Esame di Matematica 3 (laurea in Matematica) prova scritta del 18 giugno 2008 Compito A

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1 Esame di Matematica 3 (laurea in Matematica prova scritta del 8 giugno 28 Compito A ESERCIZIO. Si consideri la proiettività, f : P 3 (R P 3 (R, di matrice A = nel riferimento canonico {e,..., e 3 }. (a [3 punti] Si determinino punti, rette e piani uniti rispetto ad f. (b [3 punti] Si determinino i sottospazi proiettivi su cui f induce un omologia (speciale o non-speciale e si determinino in ogni caso asse e centro dell omologia. Si determinino i sottospazi proiettivi su cui f induce un involuzione. (c [3 punti] Dato un punto Q P 3 (R sia Q n = f n (Q, per ogni intero n. Si discuta il limite della successione di punti, al variare del punto Q. Svolgimento. (a Il polinomio caratteristico di A è det(x A = (x (x 2 2 e si ha A + 2 = e A 2 = (A = Il polinomio minimo è quindi (x 2 2 (x + 2. Scelta la base v = e 4e + e 2, v = e + e 2 2e 3, v 2 = 4e + 4e 2, v 3 = e, la matrice di una soprastante di f, rispetto a tale base, è 2 2 J = 2 2 da cui si vede che vi è una retta di punti uniti, r = σ v, v ed il punto unito P 2 = σ v 2. I piani uniti sono quelli del fascio di asse s = σ v 2, v 3 ed il piano π = σ v, v, v 2. Le rette unite, distinte da r ed s, si ottengono unendo P 2 = σ v 2 con i punti della retta r. Le stesse rette si ottengono anche intersecando i piani del fascio di asse s con il piano π. (b Il piano π = σ v, v, v 2 è unito e contiene la retta di punti uniti, r. Dunque, su π resta indotta da f un omologia non-speciale, di asse r e centro P 2. Su ogni retta unita, è indotta da f un omologia non speciale di asse P 2 e centro il punto di intersezione con la retta di punti uniti. Fanno eccezione la retta r su cui viene indotta l identità e la retta s su cui viene indotta un omologia speciale di centro ed asse P 2. Tutte le omologie indotte su piani e rette, ad eccezione di r ed s, sono involutorie perché diagonalizzabili e con gli autovalori opposti tra loro. (c Dato un generico punto Q = σ x v + + x 3 v 3, si ha f n (Q = σ ( 2 n (x v + x v + 2 n (x 2 v 2 + x 3 v n nx 3 v 2 = = σ ( n 2n (x v + x v + 2n (x 2v 2 + x 3 v 3 + x 3 v 2. Dunque, al crescere di n, se x 3, il punto tende a P 2 = σ v 2. Se, invece x 3 =, allora o Q è un punto unito (x 2 = = x 3 o Q = P 2 e quindi la successione è costantemente uguale a Q, oppure il punto Q non è unito ed i termini della successione oscillano tra Q = σ x 2 v 2 + (x v + x v e Q = f(q = σ x 2 v 2 (x v + x v.

