LA CORRENTE ELETTRICA CONTINUA

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1 CAPITOLO 33 LA CORRENTE ELETTRICA CONTINUA 1 L INTENSITÀ DELLA CORRENTE ELETTRICA 1! v! a t! F m e! E m t v! e t m! E Fssato l ntervallo d tempo t, s può scrvere! v! E 2 Q t 4, A 5,0 s 0,20 C 3 t 4 Q 4,20 C 0,35 A 12 s Q t 0,36 C 60 s 6, A 6,0 ma n Q e 0,36 C 2,2 1, C 5 Q t ne 6, t ( 1, C) 60 s 16 ma Q t ( A) ( s) 1, C 6 Q t 1, A 10 s 0,15 C n Q e 0,15 C 9,4 1, C 1

2 Amald, Dalla mela d Newton al Bosone d Hggs 7 t dq( t) dt ( 6,0 C/s 3 )t 2 + ( 8,0 C/s 2 )t ( 3,0 s) ( 6,0 C/s 3 )( 3,0 s) 2 + ( 8,0 C/s 2 )( 3,0 s) 78 A 8 t dq( t) dt ( 0,15 C/s)e ( 1,5 s 1)t ( 2,0 s) ( 0,15 C/s)e 3,0 3,0 A 9 t dq( t) dt ( 0,20 s) 3,0 C/s ( 3,0 C/s)cos 1,5 s 1 t cos 1,5 s 1 0,20 s 3,0 C/s Consderando le propretà della funzone coseno, l valore massmo d ( t) s ottene quando l coseno assume l massmo valore par a 1. Indcando con t* l stante d tempo n cu s ha l valore massmo, possamo scrvere ( t *) 3,0 C/s e l prmo stante d tempo n cu s ottene tale valore è t * cos 1,5 s 1 10 Se ( t) ( 4,0 A/s)t 1 t* 2π 1,5 s 4,2 s allora, consultando la tabella delle dervate, s deduce Q( t) ( 2,0 C/s 2 )t 2 + k 2 I GENERATORI DI TENSIONE E I CIRCUITI ELETTRICI 11 Le ple sono nserte n sere, qund se ne manca una l crcuto è aperto e non passa corrente. 12 L 1 è n parallelo con L 2 perché a loro cap v è la stessa dfferenza d potenzale; questo parallelo è n sere con L 3 poché sono attraversat dalla stessa corrente. 13 L amperometro, per msurare l ntenstà d corrente, deve esserne attraversato, qund deve essere collegato n sere e non n parallelo. 14 Il voltmetro, per msurare la dfferenza d potenzale, deve avere a suo cap la tensone da 2

3 Amald, Dalla mela d Newton al Bosone d Hggs msurare, qund deve essere collegato n parallelo e non n sere. 3 LA PRIMA LEGGE DI OHM 15 Sì, è possble. Due resstor n parallelo nvece potrebbero rappresentare due strade alternatve per raggungere la stessa meta. 16 No, la prma legge d Ohm vale per un ampa classe d conduttor ma non per tutt. In quell ctat, la curva caratterstca non è una retta passante per l orgne d un dagramma corrente-tensone. 17 R 18 R 1, A 50 Ω 4,5 0,060 A 75 Ω 19 R 12 Ω 20 A 2, R 5, , Ω 2, A A C C D D E E B A 150 Ω 560 Ω ,0 A ,0 A ,0 A ,0 A 20 Ω 40 Ω 10 Ω 30 Ω A 21 ma 3

4 Amald, Dalla mela d Newton al Bosone d Hggs α 1 Da queste due relazon s rcava: 2 α 1 24 Dal grafco s può dedurre che c'è una relazone d proporzonaltà dretta tra e. Prendendo una coppa qualunque d punt del grafco, possamo scrvere l equazone passante per quest due punt. S trova: 1 R 1 2, Ω La resstenza del conduttore è l nverso del coeffcente angolare della retta R 2, Ω R 2 2 R da queste s rcava ,15 A 0, 30 A R ,0 8,0 A 1,5 Ω 2 2 R 8,0 1,5 Ω 5,3 A 4 I RESISTORI IN SERIE E IN PARALLELO 27 No, nfatt la resstenza equvalente sere è S 2R mentre la resstenza equvalente parallelo è P e quest due valor sono dvers per qualunque valore d R. 28 In quello con resstenza d valore mnore. 29 Poché sono tutte collegate n parallelo, la tensone a loro cap non camba, qund neppure l ntenstà d corrente che le attraversa. 4

