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1 Minimo sottografo ricoprente Minimo sottografo ricoprente Dato un grafo connesso G = (V, E) con costi positivi sugli archi c e, un minimo sottografo ricoprente è un insieme di archi E E tale che: G = (V, E ) è connesso c(e ) = e ce c(f) per ogni altro insieme di archi F E tale che H = (V, F) è connesso. Dato un grafo connesso G = (V, E) con costi positivi sugli archi c e, un minimo sottografo ricoprente è un insieme di archi E E tale che: G = (V, E ) è connesso c(e ) = e ce c(f) per ogni altro insieme di archi F E tale che H = (V, F) è connesso. Osservazione: G = (V, E ) non contiene cicli, quindi è un albero Minimo albero ricoprente Minimo albero ricoprente Dato un grafo connesso G = (V, E) con costi positivi sugli archi c e, un minimo albero ricoprente è un insieme di archi E E tale che: G = (V, E ) è un albero c(e ) = e ce c(f) per ogni altro insieme di archi F E tale che H = (V, F) è un albero. Dato un grafo connesso G = (V, E) con costi positivi sugli archi c e, un minimo albero ricoprente è un insieme di archi E E tale che: G = (V, E ) è un albero c(e ) = e ce c(f) per ogni altro insieme di archi F E tale che H = (V, F) è un albero. MST di costo = 0 = MST di costo = 0 = non possiamo cercarlo esaustivamente Osservazione: G = (V, E ) non contiene cicli, quindi è un albero Teorema[Cayley]. Un grafo può avere fino a n n alberi ricoprenti 0

2 Applicazioni MST è un problema che si ritrova in numerose applicazioni. design di reti (telefoniche, idrauliche, stradali) clustering. compressione dati in proteomica. generazione di ipotesi evolutive. MST su aplotipi di Salmonella Typhi la lunghezza degli archi rappresenta la differenza in numero di SNP

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6 Osservazioni Cicli. Aggiungendo un arco e ad un albero (ricoprente) T crea un ciclo C. Eliminando un arco f C da T { e } otteniamo un nuovo albero ricoprente. f e T = (V, F) Osservazione. Se c e < c f, allora T NON è un MST. 0

7 Ottimalità dell algoritmo di Algoritmo di : implementazione Teorema. L algoritmo di produce un MST Dim sia f il primo arco scelto da che non è in un MST S è il sottoalbero costruito da che è parte di un MST gli archi verdi sono la restante parte di un tale MST T se aggiungiamo f creiamo un ciclo e L algoritmo di può essere implementato in tempo O(m log n). quasi identica a quella dell algoritmo di Dijkstra. [ d(v) = minimo costo di un arco tra v e S ] PRIM (V, E, c) Crea una coda a priorità S. s un qualsiasi nodo di V. FOR EACH v s : d(v) ; d(s) 0. S f FOR EACH v : Insert (S, v, d(v)). WHILE (S is not empty) (u, d[u]) Extract-min(S). FOR EACH arco (u, v) Adj[u]: IF d(v) > c(u, v) cf < ce (perché scelto da ) quindi T - e f ha costo inferiore a T Decrease-val(S, v, c(u, v)). d(v) c(u, v). 0

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13 0 0 Algoritmo di : implementazione L algoritmo di può essere implementato in tempo O(m log n). quasi identica a quella dell algoritmo di Dijkstra. [ d(v) = minimo costo di un arco tra v e S ] PRIM (V, E, c) Crea una coda a priorità S. s un qualsiasi nodo di V. FOR EACH v s : d(v) ; d(s) 0. FOR EACH v : Insert (S, v, d(v)). WHILE (S is not empty) (u, d[u]) Extract-min(S). u degree(u) = m Running time T(n) = O(m log n) FOR EACH arco (u, v) Adj[u]: IF d(v) > c(u, v) Decrease-val(S, v, c(u, v)). d(v) c(u, v).

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