2 2 MAURIZIO CANDILERA e FRANCESCO ESPOSITO ESERCIZIO 2. In P 2 (R si considerino i punti P = ( ( ( ( 2, P 2 =, P 3 = 2, P 4 =. 3 (a [3 punti] Si determinino le equazioni cartesiane delle rette, r, passanti per P = (, tali che P, P 2, P 3, P 4 siano i vertici di un parallelogramma nel piano affine P 2 (R r. (b [3 punti] Si fissi una delle possibili rette, r, del punto precedente e si determinino due punti (complessi coniugati C e C tali che il quadrilatero P P 2 P 3 P 4 sia un quadrato per la metrica euclidea sul piano affine P 2 (R r che ha C e C come punti ciclici. (c [3 punti] È vero o falso che il fascio di coniche di punti base P P 2 P 3 P 4 è formato da coniche concentriche nel piano affine P 2 (R r? In caso affermativo, qual è il centro comune alle coniche non degeneri del fascio?. Svolgimento. (a I quattro punti sono i vertici di un quadrangolo piano completo e le coppie di lati opposti si incontrano nei tre punti diagonali del quadrangolo che diventa un parallelogramma se, e solo se, i lati opposti sono a due a due paralleli, ovvero se prendiamo come retta impropria una retta che contenga due punti diagonali (lato diagonale del quadrangolo. I punti diagonali sono ( ( ( D = (P P 2 (P 3 P 4 = 4, D 2 = (P P 3 (P 2 P 4 =, D 3 = (P P 4 (P 2 P 3 = 4, e quindi solo due lati diagonali passano per P, ovvero r = D D 2 : X 4X 2 = ed s = D 2 D 3 : X + 4X 2 =. (b Per fissare le idee, scegliamo come retta impropria la retta s, lasciando al lettore lo svolgimento dei calcoli nell altro caso. Un quadrangolo è un quadrato se i lati che congiungono vertici consecutivi sono a due a due ortogonali così come i rimanenti due lati che congiungono i vertici opposti. Le direzioni dei lati consecutivi ( sono i due punti diagonali su s, mentre le intersezioni dei rimanenti lati con s sono i punti Q = 4 e Q 2 =. Nel riferimento che ha come punti base D 3, D 2 e come punto unità Q, indicata con x la ( 3 4 relativa coordinata affine, si ha x(d 2 =, x(d 3 =, x(q =, x(q 2 =. I punti ciclici, C e C, devono quindi avere coordinate affini i e i, quindi si ha C = e C =. ( +4i 4 ( 4i 4 (c Il triangolo di vertici D, D 2, D 3 è autopolare per ogni conica del fascio (perché? e tutte le coniche non degeneri del fascio sono a centro, che quindi coincide con il punto D. ESERCIZIO 3. In P 2 (R, si consideri il fascio di coniche di equazioni C (λ,µ : 36µX 2 2λX X 24µX X 2 + (λ µx 2 + 4µX 2 2 = al variare dei parametri omogenei (λ, µ. (a [3 punti] Si determinino i punti base, le coniche degeneri del fascio ed eventuali rette tangenti a tutte le coniche del fascio. Al variare di (λ, µ, si classifichino le coniche del fascio nel piano affine che si ottiene togliendo la retta X 2X =. (b [3 punti] Al variare di (λ, µ, si classifichino le coniche del fascio nel piano affine che si ottiene togliendo la retta X =. Ponendo su questo piano l usuale metrica euclidea, si determinino asse, vertice, equazione canonica e fuoco per le le eventuali parabole, non degeneri, appartenenti al fascio. (c [3 punti] Si determini, se esiste, una retta, r, tale che le coniche non degeneri del fascio siano tutte iperboli aventi lo stesso centro in P 2 (R r.

