Dipartimento di Matematica per le scienze economiche e sociali Università di Bologna. Matematica aa lezione marzo 2009

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1 Dpartmento d Matematca per le scenze economche e socal Unverstà d Bologna Matematca aa lezone marzo 2009 professor Danele Rtell 1/26?

2 Convesstà Sa I un ntervallo d R. Una funzone f : I R s dce: 2/26?

3 Convesstà Sa I un ntervallo d R. Una funzone f : I R s dce: convessa se per ogn x 1, x 2 I ed ogn α ]0, 1[ s ha: f ((1 α)x 1 + αx 2 ) (1 α)f(x 1 ) + αf(x 2 ), 2/26?

4 Convesstà Sa I un ntervallo d R. Una funzone f : I R s dce: convessa se per ogn x 1, x 2 I ed ogn α ]0, 1[ s ha: f ((1 α)x 1 + αx 2 ) (1 α)f(x 1 ) + αf(x 2 ), strettamente convessa se per ogn x 1, x 2 I, x 1 x 2 ed ogn α ]0, 1[ s ha: f ((1 α)x 1 + αx 2 ) < (1 α)f(x 1 ) + αf(x 2 ). 2/26?

5 Fgura 1: convesstà 3/26?

6 x 1 1 Α x 1 Αx 2 x 2 Fgura 2: convesstà 4/26?

7 x 1 1 Α x 1 Αx 2 x 2 Fgura 3: convesstà 5/26?

8 Le funzon concave rbaltano questa propretà, l grafco gace al d sopra della corda. 6/26?

9 Le funzon concave rbaltano questa propretà, l grafco gace al d sopra della corda. Una funzone f(x) è concava se e solo se f(x) è convessa. 6/26?

10 Fgura 4: concavtà 7/26?

11 Dervate successve Se f : I R è, defnta nell ntervallo I e dervable per ogn x I, 8/26?

12 Dervate successve Se f : I R è, defnta nell ntervallo I e dervable per ogn x I, dremo che la funzone è dotata d dervata seconda n x 0 I 8/26?

13 Dervate successve Se f : I R è, defnta nell ntervallo I e dervable per ogn x I, dremo che la funzone è dotata d dervata seconda n x 0 I se rsulta dervable n x 0 la funzone dervata f. 8/26?

14 Dervate successve Se f : I R è, defnta nell ntervallo I e dervable per ogn x I, dremo che la funzone è dotata d dervata seconda n x 0 I se rsulta dervable n x 0 la funzone dervata f. f è dotata d dervata seconda se esste fnto: f (x 0 ) = lm x x0 f (x) f (x 0 ) x x 0. (D 2 ) 8/26?

15 Dervate successve Se f : I R è, defnta nell ntervallo I e dervable per ogn x I, dremo che la funzone è dotata d dervata seconda n x 0 I se rsulta dervable n x 0 la funzone dervata f. f è dotata d dervata seconda se esste fnto: f (x 0 ) = lm x x0 f (x) f (x 0 ) x x 0. (D 2 ) In pratca è suffcente dervare la dervata prma 8/26?

16 Se f(x) = x 2 s ha: 9/26?

17 Se f(x) = x 2 s ha: f (x) = 2x 9/26?

18 Se f(x) = x 2 s ha: f (x) = 2x = f (x) = 2. 9/26?

19 Se f(x) = sn x : 10/26?

20 Se f(x) = sn x : f (x) = cos x 10/26?

21 Se f(x) = sn x : f (x) = cos x = f (x) = sn x. 10/26?

22 È possble contnuare nel processo d dervazone e consderare dervate terze, quarte... 11/26?

23 È possble contnuare nel processo d dervazone e consderare dervate terze, quarte... f (x 0 ), f (x 0 ), f (3) (x 0 ),..., f (n) (x 0 ) 11/26?

24 Teorema La funzone f : I R d classe C 2 (I), 12/26?

25 Teorema La funzone f : I R d classe C 2 (I), coè con dervate prma e seconda contnue 12/26?

26 Teorema La funzone f : I R d classe C 2 (I), coè con dervate prma e seconda contnue è strettamente convessa se e solo se rsulta f (2) (x) > 0 x I 12/26?

27 Teorema La funzone f : I R d classe C 2 (I), coè con dervate prma e seconda contnue è strettamente convessa se e solo se rsulta f (2) (x) > 0 x I Ad esempo sono strettamente convesse: 12/26?

