissances de la discipline et sur la façon d apprendre des enfants. 1. INTRODUZIONE Negli obiettivi specifici di apprendimento emanati con la riforma Moratti, si parla di angolo a partire dalla 2 a, 3 a elementare: Introduzione del concetto di angolo a partire da esempi concreti. Individuare gli angoli in figure e contesti diversi Per le classi 4 a e 5 a è invece previsto: Consolidamento in maniera operativa del concetto di angolo Usare, in contesti concreti, il concetto di angolo. Per quanto riguarda la scuola media, la riforma Moratti non cita espressamente la nozione di angolo; tuttavia, la dimestichezza con la stessa è implicitamente contenuta in molti degli obiettivi specifici indicati sia per il primo biennio che per l ultima classe del corso di studi secondario di primo grado. Significativi esempi sono la somma degli angoli di un poligono, riconoscere figure simili e tutte le questioni inerenti lo studio di cerchio e circonferenza. Come ben sa qualsiasi insegnante, è difficile partire dal concreto e pensare di arrivare all astratto, senza che la concretezza interferisca con l apprendimento corretto dei concetti. In particolare il concetto di angolo è estremamente complesso. Nella scuola elementare e media cinque scogli ne condizionano fortemente l apprendimento: 1) È difficile "vedere" l'ampiezza, in una figura che si presenta chiusa da una parte e aperta dall'altra. Dove bisogna mettersi per essere nell'angolo? Per i bambini è diverso essere vicini vicini al vertice o trovarsi ben lontani da esso. 2) È difficilissimo capire che l'angolo non dipende dalla lunghezza dei lati; tipico preconcetto è a lati corti corrisponde un angolo piccolo, a lati lunghi un grande angolo. Di conseguenza, il confronto di angoli che si presentino con lunghezze di lati diverse si scontra con dei preconcetti fuorvianti. 3) È difficile capire che il vertice non prescinde dai lati, non è posto a priori, ma è il risultato del fatto che si incontrano due rette. L idea di angolo derivante dall esperienza concreta fa sì che i bambini identifichino l angolo con il suo vertice; quindi è per loro prioritario individuare correttamente la punta, mentre non considerano fondamentale che i lati siano delle semirette e possono tranquillamente fare i lati con una linea spezzata. 4) L'uso del goniometro presenta molte difficoltà che sono legate anche, ma non solo, alla comprensione del concetto.

3 214 GRUPPO DI LAVORO N. 3 APPROCCIO AL CONCETTO DI ANGOLO 5) Manca, generalmente, nel concetto di angolo il collegamento (o l implicazione addirittura) con il concetto di infinito. Questo punto può essere visto come una generalizzazione di quanto esposto al punto 1) e probabilmente riguarda maggiormente gli alunni delle scuole medie. A causa dell esperienza del concreto e delle modalità didattiche usualmente adottate, è molto difficile associare efficacemente il concetto di angolo a quello di porzione infinita di piano. Questa associazione se sufficientemente metabolizzata aiuterebbe probabilmente a superare anche il problema espresso al punto 2). 2. PERCORSI DIDATTICI E PROBLEMI DEL RMT Possono i problemi del RMT favorire il superamento delle difficoltà incontrate? Come si inseriscono nel percorso dell insegnante? L insegnante ha a disposizione diversi approcci (Telatin, 1997): angolo statico come incontro di semirette o come parte di piano compresa tra di esse, angolo di rotazione, angolo costruito dalla riflessione di specchi con un lato in comune. Ogni approccio comporta un diverso percorso e crea delle immagini mentali e dei modelli diversi. L insegnante sceglie un approccio piuttosto che un altro nella speranza di poter superare gli scogli elencati in precedenza. I problemi del RMT possono, in questo caso, fungere da cartina di tornasole per verificare quanto sia corretta l immagine mentale che il bambino si è costruita, per discutere e per portare alla luce alcuni aspetti che normalmente non si pensa di sottolineare e che, se non esplicitati, potrebbero contribuire ad impedire la corretta comprensione del concetto. 2.1 Analisi dei problemi del rally L analisi degli elaborati di due 2 di tre problemi che nel RMT sono stati pensati con il proposito di toccare espressamente il concetto di angolo secondo diverse sfaccettature, ha messo in evidenza come sia difficile studiare e mettere a punto dei problemi che siano chiari, adeguati all età ed alle conoscenze dei bambini ed al concetto che si vuole trattare. I problemi, per il momento, sono solo tre: La torta del 9 Rally 1 prova Palla a rimbalzo del 12 Rally 1 prova Il paese di legno 12 Rally finale 2 Di uno dei tre problemi non è stato possibile avere gli elaborati.