3 MATEMATICA 3 prova scritta del 8 giugno 28 Compito A 3 Svolgimento. (a La generica conica del fascio ha matrice 36µ λ 2µ A (λ,µ = λ λ µ e det A = 6λ 2 µ. 2µ 4µ Dunque vi sono due coniche degeneri distinte nel fascio, ovvero C (, : X 2 2X X =, C (, : (6X 2X 2 2 X 2 =. I punti base del fascio sono P = ( 3 ( ( (molteplicità 2, Q = 2, R = Si conclude che tutte le coniche del fascio sono tangenti alla retta X = nel punto P. Nel piano affine che si ottiene mandando all infinito la retta X 2X =, vi sono due punti base all infinito, Q ed R, e quindi si ha un fascio di iperboli. (b Nel piano affine che si ottiene togliendo la retta X =, il tipo di conica è determinato dal segno di det = 4µ(λ µ. Quindi la situazione ( λ µ 4µ è descritta nel diagramma a fianco, ove la zona ombreggiata rappresenta i valori (λ, µ per cui si ottengono ellissi, mentre la zona bianca, rappresenta i valori per cui si ottengono iperboli. Le linee tratteggiate corrispondono alle due parabole del fascio, delle quali una è degenere (µ =. La parabola non degenere è C (, : 36X 2 4X X 24X X 2 + 4X2 2 =. ovvero X X = (3X X 2 2. Dunque ha asse h : 3X X 2 =, vertice in P, equazione canonica 2Y = 2X 2 e fuoco nel punto F = ( 4 2. λ µ= ( (c La retta r : 3X X 2 = è la polare di R = per tutte le coniche non degeneri del fascio e contiene il punto P. Quindi ogni conica del fascio interseca r in due punti reali. È questa la retta cercata. µ µ= λ ESERCIZIO 4. In P 3 (R, si consideri la quadrica Q : 2X X 2 + 3X 2 4X X 3 X X 2 3 =. (a [3 punti] Si classifichi la quadrica in P 3 (R e nello spazio affine che si ottiene togliendo il piano X =. Posta la consueta metrica euclidea, si determinino l equazione canonica e gli assi di Q. (b [3 punti] Si determini l equazione del cono, V, tangente a Q ed uscente dal centro o dal vertice di Q, a seconda che si tratti di una quadrica a centro o di un paraboloide. Si dica quali tra gli assi intersecano il supporto di Q in punti reali. È vero che gli assi di Q formano un sistema ortonormale che porta in forma diagonale anche l equazione del cono V? (c [3 punti] Si determinino, se esistono, i piani che tagliano cerchi su Q. È vero che questi piani tagliano cerchi anche sul cono V? In tal caso, i cerchi su Q ed i cerchi su V han gli stessi centri? Svolgimento. (a La quadrica ha matrice 3 2 A = e det A = = det A. 2 3

4 4 MAURIZIO CANDILERA e FRANCESCO ESPOSITO Si tratta quindi di una quadrica non degenere, a punti ellittici (dato che vi sono dei punti reali, ad esempio t (,,,. la restrizione al piano improprio non è definita, quindi nel piano affine è un iperboloide ellittico. Il centro è il punto C = (. Il polinomio caratteristico det(a λ 3 = (λ + (λ (λ e quindi gli autovalori sono,,, che determinano le direzioni degli assi, ovvero P = Gli assi hanno quindi equazioni affini h : (, P 2 = ( (, P 3 =. { x = { y = { y = z =, h 2 : x z =, h 3 : x + z =. Infine, l equazione canonica è X 2 Y 2 Z 2 = nel riferimento ortonormale che ha gli assi della quadrica come assi coordinati. (b Il cono asintotico (cono tangente uscente dal centro ha equazione omogenea L asse h interseca la quadrica nei punti V : (X 2 (2X X 2 + 3X 2 4X X 3 X X 2 3 =. ( e ( 2 mentre gli altri due assi la intersecano in punti non reali. I tre assi sono tali anche per il cono asintotico (perché? che ha equazione canonica X 2 Y 2 Z 2 = in quel sistema di coordinate (spiegare il perché!. (c Le intersezioni tra Q e l assoluto sono le soluzioni del sistema X = Q H : X 2 + X2 2 + X3 2 =. 3X 2 4X X 3 X X3 2 = Il fascio di coniche determinato da Q ed H sul piano improprio contiene la conica { X = (X X 3 2 X 2 2 = che si spezza nel prodotto di due rette reali che danno quindi le giaciture dei piani che tagliano cerchi sulla quadrica. Si han quindi i due fasci di piani (paralleli di equazioni affini τ t : x + y z = t e σ s : x y z = s, al variare di s e t in R. Poiché V è il cono asintotico, ovvero il cono tangente nei punti impropri di Q le due quadriche hanno la stessa intersezione col piano improprio; dunque i piani in questione tagliano cerchi anche sul cono ed i luoghi dei centri sono le stesse due rette per il centro di Q (perché? Scrivere l equazione delle due rette!.

