Risposte nel tempo di sistemi LTI del 1 e 2 ordine

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1 Ripote el tempo di itemi LTI del e ordie Fodameti di Automatica Prof. Silvia Strada Coro di Studi i Igegeria Getioale (Cogomi H PO)

2 Sitemi del ordie E molto comue crivere G () a b µ + a + τ b τ K τ G () b a x + a polo Eempio 3.5 G () Il polo del itema è i - oia -/.5

3 Sitemi del ordie Qual è l equazioe differeziale che lega igreo e ucita? µ K Y() G() U() U() ( + ) Y() U() + τ τ τ K yt () + yt () ut () τ τ Qual è l atitraformata di Laplace della ripota forzata allo calio i ucita? µ a b τ a+ b b τµ Y() GU () () + + τ + τ a µ µ τµ µ τµ Y y(t) L µ e t + τ + τ y() y( ) y µ t τ ( ) ( ), 3

4 Sitemi del ordie t τ y(t) µ ( e ), t y(t) µ µ e y() y( ) µ t τ regime traitorio µ.5 Step Repoe L ucita è mootoa vero il guadago Amplitude.5 y() µ τ I pratica dopo circa 5τ il traitorio fiice e la ripota è arrivata al valore di regime. Co preciioe arriva ad avere meo dell % di errore ripetto al valore di regime dopo 4.6τ τ Time (ecod) τ 3τ 4τ 5τ tempo di aetameto della 4 ripota a calio

5 Eempi Si traccio le ripote allo calio uitario dei egueti tre itemi: G() τ.5 G() τ G3() τ x x x. 5 Ripota mootoa crecete eza fleo Ecco perché τ i chiama cotate di tempo :più è grade più tempo ci mette l ucita ad adare al valore di equilibrio µ 5

6 Sitemi del ordie G () b + a + a Il modo tadard di crivere queta fuzioe di traferimeto è G () µ ω Pulazioe aturale + ξω+ ω ω Smorzameto ξ coϑ < ξ < θ agolo a partire dal emiae reale egativo 6

7 Sitemi del ordie Approfodiamo!. L equazioe caratteritica è quidi + ξω + ω, ξω ± ω ξ Coideriamo 3 cai: <ξ< ξ ξ> 7

8 Sitemi del ordie Cao. <ξ< Il itema i dice uderdamped oia otto-morzato e i poli oo complei coiugati Im jω ξ Y() GU () () ξω ± jω ξ, ω µ + ξω + ω ξω ξ y(t) µ e ω ξ t + t ξ ξ ξωt i ata( ), ϑ ω ω Re jω ξ Qual è l atitraformata di Laplace della ripota forzata allo calio i ucita? L ucita è OSCILLANTE SMORZATA vero il guadago 8

9 Sitemi del ordie Cao. <ξ< Parametri importati che caratterizzao la ripota forzata i ucita del itema: Step Repoe t a T 5 ξω ω π tempo di aetameto della ripota a calio ξ periodo delle ocillazioi.5 µ.5 A A e ξπ ξ µ / % * maima ovraelogazioe relativa percetuale Amplitude Time (ecod) t a 9

10 Sitemi del ordie Adameto della max ovraelogazioe relativa i fuzioe dello morzameto / % e πξ ξ * La ovraelogazioe dipede olo da ξ e o da ω E % quado ξ. Decrece, al crecere di ξ da zero a. %

11 Eempio G () + ξ + ω ω. µ ξ Step Repoe t a 5 ξω Amplitude Time (ecod) Più piccolo è lo morzameto più ocillazioi oo preeti maggiore è la ovraelogazioe maggiore è il tempo di aetemeto

12 Sitemi del ordie ξ ± jω Il itema i dice acora uderdamped, e i poli oo immagiari puri La ripota forzata i ucita è u ocillazioe Step Repoe NON SMORZATA che o va mai a µ! A Amplitudeµ Time (ecod)

13 Cao. ξ Sitemi del ordie Il itema i dice critically damped e i poli oo reali e coicideti Si chiama critically damped perchè ega la traizioe da comportameto ocillatorio e o ocillatorio della ripota allo calio. ξω, Im µ 9 Step Repoe ω ξω Re Amplitude L ucita è NON OSCILLANTE e tede al guadago ta 6 7τ Time (ecod) t a 3