5 Amald, Dalla mela d Newton al Bosone d Hggs 30 Dsponendo due resstor da 30 Ω n parallelo ottene una resstenza da 15 Ω. Dsponendo l collegamento con resstenza equvalente da 15 Ω appena ottenuto n parallelo con un resstore da 30 Ω, ottene una resstenza equvalente da 10 Ω. 31 Tre n sere n parallelo con l quarto ,0 ma 130 Ω Ω Ω 33 18,0 6, ma 3,0 103 Ω R 10 3,0 103 Ω 3, Ω ,0 0,032 A 32 ma 60 Ω + 80 Ω + 50 Ω ,0 ( 150 Ω) ( 300 Ω) 150 Ω Ω 0,120 A 36 La resstenza equvalente d due o pù resstenze n sere è sempre maggore d cascuna d esse, pertanto l ntenstà d corrente sarà mnma quando assumerà valore massmo, coè 500 Ω. Tale ntenstà d corrente vale 200 0, 338 A Ω Ω 37 La resstenza equvalente d due o pù resstenze n sere è sempre maggore d cascuna d esse, pertanto l ntenstà massma s avrà quando c è solo, ossa per 0. Tale ntenstà d corrente vale Ω 1,47 A 38 Calcolamo anztutto la resstenza equvalente:,3, Ω 5

6 Amald, Dalla mela d Newton al Bosone d Hggs,3,4,5,3,4R 5,3,4 + R 5 20 Ω +,3,4,5 100 Ω Qund la corrente totale è Inoltre 0,80 A 1 0,80 A 1 1 ( 80 Ω) ( 0,80 A) 64 La dfferenza d potenzale a cap d,3,4 è la stessa d quella a cap d R 5, coè Qund la corrente che attraversa,,, che sono n sere, è ,3,4,3,4 16 0, 40 A 40 Ω Rsulta noltre 5 5 R , 40 A 40 Ω 2 4 ( 10 Ω) ( 0, 40 A) 4,0 3 3 ( 20 Ω) ( 0, 40 A) 8,0 39,2 +, Ω Ω 280 Ω tot 28,0 280 Ω 0,100 A 1,2 tot,2 ( 0,100 A) ( 120 Ω) 12,0 1 1,2 2 1,2 12,0 300 Ω 12,0 200 Ω 40,0 ma 60,0 ma 3,4 tot,4 ( 0,10 A) ( 160 Ω) 16,0 3 3,4 16,0 240 Ω 66,7 ma 6

7 Amald, Dalla mela d Newton al Bosone d Hggs 4 3,4 16,0 480 Ω 33, 3 ma ,3,4 8,0 Ω ,0 Ω ,0 Ω Ω,3,4 120 Ω 37 3,24 Ω +,3,4 6,0 Ω + 3,2 Ω 9,24 Ω tot 24 9,24 Ω 2,60 A 2,3,4 tot,3,4 ( 2,60 A) ( 3,24 Ω) 8,42 2 2,3,4 3 2,3,4 4 2,3,4 8,42 8,0 Ω 1,05 A 8,42 12,0 Ω 0,702 A 8,42 10,0 Ω 0,842 A 41 L ntenstà d corrente è mnma quando resstor sono post n sere, n modo che la resstenza equvalente sa massma. Nel caso n cu tre resstor sano post n sere s ha: ,0 120 Ω 0,10 A R 120 Ω L amperometro va posto n sere a tre resstor gà n sere tra loro. 42 Nel caso n cu l resstore sa posto n sere con l parallelo fra e s ha: R + 6R2 5R 4,4 Ω 1 12,0 1 4, 4 Ω 2, 7 A Nel caso n cu l resstore sa posto n sere con l parallelo fra e s ha: R + 3R2 4R 5,5 Ω 7