5 Esame di Matematica 3 (laurea in Matematica prova scritta del 8 giugno 28 Compito B ESERCIZIO. Si consideri la proiettività, f : P 3 (R P 3 (R, di matrice 3 3 A = 3 nel riferimento canonico {e,..., e 3 }. (a [3 punti] Si determinino punti, rette e piani uniti rispetto ad f. (b [3 punti] Si determinino i sottospazi proiettivi su cui f induce un omologia (speciale o non-speciale e si determinino in ogni caso asse e centro dell omologia. Si determinino i sottospazi proiettivi su cui f induce un involuzione. (c [3 punti] Dato un punto Q P 3 (R sia Q n = f n (Q, per ogni intero n. Si discuta il limite della successione di punti, al variare del punto Q. ESERCIZIO 2. In P 2 (R si considerino i punti ( ( ( ( P =, P 2 =, P 3 = 3, P 4 =. 2 2 (a [3 punti] Si determinino le equazioni cartesiane delle rette, r, passanti per P = (, tali che P, P 2, P 3, P 4 siano i vertici di un parallelogramma nel piano affine P 2 (R r. (b [3 punti] Si fissi una delle possibili rette, r, del punto precedente e si determinino due punti (complessi coniugati C e C tali che il quadrilatero P P 2 P 3 P 4 sia un quadrato per la metrica euclidea sul piano affine P 2 (R r che ha C e C come punti ciclici. (c [3 punti] È vero o falso che il fascio di coniche di punti base P P 2 P 3 P 4 è formato da coniche concentriche nel piano affine P 2 (R r? In caso affermativo, qual è il centro comune alle coniche non degeneri del fascio?. ESERCIZIO 3. In P 2 (R, si consideri il fascio di coniche di equazioni C (λ,µ : 3λX 2 + 2(λ 3µX X 2λX X 2 + (λ + 4µX 2 + 2(2µ λx X 2 + λx 2 2 = al variare dei parametri omogenei (λ, µ. (a [3 punti] Si determinino i punti base, le coniche degeneri del fascio ed eventuali rette tangenti a tutte le coniche del fascio. Al variare di (λ, µ, si classifichino le coniche del fascio nel piano affine che si ottiene togliendo la retta X 2X =. (b [3 punti] Al variare di (λ, µ, si classifichino le coniche del fascio nel piano affine che si ottiene togliendo la retta X =. Ponendo su questo piano l usuale metrica euclidea, si determinino asse, vertice, equazione canonica e fuoco per le le eventuali parabole, non degeneri, appartenenti al fascio. (c [3 punti] Si determini, se esiste, una retta, r, tale che le coniche non degeneri del fascio siano tutte iperboli aventi lo stesso centro in P 2 (R r. ESERCIZIO 4. In P 3 (R, si consideri la quadrica Q : 2X X 2 + X 2 4X X 2 2X X 3 + 4X X 2 X 3 + 2X 2 3 =. (a [3 punti] Si classifichi la quadrica in P 3 (R e nello spazio affine che si ottiene togliendo il piano X =. Posta la consueta metrica euclidea, si determinino l equazione canonica e gli assi di Q.

6 (b [3 punti] Si determini l equazione del cono, V, tangente a Q ed uscente dal centro o dal vertice di Q, a seconda che si tratti di una quadrica a centro o di un paraboloide. Si dica quali tra gli assi intersecano il supporto di Q in punti reali. È vero che gli assi di Q formano un sistema ortonormale che porta in forma diagonale anche l equazione del cono V? (c [3 punti] Si determinino, se esistono, i piani che tagliano cerchi su Q. È vero che questi piani tagliano cerchi anche sul cono V? In tal caso, i cerchi su Q ed i cerchi su V han gli stessi centri?