28 Teorema La funzone f : I R d classe C 2 (I), coè con dervate prma e seconda contnue è strettamente convessa se e solo se rsulta f (2) (x) > 0 x I Ad esempo sono strettamente convesse: le parabole d equazone cartesana y = ax 2 + bx + c con a > 0 12/26?

29 Teorema La funzone f : I R d classe C 2 (I), coè con dervate prma e seconda contnue è strettamente convessa se e solo se rsulta f (2) (x) > 0 x I Ad esempo sono strettamente convesse: le parabole d equazone cartesana y = ax 2 + bx + c con a > 0 le funzon funzon esponenzal y = a x con base a > 1. 12/26?

30 Assegnata la funzone f : I R può accadere che esstano uno o pù punt d I n cu la convesstà camb. 13/26?

31 Assegnata la funzone f : I R può accadere che esstano uno o pù punt d I n cu la convesstà camb. Tal punt vengono denomnat punt d flesso 13/26?

32 Defnzone Dremo che la funzone f(x) ha un punto d flesso n x 0 se esste un ntorno completo I(x 0 ) d x 0 tale per cu: 14/26?

33 Defnzone Dremo che la funzone f(x) ha un punto d flesso n x 0 se esste un ntorno completo I(x 0 ) d x 0 tale per cu: f(x) è strettamente convessa se x < x 0 e strettamente concava se x > x 0, 14/26?

34 Defnzone Dremo che la funzone f(x) ha un punto d flesso n x 0 se esste un ntorno completo I(x 0 ) d x 0 tale per cu: f(x) è strettamente convessa se x < x 0 e strettamente concava se x > x 0, f(x) è strettamente concava se x < x 0 e strettamente convessa se x > x 0. 14/26?

35 Defnzone Dremo che la funzone f(x) ha un punto d flesso n x 0 se esste un ntorno completo I(x 0 ) d x 0 tale per cu: f(x) è strettamente convessa se x < x 0 e strettamente concava se x > x 0, f(x) è strettamente concava se x < x 0 e strettamente convessa se x > x 0. Nel prmo caso s parla d flesso dscendente 14/26?

36 Defnzone Dremo che la funzone f(x) ha un punto d flesso n x 0 se esste un ntorno completo I(x 0 ) d x 0 tale per cu: f(x) è strettamente convessa se x < x 0 e strettamente concava se x > x 0, f(x) è strettamente concava se x < x 0 e strettamente convessa se x > x 0. Nel prmo caso s parla d flesso dscendente Nel secondo caso s parla d flesso ascendente 14/26?

37 f(x) = x e x ha un flesso ascendente n x 0 = 2: 15/26?

38 f(x) = x e x ha un flesso ascendente n x 0 = 2: f (x) = (x + 2) e x 15/26?

39 f(x) = x e x ha un flesso ascendente n x 0 = 2: f (x) = (x + 2) e x x < 2 = f (x) < 0 15/26?

40 f(x) = x e x ha un flesso ascendente n x 0 = 2: f (x) = (x + 2) e x x < 2 = f (x) < 0 x > 2 = f (x) > 0 15/26?

41 Fgura 5: flesso ascendente 16/26?

42 f(x) = x e x ha un flesso dscendente n x 0 = 2: 17/26?

43 f(x) = x e x ha un flesso dscendente n x 0 = 2: f (x) = (x 2) e x 17/26?

44 f(x) = x e x ha un flesso dscendente n x 0 = 2: f (x) = (x 2) e x x < 2 = f (x) > 0 17/26?

45 f(x) = x e x ha un flesso dscendente n x 0 = 2: f (x) = (x 2) e x x < 2 = f (x) > 0 x > 2 = f (x) < 0 17/26?

46 Fgura 6: flesso dscendente 18/26?

47 Teorema Le seguent affermazon sono equvalent: 19/26?

48 Teorema Le seguent affermazon sono equvalent: f è strettamente convessa 19/26?

49 Teorema Le seguent affermazon sono equvalent: f è strettamente convessa f(x) > f(x 0 ) + (x x 0 ) f (x 0 ) per ogn x, x 0 I 19/26?

50 Teorema Le seguent affermazon sono equvalent: f è strettamente convessa f(x) > f(x 0 ) + (x x 0 ) f (x 0 ) per ogn x, x 0 I allora se f è convessa l suo grafco è sempre al d sopra delle rette tangent 19/26?