4 ACTES/ATTI BOURG-EN-BRESSE 2004-ARCO DI TRENTO La Torta: il problema e la sua analisi a priori LA TORTA (Cat. 4, 5, 6) Martina ha preparato una torta rotonda per la merenda. I suoi amici hanno già mangiato ciascuno la propria porzione e quella che resta è la sua. Quanti amici ha invitato Martina? (Naturalmente, tutte le porzioni di torta erano di uguale grandezza!) Come avete fatto per trovare la risposta? Analisi a priori: Ambito concettuale - Geometria: angoli, misura, uso di strumenti (compasso, goniometro,...) Analisi del compito - Ritagliare delle fette di torta identiche al modello e affiancarle l una all altra fino ad ottenere un disco. - o riportare con un modello (carta trasparente,...) la parte di torta fino a completare il disegno dell intera torta - o completare il cerchio tracciandolo con il compasso e riportare con il compasso sulla circonferenza l arco corrispondente alla porzione di torta - o misurare l angolo della fetta di torta, dividere 360 per questo numero e ottenere così il numero totale delle parti della torta - togliere 1 al numero ottenuto (11) per ottenere il numero degli amici di Martina (10). Attribuzione dei punteggi 4 Risposta 10, con spiegazione 3 Risposta 11 (numero di fette) con spiegazione coerente oppure risposta 10 con spiegazione non chiara (disegno impreciso o argomentazione confusa o frase del tipo "si vede che...") con la sottrazione Risposta 11 con spiegazione non chiara (disegno impreciso o argomentazione confusa o frase del tipo "si vede che...") senza sottrazione 1 Risposta 9 o 12, o inizio di ragionamento 0 Incomprensione del problema Gli elaborati riguardanti questo problema sono risultati corretti in buona percentuale, portando alla conclusione che lo stesso non presentasse particolari difficoltà. In realtà, la situazione è resa leggermente più complessa dal fatto che fossero disponibili più strategie risolutive: come vedremo in seguito, la scelta della strategia è risultata determinante. Se l alunno decideva di provare a risolverlo per equiscomposizione della figura totale, questo diventava un problema riguardante il concetto di superficie: in questo caso, il fatto che la forma della figura elementare sia una fetta di torta, ovvero una porzione finita di

5 216 GRUPPO DI LAVORO N. 3 APPROCCIO AL CONCETTO DI ANGOLO angolo è ininfluente ai fini della soluzione. L unico concetto eventualmente connesso a quello di angolo entra in gioco dal momento che un dato del problema è la pari grandezza di ogni fetta, da cui si deve desumere l equivalenza degli angoli. Se alternativamente si optava per una risoluzione metrica mediante l uso del goniometro, allora entrava in gioco il concetto di misura dell angolo (oltre ovviamente alla considerazione di equivalenza sopra citata). Elaborati analizzati di categoria 4 28 di categoria 5 47 di categoria 6 Punteggi ottenuti Punteggio N elaborati % Categorie Punti di cat. 4, 18 di cat. 5, 23 di cat. 6 Punti di cat. 4, 4 di cat. 5, 5 di cat. 6 Punti di cat. 4, 0 di cat. 5, 2 di cat. 6 Punti di cat. 4, 5 di cat. 5, 13 di cat. 6 Punti di cat. 4, 1 di cat. 5, 4 di cat. 6 Strategie utilizzate a) Riportare con un modello (carta, carta trasparente) le fette di torta una vicina all altra fino a comporre la torta; b) Ritagliare fette uguali a quella data e incollarle vicine in modo da ricostruire la torta; c) Misurare il raggio e costruire il cerchio con il compasso e riportare sulla circonferenza l arco che corrisponde alla fetta