14 Sitemi del ordie Cao 3. ξ> Il itema i dice overdamped e i poli oo reali e dititi ξω + ω ξ ξω ω ξ Im µ.5 Step Repoe L ucita è NON OSCILLANTE e tede al guadago Re.5 Vito che poli reali criviamo G() ella forma co le cotati di tempo µ Y() GU () () ( + τ )( + τ ) Amplitude t t τ τ yt µ e + e t ( τ τ) ( τ τ) τ τ (), e τ5 >τ 6 7 Time (ecod) t τ yt () µ e, t t a 5τ tempo di aetameto 4

15 Sitemi del ordie Al eguete lik: imulazioe iterattiva delle ripote allo calio di itemi del ordie molto utile! 5

16 Sitemi del ordie co zero G( ) + T µ + τ N.B. la cotate di tempo T dello zero (i G()) o ha ulla a che fare co il periodo T delle ocillazioi, precedetemete aalizzate!! 6

17 Step Repoe Time (ecod) Step Repoe Time (ecod) Step Repoe Time (ecod) Sitemi del ordie co zero t + T T τ G( ) µ y(t) µ + e, t + τ τ <T<τ zero a iitra del polo o T x τ Amplitude <τ<t zero a detra del polo ma el emipiao iitro x o τ T Amplitude ta 5τ T<<τ zero el emipiao detro x τ o T Amplitude La preeza dello zero POSITIVO caua ua ripota 7 ivera

18 G( ) µ ( + T ) ( + τ )( + τ ) Sitemi del ordie co zero Y ( ) G( ) U ( ) t µ ( + T ) τ τ ( + )( + ) τ τ y( t) a + be + ce, t t y() lim Y ( ) limg( ) µ T y () lim Y ( ) lim G( ) τ τ y y( ) lim Y ( ) limg( ) µ > < T T > < e τ >τ t a 5τ 8

19 Eempio Sitemi del ordie co zero G( ) µ.5 T.5 µ ( + T ) ( + τ )( + τ ) τ τ.5 5 ovraelogazioe Amplitude T.5 T 5 T-.5-5 T Step Repoe t a 5τ T- La preeza di uo zero POSITIVO caua ua ripota ivera ottoelogazioe Time (ecod)

20 Sitemi del ordie co zero G( ) µ ( + T ) ξ + + ω ω effetto dello zero è acora ovraelogazioe e T> ottoelogazioe e T< Eempio ω 5 poli ± j ξ co(arcta()) / zero T 5( + T ) G( ) µ 5.45 La preeza di uo zero POSITIVO caua ua ripota ivera t a 5 5 ξω

21 Sitemi di ordie > ( ) G µ g i i ( + T) ( + τ ) i i N() grado m D() grado aitoticamete tabile g Re(τ i )>, i Traformata di Laplace della ripota forzata i ucita ad uo calio uitario i igreo: ( ) G L Y() - yt ()

22 Sitemi di ordie > Teorema del valore iiziale y() lim Y ( ) limg( ) > m m o trett. proprio Teorema del valore fiale y( ) y lim Y ( ) limg( ) g < G() µ g guadago tatico Ma poi come i fa a timare il tempo di aetameto e vi oo tate cotati di tempo τ i al deomiatore?

23 Approimazioe a poli domiati (per emplicità) cotate + epoeziale (modo) DOMINANTE aociata alla cotate di tempo più grade cioè al polo più vicio all ae Immagiario, detto POLO DOMINANTE t a 5τ 3

24 Approimazioe a poli domiati I geerale, co poli reali e/o complei coiugati, può eere idividuabile polo domiate reale oppure ua coppia domiate di poli complei coiugati 4

25 Approimazioe a poli domiati Per qualuque G(), i pooo defiire delle ue APPROSSIMAZIONI A POLI DOMINANTI che oo fuzioi di traferimeto più emplici che approimao G(): ) coervadoe olo il/i poli domiati ) coervadoe empre il guadago µ 3) coervadoe zeri poitivi oppure egativi e co parte reale imile a quella dei poli domiati oppure più piccola i modulo, e tali per cui la fdt approimate ia co umero di poli al umero di zeri 5

26 Approimazioe a poli domiati Eempio poli zero G( ) ± µ G() 3 j ω, ξ.5 4( + ) ( +.)( +.)( + + 4), 5 divere, etrambe corrette, approimazioi a poli domiati di G() G G approx approx ( ) ( ) 4( + ) ( + + 4) ( ) t a 5 5 ξω 6

27 G G approx approx ( ) ( ) 4( + ) ( + + 4) ( ) 4( + ) G( ) ( +.)( +.)( + + 4) µ