8 Amald, Dalla mela d Newton al Bosone d Hggs 2 12,0 2 5,5 Ω 2,2 A Nel caso n cu l resstore sa posto n sere con l parallelo fra e s ha: R + 2R2 3R 7,3 Ω 3 12,0 3 7,3 Ω 1,6 A La corrente che scorre nel crcuto è mnore quando è posto n sere con l parallelo fra e R n R n 44 n n R n R n + R n R n tot + Esprmo n funzone della corrente e rcavo 1 : tot + tot + tot 8

9 Amald, Dalla mela d Newton al Bosone d Hggs 45 R var 1 tot Ω 6,0 1, A 6,0 103 Ω R tot 6,0 1 0, A Ω R tot R var + R R R tot R var Ω 6, Ω Ω 5 LE LEGGI DI KIRCHHOFF 46 Del prncpo d conservazone della carca. 47 C sono due nod e tre magle. Percorramo la magla esterna n senso oraro, come ndcato nella fgura, coè Ω 20 Ω ( 3,0 A) 9,5 A 49 Fssamo l verso d percorrenza oraro. Applcando la seconda legge d Krchhoff alla magla LMNO s ha Per la legge de nod Rsolvendo l sstema d queste due equazon s ottene A 10 Ω + 30 Ω A 10 Ω + 30 Ω ( 10 Ω) ( 30 Ω) 9 2,5 A 23 A Poché l verso d percorrenza nzale è arbtraro, l segno negatvo nel rsultato della corrente 2 ndca che n quel ramo la corrente scorre n senso antoraro (e non oraro come fssato all nzo). 50 Nella magla nterna scelgo l verso d percorrenza antoraro e applco la seconda legge d Krchhoff. Nella magla esterna (con e ) scelgo l verso d percorrenza antoraro e applco la

10 Amald, Dalla mela d Newton al Bosone d Hggs seconda legge d Krchhoff. Possamo scrvere l sstema: Rsolvamo l sstema: ,0 A ( 2 + ) ,068 A ( 3 R + 2 ) 2 1 0,23 A R y + + R y + R y 22 2,0 A 11 Ω ( + R y ) 2 ( 11 Ω) ( + R y ) + R y 0 Applco la seconda legge d Krchhoff alla magla formata dal parallelo de due resstor coè: x y R y R y y x 1 2 ( + R y ) 2 ( 11 Ω) ( + R y ) + R y 0 11 x ( 33 Ω) 0 3,0 Ω R y 6,0 Ω Fsso l verso d percorrenza oraro. Applco la seconda legge d Krchhoff alla magla nterna 10

11 Amald, Dalla mela d Newton al Bosone d Hggs formata da resstor n parallelo e la prma legge de nod. S ha R c 2 + R + R x 2 + c 3,0 Ω 12,0 3,0 Ω + 4,0 Ω 1,5 A 4,0 Ω 1,7 Ω 53 ( 40 Ω) + + R 5 20 Ω + + R 5 20 Ω + 40 Ω Ω 0,34 A ( 30 Ω) 10 Ω + 50 Ω + 10 Ω + 30 Ω 71 Ω Fsso l verso d percorrenza oraro. Applco la legge delle magle alla magla nterna formata da resstor n parallelo 4 e 5, nseme alla legge de nod. Abbamo qund: 5 4 R R R 5 + R 5 10 Ω 10 Ω + 30 Ω 0,34 A 0,085 A 54 Per ragon d smmetra, s può scrvere che

12 Amald, Dalla mela d Newton al Bosone d Hggs Applchamo la legge de nod n A, coè Applchamo la legge delle magle alla magla ABCDA, con un verso d percorrenza oraro: R α 1 R α 1 2α 2 55 Fsso l verso ndcato n fgura (oraro) e applco la legge delle magle a tre magle ndpendent, rcordando che nel ramo centrale la corrente è zero per la condzone nzale scelta. Magla ABD: 1 R 1 0 Magla ACD: Magla BCD: 2 R 1 0 Mettendo a sstema queste equazon abbamo: 1 R R R R 1 Le due corrent sono dverse da zero se è dverso da zero. Dvdo membro a membro le due equazon e ottengo: R + R R + R ( + ) ( + R ) x R R 6 LE TRASFORMAZIONE DELL ENERGIA ELETTRICA 56 Quella da 40 W, essendo 12