di torta; d) Costruire il cerchio con il compasso, misurare la corda (chiamata dagli allievi larghezza della fetta) e riportare sulla circonferenza il numero di corde di quella lunghezza corrispondenti al numero di fette di torta; e) Misurare l angolo della fetta di torta e dividere 360 per questo numero e ottenere il numero di fette di torta; f) Misurare l angolo della fetta di torta di Martina ed eseguire una serie di sottrazioni, partendo da 360 e togliendo man mano delle fette aventi l angolo uguale a quello della fetta di Martina. Analizzando le risposte date, si può constatare che 35 bambini (36.4%) ricorrono al ritaglio di tante fette quante ne servono per completare la torta, 20 (20.8%) ricorrono all uso del compasso per ricostruire la circonferenza e riportano l arco corrispondente ad un fetta per 11 volte sulla stessa. Le due strategie più utilizzate (pari al 57.2%) non sono necessariamente legate al concetto di angolo, ma sono le due strategie che hanno permesso ai bambini di risolvere correttamente il problema e che sono state premiate dal punteggio. La strategia di considerare l angolo e, di conseguenza, misurarne l ampiezza con l uso del goniometro è risultata invece fortemente penalizzante e ha dato dei risultati negativi; la misura approssimata dell angolo rappresentato dalla fetta di Martina - e di conseguenza 360 diviso il valore trovato - dava come risultato un numero non intero (errore indotto

6 ACTES/ATTI BOURG-EN-BRESSE 2004-ARCO DI TRENTO dal fatto che l angolo non era sottomultiplo di 360. I bambini inevitabilmente approssimavano la misura e quindi il riporto dell angolo all interno del cerchio dava dei risultati errati; di conseguenza ottenevano 10 fette uguali ed una più piccola). In questo caso si sarebbe potuto premiare di più la strategia corretta usando un sottomultiplo più elementare dell angolo giro, perché per i bambini che stanno prendendo in considerazione l ampiezza dell angolo, destreggiarsi con la sua misura è molto difficile. A partire da questo problema, è possibile suggerire delle variabili didattiche che permettano di focalizzare l attenzione sul concetto di angolo considerando, per esempio, tortiere di diametro diverso: La mamma di Martina ha fatto anche un altra torta, ma usando una tortiera più piccola; il diametro è la metà di quello della tortiera precedente (oppure, con una tortiera più grande: il diametro è il doppio della tortiera precedente). Come potrà fare per tagliare le 11 fette di torta tutte uguali? La proposta di considerare teglie di diverso diametro può mettere i bambini in condizione di vedere che le fette ottenute in una teglia possono essere utilizzate nelle altre come modello per avere lo stesso numero di parti e per sottolineare ulteriormente come la lunghezza dei lati di un angolo non sia coinvolta nella determinazione della sua ampiezza. Il paese di legno, il problema e la sua analisi a priori IL PAESE DI LEGNO (Cat. 4, 5) Dario sta costruendo un paese di legno di 7 case con i pezzi di un gioco di costruzioni. Le case sono tutte diverse tra loro, ma ciascuna ha un tetto a forma di triangolo. Ogni tetto è formato da tre pezzi: una punta, una base e un pezzo di mezzo. Dario ha già costruito interamente le case 1 e 2. Sulle case 3, 4 e 5 ha messo solamente la base del tetto. Il suo fratellino gioca con alcuni pezzi, a Dario restano le punte delle case 3, 4, 5, 6 e 7: a c d b e Qual è la punta della casa 3? e della casa 4? e della casa 5?