51 Fgura 7: tangenza e convesstà 20/26?

52 Corollaro Sa f strettamente convessa e dervable. 21/26?

53 Corollaro Sa f strettamente convessa e dervable. Se x 0 I è un punto crtco, allora: 21/26?

54 Corollaro Sa f strettamente convessa e dervable. Se x 0 I è un punto crtco, allora: f(x 0 ) = mn x I f(x). 21/26?

55 Corollaro Sa f strettamente convessa e dervable. Se x 0 I è un punto crtco, allora: f(x 0 ) = mn x I f(x). Dmostrazone: er ogn x I s ha: 21/26?

56 Corollaro Sa f strettamente convessa e dervable. Se x 0 I è un punto crtco, allora: f(x 0 ) = mn x I f(x). Dmostrazone: er ogn x I s ha: f(x) > f(x 0 ) + (x x 0 ) f (x 0 ) = f(x 0 ) 21/26?

57 Teorema Sa f : [a, b] R d classe C 2 e sa x 0 ]a, b]. Allora: 22/26?

58 Teorema Sa f : [a, b] R d classe C 2 e sa x 0 ]a, b]. Allora: f (x 0 ) = 0, f (x 0 ) > 0 x 0 è mnmo locale 22/26?

59 Teorema Sa f : [a, b] R d classe C 2 e sa x 0 ]a, b]. Allora: f (x 0 ) = 0, f (x 0 ) > 0 x 0 è mnmo locale f (x 0 ) = 0, f (x 0 ) < 0 x 0 è massmo locale 22/26?

60 Questo esempo nteressa la gestone delle scorte. 23/26?

61 Questo esempo nteressa la gestone delle scorte. Sano a, b > 0 Consderamo la funzone: c(x) = a x + b x, x > 0 23/26?

62 Questo esempo nteressa la gestone delle scorte. Sano a, b > 0 Consderamo la funzone: c(x) = a x + b x, x > 0 Dmostrare che c(x) raggunge l suo mnmo assoluto n x = b a 23/26?

63 Questo esempo nteressa la gestone delle scorte. Sano a, b > 0 Consderamo la funzone: c(x) = a x + b x, x > 0 Dmostrare che c(x) raggunge l suo mnmo assoluto n x = che l valore dell estremo è 2 ab b a e 23/26?

64 In prms osservamo che 24/26?

65 In prms osservamo che lm c(x) =, lm x 0 + c(x) = x 24/26?

66 In prms osservamo che o: lm c(x) =, lm x 0 + c(x) = x c (x) = a x2 b x 2 c (x) = 0 x = ± b a := x ± 24/26?

67 In prms osservamo che lm c(x) =, lm x 0 + c(x) = x o: c (x) = a x2 b b c (x) = 0 x = ± x 2 a := x ± e ancora c (x) = 2b x 3 c (x + ) > 0 c (x ) < 0 24/26?

68 In prms osservamo che lm c(x) =, lm x 0 + c(x) = x o: c (x) = a x2 b b c (x) = 0 x = ± x 2 a := x ± e ancora Dunque x + = c (x) = b a 2b x 3 c (x + ) > 0 c (x ) < 0 è punto d mnmo per c(x) 24/26?

69 In prms osservamo che lm c(x) =, lm x 0 + c(x) = x o: c (x) = a x2 b b c (x) = 0 x = ± x 2 a := x ± e ancora Dunque x + = c (x) = b a 2b x 3 c (x + ) > 0 c (x ) < 0 è punto d mnmo per c(x) relatvo o assoluto? 24/26?

70 In questo specfco caso è assoluto n quanto s era prelmnarmente vsto che: 25/26?

71 In questo specfco caso è assoluto n quanto s era prelmnarmente vsto che: lm c(x) =, lm x 0 + c(x) = x 25/26?

72 In questo specfco caso è assoluto n quanto s era prelmnarmente vsto che: lm c(x) =, lm c(x) = x 0 + x Qund abbamo provato che per ogn x > 0 vale: 25/26?

73 In questo specfco caso è assoluto n quanto s era prelmnarmente vsto che: lm c(x) =, lm c(x) = x 0 + x Qund abbamo provato che per ogn x > 0 vale: c(x) = a x + b x 2 a b = c(x + ) 25/26?

74 2 a b Fgura 8: c(x) 26/26?