13 Amald, Dalla mela d Newton al Bosone d Hggs P 2 R 57 La potenza dsspata dventa 1/4 d quella nzale, nfatt: P P 2 R 58 P 2 R 2 R R 2 P ( 6, A) W 67 mw P 1, Ω 60 R W W 0,36 Ω 2 ( 0,28 A) 2 61 W P t 15 W 24 h 0,36 kwh W ( 0,36 kwh) ( 3, J) 1, J 1, 3 MJ 62 P 1,3 103 W 220 5,9 A W Pt ( 1, W) ( 6, s) 7, J 63 La potenza rsparmata nel cambo della lampadna è d 88 W, equvalente a un consumo mensle d W P 64 P 0 2 R P W t ( 3,0 h) ( 30) 7,9 kwh t 88 W W Q η mc T η t W P W 2 R t W 2 R mc T 10 kg η 2 R 0,8 ( 4186 J/(kg K) ) ( 5,0 A) 2 ( 50 Ω) s 13

14 Amald, Dalla mela d Newton al Bosone d Hggs 65 L energa dsspata dalla spa durante l anno è W P Poché t ( 5 W) ( s) J 1 kwh 3, J s ha W J 20 kwh 3, J/kWh Qund l rsparmo economco è ( 20 kwh) ( 0,20 /kwh) 4 66 Calcolamo la resstenza del crcuto nelle possbl confgurazon degl nterruttor: nterruttor 1, 2, 3 chus: ( 75 Ω) Ω + 50 Ω 80 Ω + 50 Ω + 75 Ω ( 100 Ω) Ω Ω Ω 45 Ω nterruttor 1, 3 chus, 2 aperto: nterruttor 2, 3 chus, 3 aperto: 3 3 R ( 50 Ω + 50 Ω )( 100 Ω) ( 50 Ω + 50 Ω) Ω 50 Ω ( 75 Ω + 50 Ω )( 100 Ω) ( 75 Ω + 50 Ω) Ω 56 Ω La potenza erogata dal generatore sarà mnma per la terza confgurazone (corrente mnma, coè resstenza totale massma) e massma per la prma confgurazone (corrente massma, coè resstenza totale mnma). Qund: P mn P ( 220 )2 56 Ω 8,7 102 W P max P ( 220 )2 45 Ω 1,1 103 W Se tutt gl nterruttor sono apert (ma anche ne cas n cu uno solo de tre è chuso) allora la corrente passa tutta nel solo resstore 4. La potenza del generatore sarà dunque P Ω 484 W 14

15 Amald, Dalla mela d Newton al Bosone d Hggs 67 Rsolvendo l crcuto trovamo la potenza P erogata dal generatore (deale), par a quella dsspata dalla resstenza equvalente del crcuto. La resstenza equvalente è La potenza erogata è ( + ) P La somma delle potenze dsspate su sngol resstor è nvece: P 1 + P 2 + P ( + ) avendo consderato Applco la legge de nod al nodo A e quella delle magle alla magla ABCD: ( + ) ( 1 ) 1 ( + ) Sosttusco le due relazon ottenute sopra nella espressone della somma delle potenze: P 1 + P 2 + P 3 ( + ) Qund, con alcun passagg, s ottene: P 1 + P 2 + P R 2 3 ( + ) + ( + ) R R R che corrsponde all espressone della potenza dsspata dalla resstenza equvalente. 2 7 LA FORZA ELETTROMOTRICE 68 Quando crcola corrente n un crcuto, una parte dell energa fornta dal generatore serve per 15

16 Amald, Dalla mela d Newton al Bosone d Hggs vncere la resstenza al moto delle carche al suo nterno. 69 Quando l crcuto è aperto ( 0 A) oppure nel caso d un generatore deale (r nt 0 Ω). 70 f em r 4,5 10 Ω 0,032 A 4,2 71 Dalla msura effettuata a crcuto aperto s deduce che f em 1 4,64 La resstenza nterna rsulta r R f em ( 100 Ω) 0,50 4,14 12 Ω 72 r R f em 12,0 11,8 ( 400 Ω) 7 Ω 11,8 73 R r R f em 74 3r 3 t mc T r mc ,0 0,090 A 67 Ω T 10 kg t 3 3,0 A 7,0 6,0 ( 67 Ω) 11 Ω 6,0 ( 4186 J/(kg C) ) ( 10 C ) 2 ( 3600 s) f em r + R R f em r 3,5 Ω r 2 t mc T m r2 c 1,5 A 2 ( 300 s) ( 30 C) t T 5, Ω 4186 J/(kg C) 76 f em r + R r f em R P r 2 f em R ,3 A 7,5 Ω 1,3 A 4, 3 Ω 2, kg 2,7 g 2 2,9 W 16