7 6 1 4 base mezzo di pezzo punta GRUPPO DI LAVORO N. 3 APPROCCIO AL CONCETTO DI ANGOLO Spiegate come avete fatto ad individuarle. Analisi a priori: Ambito concettuale - Geometria: angoli Analisi del compito - Capire che bisogna prolungare i lati dei tetti-trapezi per poter inserire le punte in modo tale che i lati delle punte siano il proseguimento di quelli dei trapezi - oppure sovrapporre le punte dopo averle ritagliate o usando carta da decalco - oppure misurare con il goniometro per attribuire ad ogni parte del tetto la punta corretta - Determinare gli accoppiamenti corretti: 3-e, 4-a, 5-d. Attribuzione dei punteggi 4 Risposta corretta (3-e, 4-a, 5-d) trovata con disegni chiari o con l utilizzazione degli strumenti adeguati 3 Risposta corretta senza alcuna spiegazione 2 Abbinamento corretto di due case con due punte con utilizzo di strategia corretta 1 Abbinamento corretto di una casa con una punta e prolungamento dei lati delle altre case in modo scorretto (cambiamento di direzione) 0 Incomprensione del problema

8 ACTES/ATTI BOURG-EN-BRESSE 2004-ARCO DI TRENTO Di questo problema non si sono potuti analizzare gli elaborati. Si sono invece potuti analizzare i lavori di due classi 4 e e di due classi 5 e che l hanno proposto all interno del loro percorso didattico. In questo caso quello che interessa non è il punteggio ma le strategie utilizzate per la risoluzione. L analisi a priori indica quali saperi vengano messi in gioco. Per poter rispondere correttamente i bambini devono avere come immagine mentale, anche non esplicitata, che l angolo è definito univocamente dall intersezione di due semirette (o segmenti) non parallele. In una classe 4 a di 8 alunni, i bambini hanno misurato la lunghezza dei lati e della base dei triangoli cercando una qualsiasi congruenza con la base minore del trapezio-tetto, senza arrivare a trovare la soluzione. Un gruppo ha trovato che il lato obliquo di un triangolo misurava come la base-tetto e quindi ha abbinato quella punta a quella casa. È evidente che l idea che i lati di un angolo non siano delle linee spezzate non è ancora stata maturata. Nell altra classe 4 a di 18 alunni, era stato affrontato in precedenza, nel percorso per l approccio al concetto di angolo, un problema che conteneva la stessa difficoltà. Ai bambini erano stati consegnati degli angoli in carta da lucido a cui era stata tagliata una parte comprendente il vertice. Bisognava incollarli sul quaderno e completare, con un disegno, la parte mancante. A lavoro concluso, veniva loro consegnata la parte tagliata, perchè potessero incollarla al suo posto; essendo la carta trasparente, la congruenza o meno con il disegno era subito evidente e permetteva ai bambini di riflettere sui propri eventuali errori. In questa classe, di fronte al problema Il paese di legno, tutti i gruppi hanno prolungato le basi del tetto per inserire le punte correttamente. Si poteva quindi pensare che fosse stato acquisito che i lati di un angolo sono delle semirette; analizzando però i disegni che i bambini avevano completato individualmente sul loro quaderno, dopo aver risolto il problema in gruppo, è emerso che 4 alunni avevano tracciato delle linee spezzate. Il disegno rivelava, al di là della spiegazione corretta, che questi bambini non avevano maturato la consapevolezza che l angolo è individuato da delle semirette (o segmenti). Nelle due classi 5 e (22 bambini), un solo gruppo ha misurato i lati con il righello e non è riuscito a risolvere il problema. Gli altri sono ricorsi a carta da lucido su cui hanno decalcato le punte che hanno poi sistemato all interno del prolungamento dei lati. Un gruppo ha fatto esplicito riferimento alla somma degli angoli interni di un triangolo: ha misurato l ampiezza degli angoli alla base del tetto e, per differenza, ha trovato di quanto doveva essere l ampiezza del terzo angolo. Dopo di che ha misurato con il goniometro le punte e le ha attribuite correttamente alle varie case. Nelle varie classi, quindi, il problema ha potuto essere usato per affrontare un concetto nuovo, per rinforzarlo ed ampliarlo una volta acquisito, oppure per snidare le difficoltà incontrate dai bambini più deboli. Anche per questo problema è possibile immaginare varianti che aiutino a chiarire sempre più i dubbi, come ad esempio: Se le basi dei tetti fossero alte la metà, i tetti sarebbero uguali, più spioventi o meno spioventi di quelli che hai trovato prima?.