17 Amald, Dalla mela d Newton al Bosone d Hggs PROBLEMI GENERALI 1 t Q 1,5 103 C 8,5 ann 5, A 2 Q t ( 0,80 A) ( 45 s) 36 C P ( 0,80 A) ( 3, 7 ) 3,0 W W P t ( 3,0 W) ( 45 s) 1, J 3 t mc T mc T mc T 2 ( 80 kg) 4186 J/(kg K) 220 ( 4,5 A) 2,8 h 4 Calcolamo la resstenza equvalente sere delle resstenze de due muscol: f em ( + r) f em r 1, Ω Poché le due resstenze n sere sono dentche s ha R 2 6,1 102 Ω La dfferenza d potenzale a cap della sere è f em da cu + r 5,8 muscolo 2 2,9 5 Poché R 5 + R Ω rsulta

18 Amald, Dalla mela d Newton al Bosone d Hggs + R 5 6 Chamamo 1, 2, 3 le corrent che passano ne ram del crcuto che contengono le corrspondent resstenze. I vers delle corrent sono arbtrar e sono ndcat dalle frecce Calcolamo valor delle tre corrent utlzzando le legg d Krchhoff. Applchamo la legge de nod al punto A: Applchamo la seconda legge d Krchhoff alla magla che contene 1,, : Applchamo la seconda legge alla magla che contene, 2, : Ottenamo così un sstema d tre equazon. Rsolvendo l sstema s ottene: 1 0,11 A 2 0,55 A 3 0,44 A La corrente 3 crcola n verso opposto a quello arbtraramente scelto all nzo , Ω ( 10 ma) ( 1100 Ω) 11 P 2 ( 10 ma) 2 ( 200 Ω) 20 mw 18

19 Amald, Dalla mela d Newton al Bosone d Hggs 8 R Ω 5,0 A P ( 10 Ω) ( 5,0 A) 2 2, W Affnché la potenza dsspata dalla resstenza s rduca d 1/4, la corrente che v crcola deve dmezzars. Per ottenere questo è necessaro raddoppare la resstenza n sere al generatore. In formule: P R 0 2R 0 10 Ω In questo caso la corrente nel crcuto s rcava dalla legge d Ohm: 2R 0 20 Ω Ω 2,5 A 9 La resstenza equvalente del parallelo tra e vale ( 30 Ω) 60 Ω + 60 Ω + 30 Ω 20 Ω La resstenza è n sere al generatore, per cu possamo scrvere l equazone I 1 f r + Quando toglamo la resstenza rmane solo n sere al generatore: I 2 f r + Rsolvendo l sstema delle due equazon s rcavano r e f: r I 2 I 1 I 1 I 2 ( 0,145 A) ( 20 Ω) ( 0,409 A) 60 Ω 0,409 A 0,145 A f ( r + ) I 2 ( 2,0 Ω + 60 Ω) ( 0,145 A) 9,0 2,0 Ω Calcolamo la dfferenza d potenzale a cap del parallelo delle due restenze: I 1 20 Ω ( 0,409 A) 8,2 P 1 2 ( 8,18 )2 60 Ω 1,1 W 10 P 2 I 2 2 ( 60 Ω) ( 0,145 A) 2 1,3 W 19

20 Amald, Dalla mela d Newton al Bosone d Hggs f em r R 0 f em r R R + Da queste tre equazon possamo scrvere l seguente sstema: f em ( R + r) R R f em r R + da cu s rcava: r R R R ,6 Ω f em ( R + r) T W mc R2 mc t ( 1 Ω) 1 A kg 2 ( 100 s) 4186 J/(kg C) 20 C 12 P P 200 W 220 0,909 A Ω R R Ω Ω R R 7 15 Ω Ω tot Ω 0,50 A 1 tot ( 0,50 A) ( 5,0 Ω) 2, ,5 7,

21 Amald, Dalla mela d Newton al Bosone d Hggs Ω 1,5 A 15 1,0 A 15 Ω 15 Ω 10 Ω 5 Ω Ω 1,5 A 15 Per cascun carco l lavoro rchesto è 20 m W car mgh ( 50 kg) 9,8 m/s 2 qund la potenza rchesta vale P car W car t 9,8 103 J 60 s 1, W 9, J La potenza totale resa dsponble dalla battera è P tot ( 12 ) ( 40 A) 4, W corrspondente a un lavoro totale W tot P tot t batt 4, W e a un lavoro effettvo W eff 0,6 W tot 1, ( 3, s) 1, J Qund l numero totale d carch sollevabl è n car W eff 1,0 106 J W car 9, J 1, Crcuto con amperometro: 0 r + R a + R Crcuto con voltmetro: R R R v R + R v 91 J 0 r + R R 1, 3 A Dal sstema delle due equazon s ha ( 1,1 A) ( r + 10 Ω Ω) ( R ) ( 1,3 A) ( r + 91 ) 0 r + R a + R 0 r + r 14 Ω

22 Amald, Dalla mela d Newton al Bosone d Hggs 17 Il parallelo costtuto dal resstore R e dalla resstenza nterna del voltmetro è rr r + R 1 3 M La corrente vale 18 µa La forza elettromotrce è 24 E + R Quando vene staccato l voltmetro s ha AB E Interruttore aperto: f + f a ( r 1 + r 2 + R) a 2 f r 1 + r 2 + R Interruttore chuso: f + f c r 1 + r 2 c 2 f r 1 + r 2 2( 6,0 ) 1,0 Ω + 2,0 Ω + 10 Ω 0,92 A 2( 6,0 ) 1,0 Ω + 2,0 Ω 4,0 A L nterruttore deve essere aperto perché se fosse chuso s avrebbe A B e qund A D B D. Applchamo la seconda legge d Krchhoff, prendendo come verso postvo della corrente quello oraro. Interruttore aperto: A D f a r 1 6,0 0,92 A ( 1,0 Ω) 5,1 B D f + a r 2 6,0 + ( 0,92 A) ( 2,0 Ω) 4,2 Interruttore chuso: A D f c r 1 6,0 4,0 A ( 1,0 Ω) 2,0 B D f + c r 2 6,0 + ( 4,0 A) ( 2,0 Ω) 2,0 19 Q( t) ( 3,0 C) + ( 2,0 C/s)t ( 1,0 C/s 2 )t 2 ax 2 + bx + c a 1,0 C/s 2 b 2,0 C/s c 3,0 C 22

23 Amald, Dalla mela d Newton al Bosone d Hggs Q max t b ( t) x, y 2,0 C/s 2 1,0 C/s 2 dq( t) 20 Poché dq( t) t dt dt 2a, b2 4ac 4a 3,0 C ( 2,0 C/s, )2 4 1,0 C/s 2 4 1,0 C/s 2 ( 2,0 C/s) ( 2,0 C/s 2 )t 1 s, 4 C l valore della corrente ne punt A, B, C è l coeffcente angolare delle rette tangent n tal punt. In partcolare abbamo: A B C Q A t A Q B ( 3,5 1,5 ) C 2 A 1 0 s C s 0 A 0 0 t B 2 0,5 Q C C s 2 A 0 2 t C R v R v 2 + R v + R R 2 v + R v + R v + R v + R v + R v R v + R v + α 2 2 R v + + R v + R v + R v ( + ) R 2 R v + R v R 1+ 1 R v + + ε 2 2 α R 1+ 1 R v + 1 R v + R v + 23

24 Amald, Dalla mela d Newton al Bosone d Hggs ( 1, Ω) 10 Ω 22 P s P p R R + R 2 + 3R ( 10 Ω) ( 10 Ω) + 1, Ω + ( 10 Ω) ( 10 Ω) Ω Questa equazone d secondo grado nell ncognta ammette solo soluzon negatve e qund fscamente non accettabl. 23 La potenza totale dsspata da due resstor n sere (o n parallelo) è uguale alla potenza dsspata da un resstore equvalente. Dal crcuto s ottene: P s 2 + P p 2 R Per confrontare le due potenze possamo calcolarne l rapporto: P p P s ovvero P p > P s Inoltre R > 1 2 mc T P t t mc T P qund t p mc T < mc T t s P p P s 24