9 220 GRUPPO DI LAVORO N. 3 APPROCCIO AL CONCETTO DI ANGOLO Palla a rimbalzo, il problema e la sua analisi a priori PALLA A RIMBALZO (Cat. 5, 6) Andrea guarda giocare gli amici, Gianni, Ida e Mario dalla finestra della sua camera. Essi lanciano una palla rasoterra contro il muro, proprio sotto la sua finestra. Andrea osserva come la palla rimbalza, una volta in A, una volta in B, una volta in C: muro A B C Andrea suggerisce ai suoi amici di disporre sul terreno dei birilli e di lanciare la palla contro il muro, mirando al punto B, in modo che la palla, rimbalzando, ne faccia cadere qualcuno. Nella figura qui sotto potete vedere come sono disposti i birilli, indicati con a, b, c, d, e, f e le posizioni da cui Gianni, Ida e Mario lanciano la palla. Ciascun bambino, a turno, lancia la palla dal punto indicato e la fa rimbalzare sul muro nel punto B. Gianni Ida d a b c f Mario e muro B Quali birilli cadranno e chi li farà cadere? Giustificate la vostra risposta. Analisi a priori: Ambito concettuale - Geometria: angoli e simmetria Analisi del compito - Osservare, sugli esempi, che le traiettorie della palla, prima e dopo il rimbalzo, sono simmetriche e cercare di identificare gli elementi caratteristici di questa simmetria: le pendenze, l asse di simmetria perpendicolare al muro, gli angoli (di incidenza e di riflessione) formati dalle rette con il muro o con l asse di simmetria. Dedurne un principio di riflessione, allo stadio ancora intuitivo. - Per ogni bambino, partire dalla posizione iniziale della palla e disegnarne la traiettoria fino al punto di rimbalzo sul muro.

10 ACTES/ATTI BOURG-EN-BRESSE 2004-ARCO DI TRENTO Tramite goniometro o piegatura del foglio o carta da decalco, o ritaglio trovare come prosegue la palla dopo il rimbalzo. - Individuare così che Gianni colpisce il birillo d, Ida il birillo b e Mario nessun birillo. Attribuzione dei punteggi 4 Risposta corretta per i tre bambini (Gianni - d, Ida - b, Mario - nessuno) con giustificazione (disegno preciso o piegatura,...) 3 Determinazioni corrette per due bambini, con giustificazione (disegno, piegatura,...) 2 Determinazione corretta per un solo bambino con giustificazione, oppure indicazione giusta per due o tre bambini senza giustificazione (a occhio), oppure determinazioni corrette e giustificate per due bambini e un errore dovuto ad una imprecisione di costruzione (angolo o piegatura) (esempio di errore possibile, Gianni - a o Mario - c, f, o e) 1 Individuazione di una sola corrispondenza corretta ma senza giustificazione 0 Incomprensione del problema La comprensione di questo problema è tutta basata sull intuizione del concetto fisico di riflessione (assolutamente non banale ma suggerito attraverso il disegno delle prime tre traiettorie). Inoltre è presente l idea di bisettrice. Anche qui si può trovare il concetto di unicità dell angolo (a partire dall unicità dell angolo metà): la risoluzione ottimale parte dal lato sinistro dello schema, non dal destro. Elaborati analizzati di categoria di categoria 6 Punteggi ottenuti Punteggio N elaborati % Categorie Punti di cat. 5, 10 di cat. 6 Punti di cat. 5, 5 di cat. 6 Punti di cat. 5, 4 di cat. 6 Punti di cat. 5, 36 di cat. 6 Punti di cat. 5, 77 di cat. 6 Soluzioni corrette e strategie utilizzate a) Capire che angolo di incidenza e angolo di riflessione sono uguali; Decalcare gli angoli su carta da lucido e quindi effettuare il ribaltamento dei medesimi; Misurare con il goniometro l angolo delle traiettorie dei lanci di 3 bambini; Riportare graficamente le traiettorie degli stessi lanci dopo l urto usando i medesimi angoli misurati sopra; Verificare quali birilli giacciono su tali traiettorie. b) Come a), ma misurando i complementari degli angoli di incidenza e riflessione usando la retta perpendicolare al terreno. c) Costruzione di triangoli isosceli la cui base è parallela al muro e passa per i punti in cui sono posizionati i bambini e i cui lati congruenti sono dati dal segmento tracciato dal percorso della palla, e dal suo simmetrico trovato misurando una identica lunghezza.

11 222 GRUPPO DI LAVORO N. 3 APPROCCIO AL CONCETTO DI ANGOLO Soluzioni errate 1) Non aver identificato l uguaglianza fra angolo di incidenza e angolo di riflessione; 2) Aver utilizzato i tre lanci dell esempio come possibili soluzioni, o come traiettorie fisse dei tre bambini (addirittura ritagliate e riportate sotto); 3) Aver usato un metodo sperimentale con problemi di approssimazione; 4) Aver considerato la pari distanza del birillo e del bambino dal muro, o la sua proiezione, del birillo e del bambino come determinante; 5) Aver considerato complementari l angolo di incidenza e l angolo di riflessione. L analisi degli elaborati ha messo in luce come sia difficile formulare in modo corretto e comprensibile un problema. La percentuale molto alta di 0 punti (55.3%) fa capire che il problema non è stato ben formulato oppure non era adatto a bambini di quell età. Innanzitutto vi è una difficoltà di percezione: il muro, rappresentato come un rettangolo, non è stato visto come un possibile lato degli angoli. Ne consegue che l unico angolo che veniva colto era quello interno, delimitato dai due segmenti indicanti la traiettoria, che veniva quindi riportato nella situazione in basso tale e quale. La simmetria degli angoli non è stata colta perché la differenza di lunghezza dei segmenti che li delimitano fa percepire gli angoli uno maggiore e l altro minore. La stessa esperienza dei bambini era di ostacolo a vedere la simmetria dei due angoli (spesso il terreno non perfettamente piano impedisce alla palla di seguire la traiettoria idealmente disegnata). Il fatto che gli esempi fossero tre e che tre fossero anche i bambini ha fuorviato molti alunni; ha fatto pensare che le traiettorie fossero quelle descritte in alto e che fosse quindi sufficiente spostarle in basso e trovare a quali bambini appartenevano. Dall analisi degli elaborati è emersa anche la difficoltà dovuta all uso del goniometro. L impressione è che i bambini abbiano capito che il goniometro è lo strumento che si deve utilizzare in presenza di un angolo ma non sappiano come si usa; bisognerebbe approfondire se la difficoltà consiste in un incomprensione del concetto di ampiezza o in una difficoltà di tipo più tecnico-pratico. Questo problema evidenzia come per i bambini sia ancora difficile identificare l angolo per la sua ampiezza. Sono molti quelli che misurano i lati degli angoli; due bambini si affidano alla misura dei lati di un triangolo isoscele. L elemento segmento si impone, forse perché è qualcosa di visibile mentre l ampiezza non lo è.

12 ACTES/ATTI BOURG-EN-BRESSE 2004-ARCO DI TRENTO CONCLUSIONE L analisi di questi problemi sottolinea bene quali possano essere i legami che uniscono il mondo RMT a quello della didattica della classe. Tali problemi possono essere proposti come avvio per affrontare un argomento, oppure per rinforzare una conoscenza, o ancora per sviscerare meglio e rinforzare un concetto affrontato nel corso del normale lavoro didattico. Se il lavoro di classe può permettere di portare alla luce gli scogli da superare, il RMT, coinvolgendo un gran numero di classi e di alunni, può aiutare a fare capire a quale età le varie difficoltà possono essere superate. Inoltre, il mettere i bambini di fronte ad una situazione pseudo-reale, aiuta a cogliere quali siano gli ostacoli che impediscono loro di passare dal concreto all astratto e quali siano i misconcetti che intralciano la corretta comprensione degli argomenti affrontati. Quello che è estremamente importante è che ci sia sempre una stretta collaborazione tra i due mondi: a volte è il lavoro di classe che suggerisce e mette in luce le difficoltà (e da qui nasce un problema per il RMT), a volte è un problema del RMT che permette di affrontare e incominciare a discutere dei vari argomenti, in un intreccio di analisi e scoperte che fa sì che si affrontino e si cerchino di superare sempre meglio gli scogli che si presentano. BIBLIOGRAFIA Telatin, G.: 1997, A propos du concept d'angle, Math-École, n 177,